28

Rozważania poprzedniego rozdziału pokazują, że analiza języka ma dla logiki pierwszorzędne

znaczenie. Rozumowania są przecież prezentowane w języku, a ich poprawność zależna jest

od struktury zdań. Jednak punkt widzenia logików jest inny niż językoznawców. Mniej interesuje

ich całościowy opis języka, bardziej skupieni są na analizie tych mechanizmów językowych,

które mogą zakłócać proces komunikacji. Zatem logików interesuje język w aspekcie jasnego,

precyzyjnego przekazu i przetwarzania informacji.

Języki naturalne są pod tym względem dość kłopotliwe – duża złożoność ich struktury

powoduje, że używając ich, łatwo popełniamy rozmaite błędy logiczne. Z tego powodu logicy

chętnie konstruują języki sztuczne. Pozwalają one badać w sposób precyzyjny relację

wynikania na ograniczonym materiale językowym. Osiągnięte rezultaty – w postaci

formalnych systemów dedukcyjnych – można potem stosować do analizy rozumowań

w językach naturalnych, dokonując stosownego przekładu.

Zaprezentujemy teraz wybrane elementy

logicznej teorii języka

, czyli takiej, która daje ogólny

opis budowy dowolnego języka naturalnego lub sztucznego. Cztery pierwsze paragrafy będą

zasadniczo poświęcone analizie języka naturalnego. Skupimy się przede wszystkim na

problemie opisu struktury języka (temat 1) i wyjaśnieniu pewnej teorii znaczenia (temat 2).

W kolejnych dwóch tematach omówimy wybrane kwestie związane z kategorią nazw

i zdań w języku naturalnym. Ostatnia część stanowi rodzaj ogólnego wprowadzenia do sztucznego

języka logiki klasycznej, której wykład zawarty jest w trzech kolejnych modułach kursu.

29

Język naturalny (etniczny) pełni niezwykle ważne funkcje kulturowe i społeczne. Jest też

fenomenem trudnym do precyzyjnego i pełnego scharakteryzowania. W

semiotyce logicznej

rozważa się języki naturalne jako szczególny przypadek

systemów znakowych

. W ten sposób

włącza się języki naturalne do szerokiej klasy zjawisk, która zawiera bardzo różne elementy.

Przykładem prostego systemu znakowego jest sygnalizacja świetlna – mimo ewidentnych

różnic, można jednak odnaleźć pewne cechy wspólne takiego systemu i języka naturalnego, np.

takiego jak język polski. W obu wypadkach mamy do czynienia z pewną liczbą znaków, których

zachowaniem rządzą pewne reguły, a inne reguły precyzują, jakie znaczenia przypisane są

poszczególnym znakom i ich kombinacjom. Generalnie można więc wyróżnić trzy składniki

systemu znakowego:

-

alfabet

albo słownik tego systemu,

-

reguły składniowe

, czyli zasady budowy poprawnych wyrażeń złożonych,

-

reguły semantyczne

, czyli zasady interpretacji komunikatów sformułowanych w tym

systemie.

W tym temacie skupimy się na pierwszych dwóch składnikach.

Przez

znaki

rozumiemy tutaj dowolne, trwałe (np. słowo pisane) lub nietrwałe (np. słowo

mówione, impulsy elektryczne) zjawiska, wytworzone w celu przekazywania pewnej informacji.

Czasem wyrażenie znak używane jest szerzej jako określenia tego, co my nazywamy znakiem

oraz związanego z nim znaczenia. W takim ujęciu to, co tutaj nazywa się znakiem, jest

określane jako substrat znaku. Nasze rozumienie znaku wydaje się lepiej dostosowane do

analizy języków sztucznych i ich użycia przez komputery.

Znaki należy odróżnić od oznak (symptomów), które przekazują znaczenie w sposób naturalny,

np. dym jest oznaką ognia. Znaki powstają jako świadomy wytwór zorganizowanej działalności

30

człowieka, a sposób przypisywania im znaczeń ma charakter konwencjonalny. Zespół wszystkich

znaków elementarnych (wyrazów) danego języka naturalnego to jego

słownik

.

Komunikaty formułowane w językach naturalnych mają zazwyczaj charakter złożony, tzn.

wymagają użycia pewnej ilości słów. To, jakie kombinacje są na gruncie danego języka

dozwolone, jest wyznaczone przez reguły składni, a opis ich działania to

gramatyka

danego

języka. Współcześnie, w logice i w lingwistyce matematycznej używa się różnych rodzajów

gramatyk. Można je podzielić na dwie grupy:

-

analityczne

, które pozwalają odróżniać dozwolone (na gruncie danego języka)

kombinacje znaków od niedozwolonych,

-

syntetyczne

, które pozwalają konstruować tylko poprawne kombinacje znaków.

Gramatyki, o których tu mówimy, bardzo różnią się od tradycyjnej gramatyki opisowej, która jest

dość nieprecyzyjnym środkiem opisu języka. Dla naszych celów wygodniejsze będzie posłużenie

się wybraną gramatyką analityczną.

Jedną z popularniejszych gramatyk analitycznych jest

gramatyka kategorialna

. Twórcą tego

podejścia – posiadającego obecnie wiele odmian – jest Kazimierz Ajdukiewicz. W gramatyce

tego rodzaju podstawowe pojęcie to

kategoria syntaktyczna

rozumiana jako klasa wyrażeń,

które mogą być wzajemnie zastępowalne w dowolnym wyrażeniu złożonym bez utraty

składniowej spójności. Kategorie syntaktyczne dzielimy na samodzielne i niesamodzielne; do

tych pierwszych zaliczymy

zdania

i

nazwy

. Zdań nie będziemy tutaj omawiać, zajmiemy się

natomiast nazwami, do których zaliczymy wyrażenia zaliczane w tradycyjnej gramatyce do

takich części mowy, jak: rzeczowniki, przymiotniki czy zaimki osobowe.

Kategorie niesamodzielne to różne typy

funktorów

, czyli takich wyrażeń, które w połączeniu

z innymi wyrażeniami (swoimi argumentami) tworzą nowe wyrażenia. Funktory można podzielić,

ze względu na rodzaj tworzonych wyrażeń, na trzy grupy:

zdaniotwórcze

,

nazwotwórcze

i

funktorotwórcze

. Aby w pełni scharakteryzować funktor musimy jeszcze podać, ile i jakich

argumentów potrzebuje. Z tego względu postać ułamka jest stosowną formą opisu funktora; oto

kilka przykładów:

nieprawda, że_ jest kategorii z/z (f. zdaniotwórczy od jednego argumentu zdaniowego)

31

_albo_ jest kategorii z/z,z (f. zdaniotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych)

_biegnie jest kategorii z/n (f. zdaniotwórczy od jednego argumentu nazwowego)

_kocha_ jest kategorii z/n,n (f. zdaniotwórczy od dwóch argumentów nazwowych)

brat_ jest kategorii n/n (f. nazwotwórczy od jednego argumentu nazwowego, np. „brat Adama")

_w sumie z_ jest kategorii n/n,n (f. nazwotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych, np. 2

w sumie z 3)

głośno_ jest kategorii (z/n)/(z/n) (f. funktorotwórczy (tworzy funktor o kategorii z/n) od jednego

argumentu funktorowego kategorii z/n, np. _głośno śpiewa jest kategorii z/n, gdyż po dołączeniu

nazwy (np. Kowalski) utworzy zdanie: Kowalski śpiewa głośno; natomiast _śpiewa jest

funktorem kategorii z/n, które w wyrażeniu _głośno śpiewa stało się argumentem funktora

głośno_).

