1

Ruch bryły sztywnej,

dynamika ruchu obrotowego

OPIS RUCHU BRYŁY SZTYWNEJ

Brył

ą

sztywna nazywamy zbiór punktów materialnych (niesko

ń

czenie wielu),

których wzajemne poło

ż

enie nie zmienia si

ę

pod wpływem działaj

ą

cych sił.

c

n

i

i

m

m

∑

=

∆

=

1

i

sm

r

R

c

m

dm

∫

=

r

R

sm

-dla układu punktów materialnych

-dla bryły sztywnej

m

m

=

i

N

=1

i

i

N

=1

i

 

∑

∑

r

R

i

sm

.

1

zewn

n

i

i

sm

M

F

F

a

=

=

∑

=

Ruch bryły sztywnej mo

ż

na rozło

ż

y

ć

 na:

ruch post

ę

powy

ś

rodka masy i ruch obrotowy

Ś

rodek masy układu punktów materialnych porusza si

ę

 w taki sposób, jakby cała masa 

układu była skupiona w 

ś

rodku masy i jakby wszystkie siły zewn

ę

trzne na

ń

 działały.

Ruch post

ę

powy:

Ś

rodek masy:

2

Ruch obrotowy  (przypadek szczególny L||

ω

ω

ω

ω

)

Dla elementarnej masy 

∆

m

i  

:

i

i

i

F

r

M

×

=

i

i

i

p

r

L

×

=

- moment p

ę

du:

- moment siły:

t

i

i

d

d L

M

=

i

i

i

i

ω

r

ω

r

⊥

=

=

θ

sin

v

Ruch obrotowy  (przypadek szczególny L||

ω

ω

ω

ω

)

Dla elementarnej masy 

∆

m

i  

:

i

i

i

F

r

M

×

=

i

i

i

p

r

L

×

=

- moment p

ę

du:

- moment siły:

t

i

i

d

d L

M

=

moment
bezwładno

ś

ci:

∑

∆

=

⊥

i

m

r

I

i

i

2

∫

=

m

r

I

d

2

ω

L

Ι

=

ω

ω

θ

θ

θ













∆

=

∆

=

∆

=

=

∆

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

⊥

⊥

⊥

⊥

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

m

r

r

r

m

r

m

r

m

p

r

L

L

L

2

||

)

(

sin

sin

sin

v

v

Dla całej bryły - obrót wokół osi (zakładaj

ą

c L||

ω

ω

ω

ω

):

i

i

i

i

ω

r

ω

r

⊥

=

=

θ

sin

v

3

Ruch obrotowy ogólnie

Dla ka

ż

dej bryły sztywnej mo

ż

na zdefiniowa

ć

 trzy prostopadłe osie, zwane głównymi 

osiami bezwładno

ś

ci.

• Moment bezwładno

ś

ci ciała wzgl

ę

dem jednej z tych osi jest maksymalny, wzgl

ę

dem 

drugiej jest minimalny, za

ś

wzgl

ę

dem trzeciej – ma warto

ść

po

ś

redni

ą

: I

I

≥

I

II

≥

I

III

,

• Je

ś

li ciało ma kształt symetryczny główne osie bezwładno

ś

ci s

ą

tak

ż

e osiami symetrii 

ciała.









































=





















⇔

=

z

y

x

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

z

y

x

I

I

I

I

I

I

I

I

I

L

L

L

ω

ω

ω

ω

I

L

ˆ

ω

L ||

ogólnie gdy:

z

zz

y

zy

x

zx

z

z

yz

y

yy

x

yx

y

z

xz

y

xy

x

xx

x

I

I

I

L

I

I

I

L

I

I

I

L

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

=

+

+

=

+

+

=

Ruch obrotowy wokół osi głównych

1)

W ogólnym przypadku L nie jest równoległy
do 

ω

ω

ω

ω

.

2)    L jest równoległy do 

ω

ω

ω

ω

wówczas, gdy osią

obrotu jest jedna z głównych osi 
bezwładności (wtedy:

gdzie 

I

jest 

wartością skalarną).

