Egzamin

– teoria

rok 2008/2009

Zadanie 1:

Podać kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregu liczbowego. Zbadać, czy szereg

jest zbieżny.

Rozwiązanie:

Kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregu liczbowego:

Niech dany będzie szereg o wyrazach dowolnych

.

Jeżeli

, to szereg

jest BEZWZGLĘDNIE ZBIEŻNY.

Jeżeli

, to szereg jest ROZBIEŻNY.

Jeżeli granica ta wynosi 1, to należy zastosować inne kryterium.

A więc,

, z kryterium Cauchego

jest zbieżny, więc

jest

bezwzględnie zbieżny

.

Zadanie 2:

Podać twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda o promieniu zbieżności szeregu potęgowego.

Promień zbieżności szeregu

jest równy R=4. Narysować przedział zbieżności tego szeregu,

z

badać zbieżność (i określić jej rodzaj) szeregu w lewym krańcu przedziału zbieżności.

Rozwiązanie:

Tw. Cauchego-

Hadamarda o promieniu zbieżności.

Jeżeli dla szeregu potęgowego

istnieje granica (skończona lub nie):

lub

,

to promień zbieżności tego szeregu wynosi:

X+4+0

x=-4, promień zbieżności R=4, więc

przedział zbieżności (-4-R, -4+R)=(-8,0)

Z

bieżność dla x=-8:

,

,

,

więc a

n

maleje.

Z

kryterium Leibniza wynika więc, że

jest zbieżny.

Zadanie 3:

Podać własności dystrybuanty rozkładu zmiennej losowej typu ciągłego. Dla jakich wartości

parametru A

Jest dystrybuantą zmiennej losowej typu ciągłego?

Rozwiązanie:

Zadanie 4:

Zmienna losowa X ma rozkład N(1,4). Za pomocą tablic oblicz P(-1<X<7). Podać wartość

oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y=3X-4. Jaki rozkład ma zmienna losowa Y?

Rozwiązanie:

-

wartość odczytujemy z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego N(0, 1)

(

właśnie taki rozkład ma zmienna

)

Zatem odchylenie standardowe

czyli zmienna Y ma rozkład

Zadanie 5:

Podać założenia i tezę twierdzenia Greena.

Rozwiązanie:

Założenia:



Obszar domknięty

jest normalny względem obu osi układu.



Brzeg L obszaru D jest łukiem zorientowanym dodatnio.



Pole wektorowe

= , jest różniczkowalne w sposób ciągły na D

Teza:

Autor:

Magda Słowińska

grupa

10

30.01.2014