Ostatni przykład wydaje się już dość skomplikowany, gdyż mamy do czynienia z ułamkiem

piętrowym. Jednak wyrażenia języka naturalnego mogą mieć jeszcze bardziej złożony

charakter, np. w zdaniu Kowalski bardzo głośno śpiewa wyrażenie bardzo_ ma kategorię

((z/n)/(z/n))/((z/n)/(z/n)), gdyż jako argument przyjmuje funktor głośno_ o kategorii (z/n)/(z/n)

i wytwarza funktor bardzo głośno_, który też ma kategorię (z/n)/(z/n).

Złożoność syntaktyczną klasy funktorów potęguje fakt, że funktory mogą mieć także argumenty

różnych kategorii, np. _uważa, że_ ma kategorię z/n,z jak w zdaniu Kowalski uważa, że

tegoroczna zima będzie ostra. W dalszym ciągu tego kursu będziemy jednak bardziej

koncentrować się na językach sztucznych, których stopień złożoności jest znacznie mniejszy.

W naszym omówieniu podziału wyrażeń języka w ramach gramatyki kategorialnej abstrahujemy

od problemów fleksji. W konsekwencji, mimo że w przykładach zdań nazwy będą występować

w odpowiednim przypadku, to w izolacji podawać będziemy je zwyczajowo w mianowniku.

Warto zwrócić uwagę, że

spójność syntaktyczna

to coś innego niż sensowność. Zilustrujemy

to na prostym przykładzie: Kowalski kocha żonę jest zdaniem, w którym kocha to funktor

kategorii z/n,n. Do tej samej kategorii należą też wyrażenia: bije, pije, liczy, miesza, dokręca

itd., co oznacza, że każde z nich może poprawnie zastąpić w powyższym zdaniu wyrażenie

kocha.

Wynik takiej operacji daje nowe zdanie w języku polskim, jednak trudno oprzeć się wrażeniu,

że, o ile zastąpienie kocha przez bije wydaje się zupełnie poprawne, to pozostałe przykłady

z trudnością dają się potraktować jako sensowne zdania w języku polskim. Zdanie: Kowalski

dokręca żonę nie jest jednak niespójne syntaktycznie – brak jest tutaj spójności znaczenia.

Zdanie Kowalski dokręca zaworek nie budzi już żadnych kontrowersji, choć jeżeli zamienimy

32

np. orzeczenie, to zdanie Kowalski kocha zaworek znów może wydać się dziwaczne.

Pamiętajmy, że gramatyka kategorialna daje tylko syntaktyczny opis język; jej reguły wykluczają

tylko „nonsensy” syntaktyczne.

Warto też podkreślić, że reguły omawianej gramatyki mogą też wykluczyć z grona

dopuszczalnych wyrażeń składnych szereg kombinacji, które wydają się dopuszczalne. Wydaje

się, że wyrażenie złożone Bolek pije jest w pełni akceptowalnym zdaniem języka polskiego.

Jednak pije jest funktorem kategorii z/n,n, zatem dla utworzenia zdania potrzebuje jeszcze

jednej nazwy, np. wódka (oczywiście w odpowiedniej formie gramatycznej). Akceptujemy takie

wyrażenia jako zdania, gdyż język naturalny dopuszcza szereg mechanizmów służących

zwiększeniu ekonomii komunikacji.

Ogólnie, można tu mówić o różnych rodzajach

elipsy

, która polega na pomijaniu pewnych

składników wyrażenia złożonego. Retoryka wyróżnia rozmaite zabiegi służące zwiększeniu siły

wyrazu poprzez maksymalną skrótowość, np. asyndeton polegający na eliminacji spójników

(jak w znanej reklamie Palisz, płacisz, zdrowie tracisz).

Jeden z najczęstszych przypadków elipsy – to używanie funktorów nazwotwórczych bez

argumentów jako skrótów pełnych nazw. Przykład tego rodzaju mieliśmy powyżej, gdzie żona

występowała jako nazwa, podczas gdy generalnie jest to funktor kategorii z/n tworzący nazwę

dopiero w złożeniach typu żona Kowalskiego. W powyższym przykładzie pominęliśmy domyślny

argument tego funktora; pełna rozwinięta postać mogłaby wyglądać: Kowalski kocha swoją

żonę (gdzie zaimek swój zastępuje nazwę Kowalski) lub Kowalski kocha żonę sąsiada (uwaga!

znów skrót – sąsiad to też funktor).

Powyższe uwagi mają jedynie wyczulić czytelnika na pewne subtelności składni języka

naturalnego. Szersza prezentacja gramatyki kategorialnej czy jakiejś innej teorii gramatycznej

(np. popularna w językoznawstwie gramatyka generatywno-transformacyjna, będąca

przykładem gramatyki syntetycznej) nie jest tutaj możliwa.

33

Język naturalny może pełnić rozmaite funkcje, m. in.:

- ekspresywną (wyrażanie stanów wewnętrznych mówiącego)

- perswazyjną (oddziaływanie na słuchacza)

- fatyczną (utrzymywanie kontaktu między użytkownikami języka)

- opisową (informowanie)

Najważniejsza z punktu widzenia logiki jest

funkcja opisowa

, umożliwia bowiem przenoszenie

informacji. Pełnienie tej funkcji zakłada, że znaki językowe posiadają znaczenie i że odnoszą

się w jakiś sposób do świata; że coś

znaczą

i

oznaczają

.

Relacja znaczenia

zachodzi między wyrażeniami a pewną sferą pozajęzykową – uniwersum

znaczeń.

Relacja oznaczania

(odnoszenia, denotowania, referencji) łączy wyrażenia ze światem.

Obie relacje są badane na gruncie semantyki.

Trzeba podkreślić, że istnieje wiele konkretnych teorii semantycznych proponujących różne

teorie znaczenia i oznaczania lub redukujących np. znaczenie do oznaczania. Różnice

w definiowaniu znaczenia zależą przede wszystkim od tego, w jaki sposób pojmuje się

uniwersum znaczeń – w szczególności, czy znaczenia pojmuje się jako byty umysłowe

(subiektywne lub nie) czy jakiegoś rodzaju byty idealne, nie redukowalne do umysłu. Analizując

relację oznaczania, uzależnieni jesteśmy z kolei od pewnych założeń ontologicznych, czyli

naszych wyobrażeń dotyczących struktury świata.

