3.5. Badanie funkcji – analiza drugiej pochodnej
(1) Warunek wystarczający ekstremum funkcji
W paragrafie 7.6 poznałeś pierwszy z warunków wystarczających na to, aby funkcja f miała w
punkcie x
0
ekstrema lokalne. Oto drugi z warunków wystarczających:
Twierdzenie
JeŜeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu x
0
pochodną pierwszego rzędu i pochodną
rzędu drugiego ciągłą w punkcie x
0
oraz f’(x
0
) = 0 i f’’(x
0
)
≠
0,
to funkcja f ma w punkcie x
0
:
a) maksimum lokalne, gdy f’’(x
0
) < 0,
b) minimum lokalne, gdy f’’(x
0
) > 0.
Praktyczna reguła
Aby wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji róŜniczkowalnej f wystarczy:
•
ustalić dziedzinę D
f
funkcji f,
•
wyznaczyć jej pochodne
f
′
, f’’,
•
rozwiązać równanie
( )
0
=
′
x
f
,
•
jeśli równanie to nie ma rozwiązań, to funkcja
f
nie posiada ekstremów lokalnych,
•
gdy istnieją rozwiązania tego równania, wtedy ustalić, które z nich naleŜą do dziedziny
D
f
funkcji f, wybrać te rozwiązania,
•
obliczyć wartość pochodnej rzędu drugiego f ‘’ dla kaŜdego argumentu x
0
, który jest
rozwiązaniem równania f ’(x) = 0,
•
zinterpretować otrzymaną liczbę:
a) jeśli f’’ (x
0
)
≠
0, wówczas w x
0
funkcja ma ekstremum lokalne (ustalić, czy jest to
maksimum, czy minimum lokalne oraz wyznaczyć jego wartość f( x
0
) ),
b) jeśli f’’ (x
0
) = 0, wówczas naleŜy posłuŜyć się innymi twierdzeniami w celu
wyznaczenia ekstremów lokalnych funkcji.
Przykład 1.
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem f(x) =
1
2
2
+
x
x
.
Rozwiązanie
1) Dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych; D
f
= R.
2) Funkcja f’ pochodna funkcji f wyraŜa się wzorem f’(x) =
2
2
2
)
1
(
)
1
(
2
+
−
x
x
; dziedziną tej pochodnej
jest równieŜ zbiór liczb rzeczywistych; D
f ’
= R.
3) Mamy f’(x) = 0
⇔
1 – x
2
= 0
⇔
x = 1 lub x = -1 .
Miejscami zerowymi pochodnej są liczby 1, -1.
4) Druga pochodna funkcji f wyraŜa się wzorem f’’(x) =
3
2
2
)
1
(
)
3
(
4
+
−
−
x
x
x
. Jest ona funkcją
ciągłą w całym zbiorze liczb rzeczywistych.
5) PoniewaŜ f’’(1) < 0 i f’’(- 1) > 0 , zatem funkcja f ma:
a) maksimum w punkcie 1 równe f(1) = 1,
b) minimum w punkcie -1 równe f(-1) = -1.
(2) Wypukłość i wklęsłość krzywej
Definicja
Niech funkcja
f
będzie róŜniczkowalna w przedziale
( )
b
a,
i niech
f
′
będzie ciągła
w kaŜdym punkcie
( )
b
a,
.
•
Mówimy, Ŝe
f
jest funkcją
wypukłą w
( )
b
a,
, gdy wykres
f
połoŜony jest nad styczną
poprowadzoną do wykresu
f
w dowolnym punkcie wykresu mającego pierwszą
współrzędną naleŜącą do tego przedziału.
Mówimy równieŜ, Ŝe krzywa o równaniu y = f(x) jest wypukła w przedziale (a, b).
•
Mówimy, Ŝe
f
jest
wklęsła w
( )
b
a,
, gdy wykres
f
leŜy pod styczną poprowadzoną do
wykresu
f
w dowolnym punkcie wykresu mającego pierwszą współrzędną naleŜącą do
tego przedziału.
Mówimy równieŜ, Ŝe krzywa o równaniu y = f(x) jest wklęsła w przedziale (a, b).
Rysunki przedstawiają krzywe wypukłą i wklęsłą w przedziale (a, b).
a x
0
b a x
0
b
Funkcja wypukła w
( )
b
a,
. Funkcja wklęsła w
( )
b
a,
.
Twierdzenie
a) JeŜeli
( )
0
>
′′
x
f
dla kaŜdego
( )
b
a
x
,
∈
, to funkcja
f
jest wypukła w
( )
b
a,
,
b) JeŜeli
( )
0
<
′′
x
f
dla kaŜdego
( )
b
a
x
,
∈
, to funkcja
f
jest wklęsła w
( )
b
a,
.
Zachowanie się funkcji
f
w zaleŜności od znaków pierwszej i drugiej pochodnej ilustruje
tabelka.
( )
x
f
′
( )
x
f
′′
WARTOŚĆ FUNKCJI
f
SYMBOL GRAFICZNY
+
+
rośnie coraz szybciej
+
-
rośnie coraz wolniej
-
+
maleje coraz wolniej
-
-
maleje coraz szybciej
Przykład 2.