ω

L

Ι

=

Kiedy L jest równoległy do 

ω

ω

ω

ω

?









































=





















⇔

=

z

y

x

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

z

y

x

I

I

I

I

I

I

I

I

I

L

L

L

ω

ω

ω

ω

I

L

ˆ









































=





















'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

0

0

0

0

0

0

z

y

x

z

z

y

y

x

x

z

y

x

I

I

I

L

L

L

ω

ω

ω

Transformujemy tensor     do układu, którego osie współrz

ę

dnych (x’,y’,z’) s

ą

 równoległe 

do osi głównych bezwładno

ś

ci:

Iˆ

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

I

L

I

L

I

L

ω

ω

ω

=

=

=

4

Przykład:

liczenie momentu bezwładno

ś

ci pr

ę

ta o masie M i długo

ś

ci L.

Moment bezwładno

ś

ci elementu 

o masie dm wynosi x

2

dm

∫

∑

−

=

=

2

/

2

/

2

2

d

d

L

L

i

i

i

m

x

m

x

I

x

L

m

m

c

d

d

=

je

ż

eli pr

ę

t ma stał

ą

 g

ę

sto

ść

:

12

3

d

2

2

/

2

/

3

2

/

2

/

2

L

m

x

L

m

x

x

L

m

I

c

L

L

c

L

L

c

=

=

=

−

−

∫

Przykładowe momenty bezwładno

ś

ci wokół osi głównych

5

2

d

m

Ι

Ι

c

S

+

=

Twierdzenie Steinera:

Ruch obrotowy  (przypadek szczególny L||

ω

ω

ω

ω

i M|| 

ω

ω

ω

ω

)

t

d

d L

M

=

II zas. dynamiki Newtona dla 
ruchu obrotowego ogólnie 
spełniona

ε

ω

ω

L

M

I

t

I

t

I

t

=

=

=

=

d

d

d

)

d(

d

d

ε

M

I

=

Je

ś

li:

to:

ω

M ||

ω

L

Ι

=

oraz

6

Znajd

ź

 przyspieszenie liniowe klocka o masie m, przyspieszenie k

ą

towe

bloczka oraz napr

ęż

enie nici. Dane s

ą

 masa bloczka M i jego promie

ń

 R. (Wszelkie 

opory i tarcie pomijamy). 

2

2

1

MR

Moment bezwładno

ś

ci bloczka wynosi

M

m

m

g

M

m

mg

R

I

m

mg

a

+

=

+

=

+

=

2

2

2

2

M

m

mM

g

R

I

N

+

=

=

2

ε

M

m

m

R

g

+

=

2

2

ε

Ruch postępowy

Ruch obrotowy

ε

I

RN

M

wyp

=

=

ma

N

mg

F

wyp

=

−

=

R

a

=

ε

związek miedzy ruchem

postępowym i obrotowym

II zasada

dynamiki

Newtona

Przykład (1):

ma

R

I

mg

=

−

ε

ma

R

Ia

mg

=

−

2

PRZYKŁADY RUCHU BRYŁY SZTYWNEJ

Przykład ruchu (3): Toczenie si

ę

 (bez po

ś

lizgu) po równi pochyłej 

– równania ruchu

Toczenie bez po

ś

lizgu:

R

a

ε

=

ma

T

mg

=

−

θ

sin

ruch post

ę

powy

ruch obrotowy

R

a

I

I

RT

M

SM

SM

=

=

=

ε

.

θ

sin

3

2

g

a

=

np. dla walca:

2

/

sin

R

I

m

mg

a

SM

+

=

θ

2

R

a

I

T

SM

=

7

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

2

2

2

2

2

1

)

(

2

1

2

1

ω

∆

ω

∆

∆

∑

∑

∑













=

=

=

⊥

⊥

i

i

i

i

i

i

i

i

i

k

r

m

r

m

m

E

v

2

2

1

ω

I

E

k

=

•przypadek szczególny, gdy wektor 

ω

ω

ω

ω

jest równoległy do 

jednej z osi głównych bezwładno

ś

ci (czyli 

L

||

ω

ω

ω

ω

):

)

(

2

1

2

'

'

'

2

'

'

'

2

'

'

'

z

z

z

y

y

y

x

x

x

k

I

I

I

E

ω

ω

ω

+

+

=

•ogólnie, gdy wektor 

ω

ω

ω

ω

nie jest równoległy do 

ż

adnej z osi 

głównej (x’,y’,z’ s

ą

 głównymi osiami bezwładno

ś

ci):

