1. Równość która pojawiła się na ćwiczeniach:

φ

=

⇒

⊂

B

A

B

A

\

Dowód nie wprost: zakładamy,

ż

e ró

ż

nica A\B NIE jest zbiorem pustym. Wtedy

B

x

A

x

x

B

A

x

B

A

∉

∧

∈

∃

⇔

∈

∃

⇔

≠

:

\

\

φ

Ale z definicji inkluzji zbiorów mamy

B

x

A

x

B

x

A

x

B

A

∈

∧

∈

⇔

∈

⇒

∈

⇔

⊂

)

(

co daje nam sprzeczno

ść

B

x

B

x

∉

∧

∈

a to ko

ń

czy dowód nie wprost.

2. I prawo de Morgana dla zbiorów:

Niech T b

ę

dzie zbiorem indeksów a X przestrzeni

ą

. Wtedy

'

)'

(

U

I

T

t

t

T

t

t

A

A

∈

∈

=

Udowodnimy to prawo pokazując, że

)

)'

(

'

(

)

'

)'

((

I

U

U

I

T

t

t

T

t

t

T

t

t

T

t

t

A

A

A

A

∈

∈

∈

∈

⊂

∧

⊂

co wynika z definicji równości zbiorów:

)

(

)

(

A

B

B

A

B

A

⊂

∧

⊂

⇔

=

Pokażemy, że jeśli x należy do lewej strony równości to musi należeć też do prawej:

U

I

I

I

T

t

t

t

t

T

t

t

T

t

t

T

t

t

A

x

A

x

X

x

A

x

T

t

X

x

A

x

X

x

A

X

x

A

x

∈

∈

∈

∈

∈

⇔

∈

∧

∈

⇔

∉

∈

∃

∧

∈

⇔

⇔

∉

∧

∈

⇔

∈

⇔

∈

'

'

:

)

(

\

)'

(

0

0

0

3. II prawo de Morgana:

Przyjmujemy T, X, jak w poprzednim przykładzie. Wtedy

'

)'

(

I

U

T

t

t

T

t

t

A

A

∈

∈

=

Dowód przeprowadzamy jak poprzednio:

'

'

\

)'

(

I

U

U

U

T

t

t

t

t

T

t

t

T

t

t

T

t

t

A

x

T

t

A

x

X

x

T

t

A

x

X

x

A

x

X

x

A

X

x

A

x

∈

∈

∈

∈

∈

⇔

∈

∀

∈

∧

∈

⇔

⇔

∈

∀

∉

∧

∈

⇔

∉

∧

∈

⇔

∈

⇔

∈

Jacek Podlewski