11

Ca lka podw´

ojna

Definicja 11.1 Niech D ⊂ R

2

b

,

edzie obszarem domkni

,

etym. Powiemy, ˙ze

obszar D jest normalny wzgl

,

edem osi OX, je´

sli

D

=

{(x, y) ∈ R

2

: a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ h(x)}

gdzie g, h : [a, b] → R s

,

a ci

,

ag le.

Definicja obszaru normalnego wzgl

,

edem osi OY jest analogiczna, czytel-

nik zechce sformuˇ

d˙z˝owa´

c j

,

a samodzielnie.

Definicja 11.2 Domkni

,

ety obszar D nazwiemy regularnym, je´

sli jest sko´

nczon

,

a

sum

,

a obszar´

ow normalnych wzgl

,

edem kt´

orej´

s osi, kt´

orych wn

,

etrza si

,

e pa-

rami nie przecinaj

,

a.

Definicja 11.3 Symbolem |D| b

,

edziemy oznaczali pole obszaru D.

Niech D b

,

edzie obszarem regularnym ograniczonym. Podzia lem P ob-

szaru D nazwiemy ka˙zd

,

a sko´

nczon

,

a rodzin

,

e obszar´

ow domkni

,

etych {D

1

, D

2

, . . . , D

k

}

spe lniaj

,

ac

,

a warunki:

1. D

1

∪ D

2

∪ · · · ∪ D

k

= D,

2. IntD

i

∩ IntD

j

= ∅ dla i 6= j.

Liczb

,

e

δ(P ) = max

i=1...k

δ(D

i

)

nazwiemy ´

srednic

,

a podzia lu P.

Niech f : D → R b

,

edzie funkcj

,

a okre´

slon

,

a na regularnym ograniczonym

obszarze D. Niech P = {D

1

, D

2

, . . . , D

k

} b

,

edzie dowolnym podzia lem ob-

szaru D. Wreszcie niech (p

i

)

i=1...k

b

,

edzie ci

,

agiem punkt´

ow takich, ˙ze p

i

∈ D

i

dla i = 1 . . . k. (b

,

ed

,

a to tzw. punkty po´

srednie.) Liczb

,

e

n

X

i=1

f (p

i

)|D

i

|

nazwiemy sum

,

a ca lkow

,

a funkcji f na D zwi

,

azan

,

a z podzia lem P i wyborem

punkt´

ow po´

srednich (p

i

).

Definicja 11.4 Je˙zeli dla dowolnego ci

,

agu podzia l´

ow P

n

obszaru D ta-

kiego, ˙ze δ(P

n

) → 0, i przy dowolnym wyborze punkt´

ow po´

srednich ist-

nieje sko´

nczona granica odpowiednich sum ca lkowych, to nazwiemy j

,

a ca lk

,

a

1

podw´

ojn

,

a z f na D i oznaczymy symbolem

Z Z

D

f (x, y) dx dy.

Twierdzenie 11.1 (warunek konieczny ca lkowalno´

sci) Funkcja f, ca lkowalna

na obszarze D jest na tym obszarze ograniczona.

Twierdzenie 11.2 (warunek wystarczaj

,

acy ca lkowalno´

sci) Je˙zeli funkcja f

jest ci

,

ag la na regularnym obszarze D to jest ca lkowalna na tym obszarze.

Twierdzenie 11.3 (w lasno´

sci ca lki podw´

ojnej)

1. Je˙zeli f, g : D → R s

,

a ca lkowalne na obszarze regularnym D to funkcja

f + g te˙z i zachodzi

Z Z

D

(f + g)(x, y) dx dy =

Z Z

D

f (x, y) dx dy +

Z Z

D

g(x, y) dx dy.

2. Je˙zeli f (x, y) ≤ g(x, y) dla (x, y) ∈ D, to

Z Z

D

f (x, y) dx dy ≤

Z Z

D

g(x, y) dx dy.