Przykład ruchu (4): Toczenie si

ę

 (bez po

ś

lizgu) po równi pochyłej 

– zasada zachowania energii

ruch post

ę

powy

ruch obrotowy

2

2

1

SM

kp

m

E

v

=

R

ω

=

v

2

2

1

ω

I

E

SM

ko

=

2

2

2

1

2

1

ω

SM

SM

I

m

mgh

+

=

v

Toczenie bez po

ś

lizgu

np. dla walca

Z zasady zachowania energii

gh

SM

3

4

=

v

2

/

2

R

I

m

mgh

SM

SM

+

=

v

8

Ruch post

ę

powy

Ruch obrotowy

2

2

1

d

d

v

m

E

m

t

m

m

k

=

=

=

=

a

F

p

F

F

v

p

a,

v,

r,

2

2

1

d

d

,

Iω

E

I

t

Ι

I

k

=

=

=

×

=

=

×

=

ε

M

L

M

F

r

M

ω

L

p

r

L

ε,

ω,

,

ϕϕϕϕ

przypadek szczególny, 

L

||

ω

ω

ω

ω

oraz 

M

||

εεεε

Analogie ruchu obrotowego do ruchu post

ę

powego

const.

0

d

d

=

⇒

=

=

L

L

M

t

const.

=

=

ω

ωω

ω

Ι

L

KONSEKWENCJE ZASADY ZACHOWANIA 
MOMENTU PĘDU I DRUGIEJ ZASADY DYNAMIKI
DLA RUCHU OBROTOWEGO

9

1. Swobodny obrót wokół osi nierównoległej do 

ż

adnej z osi głównych

const.

=

L

0

=

M

Precesja „b

ą

ka swobodnego”

•Ziemia nie jest idealna kulą i nie obraca się wokół 
osi głównej. Dlatego jej oś obrotu podlega precesji.
•Zmiany położenia osi obrotu,są bardzo niewielkie 
(ok. 15 m).
•Okres obiegu wynosi średnio ok. 427 dni.

Precesja osi obrotu Ziemi:

4

2

'

'

R

m

I

I

c

y

x

=

=

2

2

'

R

m

I

c

z

=

2. Stała wymuszona o

ś

 obrotu

const.

≠

L

const.

d

d

≠

=

t

L

M

Obrót pręta wokół osi nieswobodnej (po lewej) i swobodnej (po prawej)

Obrót wokół osi nieswobodnej: Gdy za pomocą łożysk ustalimy w przestrzeni oś obrotu (narzucimy 
na nią więzy), wektor momentu pędu będzie dążył do zmiany orientacji; spowoduje to powstanie sił 
oddziaływania między osią a łożyskami. Momenty sił reakcji łożysk spowodują precesję wektora L.
Obrót wokół osi swobodnej: Nie potrzeba łożysk ponieważ momenty sił są zerowe. 

W układzie obracającym się siła odśrodkowa dąży do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi 
obrotu (maksymalny moment bezwładności). Stabilny jest stan odpowiadający zerowemu 
momentowi sił odśrodkowych a tym samym zerowym siłom reakcji łożysk.

10

g

r

M

m

×

=

θ

θ

ϕ

ω

sin

1

sin

L

M

t

L

L

t

p

=

∆

∆

≅

∆

∆

=

∆

t

∆

L

M

=

θ

ω

sin

L

M

p

=

L

ω

M

×

=

p

Zjawisko precesji momentu magnetycznego jest podstaw

ą

 ró

ż

nych technik 

do

ś

wiadczalnych jak np. magnetyczny rezonans j

ą

drowy (NMR) 

Precesja b

ą

ka pod wpływem siły ci

ęż

ko

ś

ci

3. Precesja pod wpływem działaj

ą

cego momentu siły

kolejka

ω

ω

I

mgr

L

mgr

p

=

=

θ

sin

mgr

M

=

Precesja osi Ziemi spowodowana momentem siły grawitacyjnej

Ziemia nie jest b

ą

kiem swobodnym. 

