Dodatek do „Układów elektronicznych” str.1
A. PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI.
I.1. Podstawowe wiadomości z elektrotechniki.
Aby dobrze zrozumieć przedmiot układów elektronicznych
musimy swobodnie obracać się w podstawowych zagadnieniach podstaw
elektrotechniki oraz w pewnych dziedzinach fizyki zwłaszcza fizyki ciała
stałego oraz działu zajmującego się zjawiskami elektrycznymi.
W
tym
celu
przypomnimy
sobie
najistotniejsze
wiadomości
z elektrotechniki. Aby móc swobodnie poruszać się w oznaczeniach
obwodów i ich specyficznych właściwościach należy wprowadzić
podstawowy podział na : elementy pasywne i aktywne. Następnie wśród
tych elementów rozróżniać będziemy elementy będące dwójnikami
(posiadające dwa zaciski) oraz czwórnikami o czterech zaciskach (dla
naszych potrzeb to wystarczy aczkolwiek podział ten nie jest zamknięty,
istnieją obwody o wielu zaciskach a więc wrotach zwane wielowrotnikami).
Jak ten podział wygląda praktycznie? Łatwo to przedstawić na
przykładowych schematach.
Zaczniemy od elementów biernych dwu końcówkowych zwanych
dwójnikami.
Czwórnik aktywny Czwórnik pasywny
Dwójnik aktywny Dwójnik pasywny
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.2
I.1. Dwójniki.
Zajmiemy się teraz dwójnikami pasywnymi. Do tych elementów
należą rezystory, kondensatory i cewki oraz różne ich wzajemne
konfiguracje. Z podstawowych wiadomości niezbędnych do zrozumienia
zjawisk zachodzących w tych elementach przypomnijmy sobie zależności
prądów i napięć zachodzące w nich. Najprostszym sposobem jest
usystematyzowanie tych właściwości w tabelę. Zanim jednak zajmiemy się
tymi elementami przypomnijmy sobie jednostki którymi będziemy
operować przy omawianiu właściwości elementów. Oczywiście stosujemy
wyłącznie jednostki układu SI.
Podstawowe jednostki układu SI
amper [A] jest to wartość prądu elektrycznego I nie
zmieniającego się, który płynąc w dwóch równoległych,
prostoliniowych nieskończenie długich przewodach o przekroju
kołowym znikomo małym , umieszczonych w próżni
w odległości jednego metra od siebie, wywołałby miedzy tymi
przewodami siłę F równą 2*10
-7
niutona na każdy metr
długości.
d
2
l
I
F
2
0
l = 1[m]; d= 1[m]
F=2*10
-7
[N]
wolt [V] jest to napięcie elektryczne U (siła elektromotoryczna
E, potencjał elektryczny V, różnica potencjałów elektrycznych)
występujące pomiędzy dwiema różnymi powierzchniami
ekwipotencjalnymi jednorodnego przewodu prostoliniowego,
w którym płynie nie zmieniający się prąd jednego ampera,
a moc wydzielana przez przewód między tymi powierzchniami
jest równa jednemu watowi.
UI
P
qU
W
1[V] = 1[W]*1[A]
-1
om [] jest to opór elektryczny R między dwoma
powierzchniami ekwipotencjalnymi przewodu jednorodnego
prostoliniowego gdy niezmienne napięcie elektryczne jednego
wolta występujące między tymi powierzchniami wywołuje
w tym przewodzie prąd elektryczny o wartości jednego ampera.
I
U
Z
,
I
U
R
1[] = 1[V]*1[A]
-1
farad [F] jest to pojemność elektryczna C jaką ma kondensator
w którym między elektrodami występuje napięcie jednego
wolta, gdy znajdują się na nich różnoimienne ładunki
elektryczne o wartości jednego kulomba każdy.
U
Q
C
1[F] = 1[C]* 1[V]
-1
henr [H] jest to indukcyjność L obwodu, w którym indukuje
się siła elektromotoryczne jednego wolta, gdy prąd elektryczny
płynący w tym obwodzie zmienia się jednostajnie o jeden
amper w czasie jednej sekundy.
I
L
]
A
[
1
]
s
[
1
]
V
[
1
]
H
[
1
wat [W] jest to moc P, przy której praca jednego dżula
wykonana jest w czasie jednej sekundy. Dla wartości
elektrycznych jest to moc wydzielona przy przepływie prądu o
wartości jednego ampera pod wpływem napięcia jednego wolta.
P = UI
1[W] = 1[J] *1[s]
-1
1[W] = 1[A]*1[V]
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.3
Dżul [J] jest to energia W równa pracy wykonanej przez siłę
jednego niutona w kierunku jej działania, na drodze o długości
jednego metra. Dla prądu elektrycznego jest to praca jaką
wykonuje moc jednego wata w czasie jednej sekundy.
W = F s
1[J] = 1[N] *1[m]
1[J] = 1[W] *1[s]
metr [m] jest to długość l równa 1.650.763,73 długości fali
w próżni, promieniowania odpowiadającego przejściu między
poziomami 2p
10
a 5d
5
atomu kryptonu 86 (
86
K).
_
sekunda [s] jest to czas t odpowiadający 9.192.631.770
okresów promieniowania odpowiadającemu przejściu między
dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu podstawowego atomu
cezu 133 (
133
Cs).
_
kulomb [C] jest to ładunek elektryczny Q przepływający
w czasie jednej sekundy przez powierzchnię, gdy prąd
elektryczny płynący przez tę powierzchnię wynosi jeden amper.