3. Je˙zeli obszar D jest sum

,

a dw´

och obszar´

ow D

1

i D

2

, kt´

ore nie maj

,

a

wsp´

olnych punkt´

ow wewn

,

etrznych, to funkcja f : D → R jest ca lkowalna

na D wtedy i tylko wtedy gdy jest ca lkowalna na D

1

i D

2

, i zachodzi

Z Z

D

f (x, y) dx dy =

Z Z

D

1

f (x, y) dx dy +

Z Z

D

2

f (x, y) dx dy.

Twierdzenie 11.4 (zamiana ca lki podw´

ojnej na iterowan

,

a) Niech D b

,

edzie

obszarem normalnym wzgl

,

edem osi OX, czyli

D

=

{(x, y) ∈ R

2

: a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ h(x)}.

Je˙zeli funkcja f : D → R jest ci

,

ag la na obszarze D to

Z Z

D

f (x, y) dx dy =

Z

b

a

"

Z

h(x)

g(x)

f (x, y) dy

#

dx.

Analogicznie gdy D jest obszarem normalnym wzgl

,

edem osi OY, czyli

D

=

{(x, y) ∈ R

2

: c ≤ y ≤ d ∧ p(y) ≤ x ≤ q(y)},

2

je˙zeli f jest ci

,

ag la na D to

Z Z

D

f (x, y) dx dy =

Z

d

c

"

Z

q(y)

p(y)

f (x, y) dx

#

dy.

W przypadku, gdy D jest prostok

,

atem [a, b] × [c, d]

Z Z

D

f (x, y) dx dy =

Z

b

a

Z

d

c

f (x, y) dy



dx =

Z

d

c

Z

b

a

f (x, y) dx



dy.

Twierdzenie 11.5 Je˙zeli obszar D jest prostok

,

atem [a, b] × [c, d] a funkcja

f : D → R da si

,

e przedstawi´

c w formie

f (x, y) = ϕ(x) · ψ(y)

gdzie ϕ i ψ s

,

a ci

,

ag le odpowiednio na przedzia lach [a, b] i [c, d] to

Z Z

D

f (x, y) dx dy =

Z

b

a

ϕ(x) dx



·

Z

d

c

ψ(y) dy



.

12

Zamiana zmiennych w ca lce podw´

ojnej

W tej cz

,

e´

sci wyk ladu b

,

edziemy rozwa˙za´

c przekszta lcenia postaci

Ψ : R

2

→ R

2

,

Ψ(u, v) = (x(u, v), y(u, v))

Szczeg´

olnie wa˙zna jest sytuacja, gdy funkcja Ψ przekszta lca pewien obszar

∆ na inny obszar D. Ograniczymy si

,

e przy tym do przypadku, gdy funkcje

x(u, v) i y(u, v) s

,

a klasy C

1

na ∆, czyli maj

,

a tam ci

,

ag le pochodne cz

,

astkowe.

Definicja 12.1 Funkcj

,

e J : ∆ → R okre´

slon

,

a wzorem

J (u, v) = det

h

x

0

u

(u, v)

x

0

v

(u, v)

y

0

u

(u, v)

y

0

v

(u, v)

i

nazwiemy jakobianem przekszta lcenia Ψ.

Przyk lad Rozwa˙zmy przekszta lcenie, kt´

ore parze (r, ϕ) (gdzie r ≥ 0 i

ϕ ∈ [0, 2π]) przyporz

,

adkowuje par

,

e (r cos ϕ, r sin ϕ). Obrazem prostok

,

ata

[0, R] × [0, 2π] b

,

edzie ko lo o ´

srodku (0, 0) i promieniu R. Jakobian tego prze-

kszta lcenia wynosi

J (u, v) = det

h

x

0

r

(r, ϕ)

x

0

ϕ

(r, ϕ)

y

0

r

(r, ϕ)

y

0

ϕ

(r, ϕ)

i

= cos ϕ · r cos ϕ − (−r sin ϕ) · sin ϕ = r.

3

Twierdzenie 12.1 (o zamianie zmiennych w ca lce podw´

ojnej) Je˙zeli

1. funkcja f (x, y) jest ci

,

ag la na regularnym obszarze D,

2. Przekszta lcenie Ψ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) odwzorowuje regularny ob-

szar ∆ na D, przy czym wn

,

etrze obszaru ∆ jest odwzorowane wza-

jemnie jednoznacznie na wn

,

etrze obszaru D,

3. funkcje x(u, v) i y(u, v) s

,

a klasy C

1

, przy czym jakobian przekszta lcenia

Ψ jest r´

o˙zny od zera wewn

,

atrz ∆

to

Z Z

D

f (x, y) dx dy

=

Z Z

∆

f (x(u, v), y(u, v)) |J (u, v)| du dv.

