Obliczenia strat hydraulicznych w sieciach

W ruchu ustalonym cieczy doskonałej, odbywającym się pod wpływem siły ciężkości,
energia jednostki masy wynosi:

const

2

2







g

w

p

z



[m]

jest to wysokość hydrauliczna – rozporządzalna – H, gdzie:

z

– wysokość położenia (energia położenia),



p

– wysokość ciśnienia (energia ciśnienia),

g

w

2

2

– wysokość prędkości (energia kinetyczna),



– ciężar właściwy [N/m

3

], (



=



g).

W ustalonym przepływie cieczy rzeczywistych przez prostoosiowe przewody o
przekroju kołowym występują straty hydrauliczne (równanie Darcy-Weisbacha):

,

2

2

w

D

L

p









[Pa = N/m

2

]

lub













 gh

w





2

2

:

,

2

2

g

w

D

L

p







[m],

gdzie:



– bezwymiarowy współczynnik strat ciśnienia.

 Przy przepływie laminarnym (Re < 2100) współczynnik ten jest niezależny od
szorstkości rury:









wD

wD







Re

,

Re

64

,

gdzie:



– współczynnik lepkości dynamicznej, [Pas],









– współczynnik lepkości kinematycznej, [m

2

/s].

 Przy przepływie burzliwym (Re = 3000  100000) w rurach gładkich stosowana jest
formuła Blasiusa:

25

,

0

Re

3164

,

0









.

Dla rur szorstkich



zależy ponadto od względnej szorstkości rur



/ D, gdzie



jest

mierzoną w [mm] bezwzględną szorstkością ścian rur.

W ruchu cieczy rzeczywistych wysokość hydrauliczna maleje w kierunku przepływu o
wysokość strat hydraulicznych:

const

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1





















p

g

w

p

z

g

w

p

z

W zapisie bardziej ogólnym:



































J

j

j

I

i

i

N

n

n

n

L

l

l

H

T

g

w

p

g

w

p

z

g

w

p

z

1

1

1

2

1

,

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2









(odcinki (armatura) (turbiny) (pompy)

proste)

Metoda Hardy-Cross’a

Jest to iteracyjna metoda pozwalająca na otrzymanie rozwiązania dla stanu
ustalonego szeregowo-równoległych sieci przepływowych. Podstawą analizy sieci
przepływowych za pomocą tej metody, podobnie jak i innych podejść, jest:
1. Równanie zachowania strumienia objętości (masy) w węźle,
2. Jedność ciśnienia w danym punkcie pętli.

Wykorzystywane jest ponadto nieznacznie zmodyfikowane równanie Darcy-
Weisbacha opisujące spadek ciśnienia:

.

2

2

g

w

D

L

p







[wymiar liniowy – m]

Zapisując powyższe równanie w funkcji strumienia objętości otrzymujemy równanie
nazywane równaniem Hazen-Williamsa:

.

2

1

2

2

A

V

g

D

L

p









Dla rur o przekroju kołowym:

,

8

2

16

2

5

2

2

5

2

V

D

L

g

V

D

L

g

p



















lub zapisując





,

/

8

2

1

g

K





otrzymujemy:

.

2

5

1

V

D

L

K

p









Współczynnik strat tarcia



jest funkcją liczby Reynoldsa (tym samym strumienia

masy, średnicy, gęstości) oraz szorstkości względnej.

Ogólnie straty ciśnienia można zapisać jako:

,

n

V

K

p







gdzie K oraz n wyznaczane są na drodze eksperymentalnej lub przez dopasowanie
krzywej.

Dla wody przepływającej w rurze:

,

852

,

1

852

,

1

8704

,

4

852

,

1

1

V

K

V

D

C

L

k

p











gdzie C jest liczbą bezwymiarową charakteryzującą chropowatość powierzchni (jest to
tzw. współczynnik Hazen-Williamsa).
Współczynnik K wynosi więc (L oraz D należy podawać w ft):

.

8704

,

4

852

,

1

1

D

C

L

k

K 

Typ rury

C

Rura prosta o bardzo dużej gładkości
Nowe, gładkie rury żelazne bez szwu (odlewane)
Nowe rury stalowe (średniej gładkości)
Kamionkowe rury kanalizacyjne
Rury żelazne odlewane, po kilku latach eksploatacji
Rury żelazne odlewane, w złym stanie technicznym

140
130
110
110
100

80

Stała k

1

zależy od wymiaru

V

:

Jednostka

V

k

1

CFS (ft

3

/s)

MGD (milion galonów/dzień)
CMS (m

3

/s)

