MAS IPSiR

UW

materiały dydaktyczne (2)

1

Wersja robocza

http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/EBook

Charakterystyki rozkładu liczebności

1. Miary tendencji centralnej (MTC)

2. Miary dyspersji (zróżnicowania, rozproszenia) (MD)
3. Miary asymetrii (MA)

1. Miary tendencji centralnej (MTC)

 Średnia arytmetyczna

 Dominanta (wartość modalna, moda)

 Mediana (wartość środkowa)

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna

x

jest to wartość cechy, którą otrzymujemy dzieląc sumę

wartości cechy wszystkich jednostek zbiorowości przez liczebność zbiorowości.

Dla danych indywidualnych, zakładając, że X jest cechą zbiorowości, która liczy n
jednostek statystycznych:

x

x

n

x

x

x

n

i

i

n

n





  





1

1

2

...

(1)

Dla danych pogrupowanych - obliczamy średnią ważoną. Zakładając, że X jest
cechą zbiorowości, która liczy n jednostek statystycznych pogrupowanych w k-klas
(przedziałów). Stosujemy następujący wzór:

n

n

x

n

x

n

x

n

n

x

x

k

k

k

i

i

i















...

2

2

1

1

1

, (2)

zauważmy, że

n

n

i

i

k







1

,

dla danych pogrupowanych w przedziały, w miejsce

x

i

należy wstawić

x

i

0

(środek przedziału)

Przykład 1.
Dane o wzroście studentów (n=10) są następujące:

Ile wynosi średni wzrost?

Stosujemy wzór (1) - dla danych indywidualnych.
Suma wartości Xi wynosi 1717, podzielona przez 10 liczebność zbiorowości) wynosi
171,7. Zatem: x

 171 7

, . Interpretacja: studenci mają średnio prawie 172 cm.

Xi

160 171 161 190 171 155 180 183 189 157

MAS IPSiR

UW

materiały dydaktyczne (2)

2

Przykład 2.
Dane o wzroście n = 300 studentów są następujące:

Ile wynosi średni wzrost?
Należy obliczyć średnią ważoną (dane są pogrupowane), czyli zastosować wzór (2).

x





50040

300

166 8

,

Przykład 3.
Dane o wieku mieszkańców pewnego „wieżowca” (n = 300) są następujące:

Ile wynosi średni wzrost?
Należy obliczyć średnią ważoną (dane są pogrupowane), czyli zastosować wzór (2).

5

,

34

300

10350 



x

Interpretacja: Mieszkańcy wieżowca mają średnio prawie 35 lat

Własności średniej arytmetycznej:
- może przyjąć każdą wartość z przedziału Xmin i Xmax
- jest wartością abstrakcyjną, wypadkową
- jest wartością mianowaną
- suma odchyleń od średniej jest równa zero
- suma kwadratów odchyleń jest najmniejsza (metoda najmniejszych kwadratów)

Dominanta (wartość modalna, moda)

Dominanta (d) jest to wartość cechy, która występuje w analizowanej zbiorowości
najczęściej.

Dla danych indywidualnych wyznaczanie dominanty polega na ustaleniu jaka
wartość cechy występuje najczęściej czyli pojawia się u największej liczby jednostek
statystycznych.

x

i

n

i

x

i

n

i

160 50

8000

165 90

14850

168 100

16800

170 50

8500

189 10

1890

suma 300

50040

x

i

n

i

x

i

0

x

i

0

x

n

i

0-10 20

5

100

10-20 40

15

600

20-30 80

25

2000

30-40 60

35

2100

40-50 40

45

1800

50-60 30

55

1650

60-70 20

65

1300

70-90 10

80

800

suma 300

X

10350

MAS IPSiR

UW

materiały dydaktyczne (2)

3

Przykład 3
Analizą jest objęta grupa 10 studentów, X - wzrost w cm.
Dane są następujące:

X 160 170 170 168 169 162 180 168 168 169

Podaj ile wynosi dominanta: d = 168 cm.
Interpretacja: Studenci najczęściej mają wzrost 168 cm.

Dla danych pogrupowanych dominantę wyznacza się z szeregu rozdzielczego.

Jeżeli pogrupowanie jest punktowe dominantą jest ta wartość cechy, która
odpowiada największej liczebności.