13

Ca lka potr´

ojna

Definicja 13.1 Niech V ⊂ R

3

b

,

edzie obszarem domkni

,

etym. Powiemy, ˙ze

obszar D jest normalny wzgl

,

edem p laszczyzny OXY, je´

sli

V

=

{(x, y, z) ∈ R

3

: (x, y) ∈ D ∧ k(x, y) ≤ z ≤ l(x, y)}

gdzie D jest obszarem regularnym w R

2

, a k, l : D → R s

,

a ci

,

ag le.

Definicja obszaru normalnego wzgl

,

edem p laszczyzny OY Z lub OXZ jest

analogiczna.

Definicja 13.2 Domkni

,

ety obszar V nazwiemy regularnym, je´

sli jest sko´

nczon

,

a

sum

,

a obszar´

ow normalnych wzgl

,

edem kt´

orej´

s p laszczyzny uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych,

kt´

orych wn

,

etrza si

,

e parami nie przecinaj

,

a.

Definicja 13.3 Symbolem |V | b

,

edziemy oznaczali obj

,

eto´

s´

c obszaru V. (Tym

samym symbolem oznaczamy pole obszaru w R

2

, ale nie b

,

edzie prowadzi lo

to do nieporozumie´

n.)

Niech V ⊂ R

3

b

,

edzie obszarem regularnym ograniczonym. Podzia lem

P obszaru V nazwiemy ka˙zd

,

a sko´

nczon

,

a rodzin

,

e obszar´

ow domkni

,

etych

{V

1

, V

2

, . . . , V

k

} spe lniaj

,

ac

,

a warunki:

1. V

1

∪ V

2

∪ · · · ∪ V

k

= V,

2. IntV

i

∩ IntV

j

= ∅ dla i 6= j.

Liczb

,

e

δ(P ) = max

i=1...k

δ(V

i

)

4

nazwiemy ´

srednic

,

a podzia lu P.

Niech f : V → R b

,

edzie funkcj

,

a okre´

slon

,

a na regularnym ograniczonym

obszarze V. Niech P = {V

1

, V

2

, . . . , V

k

} b

,

edzie dowolnym podzia lem obszaru

V. Wreszcie niech (p

i

)

i=1...k

b

,

edzie ci

,

agiem punkt´

ow takich, ˙ze p

i

∈ V

i

dla

i = 1 . . . k. (b

,

ed

,

a to tzw. punkty po´

srednie.) Liczb

,

e

n

X

i=1

f (p

i

)|V

i

|

nazwiemy sum

,

a ca lkow

,

a funkcji f na V zwi

,

azan

,

a z podzia lem P i wyborem

punkt´

ow po´

srednich (p

i

).

Definicja 13.4 Je˙zeli dla dowolnego ci

,

agu podzia l´

ow P

n

obszaru V ta-

kiego, ˙ze δ(P

n

) → 0, i przy dowolnym wyborze punkt´

ow po´

srednich ist-

nieje sko´

nczona granica odpowiednich sum ca lkowych, to nazwiemy j

,

a ca lk

,

a

potr´

ojn

,

a z f na V i oznaczymy symbolem

Z Z Z

V

f (x, y, z) dx dy dz.

Twierdzenie 13.1 (warunek konieczny ca lkowalno´

sci) Funkcja f, ca lkowalna

na obszarze V jest na tym obszarze ograniczona.

Twierdzenie 13.2 (warunek wystarczaj

,

acy ca lkowalno´

sci) Je˙zeli funkcja f

jest ci

,

ag la na regularnym obszarze V to jest ca lkowalna na tym obszarze.