Q = It
1[C] = 1[A] *1[s]
herc [Hz] jest to częstotliwość f zjawiska okresowego,
którego okres jest równy jednej sekundzie.
T
1
f
1[Hz] = 1[s]
-1
niuton [N] jest to siła F jaka w kierunku jej działania nadaje
masie jednego kilograma przyspieszenie jednego metra na
kwadrat sekundy.
2
t
l
m
F
1[N] =1[m]*1[kg]*1[s]
-2
weber [Wb] jest to strumień magnetyczny (strumień indukcji
magnetycznej), który malejąc jednostajnie do zera w czasie
jednej sekundy indukuje siłę elektromotoryczną jednego wolta
w
obejmującym
ten
strumień
obwodzie
zamkniętym
jednozwojowym wykonanym z przewodu o przekroju znikomo
małym.
z
1[Wb] = 1[V]*1[s]
tesla [T] jest to indukcja magnetyczna B pola magnetycznego
równomiernego, przy której na przekrój poprzeczny jednego
metra kwadratowego tego pola przypada strumień magnetyczny
jednego webera.
s
B
1[T] =1[Wb]*1[m
2
]
-1
radian [rad] jest kąt płaski zawarty między dwoma
promieniami koła wycinającymi z jego okręgu łuk długości
równej jego promieniowi.
_
kelwin [K] jest to 1/273,16 temperatury T termodynamicznej
punktu potrójnego wody (woda znajduje się jednocześnie
w trzech stanach; stałym, ciekłym i gazowym).
_
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.4
Tabela właściwości podstawowych dwójników
REZYSTANCJA
INDUKCYJNOŚĆ
POJEMNOŚĆ
SYMBOLE GRAFICZNE I REZYSTANCJA ELEMENTU
R
R
L
X
L
= L
C
C
1
X
C
Podstawowe zależności wektorowe, czasowe i częstotliwościowe
R
f
X
L
f
X
C
f
Jak teraz wyglądają wzajemne konfiguracje powyższych elementów
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.5
I.2. Szeregowe połączenie RL i RC.
Połączenie szeregowe rezystancji z impedancją kondensatora lub
cewki stanowi zawsze wypadkowa ich właściwości, gdzie musimy zawsze
wyróżnić przewagę jednego z elementów ; rzeczywistego lub urojonego.
Pamiętamy z podstaw elektrotechniki, że w układach szeregowych
wspólnym wyznacznikiem, czyli punktem odniesienia jest prąd płynący
zawsze taki sam przez oba (lub więcej) elementy. Od tego też prądu
będziemy więc odnosili inne wielkości.
Rys.1.2.1.
Podstawowe zależności układów szeregowych.
R
X
tg
R
X
Z
U
U
tg
U
U
U
R
X
tg
R
X
Z
U
U
tg
U
U
U
C
2
2
C
R
C
2
R
2
C
L
2
2
L
R
L
2
R
2
L
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.6
I.3. Równoległe połączenie RL i RC.
Rys.1.3.1.
Podstawowe zależności układów równoległych RL i RC.
G
B
tg
G
B
Y
I
I
tg
I
I
I
G
B
tg
G
B
Y
I
I
tg
I
I
I
C
2
2
C
R
C
2
R
2
C
L
2
2
L
R
L
2
R
2
L
Z powyższych zależności możemy przejść bezpośrednio do zależności
obowiązujących przy omawianiu rzeczywistych kondensatorów i cewek.
Do tej pory elementy te uważaliśmy jako idealne a więc posiadające tylko
jedną wielkość, tj. dla kondensatora pojemność a dla cewki indukcyjność.
W rzeczywistości tak nie jest. Każda rzeczywista cewka nawinięta
z najgrubszego nawet przewodu posiada określona rezystancję a każdy
kondensator wykonany z najlepszego nawet dielektryka posiada pewną
upływność prezentowaną przez rezystancję równolegle włączoną do
idealnej pojemności.
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.7
I.3.a. Kondensator rzeczywisty.
Jak wspomnieliśmy przez kondensator rzeczywisty będzie płynął
pewien niewielki prąd związany z faktem, że dielektryk kondensatora ma
bardzo dużą ale jednak skończoną rezystancję i przez kondensator płynie
prąd zwany prądem upływu lub też prądem skrośnym będący prądem
o charakterze czynnym (odzwierciedla przecież rezystancję dielektryka).
Fakt ten oznacza, że prąd kondensatora nie będzie przesunięty o 90
0
lecz
o kąt będący wielkością wypadkową. Rezystancja prezentowana w układzie
oznacza również to, że w kondensatorze powstają straty zamieniane na
ciepło gdyż w takiej właśnie formie zostaje tu energia czynna rozproszona.
Dlatego też kondensator rzeczywisty jest zwany kondensatorem ze stratami.
Rys.1.3.2.
2
C
R
1
I
I
tg
I
I
I
r
C
R
2
C
2
R
2
W odróżnieniu od ogólnych zasad opisu obwodów wyróżniamy
w kondensatorze jako kąt charakterystyczny kąt będący dopełnieniem kąta
do 90
0
oznaczany jako . Kat ten zwany jest kątem strat
dielektrycznych, kątem strat lub kątem stratności. Natomiast tangens
tego kąta zwiemy współczynnikiem strat lub współczynnikiem strat
dielektrycznych.
Ciekawostką jest fakt o którym często zapominamy, że dla danego
podzespołu wykonanego z określonego materiału zależność pomiędzy R i C
jest opisana wzorem:
RC = natomiast
1
tg
gdzie to rezystywność czyli opór właściwy materiału zaś to
przenikalność elektrycznaJak więc widzimy współczynnik strat zależy
wyłącznie od stałych materiałowych a nie od parametrów naszego
elementu.