4,727
10,63

10,466

Dla danej działki K ma wartość stałą i jest obliczana jeden raz. Wcześniejsze
wyznaczenie K oraz n jest niezbędne dla metody Hardy-Cross’a.
Podstawą tej metody jest początkowe założenie zachowania masy w każdym węźle
bez uwzględniania jedności wyznaczania ciśnienia (bez analizy strat ciśnienia).
Jedność ta wykorzystywana jest później w celu wyznaczenia współczynnika
korekcyjnego dla każdej pętli. W ten sposób procedura spełnia zasadę zachowania
masy w każdym węźle, przy czym obliczenia iteracyjne przeprowadzane są z
wykorzystaniem równania jedności ciśnienia (zerowanie się strat ciśnienia w pętli).
Rozważona zostanie sieć przedstawiona na poniższym rysunku (sieć podzielona na

dwie pętle). Strumień objętości w każdej rurze opisany jest przez

j

V

, gdzie „j” jest

numerem rury.

„Dodatnie”

V

oznacza przepływ (zwrot wektora strumienia objętości) zgodny z

założonym „dodatnim” kierunkiem w pętli.

Początkowe przybliżenia

dla wszystkich

j

V

powinny

być przyjęte tak, aby
spełniona była narzucona
zasada zachowania
strumienia objętości w
każdym węźle (indeks
górny oznacza aktualną
iterację lub pierwsze
przybliżenie - „0”;



– sumowanie po

wszystkich działkach
(rurach) danego węzła, dla
których strumienie
objętości są znane lub
założone):

,

0

0









V

(dla danego węzła )

oraz ogólnie dla danej pętli i:

.

0

0

,





j

j

p



Należy obliczyć współczynnik korekcyjny

i

V



dla każdej pętli, tak aby otrzymać

jedność ciśnienia w każdym węźle pętli – zerowanie się strat ciśnienia.

Ujemna wartość

j

V

prowadzi do ujemnej wartości

j

p

,



, tak więc:

 





















0

,

0

,

V

V

K

V

V

K

p

n

n











skąd otrzymujemy:

 























0

,

0

,

d

d

1

1

V

V

nK

V

V

nK

V

p

n

n













Strata ciśnienia spowodowana zmianą V o

V



rozwinięta zostanie w szereg Taylora:





 

 

...

!

2

d

d

d

d

2

2

2

















V

V

p

V

V

p

V

p

V

V

p























Ponieważ iteracja wykazuje zbieżność,

V



dla danej pętli zmniejsza się w kolejnych

iteracjach, wobec czego człony wyższego rzędu można zaniedbać, otrzymując:









 

 











































0

,

0

,

1

1

V

V

V

n

V

K

V

V

V

n

V

K

V

V

p

n

n

n

n























()

Powyższe zależności mogą być teraz wykorzystane do oszacowania współczynnika

korekcyjnego

1

V



niezbędnego do osiągnięcia jedności ciśnienia dla któregokolwiek

węzła w pętli 1.

Z rysunku wynika, że (należy przyjąć konwencję kierunku strzałek):

.

0

oraz

0

,

0

0

2

0

3

0

1







V

V

V







Początkowe przybliżenia

0

j

V

prowadzą do zależności (dla pętli 1):

,

0

0

0

0

2

3

1













p

p

p

przy czym wymagane jest, aby:

0

1

1

1

2

3

1















p

p

p

()

gdzie: górny indeks „1” oznacza kolejną iterację.

Podstawiając () do równania () otrzymujemy:

 

 





 

 

















.

0

1

1

0

2

0

2

2

1

1

0

3

0

3

3

1

1

0

1

0

1

1





























V

V

n

V

K

V

V

n

V

K

V

V

n

V

K

n

n

n

n

n

n



















Następnie wyznacza się współczynnik korygujący

1

V



:

 

 





 

 





,

1

0

2

2

1

0

3

3

1

0

1

1

0

2

2

0

3

3

0

1

1

1

























n

n

n

n

n

n

V

n

K

V

n

K

V

n

K

V

K

V

K

V

K

V















lub używając wartości bezwzględnej (w celu zachowania właściwych znaków p



- takie

same znaki przy



p

V oraz



):

.

1

0

2

2

1

0

3

3

1

0

1

1

1

0

2

0

2

2

1

0

3

0

3

3

1

0

1

0

1

1

1







































n

n

n

n

n

n

V

K

V

K

V

K

n

V

V

K

V

V

K

V

V

K

V





















Dla pętli pierwszej otrzymujemy więc:



















3

1

1

0

3

1

1

0

0

1

j

n

j

j

j

n

j

j

j

V

K

n

V

V

K

V









oraz dla dowolnej pętli i składającej się z J działek:

.

