plik

Ca lka podw´

ojna

Definicja 11.1 Niech D ⊂ R

edzie obszarem domkni

etym. Powiemy, ˙ze

obszar D jest normalny wzgl

edem osi OX, je´

sli

{(x, y) ∈ R

: a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ h(x)}

gdzie g, h : [a, b] → R s

a ci

ag le.

Definicja obszaru normalnego wzgl

edem osi OY jest analogiczna, czytel-

nik zechce sformuˇ

d˙z˝owa´

c j

a samodzielnie.

Definicja 11.2 Domkni

ety obszar D nazwiemy regularnym, je´

sli jest sko´

nczon

sum

a obszar´

ow normalnych wzgl

edem kt´

orej´

s osi, kt´

orych wn

etrza si

e pa-

rami nie przecinaj

Definicja 11.3 Symbolem |D| b

edziemy oznaczali pole obszaru D.

Niech D b

edzie obszarem regularnym ograniczonym. Podzia lem P ob-

szaru D nazwiemy ka˙zd

a sko´

nczon

a rodzin

e obszar´

ow domkni

etych {D

, D

, . . . , D

}

spe lniaj

a warunki:

1. D

∪ D

∪ · · · ∪ D

= D,

2. IntD

∩ IntD

= ∅ dla i 6= j.

Liczb

δ(P ) = max

i=1...k

δ(D

)

nazwiemy ´

srednic

a podzia lu P.

Niech f : D → R b

edzie funkcj

a okre´

slon

a na regularnym ograniczonym

obszarze D. Niech P = {D

, D

, . . . , D

} b

edzie dowolnym podzia lem ob-

szaru D. Wreszcie niech (p

)

i=1...k

edzie ci

agiem punkt´

ow takich, ˙ze p

∈ D

dla i = 1 . . . k. (b

a to tzw. punkty po´

srednie.) Liczb

i=1

f (p

)|D

nazwiemy sum

a ca lkow

a funkcji f na D zwi

azan

a z podzia lem P i wyborem

punkt´

ow po´

srednich (p

Definicja 11.4 Je˙zeli dla dowolnego ci

agu podzia l´

ow P

obszaru D ta-

kiego, ˙ze δ(P

) → 0, i przy dowolnym wyborze punkt´

ow po´

srednich ist-

nieje sko´

nczona granica odpowiednich sum ca lkowych, to nazwiemy j

a ca lk

podw´

ojn

a z f na D i oznaczymy symbolem

Z Z

f (x, y) dx dy.

Twierdzenie 11.1 (warunek konieczny ca lkowalno´

sci) Funkcja f, ca lkowalna

na obszarze D jest na tym obszarze ograniczona.

Twierdzenie 11.2 (warunek wystarczaj

acy ca lkowalno´

sci) Je˙zeli funkcja f

jest ci

ag la na regularnym obszarze D to jest ca lkowalna na tym obszarze.

Twierdzenie 11.3 (w lasno´

sci ca lki podw´

ojnej)

1. Je˙zeli f, g : D → R s

a ca lkowalne na obszarze regularnym D to funkcja

f + g te˙z i zachodzi

Z Z

(f + g)(x, y) dx dy =

Z Z

f (x, y) dx dy +

Z Z

g(x, y) dx dy.

2. Je˙zeli f (x, y) ≤ g(x, y) dla (x, y) ∈ D, to

Z Z

f (x, y) dx dy ≤

Z Z

g(x, y) dx dy.

3. Je˙zeli obszar D jest sum

a dw´

och obszar´

ow D

i D

, kt´

ore nie maj

wsp´

olnych punkt´

ow wewn

etrznych, to funkcja f : D → R jest ca lkowalna

na D wtedy i tylko wtedy gdy jest ca lkowalna na D

i D

, i zachodzi

Z Z

f (x, y) dx dy =

Z Z

f (x, y) dx dy +

Z Z

f (x, y) dx dy.

Twierdzenie 11.4 (zamiana ca lki podw´

ojnej na iterowan

a) Niech D b

edzie

obszarem normalnym wzgl

edem osi OX, czyli

{(x, y) ∈ R

: a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ h(x)}.