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.8
I.3.b. Cewka rzeczywista.
Dotychczas rozważana indukcyjność była traktowana jako idealna,
a więc mająca tylko parametr indukcyjności. Realnie wykonana cewka,
nawinięta z przewodu o minimalnej nawet rezystywności posiada swoją
własną rezystancje. Wartość tej rezystancji musimy w rozważaniach
obwodów elektrycznych uwzględnić ponieważ w zdecydowany sposób
zmienia ona charakter naszego elementu. Schemat zastępczy rzeczywistej
indukcyjności oraz przebiegi prądów i napięć przedstawimy poniżej.
Rys.1.3.3.
Na przedstawionym powyżej schemacie zastępczym wyraźnie widać, że
prąd płynący przez indukcyjność wywołuje spadki napięć zarówno na
rezystancji cewki i spadek ten jest w fazie z prądem wywołującym go, oraz
na impedancji cewki i ten spadek napięcia wyprzedza prąd wywołujący go
o 90
0
. Napięcie wypadkowe na indukcyjności rzeczywistej określone
wzorem:
U
2
= U
R
2
+ U
L
2
Natomiast kąt przesunięcia fazowego pomiędzy prądem a napięciem
opisany jest zależnością:
S
S
L
R
L
R
L
R
I
X
I
U
U
tg
Powyższy wzór prezentuje nie tylko przesunięcie fazowe prądu i napięcia
ale również charakteryzuje straty energii w cewce rzeczywistej i nazywamy
ją dobrocią cewki oznaczaną przez Q.
S
R
L
Q
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.9
Impedancja wypadkowa jest określona jako
2
L
2
s
X
R
Z
natomiast moc
tracona w tym elemencie jest mocą czynną o wartości P=UIcos.
Jednocześnie pamiętajmy o nadal obowiązującej zależności S
2
= P
2
+ Q
2
,
gdzie Q jest mocą bierną pobieraną przez indukcyjność zaś S mocą pozorną
indukcyjności rzeczywistej.
I.4.0. Układy szeregowe R,L,C.
Rys.1.4.1.
Dla układu szeregowego RLC przedstawionego powyżej rozpatrzymy trzy
możliwe warianty stosunku impedancji względem siebie. Będzie to
przypadek gdy X
C
jest większe od X
L
, drugim będzie sytuacja odwrotna
czyli X
L
większe od X
C
i trzecim przypadek szczególny; równości
impedancji (rezonans).
Dla przypadku pierwszego tj. X
C
>X
L
:
R
X
X
tg
)
X
X
(
R
Z
U
U
U
tg
)
U
U
(
U
U
L
C
2
L
C
2
R
L
C
2
L
C
2
R
Dla przypadku drugiego tj. X
C
< X
L
:
R
X
X
tg
)
X
X
(
R
Z
U
U
U
tg
)
U
U
(
U
U
C
L
2
C
L
2
R
C
L
2
C
L
2
R
W przypadku trzecim gdy impedancje cewki i kondensatora są sobie równe,
równe też będą sobie spadki napięć na tych elementach obwodu. Ponieważ
zwroty spadków napięć na kondensatorze i cewce są skierowane przeciwnie
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.10
sytuacja równości tych spadków napięć powoduje ich wzajemne zniesienie
się (kompensacja wzajemna napięć). W obwodzie pozostaje jedynie spadek
napięcia na rezystancji czynnej. Kiedy zajdzie taka sytuacja? Wystarczy
przyrównać do siebie impedancje kondensatora i cewki:
C
L
2
1
f
LC
1
C
L
1
C
1
L
X
X
0
2
0
0
0
C
L
Przypatrując się powyższym wzorom możemy stwierdzić, że charakter
całego układu będzie zależał od częstotliwości przyłożonego napięcia. Jak
będzie się on zmieniał przedstawia poniższy wykres
Rys.1.4.2.
Aby można było w łatwy sposób charakteryzować obwody rezonansowe
wprowadzone zostały pewne wartości opisujące te obwody.
Pierwszą z nich jest wyrażenie wyprowadzone z poznanej
poprzednio wartości impedancji w chwili rezonansu.
C
1
C
L
L
LC
1
L
dla
X
X
0
0
0
C
L
otrzymane
wyrażenie
C
L
nazywamy
impedancją
falową
lub
charakterystyczną i zapisujemy:
C
L
Z
f
Drugą z tych wartości jest dobroć obwodu, która określa stosunek
całkowitej nagromadzonej w stanie rezonansu energii do energii traconej
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.11
w czasie jednego okresu czyli rozpraszanej w postaci ciepła (najczęściej),
pola elektromagnetycznego lub też innych postaci energii.
Zapis tej definicji dobroci wygląda następująco:
R
U
T
R
2
U
W
a
R
U
I
I
L
2
1
W
gdzie
W
W
2
Q
0
2
m
2
m
1
m
m
2
m
1
Uwzględniając podane wyżej zależności ostateczny wzór na dobroć
wygląda następująco:
R
Z
RC
1
R
L
Q
f
0
0
Jeżeli teraz zajmiemy się charakterystyką amplitudowo-częstotliwościową
I=f(f) naszego obwodu rezonansowego to stwierdzimy, że wygląda ona
w sposób następujący:
Rys.1.4.3.