Używanie języka w celu przekazywania informacji o świecie zakłada, że ten świat nie jest

chaosem, ale pewną strukturą. Zakłada też, że struktura języka w jakiś sposób odwzorowuje

strukturę świata. Filozofia wytworzyła wiele interesujących teorii na ten temat, nas jednak

34

interesuje taki obraz świata, który stanowi najbardziej naturalne odniesienie struktury

gramatycznej języków indoeuropejskich.

Na fundamencie takich wyobrażeń została bowiem zbudowana tradycyjna logika Arystotelesowska,

a logika nowoczesna też – w pewien sposób – na nim bazuje. Obraz ten można określić jako

zdroworozsądkowy lub – bardziej naukowo – jako arystotelesowski.

Zasadnicze elementy tej teorii to przekonanie, że świat składa się z mnogości

przedmiotów

(rzeczy, indywiduów, substancji) posiadających (stale lub czasowo) rozmaite

cechy

(własności).

Przedmiotem jest zarówno Kowalski, jak i noszony przez niego płaszcz, ale przedmiotem jest

też dowolna liczba naturalna, choć jej status istnienia jest z pewnością różny od sposobu

istnienia płaszcza czy człowieka. Cechą Kowalskiego jest, np. jego ciężar, cechą płaszcza jego

kolor, a cechą liczby, np. to, że jest parzysta. Jak widać różne typy przedmiotów mogą mieć

różne rodzaje cech. Ze względu na posiadane cechy przedmioty dzielą się na rozmaite klasy

(gatunki i rodzaje naturalne).

Klasy te tworzą naturalną hierarchię, w ramach której zasadne jest używanie określeń gatunek

i rodzaj w sensie względnym, np. ssak będzie rodzajem dla gatunku człowiek, ale gatunkiem dla

rodzaju zwierzę. Indywidualne przedmioty (ale również ich klasy) wchodzą ze sobą

w różnorodne

relacje

(stosunki). Konfiguracje różnych przedmiotów, ich cech i zachodzących

między nimi relacji to

stany rzeczy

, a zmiany w tych konfiguracjach to

procesy

(zdarzenia).

Taki sposób widzenia otaczającego świata jest niezwykle rozpowszechniony w naszym kręgu

kulturowym i stanowi naturalne podłoże wielu teorii semantycznych oraz wielu metod

porządkowania wiedzy, np. definiowania czy klasyfikacji. Współczesna logika w swoich teoriach

semantycznych, tworzonych na potrzeby języków sztucznych, również nawiązuje do tych

przekonań, chociaż w swoistym – teoriomnogościowym ujęciu (por. temat 5 Języki sztuczne).

Charakterystyczną cechą języków naturalnych, jeżeli chodzi o ich charakterystykę semantyczną,

jest brak jednoznacznego przyporządkowania wyrażeń do sfery znaczeń.

Z jednej strony, wyrażenia języka naturalnego są

polisemiczne

, czyli jedno wyrażenie posiada

wiele znaczeń (np. głowa – ‘część ciała’ i głowa (państwa, rodziny) – ‘osoba stojąca na czele

jakiejś społeczności’). W języku naturalnym zachodzi również zjawisko

homonimii

, gdzie różne

znaczenia przysługują wyrażeniom o takim samym brzmieniu i identycznym zapisie (np. rola –

‘grunty uprawne’ i rola – ‘postać utworu scenicznego’). Występuje tu także

homofonia

,

35

polegająca na tym, że istnieją wyrażenia o różnej pisowni, ale identycznej wymowie, między

którymi nie ma żadnych związków znaczenia (np. morze i może).

Z drugiej strony zachodzi zjawisko

synonimii

– te same znaczenia są reprezentowane przez

różne wyrażenia (np. auto i samochód).

Są to zjawiska powszechne w języku i niezależne od kategorii syntaktycznych wyrażeń,

aczkolwiek najczęściej używa się nazw jako przykładów. Wyrażenia typu oczko, laska czy osioł

są ewidentnymi przykładami wieloznaczności, nie wymagającymi komentarza. Wiele wyrażeń

może wydawać się na pozór jednoznaczne, ale bliższa analiza kontekstów użycia pokazuje, że

tak nie jest. Porównajmy przykładowo znaczenie wyrazu gość w zdaniach:

Gość w dom, Bóg w dom.

Ten gość pod latarnią jest wyraźnie zawiany.

W pierwszym zdaniu wyraz gość użyty został w znaczeniu ‘osoba przybyła do kogoś w gościnę,

w odwiedziny’ i zdecydowanie ma dodatnie zabarwienie uczuciowe. W drugim zdaniu wyraz ten

określa ‘kogoś bliżej nie znanego’, użyty jest z ujemnym zabarwieniem uczuciowym i wyraża

lekceważenie.

W pewnym specjalnym znaczeniu wieloznaczność przysługuje każdemu wyrażeniu językowemu.

Chodzi tu o

supozycję

, czyli funkcję, w jakiej użyto dane wyrażenie. Porównajmy znaczenie

słowa zając w poniższych zdaniach:

Zając przebiegł mi drogę.

Zając jest popularnym gryzoniem.

„Zając” zaczyna się na Z.

W pierwszym wypadku zając użyty jest w odniesieniu do konkretnego egzemplarza, w drugim –

w odniesieniu do całego gatunku, w trzecim – chodzi o samo słowo. W logice tradycyjnej mówi

się kolejno o

supozycji prostej

,

formalnej

i

materialnej

. Rozróżnienie supozycji materialnej

i formalnej dotyczy zasadniczo nazw i ma dziś znaczenie drugorzędne. Nie zawsze też łatwo

jest jednoznacznie stwierdzić, w jakiej supozycji dana nazwa jest użyta – np. w zdaniu Zając

w potrawce jest bardzo smaczny – w grę mogą wchodzić obie supozycje.

Wyróżnienie supozycji materialnej ma duże znaczenie i stosuje się do wyrażeń dowolnych

kategorii. Jednak współcześnie częściej mówi się o

metajęzykowym

użyciu wyrażenia, kiedy

wyraz staje się znakiem dla samego siebie, zamiast odnosić się do czegoś spoza języka.

36

W piśmie użycia metajęzykowe zaznacza się zazwyczaj przez operowanie cudzysłowem,

kursywą lub innymi tego rodzaju środkami, jednak w mowie tego rodzaju rozróżnienie łatwo

może przejść niezauważone.

W potocznej komunikacji rzadko prowadzi to do problemów, ale tam gdzie chodzi o precyzyjne

rozważania nad językiem (jak w logice, czy w językoznawstwie) rozróżnianie języka

i metajęzyka jest niezwykle istotne.