Je˙zeli funkcja f : D → R jest ci

ag la na obszarze D to

Z Z

f (x, y) dx dy =

h(x)

g(x)

f (x, y) dy

dx.

Analogicznie gdy D jest obszarem normalnym wzgl

edem osi OY, czyli

{(x, y) ∈ R

: c ≤ y ≤ d ∧ p(y) ≤ x ≤ q(y)},

je˙zeli f jest ci

ag la na D to

Z Z

f (x, y) dx dy =

q(y)

p(y)

f (x, y) dx

dy.

W przypadku, gdy D jest prostok

atem [a, b] × [c, d]

Z Z

f (x, y) dx dy =

f (x, y) dy

dx =

f (x, y) dx

dy.

Twierdzenie 11.5 Je˙zeli obszar D jest prostok

atem [a, b] × [c, d] a funkcja

f : D → R da si

e przedstawi´

c w formie

f (x, y) = ϕ(x) · ψ(y)

gdzie ϕ i ψ s

a ci

ag le odpowiednio na przedzia lach [a, b] i [c, d] to

Z Z

f (x, y) dx dy =

ϕ(x) dx

ψ(y) dy

Zamiana zmiennych w ca lce podw´

ojnej

W tej cz

e´

sci wyk ladu b

edziemy rozwa˙za´

c przekszta lcenia postaci

Ψ : R

→ R

Ψ(u, v) = (x(u, v), y(u, v))

Szczeg´

olnie wa˙zna jest sytuacja, gdy funkcja Ψ przekszta lca pewien obszar

∆ na inny obszar D. Ograniczymy si

e przy tym do przypadku, gdy funkcje

x(u, v) i y(u, v) s

a klasy C

na ∆, czyli maj

a tam ci

ag le pochodne cz

astkowe.

Definicja 12.1 Funkcj

e J : ∆ → R okre´

slon

a wzorem

J (u, v) = det

(u, v)

nazwiemy jakobianem przekszta lcenia Ψ.

Przyk lad Rozwa˙zmy przekszta lcenie, kt´

ore parze (r, ϕ) (gdzie r ≥ 0 i

ϕ ∈ [0, 2π]) przyporz

adkowuje par

e (r cos ϕ, r sin ϕ). Obrazem prostok

ata

[0, R] × [0, 2π] b

edzie ko lo o ´

srodku (0, 0) i promieniu R. Jakobian tego prze-

kszta lcenia wynosi

J (u, v) = det

(r, ϕ)

= cos ϕ · r cos ϕ − (−r sin ϕ) · sin ϕ = r.

Twierdzenie 12.1 (o zamianie zmiennych w ca lce podw´

ojnej) Je˙zeli

1. funkcja f (x, y) jest ci

ag la na regularnym obszarze D,

2. Przekszta lcenie Ψ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) odwzorowuje regularny ob-

szar ∆ na D, przy czym wn

etrze obszaru ∆ jest odwzorowane wza-

jemnie jednoznacznie na wn

etrze obszaru D,

3. funkcje x(u, v) i y(u, v) s

a klasy C

, przy czym jakobian przekszta lcenia

Ψ jest r´

o˙zny od zera wewn

atrz ∆

Z Z

f (x, y) dx dy

Z Z

∆

f (x(u, v), y(u, v)) |J (u, v)| du dv.

Ca lka potr´

ojna

Definicja 13.1 Niech V ⊂ R

edzie obszarem domkni

etym. Powiemy, ˙ze

obszar D jest normalny wzgl

edem p laszczyzny OXY, je´

sli

{(x, y, z) ∈ R

: (x, y) ∈ D ∧ k(x, y) ≤ z ≤ l(x, y)}

gdzie D jest obszarem regularnym w R

, a k, l : D → R s

a ci

ag le.

Definicja obszaru normalnego wzgl

edem p laszczyzny OY Z lub OXZ jest

analogiczna.