Twierdzenie 13.3 Je˙zeli f jest funkcj

,

a ci

,

ag l

,

a na obszarze V normalnym

wzgl

,

edem p laszczyzny OXY :

V

=

{(x, y, z) ∈ R

3

: (x, y) ∈ D ∧ k(x, y) ≤ z ≤ l(x, y)}

to

Z Z Z

V

f (x, y, z) dx dy dz =

Z Z

D

"

Z

l(x,y)

k(x,y)

f (x, y, z) dz

#

dx dy.

St

,

ad, je˙zeli ponadto obszar D jest normalny wzgl

,

edem osi OX :

D

=

{(x, y) ∈ R

2

: a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ h(x)}.

to na mocy twierdzenia o zamianie ca lki podw´

ojnej na iterowan

,

a:

Z Z Z

V

f (x, y, z) dx dy dz =

Z

b

a

"

Z

h(x)

g(x)

"

Z

l(x,y)

k(x,y)

f (x, y, z) dz

#

dy

#

dx.

5

14

Krzywe

Definicja 14.1 Niech x, y : [α, β] → R b

,

ed

,

a dwiema funkcjami ci

,

ag lymi.

Zbi´

or

Γ =

n

x(t), y(t)



: t ∈ [α, β]

o

nazywamy krzyw

,

a p lask

,

a, a przekszta lcenie Ψ(t) =



x(t), y(t)



jej para-

metryzacj

,

a.

Mo˙zna zauwa˙zy´

c, ˙ze r´

o˙zne parametryzacje mog

,

a prowadzi´

c do tego zbioru

Γ. Czytelnik zechce sprawdzi´

c, ˙ze paramertyzacje

Ψ

1

(t) =



sin(t), cos(t)



i Ψ

2

(t) =



cos(t), sin(t)



dla t ∈ [0,

π

2

] daj

,

a t

,

e sam

,

a krzyw

,

a (jak

,

a?).

Definicja 14.2 Je˙zeli dla zbioru Γ istnieje parametryzacja Ψ spe lniaj

,

aca

dodatkowe warunki:

1. Ψ jest przekszta lceniem r´

o˙znowarto´

sciowym,

2. funkcje x(t) i y(t) s

,

a klasy C

1

na [α, β],

3. pochodne tych funkcji nie zeruj

,

a si

,

e jednocze´

snie,

to Γ nazwiemy lukiem g ladkim.

Definicja 14.3 Je˙zeli dla zbioru Γ istnieje parametryzacja Ψ spe lniaj

,

aca

dodatkowe warunki:

1. Ψ jest przekszta lceniem r´

o˙znowarto´

sciowym,

2. funkcje x(t) i y(t) s

,

a ci

,

ag le na [α, β],

3. pochodne tych funkcji nie zeruj

,

a si

,

e jednocze´

snie,

a ponadto krzywa Γ da si

,

e przedstawi´

c jako suma sko´

nczonej ilo´

sci luk´

ow

g ladkich, to Γ nazwiemy krzyw

,

a kawa lkami g ladk

,

a.

Definicja 14.4 Dopuszczaj

,

ac w ostatniej definicji, by Ψ(α) = Ψ(β) otrzy-

mamy krzyw

,

a g ladk

,

a zamkni

,

et

,

a.

Definicja 14.5 Luk g ladki, w kt´

orym jeden z ko´

nc´

ow zosta l wyr´

o˙zniony

(przez nazwanie go pocz

,

atkiem), nazywamy lukiem skierowanym. Je˙zeli Ψ :

[α, β] → R

2

jest parametryzacj

,

a luku Γ, i pocz

,

atkiem luku nazwiemy punkt

6

A = Ψ(α) a ko´

ncem B = Ψ(β) to powiemy,˙ze luk Γ jest skierowany zgodnie

z parametryzacj

,

a Ψ. Je˙zeli krzywa jest ustalona, to taki luk oznaczymy

przez AB. Luk BA nazwiemy przeciwnym do AB, b

,

edziemy te˙z pisa´

c BA =

−AB. Ilekro´

c nie okre´

slimy skierowania jakiej´

s krzywej, b

,

edziemy zak lada´

c,

˙ze skierowana jest zgodnie z parametryzacj

,

a.