Niejednorodno

ś

ci pola grawitacyjnego w 

którym si

ę

 porusza (niezerowy moment sił 

grawitacji) powoduj

ą

 precesj

ę

 astronomiczn

ą

 

wektora momentu p

ę

du (w przybli

ż

eniu 

równoległ

ą

 do osi obrotu Ziemi 

*

). Okres 

precesji wynosi ok. 26 000 lat.

Dodatkowo pole grawitacyjne zmienia si

ę

 w 

czasie (wpływ Ksi

ęż

yca) co powoduje nutacj

ę

.

* 

uwaga w punkcie 1. opisano niewielk

ą

 precesj

ę

 osi obrotu Ziemi wokół kierunku wektora 

momentu p

ę

du (

Ziemia nie jest idealna kulą i nie obraca się wokół osi głównej)

11

Ż

yroskop

Je

ś

li 

ż

yroskop jest w równowadze przy L = 0 to 

b

ę

dzie tak

ż

e w równowadze dla L

≠

0.

Jak zachowa si

ę

 

ż

yroskop gdy zwi

ę

kszymy lub 

zmniejszymy przeciwwag

ę

?

kompas

horyzont

Cz

ę

sto

ść

 precesji 

(podobnie jak dla 
b

ą

ka): 

o

90

=

θ

jest proporcjonalna do 
odj

ę

tej/ dodanej masy m.

ω

ω

I

mgr

L

mgr

p

=

=

Żyroskop  - sztuczny horyzont.

12

Rower

Kolejka jednoszynowa

13

(

)

(

)

[

]

∑

∑

∑

∑

×

×

∆

=

∆

×

=

×

=

=

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

m

m

r

ω

r

v

r

p

r

L

L

i

i

r

ω

v

×

=

(

) (

) (

)

B

A

C

C

A

B

C

B

A

•

−

•

=

×

×

(

)

(

)

[

]

∑

•

−

⋅

∆

=

i

i

i

i

i

r

m

ω

r

r

ω

L

2

(

)

(

)

[

]

∑

+

+

−

∆

=

i

z

i

y

i

x

i

i

i

i

z

y

x

r

m

ω

ω

ω

r

ω

L

2

















∆

−

∆

−

∆

−

∆

=

∆

−

∆

−

∆

−

∆

=

∆

−

∆

−

∆

−

∆

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

i

i

i

i

i

i

z

i

i

i

y

i

i

i

x

i

i

z

z

i

i

i

i

i

i

i

z

i

i

y

i

i

i

x

i

i

y

y

i

i

i

i

i

i

i

z

i

i

i

y

i

i

x

i

i

x

x

z

m

y

z

m

x

z

m

r

m

L

z

y

m

y

m

x

y

m

r

m

L

z

x

m

y

x

m

x

m

r

m

L

2

2

2

2

2

2

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

(

)

xz

xy

xx

I

i

i

i

i

z

I

i

i

i

i

y

I

i

i

i

i

x

x

z

x

m

y

x

m

x

r

m

L

∑

∑

∑

∆

−

∆

−

−

∆

=

ω

ω

ω

2

2

(

)

(

)

∑

∑

+

∆

=

−

∆

=

i

i

i

i

i

i

i

i

xx

z

y

m

x

r

m

I

2

2

2

2

2

2

2

2

i

i

i

i

z

y

x

r

+

+

=

∑

∆

−

=

=

i

i

i

i

yx

xy

y

x

m

I

I

(

)

(

)

∑

∑

+

∆

=

−

∆

=

i

i

i

i

i

i

i

i

yy

z

x

m

y

r

m

I

2

2

2

2

(

)

(

)

∑

∑

+

∆

=

−

∆

=

i

i

i

i

i

i

i

i

zz

y

x

m

z

r

m

I

2

2

2

2

∑

∆

−

=

=

i

i

i

i

yz

zy

y

z

m

I

I

∑

∆

−

=

=

i

i

i

i

zx

xz

z

x

m

I

I









































=

=

z

y

x

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

I

I

I

I

I

I

I

I

I

ω

ω

ω

ω

I

L

ˆ

ω

L ||

ogólnie:

UZUPEŁNIENIE – WYPROWADZENIE ZWI

Ą

ZKU

(NADOBOWI

Ą

ZKOWO !)

ω

I

L

ˆ

=