Definicja 13.2 Domkni

ety obszar V nazwiemy regularnym, je´

sli jest sko´

nczon

sum

a obszar´

ow normalnych wzgl

edem kt´

orej´

s p laszczyzny uk ladu wsp´

o lrz

ednych,

kt´

orych wn

etrza si

e parami nie przecinaj

Definicja 13.3 Symbolem |V | b

edziemy oznaczali obj

eto´

s´

c obszaru V. (Tym

samym symbolem oznaczamy pole obszaru w R

, ale nie b

edzie prowadzi lo

to do nieporozumie´

n.)

Niech V ⊂ R

edzie obszarem regularnym ograniczonym. Podzia lem

P obszaru V nazwiemy ka˙zd

a sko´

nczon

a rodzin

e obszar´

ow domkni

etych

, V

, . . . , V

} spe lniaj

a warunki:

1. V

∪ V

∪ · · · ∪ V

= V,

2. IntV

∩ IntV

= ∅ dla i 6= j.

Liczb

δ(P ) = max

i=1...k

δ(V

)

nazwiemy ´

srednic

a podzia lu P.

Niech f : V → R b

edzie funkcj

a okre´

slon

a na regularnym ograniczonym

obszarze V. Niech P = {V

, V

, . . . , V

} b

edzie dowolnym podzia lem obszaru

V. Wreszcie niech (p

)

i=1...k

edzie ci

agiem punkt´

ow takich, ˙ze p

∈ V

dla

i = 1 . . . k. (b

a to tzw. punkty po´

srednie.) Liczb

i=1

f (p

)|V

nazwiemy sum

a ca lkow

a funkcji f na V zwi

azan

a z podzia lem P i wyborem

punkt´

ow po´

srednich (p

Definicja 13.4 Je˙zeli dla dowolnego ci

agu podzia l´

ow P

obszaru V ta-

kiego, ˙ze δ(P

) → 0, i przy dowolnym wyborze punkt´

ow po´

srednich ist-

nieje sko´

nczona granica odpowiednich sum ca lkowych, to nazwiemy j

a ca lk

potr´

ojn

a z f na V i oznaczymy symbolem

Z Z Z

f (x, y, z) dx dy dz.

Twierdzenie 13.1 (warunek konieczny ca lkowalno´

sci) Funkcja f, ca lkowalna

na obszarze V jest na tym obszarze ograniczona.

Twierdzenie 13.2 (warunek wystarczaj

acy ca lkowalno´

sci) Je˙zeli funkcja f

jest ci

ag la na regularnym obszarze V to jest ca lkowalna na tym obszarze.

Twierdzenie 13.3 Je˙zeli f jest funkcj

a ci

ag l

a na obszarze V normalnym

wzgl

edem p laszczyzny OXY :

{(x, y, z) ∈ R

: (x, y) ∈ D ∧ k(x, y) ≤ z ≤ l(x, y)}

Z Z Z

f (x, y, z) dx dy dz =

Z Z

l(x,y)

k(x,y)

f (x, y, z) dz

dx dy.

ad, je˙zeli ponadto obszar D jest normalny wzgl

edem osi OX :

{(x, y) ∈ R

: a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ h(x)}.

to na mocy twierdzenia o zamianie ca lki podw´

ojnej na iterowan

Z Z Z

f (x, y, z) dx dy dz =

h(x)

g(x)

l(x,y)

k(x,y)

f (x, y, z) dz

dx.

Krzywe

Definicja 14.1 Niech x, y : [α, β] → R b

a dwiema funkcjami ci

ag lymi.

Zbi´

Γ =

x(t), y(t)

: t ∈ [α, β]

nazywamy krzyw

a p lask

a, a przekszta lcenie Ψ(t) =

x(t), y(t)

jej para-

metryzacj

Mo˙zna zauwa˙zy´

c, ˙ze r´

o˙zne parametryzacje mog

a prowadzi´

c do tego zbioru

Γ. Czytelnik zechce sprawdzi´

c, ˙ze paramertyzacje

(t) =

sin(t), cos(t)

i Ψ

(t) =

cos(t), sin(t)

dla t ∈ [0,

] daj

a t

e sam

a krzyw

a (jak

a?).