Najczęściej odwoływaliśmy się do nazw w celu ilustracji różnych form wieloznaczności, jednak

niektóre rodzaje wyrażeń stwarzają dodatkowe problemy. O bardziej szczegółowych kwestiach

związanych z nazwami powiemy jeszcze w temacie 3 – tutaj, dla ilustracji, przeanalizujemy

specyficzną formę wieloznaczności związaną z czasownikami.

W zdaniu Kowalski pięknie śpiewa nie wiemy, czy chodzi o to, że Kowalski generalnie ma taki

dar, czy raczej, że w tym momencie udało mu się pięknie zaśpiewać. W pierwszym przypadku

powiemy, że czasownik użyty jest w

znaczeniu potencjalnym

, w drugim, że w

aktualnym

.

Warto zauważyć, że np. język angielski nie stwarza problemów tego rodzaju, gdyż to, czy

używamy czasownika w takim, czy innym znaczeniu musi być już zdeterminowane przez

odpowiednią formę gramatyczną. Nie oznacza to oczywiście, że język angielski jest „lepszy” od

polskiego – jest po prostu pod tym względem inny.

Obu zjawisk (homonimii i synonimii) nie należy oceniać w kategorii wad języka naturalnego.

Jednak tam, gdzie w grę wchodzi jasność i precyzja wypowiedzi, mogą być przyczyną

nieporozumień, tradycyjnie określanych jako

błędy logiczne

. Pojęcie błędu logicznego nie ma

wyraźnie wyznaczonego zakresu; błędy ortograficzne raczej do tej kategorii nie należą, ale

granica między błędem stylistycznym a logicznym jest płynna.

Jednym z najważniejszych błędów logicznych jest

ekwiwokacja

, która polega na tym, że

w danym rozumowaniu używa się pewnego wyrażenia wielokrotnie w różnych znaczeniach.

W rezultacie często dochodzi się do ewidentnie fałszywego wniosku – w oparciu o prawdziwe

przesłanki i przy zastosowaniu poprawnych zasad rozumowania. Oto przykład:

37

1. Jeżeli Kowalski się spije, to Kowalski śpi. Jeżeli Kowalski śpi, to Kowalski nie grzeszy.
Jeżeli Kowalski nie grzeszy, to Kowalski jest święty. A zatem, jeżeli Kowalski się spije,

to Kowalski jest święty.

Rozumowanie powyższe ma następującą formę:

2. Jeżeli Z1, to Z2. Jeżeli Z2, to Z3. Jeżeli Z3, to Z4. / Jeżeli Z1, to Z4.

Jeśli czytelnik przyswoi sobie treść następnej części tego kursu, to w prosty sposób będzie mógł

się przekonać, że taki schemat gwarantuje poprawność rozumowania. Jednak trudno oprzeć się

wrażeniu, że choć wszystkie przesłanki można uznać za prawdziwe, to wniosek jest ewidentnie

fałszywy.

Chwila zastanowienia pozwala jednak uświadomić sobie, że czasownik grzeszy jest

w przesłance drugiej użyty w znaczeniu aktualnym (Kowalski nie grzeszy kiedy śpi), natomiast

w przesłance trzeciej jest użyty w znaczeniu potencjalnym (nie grzeszy w ogóle). Zatem, mamy

tu do czynienia z różnymi zdaniami, mimo że mają identyczną formę, a faktyczny schemat tego

rozumowania ma postać:

3. Jeżeli Z1, to Z2. Jeżeli Z2, to Z3. Jeżeli Z4, to Z5. / Jeżeli Z1, to Z5.

Powyższy schemat nie gwarantuje poprawności, o czym też można się przekonać, używając

środków logicznych z następnego modułu.

Pokrewnym błędem logicznym jest

logomachia

. Pojawia się ona w dyskusji, w której oponenci

używają kluczowych terminów w różnych znaczeniach i w rezultacie nie mogą dojść do porozumienia.

Nie będziemy logomachii ilustrować żadnym przykładem – zamiast tego polecamy zainteresowanym

czytelnikom uważne słuchanie dyskusji toczonych w popularnych programach telewizyjnych!

Przedstawimy teraz pokrótce elementy pewnej teorii semantycznej, zwracając szczególną

uwagę na ich związek z tradycyjnymi poglądami. W ujęciu Fregego każde wyrażenie językowe

posiada swoją

ekstensję

(denotację, odniesienie) i

intensję

(sens, znaczenie, treść).

Ograniczymy się tutaj tylko do omówienia teorii znaczenia i oznaczania dla nazw i zdań,

natomiast zrezygnujemy z omawiania tej problematyki dla funktorów.

38

Jedną z wyróżnionych przez nas samodzielnych kategorii syntaktycznych są nazwy. Jest to

grupa wyrażeń niezwykle zróżnicowana, zarówno pod wzglądem formy, jak i pełnionych funkcji.

Tak jak zdania odnoszą do stanów rzeczy, tak nazwy odnoszą się do – szeroko rozumianych

przedmiotów. Oznaczają rzeczy fizyczne, abstrakcyjne, a także ich klasy, cechy czy relacje.

Adam Małysz jest nazwą pewnego indywiduum, ssak nazwą klasy indywiduów, biały nazwą

cechy, natomiast równość nazwą relacji.

Przedmiot, do którego dana nazwa odnosi, nazywany jest jej

desygnatem

, a zbiór wszystkich

desygnatów danej nazwy to jej

ekstensja

(zakres, denotacja).

Intensją

nazwy jest

pojęcie

logiczne

, które tradycyjnie rozumiane jest jako zbiór cech posiadanych przez desygnaty danej

nazwy. Używamy przydawki logiczne dla odróżnienia od pojęcia w sensie psychologistycznym,

czyli pewnego wyobrażenia (idei) wiązanej z daną nazwą przez konkretnego użytkownika

języka. Pojęcie logiczne jest tu rozumiane jako pewna treść obiektywna związana z daną

nazwą, niezależna od stanu czyjejś świadomości językowej.

Przy omawianiu pojęć pojawia się szereg problemów związanych z rozumieniem słów treść

i cecha oraz z wyróżnianiem rozmaitych klas cech. Desygnat danej nazwy może mieć ogromną

ilość cech, z których jedne są ważne (z pewnego punktu widzenia), a inne nie. Jan Kowalski

może być, np. rudy, ale ta cecha nie jest istotna ze względu na to, że jest desygnatem nazwy

człowiek. Jest wielu ludzi (desygnatów tej samej nazwy), którzy tej cechy nie posiadają, zatem

cecha ta nie należy do pojęcia człowieka; jest – z tego punktu widzenia – cechą

akcydentalną (przypadkową) Jana Kowalskiego.

Z drugiej strony, jeżeli ten sam Kowalski jest przez nas rozpatrywany jako desygnat nazwy rudy

mężczyzna, to ta sama cecha jest tutaj istotna, gdyż należy do pojęcia rudego mężczyzny.