Funkcja Z dana jest wzorem
( )
50
36
6
2
3
+
+
+
−
=
q
q
q
q
Z
, dla
0
≥
q
.
Wykorzystując własności pierwszej i drugiej pochodnej, omów własności tej funkcji.
f(x
0
)
y
y
f(x
0
)
y=f(x)
P
0
x
x
Rozwiązanie
Zgodnie z załoŜeniem dziedziną D
Z
funkcji Z jest przedział [ 0,
∞
)
Mamy
( )
36
12
3
2
+
+
−
=
′
q
q
q
Z
, stąd
( )
6
lub
2
0
12
4
0
36
12
3
0
2
2
=
−
=
⇔
=
+
+
−
⇔
=
+
+
−
⇔
=
′
q
q
q
q
q
q
q
Z
( )
(
)
),
6
,
0
[
)
,
0
[
6
,
2
0
=
∞
∩
−
∈
⇔
>
′
q
q
Z
bo D
Z
= [ 0,
∞
).
( )
(
)
)
,
6
(
)
,
0
[
]
,
6
)
2
,
[(
0
∞
=
∞
∩
∞
∪
−
−∞
∈
⇔
<
′
q
q
Z
.
Natomiast
( )
12
6
+
−
=
′′
q
q
Z
, dla
0
≥
q
, więc
( )
(
)
+∞
∈
⇔
<
′′
,
2
0
q
q
Z
,
( )
( )
2
,
0
0
∈
⇔
>
′′
q
q
Z
.
Wyniki obliczeń przedstawiamy schematycznie:
Z
′′
+
-
-
Z
′
+
+
-
0 2 6
Z przeprowadzonego rozumowania wynika, Ŝe:
•
dla
( )
2
,
0
∈
q
funkcja Z rośnie coraz szybciej,
•
dla
( )
6
,
2
∈
q
funkcja Z rośnie coraz wolniej,
•
dla
(
)
+∞
∈
,
6
q
funkcja Z maleje coraz szybciej,
•
funkcja Z ma maksimum w 6 równe 266.
Definicja
Punkt P = (x
0
, f(x
0
)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy,
gdy w punkcie P „zmienia się” wypukłość wykresu funkcji f.
Praktyczna reguła
Aby wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji f róŜniczkowalnej wystarczy:
•
ustalić dziedzinę funkcji f,
•
obliczyć drugą pochodną funkcji f,
•
wyznaczyć te argumenty funkcji f, dla których pochodna f ’’ jest 0, czyli rozwiązać
równanie f ’’(x) = 0,
•
zbadać znak pochodnej f ’’ w pewnym otoczeniu kaŜdego argumentu x
0
, który jest
rozwiązaniem równania f ’’(x) = 0, czyli rozwiązać nierówności f ’’(x) > 0,
f ’’(x) < 0 w otoczeniu punktu x
0
,
•
zinterpretować otrzymany rezultat:
a) jeśli w otoczeniu punktu x
0
pochodna f ’’ zmienia znak, wówczas w x
0
wykres
funkcji f ma punkt przegięcia,
b) jeśli w otoczeniu punktu x
0
pochodna f ’’ nie zmienia znaku, wówczas w x
0
funkcja
f nie ma punktu przegięcia.
Zadania do samodzielnego rozwiązywania
Zadanie 1.
Ustal przedziały wypukłości (wklęsłości) wykresu funkcji f, gdy:
a) f(x) = x
4
–6 x
2
– 6x + 1, b) f(x) = 4 x
2
+ x
-1
, c) f(x) = x
-1
ln x,
d) f(x) =
2
1
1
x
−
, e) f(x) =
2
)
1
(
1
2
x
x
−
−
.
Zadanie 2.
Wyznacz punkty przegięcia wykresu funkcji f, gdy:
a) f(x) = 0,25x
4
– x
3
- 2 x
2
– 6x + 1, b) f(x) = x
3
1
−
x
, c) f(x) = x + e
2x
,
d) f(x) =
2
1
x
x
+
, e) f(x) =
x
x
−
1
3
.
Zadanie 3.
Wyznacz przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f danej wzorem
( )
x
x
x
f
ln
2
−
=
.
Odpowiedzi
Zad. 1.: a) wypukły w ( -
∞
, -1), (1,
∞
), wklęsły w (-1,1) , b) wypukły w ( -
∞
, -
3
4
1
),
(0,
∞
), wklęsły w (-
3
4
1
, 0), c) wypukły w ( 0, e
-1,5
), wklęsły w (e
-1,5
,
∞
),
d) wypukły w (-1,1), wklęsły w ( -
∞
, -1), (1,
∞
), e) wypukły w (1,
∞
),
(- ½ ,1), wklęsły w ( -
∞
, - ½ ).
Zad. 2.: a) punkty przegięcia A = (0,1), B = (2, -15) , b) punkty przegięcia A = (1,0),
B = (1,5;
3
16
3
) , c) nie ma , d) punkty przegięcia A = (
3
; 0,25
3
),
B = (-
3
; -0,25
3
), e) punkt przegięcia A = (0,0).
Zad. 3.: D
f
= (0,
∞
) ; wypukła w całej dziedzinie.