Definicja 14.2 Je˙zeli dla zbioru Γ istnieje parametryzacja Ψ spe lniaj

aca

dodatkowe warunki:

1. Ψ jest przekszta lceniem r´

o˙znowarto´

sciowym,

2. funkcje x(t) i y(t) s

a klasy C

na [α, β],

3. pochodne tych funkcji nie zeruj

a si

e jednocze´

snie,

to Γ nazwiemy lukiem g ladkim.

Definicja 14.3 Je˙zeli dla zbioru Γ istnieje parametryzacja Ψ spe lniaj

aca

dodatkowe warunki:

1. Ψ jest przekszta lceniem r´

o˙znowarto´

sciowym,

2. funkcje x(t) i y(t) s

a ci

ag le na [α, β],

3. pochodne tych funkcji nie zeruj

a si

e jednocze´

snie,

a ponadto krzywa Γ da si

e przedstawi´

c jako suma sko´

nczonej ilo´

sci luk´

g ladkich, to Γ nazwiemy krzyw

a kawa lkami g ladk

Definicja 14.4 Dopuszczaj

ac w ostatniej definicji, by Ψ(α) = Ψ(β) otrzy-

mamy krzyw

a g ladk

a zamkni

Definicja 14.5 Luk g ladki, w kt´

orym jeden z ko´

nc´

ow zosta l wyr´

o˙zniony

(przez nazwanie go pocz

atkiem), nazywamy lukiem skierowanym. Je˙zeli Ψ :

[α, β] → R

jest parametryzacj

a luku Γ, i pocz

atkiem luku nazwiemy punkt

A = Ψ(α) a ko´

ncem B = Ψ(β) to powiemy,˙ze luk Γ jest skierowany zgodnie

z parametryzacj

a Ψ. Je˙zeli krzywa jest ustalona, to taki luk oznaczymy

przez AB. Luk BA nazwiemy przeciwnym do AB, b

edziemy te˙z pisa´

c BA =

−AB. Ilekro´

c nie okre´

slimy skierowania jakiej´

s krzywej, b

edziemy zak lada´

˙ze skierowana jest zgodnie z parametryzacj

W przypadku krzywych zamkni

etych skierowanie b

edzie oznacza lo wyb´

kierunku okr

a˙zania krzywej (za dodatnie uznamy kr

a˙zenie przeciwne do ru-

chu wskaz´

owek zegara.)

Ca lka krzywoliniowa nieskierowana

Definicja 15.1 Niech K b

edzie lukiem g ladkim o ko´

ncach A i B. Niech f

edzie dowoln

a funkcj

a rzeczywist

a okre´

slon

a na K.

• Podzielmy luk K na cz

e´

sci K

, K

, . . . , K

o d lugo´

sciach ∆K

, ∆K

, . . . ,∆K

• Liczb

e δ = max

i=1,...,n

∆K

nazwiemy ´

srednic

a podzia lu.

• W ka˙zdej cz

e´

sci wybierzmy po jednym punkcie ( ¯

, ¯

) dla i = 1, . . . , n.

• Sum

σ =

i=1

f ( ¯

, ¯

)∆K

nazwiemy sum

a ca lkow

a zwi

azan

a z podzia lem (K

, . . . K

) przy wy-

borze punkt´

ow po´

srednich ( ¯

, ¯

• Je˙zeli dla dowolnego ci

agu podzia l´

ow takiego, ˙ze ci

ag ´

srednic d

a˙zy

do 0, i przy dowolnym wyborze punkt´

ow po´

srednich ci

ag odpowia-

daj

acych sum ca lkowych d

a˙zy do granicy S, w´

owczas t

e granic

e ozna-

czymy symbolem

S =

f (x, y) dl

i nazwiemy ca lk

a nieskierowan

a z funkcji f po krzywej K.