W przypadku krzywych zamkni

,

etych skierowanie b

,

edzie oznacza lo wyb´

or

kierunku okr

,

a˙zania krzywej (za dodatnie uznamy kr

,

a˙zenie przeciwne do ru-

chu wskaz´

owek zegara.)

15

Ca lka krzywoliniowa nieskierowana

Definicja 15.1 Niech K b

,

edzie lukiem g ladkim o ko´

ncach A i B. Niech f

b

,

edzie dowoln

,

a funkcj

,

a rzeczywist

,

a okre´

slon

,

a na K.

• Podzielmy luk K na cz

,

e´

sci K

1

, K

2

, . . . , K

n

o d lugo´

sciach ∆K

1

, ∆K

2

, . . . ,∆K

n

• Liczb

,

e δ = max

i=1,...,n

∆K

i

nazwiemy ´

srednic

,

a podzia lu.

• W ka˙zdej cz

,

e´

sci wybierzmy po jednym punkcie ( ¯

x

i

, ¯

y

i

) dla i = 1, . . . , n.

• Sum

,

e

σ =

n

X

i=1

f ( ¯

x

i

, ¯

y

i

)∆K

i

nazwiemy sum

,

a ca lkow

,

a zwi

,

azan

,

a z podzia lem (K

1

, . . . K

n

) przy wy-

borze punkt´

ow po´

srednich ( ¯

x

i

, ¯

y

i

).

• Je˙zeli dla dowolnego ci

,

agu podzia l´

ow takiego, ˙ze ci

,

ag ´

srednic d

,

a˙zy

do 0, i przy dowolnym wyborze punkt´

ow po´

srednich ci

,

ag odpowia-

daj

,

acych sum ca lkowych d

,

a˙zy do granicy S, w´

owczas t

,

e granic

,

e ozna-

czymy symbolem

S =

Z

K

f (x, y) dl

i nazwiemy ca lk

,

a nieskierowan

,

a z funkcji f po krzywej K.

Twierdzenie 15.1 W lasno´

sci ca lki krzywoliniowej nieskierowanej:

•

R

K

Cf (x, y) dl = C

R

K

f (x, y) dl,

•

R

K

(f (x, y) + g(x, y)) dl =

R

K

f (x, y) dl +

R

K

g(x, y) dl,

•

R

K

f (x, y) dl =

R

K

1

f (x, y) dl +

R

K

2

f (x, y) dl, je˙zeli krzyw

,

a K podzie-

lono na cz

,

e´

sci K

1

i K

2

.

7

Twierdzenie 15.2 (warunek wystarczaj

,

acy istnienia ca lki) Je˙zeli funkcja f

jest ci

,

ag la, a krzywa K ma sko´

nczon

,

a d lugo´

s´

c, w´

owczas ca lka

R

K

f (x, y) dl

istnieje.

Twierdzenie 15.3 (o zamianie ca lki krzywoliniowej nieskierowanej na ca lk

,

e

oznaczon

,

a) Je˙zeli para funkcji klasy C

1

(x(t), y(t)) stanowi parametryzacj

,

e

krzywej K dla t przebiegaj

,

acego przedzia l [α, β] w´

owczas

Z

K

f (x, y) dl =

Z

β

α

f (x(t), y(t))

p

(x

0

(t))

2

+ (y

0

(t))

2

dt.

W szczeg´

olno´

sci, je˙zeli krzywa K jest dana r´

ownaniem w postaci jawnej

y = y(x) dla a ≤ x ≤ b, wtedy powy˙zszy wz´

or przyjmuje posta´

c

Z

K

f (x, y) dl =

Z

b

a

f (x, y(x))

p

1 + (y

0

(t))

2

dt.

16

Ca lka krzywoliniowa skierowana

Definicja 16.1 Rozwa˙zmy luk g ladki Γ dany parametryzacj

,

a Ψ : [α, β] →

R

2

, i skierowany zgodnie z ni

,

a.

Rozwa˙zmy te˙z dwie funkcje P i Q okre´

slone w ka˙zdym punkcie (x, y)

luku Γ.

Niech P : (t

i

)

i=0,1...n

b

,

edzie dowolnym podzia lem przedzia lu [α, β].