Przykład 4.
Dane o wzroście (X) studentów pewnego wydziału uniwersyteckiego (n=150) są
następujące:

X ni nsk

160 20 20
165 30 50
170 35 85
172

50 135

178 15 150

Suma 150

X

Obliczyć dominantę.

Wśród liczebności grupowych (ni) odnajdujemy wartość największą (czyli: 50). Dominantą jest

wartość X odpowiadająca największej liczebności.

Odpowiedź:

d = 172 cm, interpretacja: najczęściej studenci mają 172 cm wzrostu.

Jeżeli dane pogrupowane są w przedziały możemy wyznaczyć przedział
dominanty, a następnie przyjąć jako przybliżoną wartość dominanty środek
przedziału

Przykład 5:
Wyniki testu pamięciowego przeprowadzonego wśród 100 studentów są
następujące:

X

ni

nsk X

0

i

Xi0ni

0 - 5

5

5

11,5

5 - 10

20

25

150,0

10 - 15

30

55

375,0

15 - 20

25

80

435,5

20 - 25

20

100

450,0

Suma 100

X

X

1423,5

d ≈ 12,5 (środek przedziału)

x

= 14,2;

interpretacja: najczęściej studenci mają 172 cm wzrostu.

 Własności

Rozkłady unimodalne (jednomodalne)
Rozkłady bimodalne (dwumodalne)
Rozkłady multimodalne (wielomodalne)

MAS IPSiR

UW

materiały dydaktyczne (2)

4

Graficzne wyznaczanie dominanty

Dominantę z szeregu rozdzielczego można w przybliżeniu wyznaczyć także w
sposób graficzny (np. na podstawie histogramu).

Mediana (wartość środkowa)

Mediana jest to wartość zmiennej, która „dzieli” zbiorowość statystyczną na dwie
części - tak, że 50% jednostek zbiorowości posiada wartość zmiennej mniejszą lub
równą medianie i 50% jednostek zbiorowości posiada wartość zmiennej większą lub
równą medianie.

Obliczanie mediany polega na wskazaniu jednostki środkowej i odczytaniu wartości
zmiennej przez nią posiadaną (zakładamy, że jednostki zbiorowości uporządkowane
są według rosnących wartości zmiennej)

Dla wskazania, która jednostka "zajmuje środkową pozycję" zaleca się
skumulowanie liczebności (sumowanie narastające).
Należy zauważyć, że przy nieparzystej liczbie jednostek zbiorowości "osoba"
środkowa będzie miała indeks (n+1)/2. Przy parzystej liczbie jednostek zbiorowości
wskazuje się dwie jednostki środkowe o indeksach n/2 i n/2 +1.

Dla danych indywidualnych (uporządkowanych) lub pogrupowanych punktowo
medianę oblicza się następująco:

2

1

2

2







n

n

x

x

Me

dla parzystej liczby n

2

1





n

x

Me

dla nieparzystej liczby n

Jeżeli dane pogrupowane są w przedziały możemy:
a) wyznaczyć przedział mediany, a następnie przyjąć jako przybliżoną wartość

mediany środek przedziału

b) określić przybliżoną wartość mediany za pomocą wzoru interpolacyjnego.

Przykład 6
200 losowo wybranych kierowców samochodów osobowych zapytano ile wykroczeń
drogowych popełnili w ciągu ostatnich 6 miesięcy. Uzyskano następujące
odpowiedzi. Obliczyć medianę.

Dominanta

x

n

MAS IPSiR

UW

materiały dydaktyczne (2)

5

X

ni

Nsk

(numery jednostek)

0 – 5

50 50

(1……50)

6 – 11

60 110

(51 …110)

12 – 17

40 150

(111 …150)

18 – 23

40 190

(151 …190)

24 – 29

10 200

(191 …200)

Suma 200

X

Rozwiązanie
1. w pierwszym etapie obliczamy wartość odpowiadającą numerowi „środkowej”
jednostki (lub dwóm środkowym jednostkom). Ponieważ liczebność zbiorowości
n=200, czyli jest parzysta – w tej zbiorowości mamy dwie środkowe jednostki o
numerach:

I: n/2 tj. 200/2 = 100
II: (n/2) + 1 = 202/2 + 1 = 101

2. ustalamy, który przedział (o jakich wartościach cechy) jest przedziałem mediany

a) analizujemy kolumnę liczebności skumulowanych i ustalamy, w którym

przedziale (przedziałach) znajdują się jednostki nr 100 i nr 101. Widzimy, że
obie jednostki znajdują się w drugim przedziale (gdyż tam mieszczą się
jednostki o numerach od 51 do 110).

b) czyli mediana znajduje się w przedziale drugim (o wartościach 6 – 8).