Nawet pośród cech składających się na dane pojęcie, można starać się wyróżnić te, które

przysługują wszystkim desygnatom w sposób

istotny

(konstytutywny) lub

pochodny

(konsekutywny). Przykładowo, wszystkie kwadraty mają cztery równe boki i wszystkie kąty

39

proste, zatem te cechy możemy uznać za konstytutywne, ale np. równość przekątnych można

już uznać za cechę konsekutywną.

Generalnie, zbiór cech, które przysługują wszystkim desygnatom danej nazwy i tylko im, to

zbiór

cech swoistych

albo charakterystyczny zbiór cech.

Powyższe rozważania w miarę dobrze ilustruje się przykładami nazw typu trójkąt, bowiem

intensja, jak i ekstensja takiej nazwy są dobrze określone. Należy jednak pamiętać, że

w przypadku większości nazw sytuacja wygląda odmiennie. Nazwy typu: gruby, chudy, mądry,

ładny to

nazwy nieostre

, ponieważ nie dysponujemy precyzyjnym kryterium pozwalającym

w każdym wypadku określić, czy jakiś obiekt jest, czy nie jest desygnatem danej nazwy.

Nieostrość zazwyczaj idzie w parze z

niejasnością znaczenia

(chwiejność znaczeniowa).

Zjawiska tego typu nie należy uważać zdecydowanie za wadę języka naturalnego. W wielu

sytuacjach operowanie wyrażeniami tego typu sprzyja zwiększeniu efektywności komunikacji,

bądź osiąganiu interesujących efektów estetycznych. Jednak tam gdzie wskazane jest użycie

języka precyzyjnego i jednoznacznego, mogą takie wyrażenia prowadzić do nieporozumień.

Jednym ze środków zapobiegawczych jest umiejętność budowania definicji wyrażeń

nazwowych (por. moduł 6).

W logice tradycyjnej poświęcano dużo uwagi analizie problematyki nazw i wyróżniano sporo

rodzajów wyrażeń nazwowych. Omówimy tu krótko najważniejsze:

– Ze

względu na stopień złożoności można odróżnić od siebie

nazwy proste

,

jednowyrazowe i

nazwy złożone

, w których występuje co najmniej jeden funktor

nazwotwórczy, np. wuj Mariana, kobieta w chustce na głowie, 2+3.

– Ze

względu na ilość desygnatów można rozróżnić

nazwy ogólne

(więcej niż jeden

desygnat),

jednostkowe

(dokładnie jeden) i

puste

(brak desygnatu, ale nie ekstensji –

jest nią zbiór pusty!). Przykładowo, człowiek, Jan Kowalski, dziecko bezdzietnej matki.

40

To, czy jakąś nazwę uznamy za jednostkową, ogólną czy pustą, może być – i często jest –

sporne. Nasz przykład nazwy pustej nie budzi wątpliwości, gdyż jest również przykładem nazwy

wewnętrznie sprzecznej (tradycyjne określenie contradictio in adiecto), ale to, czy nazwa

krasnoludek jest pusta, czy nie, może już budzić wątpliwości.

Tak naprawdę, wiele sporów natury filozoficznej można zinterpretować jako spory o to, czy

pewna nazwa jest pusta, czy nie, a jeżeli nie pusta, to czy ogólna, czy jednostkowa?

Przykładem może być spór o istnienie Boga, a pośród wierzących spór między mono-

a politeistami. Nazwy puste można również dzielić na nazwy o intencji jednostkowej (np.

smok wawelski) i ogólnej (np. centaur) zależnie od domniemanej ilości nieistniejących desygnatów.

Należy pamiętać, że pustość, czy niepustość nazwy nie zależy od obecnego stanu rzeczy –

nazwa brontozaur jest niepustą nazwą ogólną, choć jej desygnaty nie żyją od milionów lat.

Użycie wyrażenia Jan Kowalski jako przykładu nazwy jednostkowej też może budzić pewne

wątpliwości – z pewnością jest w Polsce wielu różnych Janów Kowalskich! Nam jednak chodzi

o to, że każde konkretne i standardowe użycie tego wyrażenia odnosi do konkretnego

desygnatu, zatem jest to nazwa jednostkowa ze względu na pełnioną w komunikacji funkcję.

W przypadku nazw ogólnych można wyróżnić rodzaje relacji zachodzących między ich

zakresami. Ekstensje dwóch nazw mogą:

a) być równoważne (tożsame), gdy jest to ten sam zbiór, np. kobieta i niewiasta;

b) wykluczać się, gdy nie mają wspólnych desygnatów, np. piernik i wiatrak;

c) krzyżować się, gdy mają jakieś desygnaty wspólne i każda z nich ma desygnaty,

które nie należą do zakresu drugiej, np. ssak, drapieżnik;

d) być w relacji podrzędności (zawierania się), gdy wszystkie desygnaty jednej nazwy

są desygnatami drugiej, ale nie odwrotnie (ta druga nazwa jest wtedy w relacji

nadrzędności względem pierwszej) np. ssak, kręgowiec.

Przy rozważaniu relacji zachodzących między zakresami nazw, ważne jest, aby nie mylić np.

relacji podrzędności z relacją bycia częścią. Przykładowo, między zakresami nazw głowa

i szczęka zachodzi relacja wykluczania, gdyż żadna konkretna szczęka nie jest głową

i odwrotnie. Podobnie nazwy małżeństwo i mąż nie mają wspólnych desygnatów, gdyż każdym

desygnatem nazwy małżeństwo jest przecież para osób!

Nazwy można dzielić na

indywidualne

i

generalne

w zależności od tego, czy podstawa

oznaczania jest arbitralna (umowna), czy nie. Nazwy generalne, jak człowiek czy góra, są

przypisywane swoim desygnatom ze względu na posiadane przez nie cechy. Natomiast

imiona własne, będące typowym przykładem nazw indywidualnych przysługują swoim

desygnatom na mocy umowy.

41

Nie należy utożsamiać nazw indywidualnych z nazwami jednostkowymi; zarówno Mont Everest,

jak i najwyższa góra świata są nazwami jednostkowymi, ale tylko pierwsza z nich jest nazwą

indywidualną. Druga jest przykładem tzw. deskrypcji określonej, czyli nazwy opisowej

o jednym desygnacie i jest ewidentnym przykładem nazwy generalnej.

Mamy również syntaktyczne kryterium rozróżnienia nazw indywidualnych i generalnych:

pierwsze występują tylko w podmiocie zdań podmiotowo-orzecznikowych, drugie mogą

występować zarówno w podmiocie, jak i w orzeczniku.

Mamy tutaj na myśli zdania typu Kowalski jest człowiekiem, czyli takie, w których orzeka się

jakąś cechę o pewnym indywiduum. Funktor jest występuje w takich zdaniach w znaczeniu „jest

elementem zbioru”, dlatego należy odróżnić je od zdań tożsamościowych, które pozornie

mogą przybierać taką samą formę (np. Wenus jest Gwiazdą poranną), jednak funktor jest

oznacza w nich relację identyczności.