Przyjmijmy oznaczenie ∆x

i

= x(t

i+1

) − x(t

i

), i ∆y

i

= y(t

i+1

) − y(t

i

).

W ka˙zdym przedziale typu [t

i

, t

i+1

] wybierzmy dowolny punkt po´

sredni

¯

t

i

. Utw´

orzmy sum

,

e

S =

n−1

X

i=0

h

P



x(¯

t

i

), y(¯

t

i

)



∆x

i

+ Q



x(¯

t

i

), y(¯

t

i

)



∆y

i

i

.

Je˙zeli dla dowolnego normalnego ci

,

agu podzia l´

ow P

m

i przy dowolnym wybo-

rze punkt´

ow po´

srednich istnieje sko´

nczona granica ci

,

agu S

m

okre´

slonych jak

powy˙zej sum, to liczb

,

e t

,

e nazywamy ca lk

,

a krzywoliniow

,

a skierowan

,

a

pary funkcji P i Q po luku Γ, i oznaczamy

Z

Γ

P (x, y) dx + Q(x, y) dy.

Mo˙zna dowie´

s´

c, ˙ze warto´

s´

c powy˙zszej ca lki nie zale˙zy od parametryzacji

luku Γ a tylko od jego skierowania, co wi

,

ecej

Z

−Γ

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = −

Z

Γ

P (x, y) dx + Q(x, y) dy.

8

Definicj

,

e ca lki skierowanej mo˙zna rozszerzy´

c na przypadek krzywej kawa lkami

g ladkiej. Istotnie, je˙zeli krzywa Γ daje si

,

e podzieli´

c na n luk´

ow g ladkich

Γ

1

, Γ

2

, . . . Γ

n

to

Z

Γ

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =

n

X

i=1

Z

Γ

i

P (x, y) dx + Q(x, y) dy.

Twierdzenie 16.1 Warunkiem wystarczaj

,

acym istnienia ca lki

R

Γ

P (x, y) dx+

Q(x, y) dy jest ci

,

ag lo´

s´

c funkcji P i Q.

Twierdzenie 16.2 (o zamianie ca lki krzywoliniowej skierowanej na ozna-
czon

,

a) Je˙zeli funkcje P i Q s

,

a ci

,

ag le na luku g ladkim Γ danym parametry-

zacj

,

a



x(t), y(t)



(t ∈ [α, β]), to

Z

Γ

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =

Z

β

α

h

P (x(t), y(t))x

0

(t) + Q(x(t), y(t))y

0

(t)

i

dt.

W szczeg´

olnym przyladku, gdy luk Γ okre´

slony jest r´

ownaniem

y = y(x), x ∈ [a, b]

gdzie y(x) jest funkcj

,

a klasy C

1

na [a, b] otrzymujemy

Z

Γ

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =

Z

b

a

h

P (x, y(x)) + Q(x, y(x))y

0

(x)

i

dx.

Twierdzenie 16.3 (Greena) Je˙zeli funkcje P i Q oraz ich pochodne cz

,

astkowe

P

0

y

i Q

0

x

s

,

a ci

,

ag le na obszarze D normalnym wzgl

,

edem obu osi, a brzegiem

obszaru D jest skierowana dodatnio krzywa kawa lkami g ladka Γ, to

Z

Γ

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =

Z Z

D

h

Q

0
x

(x, y) − P

0

y

(x, y)

i

dx dy.

17

Niezale ˙zno´

s´

c ca lki krzywoliniowej od drogi ca lkowania

Niech na obszarze D dane b

,

ed

,

a dwie funkcje ci

,

ag le P i Q. Niech A i B b

,

ed

,

a

dwoma punktami tego obszaru. Rozwa˙zmy ca lk

,

e krzywoliniow

,

a skierowan

,

a

Z

AB

P dx + Q dy,

9

gdzie AB jest pewn

,

a krzyw

,

a o pocz

,

atku w A i ko´

ncu w B.

Postawmy pytanie : Jakie warunki musz

,

a spe lnia´

c obszar D i fukcje P

oraz Q, aby warto´

s´

c powy˙zszej ca lki zale˙za la tylko od wyboru punkt´

ow A i

B, a nie od wyboru krzywej?