Na powyższej charakterystyce zostały zaznaczone podstawowe zależności
opisujące cechy układu rezonansowego. Zaznaczony został punkt
największego prądu w układzie występującego w momencie rezonansu
i przyjęty został jako poziom odniesienia 0[dB]. Następnie zaznaczono
poziom prądu mniejszy od maksymalnego o3[dB] co stanowi wielkość
prądu maksymalnego I
m
pomnożonego przez liczbę 0,707 lub podzielonego
przez
2
. Poziom ten wyznacza nam dolną f
gd
i górną f
gg
częstotliwość
graniczną układu. Oczywiście pośrodku znajduje się częstotliwość
rezonansowa f
0
. Różnica pomiędzy częstotliwościami górną i dolną nosi
nazwę pasma przenoszenia obwodu rezonansowego. Skąd wzięły się
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.12
akurat takie liczby jak 0,707 czyli -3[dB]. Przyjęto, że granicą pasma
przenoszenia układu będzie taka częstotliwość przy której kąt przesunięcia
pomiędzy prądem i napięciem wyniesie 45
0
zarówno dla charakteru
indukcyjnego obwodu (
) jak i pojemnościowego (
). Dla tej
wartości rysując trójkąt impedancji stwierdzimy, że:
cos = cos 45
0
=
2
/
1
= 0,707
A więc :
Z =
R
2
I teraz wyznaczając prąd dla częstotliwości:
- granicznej górnej lub dolnej stwierdzamy, że I
1
=
R
2
U
m
- rezonansowej I=
R
U
m
Co wynika z tych zależności. No to wróćmy do wcześniej omawianego
pojęcia dobroci obwodu rezonansowego. Podstawiając otrzymane
zależności do wzoru na dobroć otrzymamy:
R
L
U
R
R
LU
R
U
R
LU
R
U
R
U
L
2
1
2
R
U
)
I
(
L
2
1
2
W
W
2
Q
0
2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
m
1
I.5.0. Równoległy układ RLC.
I.5.1.Układ idealny LC
Zjawiska rezonansu zachodzą również w układach równoległych
RLC. Układy te ze względu na pewne specyficzne właściwości są nawet
częściej stosowane od układów szeregowych. Wzmacniacze selektywne
o różnych zastosowaniach konfigurowane są głównie z tego rodzaju
układami rezonansowymi.
Jak działa układ rezonansowy równoległy. Wyobraźmy sobie
równoległe połączenie pojemności, indukcyjności i rezystancji, aczkolwiek
rezystancja ta nie musi być osobnym elementem rezystywnym a jest często
tylko rezystancją cewki rzeczywistej i pojemności rzeczywistej.
Zastanówmy się najpierw nad idealnym układem LC równoległym.
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.13
Rys.1.5.1.
Jak wiemy reaktancje elementów biernych :
LC
1
C
1
X
L
X
0
C
L
wyraźnie zależą od pulsacji czyli od częstotliwości napięcia zasilającego
układ. Istnieje więc taka pulsacja
przy której reaktancje te są sobie
równe co do wartości bezwzględnej lecz mają przeciwne znaki. Zjawisko
rezonansu równoległego nosi również nazwę rezonansu prądów co bierze
swą nazwę z faktu, że w momencie rezonansu prąd chwilowy kondensatora
jest równy prądowi cewki lecz ma przeciwny zwrot, zachodzi tu więc
kompensacja prądów. Fizycznie zjawisko rezonansu możemy ująć jako
wymianę energii pomiędzy kondensatorem i cewką przy jednoczesnej
zamianie energii elektrycznej (ładunek kondensatora) na energię pola
elektromagnetycznego (energia pola elektromagnetycznego cewki).
Zamiana tych energii a więc i ich wymiana zachodzi z częstotliwością
rezonansową zależną wyłącznie od parametrów elementów w niej
uczestniczących. Rozpatrując dalej te zjawiska z punktu widzenia zjawisk
energetycznych możemy zapisać:
- energia pola elektrycznego w kondensatorze -
2
E
CU
2
1
W
-energia pola magnetycznego zawartego w cewce -
2
m
LI
2
1
W
Co za tym idzie z powyższych zależności łatwo otrzymamy wartości prądu i
napięcia układu:
L
W
2
I
C
W
2
U
m
E
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.14
Zgodnie z prawem Ohma impedancja układu wyniesie:
falowa
impedancja
to
jest
Z
C
L
Z
dla
L
W
2
C
W
2
I
U
Z
f
0
m
E
I.5.2. Układ rzeczywisty RLC.
Rozpatrując idealny obwód rezonansowy dopuszczamy się dosyć
poważnych uproszczeń, daje to zupełnie mylne pojęcie na elementy
wpływające na rezonans układu. Bo jak wynika z dotychczasowych
rozważań tylko indukcyjność i pojemność mają wpływ na częstotliwość
rezonansową. Jak to wygląda w praktyce? Rozważmy rzeczywisty układ
RLC.
Rys.1.5.2.
W rzeczywistym obwodzie rezonansowym występują rezystancje
kondensatora i cewki co wyraźnie zmienia charakter naszego układu.
Częstotliwość rezonansowa układu wynosi:
2
C
2
L
0
R
C
L
R
C
L
LC
1
Praktycznie dla większości zastosowań uznajemy kondensatory za elementy
zbliżone do ideału w przeciwieństwie do cewek, a co za tym idzie wzór na
pulsację rezonansową wyglądał będzie następująco:
L
R
LC
1
2
L
0
I
C
poj
I U
ind
I
L
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.15
Jak wyglądają przebiegi prądu i napięcia w naszym obwodzie równoległym
w zależności od częstotliwości napięcia zasilającego:
Rys.1.5.3.