Nie są to jedyne podziały wyrażeń nazwowych, które omawia się w literaturze, ale dla naszych

celów powyższe omówienie jest wystarczające.

42

Poświęcimy teraz nieco uwagi zdaniom. Przypomnijmy, że ograniczamy się tutaj do analizy

zdań oznajmujących.

Intensją

takich zdań jest tzw. sąd logiczny, czyli informacja

przekazywana przez to zdanie o jakimś stanie rzeczy. Pewien przedmiot posiada na przykład

daną cechę: Kowalski jest wysoki lub między tym przedmiotem a jakimś innym zachodzi

określona relacja: Kowalski czyta gazetę.

Określenie sąd bywa też często używane w sensie psychologicznym jako nazwa czyichś

przekonań, opinii, my jednak mamy tu na myśli pewien byt pozaumysłowy – stąd określenie sąd

logiczny. Różne zdania (wyrażone w odmiennych formach gramatycznych lub w innych

językach) mogą wyrażać ten sam sąd, np. Adam kocha Kasię, Kasia jest kochana przez

Adama, Adam loves Kathy.

Ekstensją

zdania jest jego wartość logiczna, czyli prawdziwość

bądź fałszywość. W dalszym ciągu skupimy się głównie na problematyce ekstensji zdań.

Problematyka filozoficzna dotycząca prawdy i fałszu jest bardzo obszerna i nie będziemy jej tu

dokładnie referować. Najstarsza definicja prawdy (tzw.

klasyczna

albo

korespondencyjna

)

pochodzi od Arystotelesa i głosi, że prawdziwość zdania polega na jego zgodności

z rzeczywistością.

Charakterystyka taka może budzić wiele wątpliwości, gdyż nie jest jasne ani to, czym jest

rzeczywistość, ani na czym ma polegać ta postulowana zgodność. Później wprowadzimy sobie

bardziej techniczny sposób rozumienia prawdziwości zdań (w językach sztucznych), na razie

ograniczymy się do spostrzeżenia, że chociaż możemy nie wiedzieć, na czym polega istota

prawdziwości, to – przynajmniej czasami – jesteśmy w stanie odróżnić od siebie zdania

prawdziwe i fałszywe.

Taka intuicja na razie w zupełności wystarczy, ponieważ logicy traktują prawdę i fałsz raczej

instrumentalnie jako

wartości logiczne zdań

. W logice klasycznej za podstawowe założenie

przyjmuje się ponadto, tzw.

zasadę dwuwartościowości

, która głosi, że każde zdanie ma

dokładnie jedną z dwóch wartości logicznych – prawdę albo fałsz.

43

Zasada ta może odbiegać od potocznych intuicji – często wydaje się, że zdania nie są ani

prawdziwe, ani fałszywe, czyli że nie mają żadnej wartości logicznej. Wątpliwości tego rodzaju

miał już Arystoteles – ojciec logiki klasycznej – kiedy rozważał zdania dotyczące przyszłości.

Logik klasyczny będzie się upierał, że bez względu na naszą wiedzę dane zdanie jednak jest

prawdziwe, bądź fałszywe – my po prostu jego wartości logicznej nie znamy!

Można jednak potraktować epistemiczny (poznawczy) punkt widzenia poważnie i przyjąć, że

w analizie rozumowań ważniejszy jest nasz aktualny stan wiedzy, niż jakiś absolutny punkt

widzenia. Takie podejście było głównym motywem stworzenia przez Jana Łukasiewicza

logiki

trójwartościowej

, a potem jej uogólnienie w postaci

logik wielowartościowych

.

Jak się wydaje, mamy tu jeszcze inny problem; wiele zdań zmienia swą wartość logiczną –

zdanie Dzisiaj pada śnieg jednego dnia jest prawdziwe, a drugiego nie. To jednak problem

pozorny; zasada dwuwartościowości stwierdza tylko, że dane zdanie nie może być

równocześnie prawdziwe i fałszywe. Oczywiście znów należy rozumieć to w sensie absolutnym

– jasne jest, że to samo zdanie może mieć przypisywane różne wartości logiczne w tym samym

czasie przez różnych ludzi – na tym polegają spory.

W przytoczonym wyżej przykładzie przyczyną tej zmienności wartości logicznej jest okolicznik

czasu dzisiaj, który jest

wyrażeniem okazjonalnym

, czyli zmieniającym znaczenie

w zależności od kontekstu wypowiedzi. Typowe wyrażenia okazjonalne to okoliczniki czasu (np.

jutro), miejsca (np. za rogiem) i zaimki (np.: on, tam, to). Niezbędnym kontekstem do określenia

wartości logicznej takiego zdania mogą być okoliczności zewnętrzne towarzyszące wypowiedzi

bądź inne zdania. Na przykład używanie zaimków jest powszechnym zabiegiem służącym

skracaniu komunikacji, ale trzeba pamiętać, że takie zdania wyrwane z kontekstu mogą

prowadzić do poważnych nieporozumień.

Jeżeli odróżnimy od siebie zdania oznajmujące (kryterium gramatyczne) i zdania

w sensie logicznym (kryterium semantyczne – wyrażenia, których ekstensją jest wartość

logiczna), to wyrażenia zawierające np. zaimki należy uznać za tzw. funkcje zdaniowe, czyli

rodzaj schematów, które dopiero mogą stać się zdaniami w sensie logicznym.

Przykładem takiego quasi-zdania jest wyrażenie złożone Kowalski jest od niego wyższy. Ma

ono określoną wartość logiczną w kontekście pewnego tekstu, gdzie inne zdania precyzują

odniesienie wyrażenia niego. Po wyrwaniu z kontekstu można zamienić je w zdanie bądź przez

specjalizację, czyli podstawienie nazwy własnej (Kowalski jest od Nowaka wyższy), bądź

przez kwantyfikację (Kowalski jest od kogoś wyższy).

44

Pojęcie funkcji zdaniowej w sensie ścisłym jako wyrażenia zawierającego zmienne wolne,

wprowadzimy jednak dopiero w następnym temacie.

Specyficznym błędem logicznym dotyczącym zdań jest

amfibologia

(również amfibolia), czyli

wieloznaczność składniowa wynikająca, np. z wadliwej interpunkcji, niewłaściwego szyku lub

pominięcia pewnych wyrażeń. Wystąpienie amfibologii również powoduje, że nie jesteśmy

w stanie ustalić właściwego sensu zdania, a w konsekwencji jego wartości logicznej. Oto

przykłady:

Kowalski wyrzucił śmieci z żoną

Sprawcą czynu jest brat Kowalskiego, który jest dobrze znany organom ścigania

W pierwszym przykładzie absurdalność jednego z możliwych znaczeń powoduje, że ryzyko

opacznego zrozumienia jest znikome i dlatego mamy tu do czynienia raczej z błędem

stylistycznym. Drugi przykład jest gorszy, gdyż naprawdę nie mamy żadnych podstaw, by

rozstrzygnąć, czy wyrażenie który odnosi do Kowalskiego, czy do jego brata.