Twierdzenie 17.1 Niech P i Q ci

,

ag le na obszarze D. Nast

,

epuj

,

ace dwa

warunki s

,

a r´

ownowa˙zne:

1. Dla dowolnych A, B ∈ D warto´

s´

c

R

AB

P dx + Q dy nie zale˙zy od drogi

ca lkowania.

2. Dla dowolnej krzywej zamkni

,

etej Γ ∈ D zachodzi

R

Γ

P dx + Q dy = 0.

Twierdzenie 17.2 Niech P i Q ci

,

ag le na obszarze D. Warunkiem koniecz-

nym i dostatecznym na to, aby ca lka

Z

AB

P dx + Q dy

nie zale˙za la od drogi ca lkowania jest, aby istnia la taka funkcja F : D → R,

˙ze dla ka˙zdego punktu (x

0

, y

0

) ∈ D funkcja liniowa P (x

0

, y

0

) x + Q(x

0

, y

0

) y

jest r´

o˙zniczk

,

a zupe ln

,

a F w (x

0

, y

0

).

Twierdzenie 17.3 Niech D b

,

edzie prostok

,

atem [a, b] × [c, d]. Niech P i Q

ci

,

ag le na obszarze D. Za l´

o˙zmy ponadto, ˙ze w D istniej

,

a i s

,

a ci

,

ag le pochodne

cz

,

astkowe P

0

y

i Q

0

x

.

Na to, aby istnia la taka funkcja F : D → R, ˙ze dla ka˙zdego punktu

(x

0

, y

0

) ∈ D funkcja liniowa P (x

0

, y

0

) x + Q(x

0

, y

0

) y jest r´

o˙zniczk

,

a zupe ln

,

a

F w (x

0

, y

0

), potrzeba i wystarcza, aby w prostok

,

acie D spe lnione by lo

r´

ownanie

P

0

y

=

Q

0
x

.

Definicja 17.1 Obszar D nazywamy jednosp´

ojnym, je˙zeli dla dowolnej krzy-

wej zamkni

,

etej Γ zawartej w D obszar ograniczony krzyw

,

a Γ zawiera l si

,

e

w D. W przypadku obszar´

ow ograniczonych poj

,

ecie jednosp´

ojno´

sci charak-

teryzuje si

,

e latwiej: obszar jest jednosp´

ojny, gdy jest jego dope lnienie jest

zbiorem sp´

ojnym.

Okazuje si

,

e, ˙ze ostatnie twierdzenie da si

,

e uog´

olni´

c na przypadek, gdy

D jest obszarem jednosp´

ojnym. W po l

,

aczeniu z tw. 10.2 mamy

Wniosek 17.1 N iech funkcje P i Q oraz ich pochodne P

0

y

i Q

0

x

b

,

ed

,

a ci

,

ag le

na obszarze jednosp´

ojnym D. W´

owczas nast

,

epuj

,

ace warunki s

,

a r´

ownowa˙zne:

10

1. Dla dowolnych A, B ∈ D warto´

s´

c

R

AB

P dx + Q dy nie zale˙zy od drogi

ca lkowania.

2. Istnieje taka funkcja F : D → R, ˙ze dla ka˙zdego punktu (x

0

, y

0

) ∈ D

funkcja liniowa P (x

0

, y

0

) x + Q(x

0

, y

0

) y jest r´

o˙zniczk

,

a zupe ln

,

a F w

(x

0

, y

0

).

3. P

0

y

=

Q

0

x

.

18

Ca lka powierzchniowa nieskierowana

Definicja 18.1 Rozwa˙zmy pewien obszar D le˙z

,

acy na p laszczy´

znie OXY

i pewn

,

a funkcj

,

e z = f (x, y), ci

,

ag l

,

a, okre´

slon

,

a na D. Zbi´

or {(x, y, z) : z =

f (x, y)} nazwiemy p latem powierzchniowym. Je˙zeli dodatkowo funkcja f
jest klasy C

1

, to p lat nazywamy g ladkim albo regularnym. Analogicznie

zdefiniowa´

c mo˙zemy p laty g ladkie dla parametryzacji y = g(x, z) i x =

h(y, z).