I podobnie jak dla układu szeregowego musimy rozpatrzyć jaki parametr
będzie nam opisywał najbardziej obiektywnie nasz układ. Tym parametrem
jest oczywiście dobroć układu wyrażana wzorem:
B
f
Q
L
C
R
Q
0
II.0. Stany nieustalone w układach RLC.
Aby móc rozważać co dzieje się w układach w momencie ich
włączenia lub też przy pobudzaniu ich różnymi wymuszeniami należy
wprowadzić dwa podstawowe pojęcia:
stan ustalony jest to taki stan obwodu, w którym przebiegi
wartości
chwilowych
prądów
i
napięć
odpowiadają
wymuszeniu zewnętrznemu
stan nieustalony jest to stan obwodu w czasie jego przejścia od
jednego do drugiego stanu ustalonego.
Kiedy występują najczęściej stany nieustalone, lub inaczej ujmując kiedy
zachodzi zmiana stanów z ustalonego do nieustalonego i odwrotnie.
Większość rozpatrywanych w elektronice zmian stanów występuje w chwili
włączenia lub wyłączenia obwodu lub też jego części. Tego rodzaju
oddziaływanie nazywamy w technice elektronicznej komutacją. Każda
komutacja powoduje, że obwód znajduje się w stanie nieustalonym.
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.16
Komutacją rządzą pewne prawa które należy koniecznie poznać, gdyż
wyjaśniają cechy zachowań obwodów w różnych stanach, a zwłaszcza
awaryjnych. Dla podstawowych elementów jakimi się tu zajmujemy prawa
komutacji wyglądają następująco:
strumień magnetyczny i prąd w cewce w chwili komutacji
zachowują wartości poprzednie
napięcie elektryczne i ładunek kondensatora w chwili
komutacji zachowują wartości poprzednie.
Powyżej sformułowane prawa są inaczej ujętą zasadą zachowania energii
oraz skończonej prędkości zachodzenia zjawisk fizycznych. Pamiętajmy, że
prąd, napięcie, ładunek lub też strumień magnetyczny nie mogą osiągnąć
natychmiast czyli w czasie t=0 wartości ustalonej gdyż w przyrodzie nie
ma prędkości równej nieskończoności oraz mocy równej nieskończonej.
Prawa powyższe dotyczą również rezystorów, zwłaszcza
w obszarze wysokich częstotliwości, gdyż rezystor traktujemy w jego
układzie zastępczym jako połączenie równoległe elementów RLC (nie ma
rezystorów idealnych !). Jednocześnie należy wprowadzić kolejne pojęcia
dotyczące podziału przebiegów elektrycznych występujących w obwodach
elektrycznych. Są to przebiegi wymuszone (ustalone) występujące w
obwodzie po stanie zmiany stanów układu oraz przebiegi swobodne
(przejściowe) występujące w okresie przejściowym pomiędzy stanami
ustalonymi.
II.1.0. Stany nieustalone w obwodach RC.
Jednym z podstawowych problemów z którym musimy sobie
poradzić jest stan włączenia napięcia stałego w obwód RC. Problem ten
wielokrotnie powraca w różnych układach i poradzenie sobie ze zjawiskami
występującymi w tym układzie pozwala na dosyć swobodne poruszanie się
później w problemach znacznie bardziej złożonych. Co dzieje się więc w
prostym układzie RC gdy włączymy zasilanie napięciem stałym.
Pamiętamy, że jest to przejście z jednego stanu ustalonego (brak zasilania)
do drugiego (pojawienie się napięcia zasilającego).
Rys.2.1.1.
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.17
Przebieg napięcia mierzonego na kondensatorze przedstawionym
w układzie zapisywany jest wzorem który wynika z pewnych przeliczeń
rachunku analitycznego:
)
e
1
(
U
e
U
U
u
RC
t
Z
RC
t
Z
Z
C
Rozważając powyższy wzór stwierdzimy, że napięcie na kondensatorze
składa się z dwóch elementów; napięcia ustalonego U
Z
oraz zmieniającego
w sposób wykładniczy swoją wartość napięcia U
Z
RC
t
e
. Z przedstawionego
wzoru wyraźnie widać, że dla chwili t = 0 czyli momentu włączenia
zasilania napięcie na kondensatorze musi być równe zeru gdyż wyrażenie w
nawiasie jest równe zeru.
0
)
1
1
(
U
)
e
1
(
U
)
e
1
(
U
)
e
1
(
U
u
Z
0
Z
RC
0
Z
RC
t
Z
C
Oczywiście powyższe założenia są słuszne w sytuacji gdy stan początkowy
napięcia na kondensatorze w chwili t = 0 był również zerowy, czyli
kondensator nie był naładowany. Stan ustalony napięcia wystąpi zgodnie z
naszym wzorem dla
t
, bo wtedy wyrażenie wykładnicze w nawiasie
osiągnie wartość równą zeru.
Z
Z
Z
RC
Z
RC
t
Z
C
U
)
0
1
(
U
)
e
1
(
U
)
e
1
(
U
)
e
1
(
U
u
Omawiany przez nas przebieg napięcia podczas ładowania kondensatora
jest typowym dla większości stanów nieustalonych. Charakteryzuje go
parametr mający wymiar czasu [s] charakteryzujący szybkość narastania
napięcia, zwany stałą czasową opisany wzorem:
RC
jednostka stałej czasowej to:
]
s
[
1
]
V
[
1
]
s
[
1
]
A
[
1
]
A
[
1
]
V
[
1
]
F
[
1
]
[
1
]
V
[
1
]
s
[
1
]
A
[
1
]
V
[
1
]
C
[
1
]
F
[
1
]
A
[
1
]
V
[
1
]
[
1
Czasem stosuje się w literaturze odwrotność stałej czasowej zwaną
współczynnikiem tłumienia:
1
RC
1
Często mówi się, że stała czasowa określa inercję układu (czyli opóźnienie
odpowiedzi układu na wymuszenie, jego bezwładność) i stała czasowa
określa przedział czasu po którym przebieg zmieni swoją wartość e-krotnie.