Niezależnie od tego, że przy ustaleniu wartości logicznej zdań mogą pojawiać się rozliczne

kłopoty, warto zwrócić uwagę na fakt, że prawda (lub fałsz) wydają się przysługiwać zdaniom

w różny sposób. Porównajmy zdania:

1) Kwadrat ma cztery boki

2) Polska jest krajem demokratycznym

Oba wyrażenia są bez wątpienia zdaniami prawdziwymi. Jednak zdanie 1) nie tylko jest, ale

musi być prawdziwe, natomiast prawdziwość 2) jest czymś przypadkowym, gdyż łatwo można

sobie wyobrazić, że w Polsce panuje inny ustrój.

Zdania, których wartość logiczna zależy tylko od ich struktury i znaczenia występujących w nich

wyrażeń, to

zdania analityczne

. Zdania, których wartość logiczna zależy również od okoliczności

zewnętrznych, to

zdania syntetyczne

.

45

W wielu pracach można znaleźć nieco inne określenia, a nawet spotkać się z kwestionowaniem

zasadności takiego podziału, jednak wydaje się on ważny. W szczególności, w systemach

logicznych, które pojawią się w kolejnych modułach tego kursu, zostanie on ściśle zdefiniowany.

Omawiając zdania, należy poświęcić trochę uwagi kwestii budowania zdań złożonych, czyli

różnym rodzajom funktorów zdaniotwórczych od argumentów zdaniowych. Te funktory, których

argumentami są jedynie zdania, określa się w logice jako spójniki. Jest to szersze użycie słowa

spójnik niż w gramatyce tradycyjnej, gdyż np. wyrażenia takie jak nieprawda, że_,

z konieczności_, jest możliwe, że_, są w logice traktowane jako spójniki (funktory kategorii z/z).

W języku naturalnym występuje imponująca różnorodność spójników, jednak tylko niektóre

z nich pozwalają na stosunkowo prostą analizę swojego znaczenia. Podzielmy spójniki na

ekstensjonalne i intensjonalne.

Pierwsze są tego rodzaju, że ekstensja zdania, którego są głównym funktorem zależy tylko

i wyłącznie od ekstensji argumentów; w przypadku drugich zależy także od ich intensji.

Porównajmy funktory nieprawda, że i z konieczności. Jeżeli do zdania prawdziwego dołączymy

pierwszy z nich (zanegujemy to zdanie), to w efekcie otrzymamy zdanie fałszywe, np.

Nieprawda, że woda jest mokra. Odwrotnie, jeżeli dokonamy zaprzeczenia zdania fałszywego,

to w efekcie otrzymamy zdanie prawdziwe. Efekt nigdy nie zależy od treści zaprzeczanego

zdania, tylko zawsze od jego wartości, zatem nieprawda, że jest spójnikiem ekstensjonalnym.

Z drugim funktorem sytuacja wygląda inaczej. Na pewno, jeżeli użyjemy z konieczności

w zdaniu fałszywym, to otrzymamy również zdanie fałszywe, ale jeżeli jego argumentem stanie

się zdanie prawdziwe, to sytuacja może wyglądać rozmaicie. Zdanie Z konieczności 2+2=4 jest

prawdziwe, ale zdanie Z konieczności Polska jest krajem demokratycznym wydaje się fałszywe

bez względu na to, jak rozumiemy konieczność.

Powyższe przykłady pokazują, że zwroty modalne, takie jak z konieczności czy jest możliwe, że

są funktorami intensjonalnymi.

Logika zajmuje się również analizą takich funktorów (logiki modalne), ale jest to zadanie

bardziej skomplikowane; logika klasyczna ogranicza się do funktorów ekstensjonalnych.

Do spójników, które przynajmniej w jednym ze swoich znaczeń są ekstensjonalne, zaliczyć

można np. wyrażenia: i, lub, albo, jeżeli,...to, wtedy i tylko wtedy, ani,....ani i parę innych.

W module 3 ustalimy dokładnie ich ekstensję, natomiast w module 5 powrócimy do problemu

ich wieloznaczności.

46

Dotychczasowe rozważania pokazują, że dla potrzeb logiki nieodzowna jest konstrukcja

języków sztucznych. Chodzi przecież o analizę formalnych relacji logicznych, takich jak

wynikanie, a zbytnia złożoność języka naturalnego może być tu jedynie przeszkodą.

Zasadnicze różnice między językami naturalnymi a sztucznymi wynikają z genezy tych

systemów znakowych. Każdy język naturalny powstawał spontanicznie, kształtował się na

przestrzeni wielu wieków i dostosowywał do aktualnych potrzeb komunikacyjnych posługującej

się nim społeczności. Efektem takich procesów jest min.:

a) bogactwo środków leksykalnych, a z punktu widzenia przenoszenia informacji –

redundancja (nadmiarowość) środków, występująca np. jako synonimia wyrażeń

b) płynność kategorii syntaktycznych, czyli wielość funkcji składniowych pełnionych przez

takie same wyrażenia (np. bardzo w przykładach z tematu 1)

c) wieloznaczność, homonimia i homofonia wyrażeń

d) uniwersalność języka powodująca pomieszanie poziomów językowych (język

i metajęzyk).

Języki sztuczne są tworzone w sposób przemyślany dla konkretnych celów, co powoduje, że

w przeciwieństwie do języków naturalnych są one ekonomiczne i konsekwentne (syntaktycznie

i semantycznie), a język jest precyzyjnie odróżniany od metajęzyka, co pozwala uniknąć

rozmaitych paradoksów.

Należy też podkreślić, że języki naturalne są systemami zinterpretowanymi w tym sensie, że

użytkownik takiego języka używa jego wyrażeń w odpowiednich (dopuszczalnych) znaczeniach.

Język sztuczny zawsze może być używany tylko syntaktycznie (np. w użyciach maszynowych)

jako twór czysto syntaktyczny, wykorzystywany choćby przez komputery.

Z tego powodu, większość wyrażeń języka sztucznego to

zmienne

określonych kategorii, dla

których określa się jedynie zakres możliwych podstawień (zbiór dopuszczalnych wartości danej

zmiennej). Cel danego języka decyduje o tym, jakie wprowadzamy do niego

wyrażenia stałe

,

czyli o ustalonym znaczeniu. Dla ekonomiczności wyrażania niebanalną sprawą jest też

stosowanie w językach tego typu prostych symboli.

47

Języki sztuczne mają mniej skomplikowaną strukturę niż języki naturalne. Będziemy

w modułach: 3, 4 i 5 rozważać dwa języki:

klasycznego rachunku zdań

(KRZ) i

klasycznego

rachunku kwantyfikatorów

(KRK).

W pierwszym wyróżnimy jedynie trzy kategorie syntaktyczne: jedną samodzielną – zdań i dwie

funktorów zdaniotwórczych (spójników) od jednego i od dwóch argumentów zdaniowych.