Definicja 18.2

• Niech P = [a, b] × [c, d].

• Niech S b

,

edzie p latem g ladkim o r´

ownaniu z = f (x, y) dla (x, y) ∈ P.

• Niech F : S → R.

• Niech a = x

1

< x

2

< · · · < x

n

= b b

,

edzie dowolnym podzia lem odcinka

[a, b]. Niech c = y

1

< y

2

< · · · < y

n

= d b

,

edzie dowolnym podzia lem

odcinka [c, d]. Te podzia ly tworz

,

a razem podzia l prostok

,

ata P na n

2

prostok

,

at´

ow postaci P

ij

= [x

i−1

, x

i

] × [y

j−1

, y

j

], gdzie i, j = 1 . . . n.

• Niech d

ij

oznacza ´

srednic

,

e prostok

,

ata P

ij

dla i, j ∈ {1 . . . n}. Liczb

,

e

d = max{d

ij

: i, j = 1 . . . n} nazwiemy ´

srednic

,

a podzia lu.

• Temu podzia lowi odpowiada podzia l p lata S na n

2

p lat´

ow cz

,

e´

sciowych

S

ij

. Oznaczmy przez ∆S

ij

pole powierzchni p lata S

ij

. Niech M

ij

b

,

edzie

dowolnym punktem p lata S

ij

• Analogicznie do definicji ca lki Riemanna sum

,

a ca lkow

,

a funkcji F zwi

,

azan

,

a

z naszym podzia lem i z wyborem punkt´

ow po´

srednich M

ij

nazwiemy

liczb

,

e

X

i,j∈{1...n}

F (M

ij

)∆S

ij

.

11

• Je˙zeli dla dowolnego ci

,

agu podzia l´

ow, kt´

orego ´

srednice d

,

a˙z

,

a do 0, i

przy dowolnym wyborze punkt´

ow po´

srednich istnieje granica ci

,

agu

sum ca lkowych, w´

owczas nazwiemy j

,

a ca lk

,

a powierzchniow

,

a nieskie-

rowan

,

a z funkcji F na powierzchni S i oznaczymy przez

Z Z

S

F (x, y, z) dS

Powy˙zsz

,

a definicj

,

e latwo mo˙zna uog´

olni´

c na przypadek, w kt´

orym p lat S

jest zdefiniowany nad dowolnym obszarem D. Niech mianowicie P b

,

edzie do-

wolnym prostok

,

atem takim, ˙ze P ⊃ D. Dla dowolnego podzia lu prostok

,

ata

P w sumie ca lkowej b

,

edziemy uwzgl

,

ednia´

c tylko te prostok

,

aty, kt´

ore zawie-

raj

,

a w sobie punkty obszaru D.

Podstawowe w lasno´

sci ca lki powierzchniowej nieskierowanej:

Twierdzenie 18.1 (liniowo´

s´

c ze wzgl

,

edu na funkcj

,

e podca lkow

,

a)

Z Z

S

(F (x, y, z) + G(x, y, z)) dS =

Z Z

S

F (x, y, z) dS +

Z Z

S

G(x, y, z) dS,

Z Z

S

c · F (x, y, z) dS = c ·

Z Z

S

F (x, y, z) dS

o ile ca lki po prawej stronie istniej

,

a.

Twierdzenie 18.2 (addytywno´

s´

c wzgl

,

edem p lata) Je˙zeli p lat g ladki S da

si

,

e przedstawi´

c jako suma p lat´

ow S

1

i S

2

, przy czym cz

,

e´

sci

,

a wsp´

oln

,

a S

1

i

S

2

jest krzywa g ladka K, to

Z Z

S

F (x, y, z) dS =

Z Z

S

1

F (x, y, z) dS

1

+

Z Z

S

2

F (x, y, z) dS

2

Twierdzenie 18.3 Je˙zeli funkcja F jest ci

,

ag la na p lacie regularnym S o

r´

ownaniu z = f (x, y) dla (x, y) ∈ D, to

Z Z

S

F (x, y, z) dS =

Z Z

D

F (x, y, f (x, y))

q

1 + (f

0

x

(x, y))

2

+ (f

0

y

(x, y))

2

dx dy

12