1

1

0

1

1

0

0



















J

j

n

j

j

J

j

n

j

j

j

V

K

n

V

V

K

i

V









()

Algorytm procedury

1. Podział sieci na pętle (oczka). Każda rurka powinna być włączona w co najmniej
jedną pętlę.

2. Oszacowanie zerowania strumieni objętości

0



V

wszystkich działek danego węzła wg

przyjętej konwencji. Oznaczając literą „s” całkowitą liczbę węzłów sieci oraz literą „r”
całkowitą liczbę działek, otrzymamy zawsze r > s. Zapisując równania dla każdego
węzła, otrzymujemy więc więcej niewiadomych niż równań. Należy wobec tego

założyć początkowe wartości dodatkowych strumieni

0



V

w ilości





1



 s

r

. Im

dokładniejsze oszacowanie wartości tych strumieni, tym szybciej osiąga się
zbieżność rozwiązania.

3. Wyznaczenie wartości współczynnika korygującego

i

V



dla każdej pętli oddzielnie

wg zależności ().

4. Obliczenie nowych wartości strumieni objętości dla każdej działki j wchodzącej w
skład:

a) jednej pętli i:

i

j

j

V

V

V













0

1

b) więcej niż jednej pętli (uwzględnia się współczynniki korygujące dla tych pętli):

.

0

1









i

i

j

j

V

V

V







Uogólniona metoda Hardy-Cross’a

Dotychczasowa analiza sieci za pomocą metody Hardy-Cross’a ograniczała się do
tych przypadków, w których jedyną stratą ciśnienia była strata spowodowana tarciem
(współczynnik strat ciśnienia



).

W przypadku sieci krótkich duże znaczenie ma zainstalowana armatura (zawory,
dysze, trójniki, czwórniki, kryzy, kolana itp.), która powoduje miejscowe straty
ciśnienia. Uwzględnienie tych strat realizowane jest często przez dodanie do długości
odcinków prostych tzw. długości zastępczych:

g

w

D

L

g

w

e

2

2

2

2







lub:





D

L

e



.

Są to długości, które powinny powodować takie same spadki ciśnienia, jak
zainstalowana armatura.

Uogólniona metoda Hardy-Cross’a

może być zastosowana do analizy sieci, w

których poszczególne linie zawierają urządzenia powodujące dodatkowe spadki
ciśnienia (wymienniki ciepła, turbiny) lub wzrost ciśnienia (pompy).

Zmiana (spadek lub wzrost) ciśnienia spowodowana dodatkowym urządzeniem „D” na
linii j zależy od strumienia przepływającego płynu:

)

(

,

j

j

D

V

f

p





Zależność funkcyjna może być zapisana za pomocą wielomianu:

m

M

m

jm

j

j

D

V

B

B

p











1

0

,

()

gdzie:
M

– stopień wielomianu,

B

jm

– mogą mieć wartość dodatnią, ujemną lub zerową w zależności od

poszczególnych

urządzeń,

które

będą

opisywane

powyższym

wielomianem.

Spadek ciśnienia na armaturze (urządzeniu) jest opisywany następująco:

2

2

2

,

2

1

2

j

j

j

j

j

j

D

A

V

g

g

w

p











Współczynniki wielomianu () przyjmują wówczas następujące wartości:

2

2

1

0

2

1

,

0

,

0

,

2

j

j

j

j

j

gA

B

B

B

M











Ponieważ wyrażone w ten sposób są „dodatnie” straty ciśnienia dla przepływu w
„dodatnim” kierunku pętli, B

j2

> 0.

Strata ciśnienia spowodowana idealną pompą odśrodkową, z łopatkami odchylonymi
do tyłu, zapisywana jest następująco:





j

j

j

j

D

V

B

B

p



1

0

,







Straty ciśnienia spowodowane przez pompę muszą być mniejsze od zera (znak „-”),
ponieważ pompa przedstawia ujemne straty (tzn. wzrost ciśnienia).

Włączenie zapisu wielomianowego () do metody Hardy-Cross’a daje następującą
zależność na wartości współczynnika korygującego:

 





























































J

j

m

j

M

m

jm

n

j

j

J

j

m

j

j

M

m

jm

j

j

n

j

j

j

V

mB

V

nK

V

V

B

B

V

V

V

K

i

V

1

1

1

1

1

1

1

0

1

sgn

















gdzie:

 

 

.

0

dla

1

sgn

oraz

0

dla

1

sgn











j

j

j

j

V

V

V

V









Współczynniki B

jm

muszą być znane z dopasowania krzywej na podstawie

eksperymentu lub być wynikiem analitycznego rozwiązania.


Literatura:

B.K. Hodge, Robert P. Taylor, Analysis and design of energy systems, Prentice-Hall,
Inc., Simon & Schuster / A Viacom Company 1999.