3. jako wartość mediany przyjmujemy w przybliżeniu środek przedziału, a więc

wartość 8.

Me = 8

4. Interpretacja: Połowa badanych kierowców przyznała się do popełnienia poniżej 8

lub 8 wykroczeń drogowych (można też powiedzieć: co najwyżej 8).

LUB

Połowa badanych kierowców przyznała się do popełnienia 8 lub powyżej 8
wykroczeń drogowych (można też powiedzieć: co najmniej 8).

Wyznaczania mediany dla szeregu prostego (dane indywidualne)

1. należy uporządkować dane w porządku rosnącym,
2. zauważyć (przeliczyć) czy liczba obserwacji jest parzysta czy nieparzysta

a) Jeżeli szereg jest nieparzysty wartość mediany stanowi wartość cechy jednostki
środkowej
b) Jeżeli liczba jednostek jest parzysta, to znaczy, że są dwie środkowe jednostki, a
medianę stanowi średnia arytmetyczna wartości badanej cechy, która posiadaja te
dwie środkowe jednostki.

Przykład 7
168, 178, 171, 185, 180, 171, 179, 183, 180, 175, 186; n=11
- porządkujemy rosnąco
168, 171, 171, 175, 178,

179

, 180, 180, 183, 185, 186

MAS IPSiR

UW

materiały dydaktyczne (2)

6

- wyznaczamy numer środkowej jednostki: (n+1)/2=(11+1)/2=6
- jednostka nr 6 posiada wartość cechy (np. wzrost) = 179, czyli Me = 179
Interpretacja (ogólna): połowa jednostek posiada wartość cechę mniejszą niż 179
lub 179, a połowa – większą niż 179 lub 179.

Przykład 8
159, 168, 171, 171, 175,

176, 178

, 180, 180, 183, 185, 186; n=12

- wartości są uporządkowane rosnąco
- ponieważ liczba jednostek jest parzysta wyznaczamy numery dwóch środkowych:

(I): (n/2) = 6
(II): (n/2)+1 = 12/2 + 1 = 7

- jednostki o numerach 6 i 7 posiadają wartości cechy 176 i 178

Me = (176+178)

 2 = 177

Interpretacja (ogólna): połowa jednostek posiada wartość cechy mniejszą niż 177, a
połowa – większą niż 177.

Średnia geometryczna

jest to pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n liczb.

Jeśli tymi liczbami są wskaźniki dynamiki (łańcuchowe) w okresie od 0 do n,
średnia geometryczna oznacza średnie roczne tempo zmian (wzrost lub spadek)
w %.

1

1









t

t

n

n

t

X

X

G

(



- oznacza iloczyn)

Przykład 9.

Dane czasowe: X – liczba zabójstw dokonanych w latach 2000-2007

Liczba punktów

czasowych

1 2 3 4 5 6 7 8

lata

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

X

t

809 751 690

638

616

544

480 512

Indeksy

łańcuchowe

Xt/X

t-1

751/809 690/751

638/690

616/638

544/616

480/544 512/480

n

X

2001

/X

2000

* X

2002

/X

2001

* X

2003

/X

2002

* X

2004

/X

2003

* X

2005

/X

2004

* X

2006

/X

2005

* X

2007

/X

2006

=

=

7

X

2007

/X

2000

(kolor żółty- składniki, które się skracają)

stopnia)

=

7

809

/

512

=

7

6329

,

0

=

0,937

Do interpretacji od 0,937 odejmujemy 1 i wynik mnożymy przez 100:
(0,937-1)*100 = – 0,063 *100 = – 6,3%

Interpretacja: średnie roczne tempo wynosi - 6,3%, czyli W latach 2000-2007, z roku
na rok liczba zabójstw zmniejszała się średnio o 6,3%, czyli o ponad 6%.