Egzamin 

– teoria 

 

 

 

 

 

 

 

 

rok 2008/2009 

 

 

Zadanie 1:

 

Podać kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregu liczbowego. Zbadać, czy szereg  

 

    

 

 

   

 

 

   

 

   

 

 

 

 

 

jest zbieżny. 

 

Rozwiązanie:

  

 

Kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregu liczbowego: 

Niech dany będzie szereg o wyrazach dowolnych   

 

 

 

   

.  

Jeżeli   

   

   

   

 

 

 

        , to szereg  

 

 

 

   

 

jest BEZWZGLĘDNIE ZBIEŻNY. 

Jeżeli  

   

   

   

 

 

 

       , to szereg jest ROZBIEŻNY. 

Jeżeli granica ta wynosi 1, to należy zastosować inne kryterium. 
 

 

    

 

 

   

 

   

 

     

 

 

 

 

       

 

 

 

 

   

 

A więc,  

     

 

 

 

   

 

   

 

    

 

 

   

 

   

 

   

 

 

 

 

, z kryterium Cauchego 

   

   

 

 

 

   

 

   

 

 

 

 

 

     

   

 

 

   

 

 

  

   

 

 

 

       

   

 

 
 

 

 

 
 

      

 
 

   

 
 

     

   

     

 

 
 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

      

  

     

 

 

 

 

 

   

 

jest zbieżny, więc  

    

 

 

 

 

   

 jest 

bezwzględnie zbieżny

. 

 
 
 
 

Zadanie 2:

 

Podać twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda o promieniu zbieżności szeregu potęgowego. 

Promień zbieżności szeregu  

      

 

 

 

     

 

  

   

 

jest równy R=4. Narysować przedział zbieżności tego szeregu, 

z

badać zbieżność (i określić jej rodzaj) szeregu w lewym krańcu przedziału zbieżności. 

 

Rozwiązanie:

  

 

Tw. Cauchego-

Hadamarda o promieniu zbieżności. 

Jeżeli dla szeregu potęgowego   

 

 

 

   

 

 

 

istnieje granica (skończona lub nie): 

   

   

   

 

 

 

    lub    

   

 

 

   

 

 

     , 

to promień zbieżności tego szeregu wynosi:  

     

 
 

                                    

                          

                 

  

 
 

 

        

 

 

 

         

 

   

   

 

 

       

 

 

 

         

 

   

   

       

 

 

 

         

 

   

 

 
X+4+0 

  x=-4, promień zbieżności R=4, więc 

przedział zbieżności (-4-R, -4+R)=(-8,0)

  

 

Z

bieżność dla    x=-8:

  

      

 

 

 

      

 

   

   

    

 

     

 

   

   

    

 

 

 

 

   

,  

 

 

 

 

     

, 

   

   

 

 

  

 

 

   ,   

 

   

 

            

 

więc a

n

 maleje. 

Z 

kryterium Leibniza wynika więc, że  

    

 

 

 

 

   

 

jest zbieżny. 

      

 

 

 

   

 

   

 

 

       

 

 

   

 

 

 

       

   

 

   

 

 

 

 

   

 

   

 

 

  

   

 

 

 

 

 

   

                             

 

 

 

 

   

 

                   

 

 

 

Zadanie 3:

 

Podać własności dystrybuanty rozkładu zmiennej losowej typu ciągłego. Dla jakich wartości 

parametru A  

        

                            

 
 

 

 

                

                           

  

Jest dystrybuantą zmiennej losowej typu ciągłego? 
 
 

Rozwiązanie:

  

 

 

 

   

   

 

          

   

 

 
 

 

 

          

 

   

   

 

           

   

 

                

 
 

 

 

   

 

                            

 

 

 

 

 

          

      

 

 
 
 
Zadanie 4:

 

Zmienna losowa X ma rozkład N(1,4). Za pomocą tablic oblicz P(-1<X<7). Podać wartość 

oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y=3X-4. Jaki rozkład ma zmienna losowa Y? 
 

Rozwiązanie:

 

 

                                       

 
 

 

     

 

 

 
 

    

     

 
 

        

 
 

       

 
 

            

 
 

        

 
 

       

 
 

        

                       

       

 - 

wartość odczytujemy z tablic dystrybuanty   rozkładu normalnego  N(0, 1)  

(

właśnie taki rozkład ma zmienna 

 

   

 

 ) 

 
                                      

  

 

 

 

     

 

             

 

            

   

 

Zatem odchylenie standardowe 

 

        

  

 

czyli zmienna Y ma rozkład 

         

 

 

 

 
 
 

Zadanie 5:

 

Podać założenia i tezę twierdzenia Greena. 

 

Rozwiązanie:

 

 

 
Założenia: 



 

Obszar domknięty  

     

 

 

jest normalny względem obu osi układu. 



 

Brzeg L obszaru D jest łukiem zorientowanym dodatnio. 



 

Pole wektorowe 

  =      , jest różniczkowalne w sposób ciągły na D 

 

Teza:  

                 

  

  

 

 

 

 

 

  
  

      

 

Autor:

 

Magda Słowińska

 

grupa

 

10

 
 

30.01.2014