Jak to rozumieć? Patrząc na rysunek przedstawiający narastanie napięcia na
kondensatorze widzimy:
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.18
Co dzieje się z prądem w czasie
ładowania kondensatora widzimy na
wykresie.
Obliczenie
tego
prądu
wygląda w sposób następujący:
t
Z
RC
t
Z
e
R
U
e
R
U
i
Tak więc prąd ładowania kondensatora
ma przebieg wykładniczy, malejący ze
stałą czasową .
Rys.2.1.2.
Stała czasowa jest dla danego obwodu wielkością stałą, zależna tylko od
wartości elementów i ich konfiguracji. Nie zależy od żadnych
zewnętrznych oddziaływań!!!!
II.2.0. Stany nieustalone w obwodach RL.
W obwodach RL podobnie jak we wcześniej omówionych
obwodach RC występują stany nieustalone. Wywołane są one najczęściej
również włączeniem lub wyłączeniem zasilania układu. Procesy te zwane
komutacją podlegają również w tym przypadku określonym prawom.
W tym przypadku prawo komutacji mówi, że strumień magnetyczny oraz
prąd w chwili komutacji zachowują wartości poprzednie. Jak wyglądają
przebiegi podstawowego stanu nieustalonego obwodu RL zasilanego
napięciem stałym w chwili t = 0?
Na rysunku widzimy, że narośnięcie napięcia w czasie równym pozwala
nam podstawić do wzoru:
t
bo
)
e
1
(
U
)
e
1
(
U
u
t
C
)
74
,
2
1
1
(
U
)
e
1
1
(
U
)
e
1
(
U
u
czyli
1
C
U
63
,
0
)
36495
,
0
1
(
U
u
C
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.19
Rys.2.2.1.
Podobnie jak dla układu RC możemy napisać podstawowe równania
opisujące zachodzące zjawiska w układzie w chwili włączenia napięcia
zasilającego U
Z
.
R
L
gdzie
)
e
1
(
R
U
e
R
U
R
U
i
t
Z
t
L
R
Z
Z
Będziemy również rozpatrywać zmiany napięcia na indukcyjności. Wykres
tych zmian przedstawia poniższy rysunek.
Rys.2.2.2.
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.20
III.1.0. Czwórniki pasywne.
Najczęściej spotykanymi w elektronice czwórnikami pasywnymi
są układy RC, CR oraz RL i LR oraz różne ich kombinacje wzajemne.
Głównym ich zastosowaniem jest budowa filtrów przy wykorzystaniu
pewnych
właściwości
tych
czwórników.
Aby
można
mówić
o zastosowaniach musimy więc poznać właściwości tych czwórników.
Podczas omawiania właściwości elektrycznych czwórników musimy
w sposób jednoznaczny określać zwroty prądów i napięć oraz kierunek
przepływu sygnału. W praktyce istnieje kilka różnych zapisów
obowiązujących dla czwórników wzajemnie do siebie sprzecznych. Ich
autorzy oczywiście udowadniają, że tylko ich zapis jest właściwy. My
przyjmiemy jeden z wielu możliwych, wynikający w sposób naturalny
z dotychczas stosowanego zapisu prądów i napięć w elektrotechnice.
Rys.3.0.1.
W przyjętych przez nas oznaczeniach założyliśmy, że pod wpływem
napięcia wejściowego U
1
płynie prąd I
1
a następnie wymuszenie to
powoduje przepływ prądu I
2
o tym samym zwrocie wynikającym z kierunku
przepływu sygnału. Ten prąd powoduje na wyjściu czwórnika pojawienie
się napięcia U
2
zgodnie ze znakowaniem spadku napięcia na elementach
obciążających czwórnik. Elementy te mogą być zarówno zewnętrzne jak
I jaką jednostką tutaj dysponujemy dla stałej czasowej?
]
s
[
1
]
A
[
1
]
V
[
1
]
A
[
1
]
s
[
1
]
V
[
1
]
[
1
]
H
[
1
R
L
]
A
[
1
]
s
[
1
]
V
[
1
]
H
[
1
,
]
A
[
1
]
V
[
1
]
[
1
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.21
przedstawiony odbiornik na rysunku, lub też wewnętrzne w postaci gałęzi
zamykającej wyjście czwórnika.
Najłatwiej będzie teraz wprowadzić poszczególne rodzaje
czwórników segregując je według właściwości przenoszenia sygnału.
Rozpatrujemy je głównie jako filtry.
Filtry elektryczne są to układy wydzielające z doprowadzonego
sygnału częstotliwości wynikające z budowy filtrów, doboru elementów
oraz zawartości sygnału doprowadzonego.
III.1.1. Czwórnik RC jako filtr dolnoprzepustowy.
Układ czwórnika RC jest typowym układem dzielnika napięcia
zbudowanym w oparciu o rezystor i reaktancję pojemnościową.
Rys.3.1.1.
Istotnym elementem w naszych rozważaniach są wykresy wektorowe
prądów i napięć oraz układ trójkąta impedancji.