Twierdzenie 15.1 W lasno´

sci ca lki krzywoliniowej nieskierowanej:

•

Cf (x, y) dl = C

f (x, y) dl,

•

(f (x, y) + g(x, y)) dl =

f (x, y) dl +

g(x, y) dl,

•

f (x, y) dl =

f (x, y) dl +

f (x, y) dl, je˙zeli krzyw

a K podzie-

lono na cz

e´

sci K

i K

Twierdzenie 15.2 (warunek wystarczaj

acy istnienia ca lki) Je˙zeli funkcja f

jest ci

ag la, a krzywa K ma sko´

nczon

a d lugo´

s´

c, w´

owczas ca lka

f (x, y) dl

istnieje.

Twierdzenie 15.3 (o zamianie ca lki krzywoliniowej nieskierowanej na ca lk

oznaczon

a) Je˙zeli para funkcji klasy C

(x(t), y(t)) stanowi parametryzacj

krzywej K dla t przebiegaj

acego przedzia l [α, β] w´

owczas

f (x, y) dl =

f (x(t), y(t))

(t))

+ (y

(t))

dt.

W szczeg´

olno´

sci, je˙zeli krzywa K jest dana r´

ownaniem w postaci jawnej

y = y(x) dla a ≤ x ≤ b, wtedy powy˙zszy wz´

or przyjmuje posta´

f (x, y) dl =

f (x, y(x))

1 + (y

(t))

dt.

Ca lka krzywoliniowa skierowana

Definicja 16.1 Rozwa˙zmy luk g ladki Γ dany parametryzacj

a Ψ : [α, β] →

, i skierowany zgodnie z ni

Rozwa˙zmy te˙z dwie funkcje P i Q okre´

slone w ka˙zdym punkcie (x, y)

luku Γ.

Niech P : (t

)

i=0,1...n

edzie dowolnym podzia lem przedzia lu [α, β].

Przyjmijmy oznaczenie ∆x

= x(t

i+1

) − x(t

), i ∆y

= y(t

i+1

) − y(t

W ka˙zdym przedziale typu [t

, t

i+1

] wybierzmy dowolny punkt po´

sredni

. Utw´

orzmy sum

S =

n−1

i=0

x(¯

), y(¯

)

∆x

+ Q

x(¯

), y(¯

)

∆y

Je˙zeli dla dowolnego normalnego ci

agu podzia l´

ow P

i przy dowolnym wybo-

rze punkt´

ow po´

srednich istnieje sko´

nczona granica ci

agu S

okre´

slonych jak

powy˙zej sum, to liczb

e t

e nazywamy ca lk

a krzywoliniow

a skierowan

pary funkcji P i Q po luku Γ, i oznaczamy

P (x, y) dx + Q(x, y) dy.

Mo˙zna dowie´

s´

c, ˙ze warto´

s´

c powy˙zszej ca lki nie zale˙zy od parametryzacji

luku Γ a tylko od jego skierowania, co wi

ecej

−Γ

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = −

P (x, y) dx + Q(x, y) dy.

Definicj

e ca lki skierowanej mo˙zna rozszerzy´

c na przypadek krzywej kawa lkami

g ladkiej. Istotnie, je˙zeli krzywa Γ daje si

e podzieli´

c na n luk´

ow g ladkich

, Γ

, . . . Γ

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =

i=1

P (x, y) dx + Q(x, y) dy.

Twierdzenie 16.1 Warunkiem wystarczaj

acym istnienia ca lki

P (x, y) dx+

Q(x, y) dy jest ci

ag lo´

s´

c funkcji P i Q.

Twierdzenie 16.2 (o zamianie ca lki krzywoliniowej skierowanej na ozna-
czon

a) Je˙zeli funkcje P i Q s

a ci

ag le na luku g ladkim Γ danym parametry-

zacj

x(t), y(t)

(t ∈ [α, β]), to

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =

P (x(t), y(t))x

(t) + Q(x(t), y(t))y

(t)

dt.

W szczeg´

olnym przyladku, gdy luk Γ okre´

slony jest r´

ownaniem

y = y(x), x ∈ [a, b]

gdzie y(x) jest funkcj

a klasy C

na [a, b] otrzymujemy

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =

P (x, y(x)) + Q(x, y(x))y

(x)

dx.