W drugim uwzględnimy dodatkowo strukturę wewnętrzną zdań prostych, ale oprócz nazw

wyróżnimy tylko kategorię funktorów zdaniotwórczych od argumentów nazwowych (

predykaty

,

orzeczniki

o kategorii z/n, z/n,n, z/n,n,n itd.) i funktorów nazwotwórczych od argumentów

nazwowych (

funkcje

,

operacje

o kategorii n/n, n/n,n, n/n,n,n itd.). Nie będziemy wprowadzać

żadnych funktorów funktorotwórczych.

Zazwyczaj język KRK wprowadza się najpierw w wersji ograniczonej (bez funktorów

nazwotwóczych) i taki język jest często określany jako język predykatów (a KRK jako

rachunek predykatów), natomiast pełny język jest wtedy określany jako język funkcyjny.

Preferowane przez nas określenie (KRK) kładzie nacisk na dodatkowe stałe logiczne

wprowadzone w KRK.

Kwantyfikatory

to wyrażenia typu: dla każdego, dla niektórych. Należą one do szerszej klasy

wyrażeń charakterystycznych dla języków sztucznych, zwanych

operatorami

. Istotą

operatorów jest, z logicznego punktu widzenia, wiązanie zmiennych jakiejś kategorii

występujących w pewnych wyrażeniach. Zatem wiązaną zmienną można uznać za pierwszy

argument, a wyrażenie, w którym ona występuje za drugi argument (choć nie jest to zgodne

z ujęciem Ajdukiewicza!).

Ponieważ w grę mogą wchodzić różne kategorie zmiennych i różne wyrażenia, więc operatory

nie tworzą jednolitej syntaktycznie klasy. Np. operator abstrakcji, popularny w teorii mnogości

ma kategorię n/n,z, (przykład: zbiór tych x-ów, które spełniają warunek...),

natomiast rozważane

przez nas kwantyfikatory mają kategorię z/n,z. Trzeba tu wyraźnie odróżnić problem kategorii

syntaktycznej operatora w języku sztucznym od kategorii funktora z języka naturalnego, który

stanowi jego odpowiednik. Np. kategoria wyrażenia kwantyfikującego każdy w języku polskim

jest n/n (np. w wyrażeniu każdy człowiek), a nie z/n,z, jak w przypadku kwantyfikatora ogólnego,

którego jest on odpowiednikiem.

48

Język (i logika) KRK bywają też często określane jako

język

(logika)

1-go rzędu

, ponieważ

jedyne zmienne wiązane przez kwantyfikatory to zmienne nazwowe. Bogatszy język, w którym

dopuszcza się kwantyfikatory wiążące zmienne predykatowe (kategorii: z/(z/n),z, z/(z/n,n),z,

z/(z/n,n,n),z......), jest wtedy określany jako język 2-go rzędu.

Możliwe są jeszcze bogatsze języki, np. język teorii typów wprowadza różnego rodzaju

predykaty wyższych rzędów, których argumentami są predykaty rzędów niższych. Każdy taki

język pozwala na pełniejszą analizę struktury logicznej języka naturalnego, ale zbudowane

w nich systemy logiczne są zbyt złożone jak na poziom i objętość tego kursu.

Warto podkreślić, że kategoria nazw jest w języku KRK stosowana wąsko – tylko do nazw

indywidualnych. Nazwy generalne są traktowane jako część składowa predykatów. Zatem,

przykładowo, w zdaniu:

Janek jest alkoholikiem

Tylko słowo Janek uznamy za nazwę, natomiast resztę wyrażenia potraktujemy jako predykat

kategorii z/n (_jest alkoholikiem).

W kolejnych częściach kursu będziemy mieli do czynienia najczęściej z

funkcjami

zdaniowymi

, czyli wyrażeniami, w których pewne zmienne nie występują związane przez

żaden operator. Są to wyrażenia, które tylko syntaktycznie są zdaniami, gdyż ich wartość

logiczna zależna jest od kontekstu (odpowiedniej interpretacji). Z tego względu będziemy

posługiwać się ogólniejszym pojęciem

formuły danego języka

. Formułą będzie zarówno

zdanie, jak i funkcja zdaniowa zbudowana według gramatyki danego języka.

Charakterystycznym zabiegiem współczesnej, teorio-modelowej semantyki jest tworzenie

struktur interpretacyjnych zwanych modelami.

Model

składa się z niepustej dziedziny będącej

dowolnym zbiorem, zawierającym co najmniej jeden obiekt oraz klasy relacji zdefiniowanych na

tej dziedzinie. Relacje n-elementowe są tu rozumiane jako zbiory uporządkowanych n-tek

obiektów z dziedziny modelu.

Szczególnym przypadkiem relacji są relacje 1-elementowe, są to po prostu podzbiory dziedziny.

Dowolny taki podzbiór stanowi formalny odpowiednik pojęcia cechy w tym sensie, że cecha jest

w modelu interpretowana jako zbiór tych obiektów z dziedziny, które daną cechę posiadają.

49

Analogicznie – dla dowolnej relacji n-elementowej (n>1) – interpretuje się ją w modelu jako zbiór

tych wszystkich uporządkowanych n-tek obiektów z dziedziny, dla których ta relacja zachodzi.

Przez uporządkowaną n-tkę rozumiemy tutaj to, że kolejność elementów ma znaczenie

zasadnicze. Nieuporządkowaną parę liczb traktujemy jako zwykły dwuelementowy zbiór, czyli

{2,3}={3,2}, natomiast para uporządkowana temu kryterium równości nie podlega; <2,3> nie jest

identyczne z <3,2>, gdyż pierwsza z tych par spełnia predykat 2-argumentowy _<_, a druga go

nie spełnia.

W ten sposób, stosunkowo prosta aparatura formalna zapożyczona z teorii mnogości, pozwala

precyzyjnie wyrazić tradycyjne pojęcia przedmiotu, cechy czy relacji. Dokładniej funkcjonowanie

takiej semantyki dla języka rachunku kwantyfikatorów omówimy w module 4.

Ostatnia sprawa, którą należy podkreślić, to fakt, że semantyka teorio-modelowa jest

ekstensjonalna. Nie będziemy próbowali definiować znaczenia (intensji) żadnego

z rozważanych dalej wyrażeń języków sztucznych, a tylko ich odniesienie.

Semantyki intensjonalne mają dużo bardziej złożony charakter, a ich prezentacja jest

niemożliwa we wstępnym kursie logiki. Należy jednak podkreślić, że odniesień wyrażeń

z języków sztucznych nie szuka się w świecie fizycznym (tak jak dla wielu wyrażeń języków

naturalnych), ale konstruuje się modele, które zasadniczo też są tworami językowymi. Tak więc

języki sztuczne są pewnymi przybliżeniami do różnych aspektów języka naturalnego, natomiast

ich modele są pewnymi przybliżeniami do różnych aspektów rzeczywistości.