Z przedstawionych na powyższych rysunkach zależności możemy napisać:
Rys.3.1.2.
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.22
2
C
2
C
we
2
2
we
wy
2
2
2
C
2
C
C
we
wy
X
R
X
U
C
1
R
C
1
U
U
C
1
R
C
1
X
R
X
Z
X
U
U
Jak widzimy zarówno napięcie wyjściowe jak i impedancje układu zależą
od pulsacji co możemy przedstawić w postaci wykresu funkcji napięcia
wyjściowego
od częstotliwości przy założeniu stałego napięcia
wejściowego zasilającego nasz układ.
Rys.3.1.3.
Za charakterystyczną wartość graniczną przyjmujemy taką częstotliwość
napięcia wymuszającego dla której napięcie na pojemności jest równe
napięciu na rezystancji, a więc jest równe napięciu wyjściowemu. Dla
takiego przypadku stwierdzamy, że ponieważ w układzie płynie jeden prąd
powodujący spadki napięć na rezystorze i pojemności a te spadki są sobie
równe, to oznacza iż rezystancja i reaktancja są sobie również równe. Kąt
przesunięcia fazowego wynosi 45
0
co widać na wykresie wektorowym.
Możemy więc napisać:
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.23
RC
2
1
f
C
f
2
1
R
X
R
2
U
U
U
U
g
g
C
we
R
C
wy
A jak wygląda zmiana przesunięcia fazowego w układzie przy zmianie
częstotliwości sygnału wejściowego:
Rys.3.1.4.
III.1.2. Czwórnik LC jako filtr dolnoprzepustowy.
Rys.3.1.5.
Podobnie jak w przypadku układów RC, w naszym czwórniku rozpatrzymy
zależności prądu oraz napięcia. Jak wiemy impedancja cewki zależy od
częstotliwości sygnału a więc jest zmienna w zależności od pulsacji.
Ponieważ napięciem wyjściowym czwórnika jest spadek napięcia na
rezystancji stosunek rezystancji i reaktancji będzie wyznaczał wartość
napięcia wyjściowego. Przebieg tego napięcia w zależności od
częstotliwości przedstawia poniższy wykres.
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.24
Rys.3.1.6.
I tu również jako częstotliwość graniczną przyjmujemy taką, przy której
rezystancja R jest równa impedancji cewki X
L
a więc spadki napięć na tych
elementach są sobie równe a kąt przesunięcia fazowego wynosi
.
R
L
2
1
f
L
f
2
R
X
R
g
g
L
III.2.1. Czwórnik CR jako filtr górno-przepustowy.
Rozpatrzymy teraz połączenie elementów R i C w konfiguracji nieco innej
niż poprzednio. Mianowicie napięciem wyjściowym będzie spadek napięcia
na kondensatorze. Pozostałe założenia nie ulegają zmianie.
Rys.3.2.1.
Jak więc widzimy napięcie wyjściowe:
2
C
2
we
wy
2
C
2
we
wy
X
R
R
U
U
X
R
R
Z
R
U
U
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.25
Przebieg charakterystyk amplitudowo - częstotliwościowej i fazowej
wynika z powyższej zależności.
Rys.3.2.2.
I podobnie wyznaczamy częstotliwość graniczną układu:
RC
2
1
f
C
f
2
1
R
X
R
g
g
C
dla
III.2.2. Czwórnik RL jako filtr górno-przepustowy.
Czwórnik ten jest ostatnim z prostych czwórników rozpatrywanych jako
filtry. Napięciem wyjściowym tego układu jest spadek npięcia na reaktancji
cewki. Układ tego czwórnika i wykres wektorowy przedstawiony jest
poniżej.
Rys.3.2.3.
I podobnie ponieważ napięcie wyjściowe zależy od częstotliwości sygnału
wykreślamy charakterystyki amplitudowo - częstotliwościowe i fazową.
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.26
Rys.3.2.4.
I podobnie jak w poprzednim przypadku częstotliwość graniczna czwórnika
wyznaczana jest dla równości spadków napięć na rezystancji i reaktancji co
daje:
L
R
2
1
f
g
Tabela podstawowych czwórników pasywnych.
DOLNOPRZEPUSTOWE
GÓRNOPRZEPUSTOWE
RC
LR
CR
RL
UKŁAD
Ch - ka
amplitudowo-
częstotliw.
Ch - ka
amplitudowo -
fazowa
Częstotliwość
graniczna
RC
2
1
f
g
R
L
2
1
f
g
RC
2
1
f
g
R
L
2
1
f
g
Przesunięcie
fazowe
(fg)
= -45
0
(fg)
= -45
0
(fg)
= +45
0
(fg)
= +45
0
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.27
IV.1.0. Inne zastosowania układów RC i RL.
Poznane dotychczas układy to proste filtry dolno lub
górnoprzepustowe o małej dobroci. Wyjątkiem tutaj są układy RLC które
przy odpowiednio dobranych parametrach wykazują cechy niezłych filtrów
pasmowych lub zaporowych. Jednak układy o lepszych parametrch
filtrujących lub wręcz o zastosowaniach specjalnych muszą byc znacznie
bardziej rozbudowane. W tym rozdziale zajmiemy się w sposób bardzo
uproszczony i skrótowy dwoma zastosowaniami układów RC i RL oraz
RLC. Będą to mianowicie układy służące do formowania impulsów oraz
filtry elektryczne. W większości zajmiemy się poznanymi już układami
omawiając ich dosyć specyficzne zastosowania.
IV.1.1. Układy formowania impulsów.