Twierdzenie 16.3 (Greena) Je˙zeli funkcje P i Q oraz ich pochodne cz

astkowe

i Q

a ci

ag le na obszarze D normalnym wzgl

edem obu osi, a brzegiem

obszaru D jest skierowana dodatnio krzywa kawa lkami g ladka Γ, to

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =

Z Z

0
x

(x, y) − P

(x, y)

dx dy.

Niezale ˙zno´

s´

c ca lki krzywoliniowej od drogi ca lkowania

Niech na obszarze D dane b

a dwie funkcje ci

ag le P i Q. Niech A i B b

dwoma punktami tego obszaru. Rozwa˙zmy ca lk

e krzywoliniow

a skierowan

P dx + Q dy,

gdzie AB jest pewn

a krzyw

a o pocz

atku w A i ko´

ncu w B.

Postawmy pytanie : Jakie warunki musz

a spe lnia´

c obszar D i fukcje P

oraz Q, aby warto´

s´

c powy˙zszej ca lki zale˙za la tylko od wyboru punkt´

ow A i

B, a nie od wyboru krzywej?

Twierdzenie 17.1 Niech P i Q ci

ag le na obszarze D. Nast

epuj

ace dwa

warunki s

a r´

ownowa˙zne:

1. Dla dowolnych A, B ∈ D warto´

s´

P dx + Q dy nie zale˙zy od drogi

ca lkowania.

2. Dla dowolnej krzywej zamkni

etej Γ ∈ D zachodzi

P dx + Q dy = 0.

Twierdzenie 17.2 Niech P i Q ci

ag le na obszarze D. Warunkiem koniecz-

nym i dostatecznym na to, aby ca lka

P dx + Q dy

nie zale˙za la od drogi ca lkowania jest, aby istnia la taka funkcja F : D → R,

˙ze dla ka˙zdego punktu (x

, y

) ∈ D funkcja liniowa P (x

, y

) x + Q(x

, y

) y

jest r´

o˙zniczk

a zupe ln

a F w (x

, y

Twierdzenie 17.3 Niech D b

edzie prostok

atem [a, b] × [c, d]. Niech P i Q

ag le na obszarze D. Za l´

o˙zmy ponadto, ˙ze w D istniej

a i s

a ci

ag le pochodne

astkowe P

i Q

Na to, aby istnia la taka funkcja F : D → R, ˙ze dla ka˙zdego punktu

, y

) ∈ D funkcja liniowa P (x

, y

) x + Q(x

, y

) y jest r´

o˙zniczk

a zupe ln

F w (x

, y

), potrzeba i wystarcza, aby w prostok

acie D spe lnione by lo

r´

ownanie

0
x

Definicja 17.1 Obszar D nazywamy jednosp´

ojnym, je˙zeli dla dowolnej krzy-

wej zamkni

etej Γ zawartej w D obszar ograniczony krzyw

a Γ zawiera l si

w D. W przypadku obszar´

ow ograniczonych poj

ecie jednosp´

ojno´

sci charak-

teryzuje si

e latwiej: obszar jest jednosp´

ojny, gdy jest jego dope lnienie jest

zbiorem sp´

ojnym.

Okazuje si

e, ˙ze ostatnie twierdzenie da si

e uog´

olni´

c na przypadek, gdy

D jest obszarem jednosp´

ojnym. W po l

aczeniu z tw. 10.2 mamy

Wniosek 17.1 N iech funkcje P i Q oraz ich pochodne P

i Q

a ci

ag le

na obszarze jednosp´

ojnym D. W´

owczas nast

epuj

ace warunki s

a r´

ownowa˙zne:

1. Dla dowolnych A, B ∈ D warto´

s´

P dx + Q dy nie zale˙zy od drogi

ca lkowania.