W elektronice często spotykamy się z koniecznością formowania
impulsów (czyli zmiany ich kształtu) tak aby odpowiadały potrzebom
układów w których są wykorzystywane. Tego rodzaju operacje najczęściej
realizowane są przy użyciu poznanych przez nas wcześniej układów RC
odpowiednio dobranych i połączonych. Układy te realizują pewne funkcje
matematyczne stąd też ich nazwy. Pierwszym z tych układów będzie układ
różniczkujący czyli wykonujący funkcję różniczkowania przebiegu
wejściowego. W znacznym uproszczeniu możemy powiedzieć: układ
różniczkujący
odpowiada
na
wymuszenie
pochodną
funkcji
wymuszającej względem czasu (czyli w sposób techniczny wykonujemy
operacjię obliczenia pochodnej funkcji wejściowej względem czasu).
IV.1.2.Układ różniczkujący.
Jest z punktu widzenia układowego znany nam już układ CR. Jego
właściwosci dla przebiegów sinusoidalnych poznaliśmy wcześniej a także
jego charakterystyki oraz sposób odpowiedzi na wymuszenie napięciem
stałym. Jaka będzie odpowiedź naszego układu dla innych przebiegów.
Przypomnijmy sobie konfigurację tego układu.
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.28
Rys.4.1.1.
Z praw Kirchhoffa możemy napisać równania:
u
we
= Ri + u
C
u
wy
= Ri
jak wiemy prąd płynący przez kondensator to:
dt
du
C
i
C
gdzie u
C
= u
we
- u
wy
a więc:
dt
du
RC
u
dt
)
u
u
(
d
RC
u
we
wy
wy
we
wy
Jak wspomniałem układ ten różniczkuje przebieg wejściowy. Na dodatek
patrząc na otrzymany wzór opisujący napięcie wyjściowe spotykamy się ze
znanym już wyrażeniem RC czyli stałą czasową Jak wygląda przebieg
wyjściowy gdy pobudzimy układ sygnałem o kształcie prostokątnym.
Pamiętajmy, że mamy do czynienia z układem w którym kondensator
będzie się ładował i rozładowywał poprzez rezystor ze stałą czasową =RC.
Uwzględnić należy więc stałą czasową rozpatrując różne stany układu. Na
wykresie poniżej przedstawione zostały różne przebiegi wyjściowe
otrzymane z tego samego sygnału wejściowego przy różnych stałych
czasowych układu. Układ wykorzystywany jest głównie do formowania
impulsów szpilkowych (o krótkim czasie trwania) dla układów cyfrowych.
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.29
Rys.4.1.2.
Przebiegi napięcia wyjściowego w zależności od stałej czasowej.
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.30
IV.1.3. Układ całkujący.
Mamy tutaj także ze znanym nam układem RC. Jedyną różnicą jest
jego wykorzystanie a co za tym idzie odpowiedni dobór elementów z
których układ jest wykonany.
Rys.4.1.3.
Ponieważ prąd w układzie możemy określić jako
R
u
u
i
wy
we
to
podstawiając do wzoru na napięcie wyjściowe otrzymamy zależność:
t
0
wy
we
C
wy
dt
)
u
u
(
RC
1
u
u
I znowu z prawa Kirchhoffa możemy napisać:
u
we
= Ri + u
C
oraz u
wy
= u
C
wiemy, że napięcie na kondensatorze opisane jest wzorem:
t
0
C
wy
idt
C
1
u
u
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.31
co przy założeniu, że
u
u
wy
we
to otrzymamy ostateczny wynik:
t
0
we
wy
dt
u
RC
1
u
mówiący nam o tym, że napięcie wyjściowe jest całką napięcia
wejściowego. Co to oznacza fizycznie? Z punktu widzenia matematyki
przeprowadzenie interpretacji całkowania jest stosunkowo proste (jest to
działanie odwrotne do różniczkowania a więc odnalezienie funkcji
podstawowej której pochodnej zapis znamy). Ale jak to zrozumieć bez
używania wyższej matematyki? Często w technice używa się całek
oznaczonych a więc takich jak w naszym przypadku. Przy znaku całki
zaznaczone są granice w których jest ona liczona (dla nas jest to od 0 do
czasu t).
Rys.4.1.4.
Przedstawiona na rysunku obok interpretacja całki oznaczonej w granicach
(a,b) mówi nam, że miarą wartości całki oznaczonej jest pole powierzni
ograniczonej osią x, rzędnymi w punktach a i b, oraz krzywą opisywaną
przez funkcję podcałkową f(x). Polu powierzchni nadaje się znak (+) jeśli
jest powyżej osi x lub (-) jeżeli znajduje się poniżej tej osi. Oznacza to nic
innego jak cząstkowe sumowanie przebiegu wartości chwilowych funkcji
podcałkowej w czasie.
Poddając operacji całkowania sygnały otrzymujemy w odpowiedzi
przebiegi niezbędne często w układach elektronicznych. Typowym takim
zastosowaniem może być uzyskanie przebiegu o kształcie „trójkątnym” z
przebiegu prostokątnego. Kształt uzyskanych przebiegów zależy nie tylko
od sygnału wejściowego ale również od parametrów układu, i jest to silna
Dodatek do „Układów elektronicznych” str.32
zależność. Posłużymy się więc znaną nam stałą czasową RC.
Przyjrzyjmy się jak wyglądają przebiegi wyjściowe układu całkującego ten
sam przebieg prostokątny przy różnych stałych czasowych.
Rys.4.1.5.
Przebiegi napieć wyjściowych w zależności od stałej czasowej.