2. Istnieje taka funkcja F : D → R, ˙ze dla ka˙zdego punktu (x

, y

) ∈ D

funkcja liniowa P (x

, y

) x + Q(x

, y

) y jest r´

o˙zniczk

a zupe ln

a F w

, y

3. P

Ca lka powierzchniowa nieskierowana

Definicja 18.1 Rozwa˙zmy pewien obszar D le˙z

acy na p laszczy´

znie OXY

i pewn

a funkcj

e z = f (x, y), ci

ag l

a, okre´

slon

a na D. Zbi´

or {(x, y, z) : z =

f (x, y)} nazwiemy p latem powierzchniowym. Je˙zeli dodatkowo funkcja f
jest klasy C

, to p lat nazywamy g ladkim albo regularnym. Analogicznie

zdefiniowa´

c mo˙zemy p laty g ladkie dla parametryzacji y = g(x, z) i x =

h(y, z).

Definicja 18.2

• Niech P = [a, b] × [c, d].

• Niech S b

edzie p latem g ladkim o r´

ownaniu z = f (x, y) dla (x, y) ∈ P.

• Niech F : S → R.

• Niech a = x

< x

< · · · < x

= b b

edzie dowolnym podzia lem odcinka

[a, b]. Niech c = y

< y

< · · · < y

= d b

edzie dowolnym podzia lem

odcinka [c, d]. Te podzia ly tworz

a razem podzia l prostok

ata P na n

prostok

at´

ow postaci P

= [x

i−1

, x

] × [y

j−1

, y

], gdzie i, j = 1 . . . n.

• Niech d

oznacza ´

srednic

e prostok

ata P

dla i, j ∈ {1 . . . n}. Liczb

d = max{d

: i, j = 1 . . . n} nazwiemy ´

srednic

a podzia lu.

• Temu podzia lowi odpowiada podzia l p lata S na n

p lat´

ow cz

e´

sciowych

. Oznaczmy przez ∆S

pole powierzchni p lata S

. Niech M

edzie

dowolnym punktem p lata S

• Analogicznie do definicji ca lki Riemanna sum

a ca lkow

a funkcji F zwi

azan

z naszym podzia lem i z wyborem punkt´

ow po´

srednich M

nazwiemy

liczb

i,j∈{1...n}

F (M

)∆S

• Je˙zeli dla dowolnego ci

agu podzia l´

ow, kt´

orego ´

srednice d

a˙z

a do 0, i

przy dowolnym wyborze punkt´

ow po´

srednich istnieje granica ci

agu

sum ca lkowych, w´

owczas nazwiemy j

a ca lk

a powierzchniow

a nieskie-

rowan

a z funkcji F na powierzchni S i oznaczymy przez

Z Z

F (x, y, z) dS

Powy˙zsz

a definicj

e latwo mo˙zna uog´

olni´

c na przypadek, w kt´

orym p lat S

jest zdefiniowany nad dowolnym obszarem D. Niech mianowicie P b

edzie do-

wolnym prostok

atem takim, ˙ze P ⊃ D. Dla dowolnego podzia lu prostok

ata

P w sumie ca lkowej b

edziemy uwzgl

ednia´

c tylko te prostok

aty, kt´

ore zawie-

raj

a w sobie punkty obszaru D.

Podstawowe w lasno´

sci ca lki powierzchniowej nieskierowanej:

Twierdzenie 18.1 (liniowo´

s´

c ze wzgl

edu na funkcj

e podca lkow

Z Z

(F (x, y, z) + G(x, y, z)) dS =

Z Z

F (x, y, z) dS +

Z Z

G(x, y, z) dS,

Z Z

c · F (x, y, z) dS = c ·

Z Z

F (x, y, z) dS

o ile ca lki po prawej stronie istniej

Twierdzenie 18.2 (addytywno´

s´

c wzgl

edem p lata) Je˙zeli p lat g ladki S da

e przedstawi´

c jako suma p lat´

ow S

i S

, przy czym cz

e´

sci

a wsp´

oln

a S

jest krzywa g ladka K, to

Z Z

F (x, y, z) dS =

Z Z

F (x, y, z) dS

Z Z

F (x, y, z) dS

Twierdzenie 18.3 Je˙zeli funkcja F jest ci

ag la na p lacie regularnym S o

r´

ownaniu z = f (x, y) dla (x, y) ∈ D, to

Z Z

F (x, y, z) dS =

Z Z

F (x, y, f (x, y))

1 + (f

(x, y))

+ (f

(x, y))

dx dy