Politechnika Śląska w Gliwicach

Politechnika Śląska w Gliwicach

Politechnika Śląska w Gliwicach

Politechnika Śląska w Gliwicach

Mechanika Płynów

Mechanika Płynów

Mechanika Płynów

Mechanika Płynów

Wykład nr 15

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

Potrzeby techniczne sprawiają konieczność uproszczonych metod obliczeń, w których

stosuje się prosty model przepływu, a wszystkie założone zjawiska uwzględnia się

wprowadzając korekty empiryczne. Modelem dla przepływu cieczy i gazu w kanałach jest

przepływ jednowymiarowy ustalony. Do obliczeń stosuje się równanie z przepływu

idealnych, najczęściej w postaci równania Bernoull’ego:

str

2

2

2

1

1

2

1

z

z

p

g

2

v

z

p

g

2

v

++++

++++

γγγγ

++++

====

++++

γγγγ

++++

.

(15.1)

z

str

– straty mocy w przepływach rzeczywistych oblicza się ze wzoru :

g

2

v

d

l

z

2

str













λλλλ

====

.

(15.2)

Czasami z

str

wyraża się poprzez ciśnienie :

µµµµ

∆∆∆∆

ββββ

====

p

z

str

.

(15.3)

Równania te są typowymi przedstawicielami równań mechaniki płynów zwanej

hydrauliką. Powszechnie stosowana w obliczeniach rurociągów i najstarszym działaniem

mech. płynów.

Takie techniczne układy jak: dysze, dyfuzory zalicza się do działu hydrauliki i stosuje

się uproszczone metody obliczeń.

W obliczeniach kanałów i długich przewodów stosuje się :

1.

obliczanie strumienia masy lub objętości przy znanej różnicy ciśnień, lub obliczenie

potrzebnej różnicy ciśnień dla danego strumienia masy.

dt

dm

m

====

••••

,













====

∆∆∆∆

••••

m

f

p

.

(15.4)

2.

obliczanie średnicy kanału dla danego strumienia lub objętości dla różnej różnicy

ciśnień.













∆∆∆∆

====

••••

p

,

m

f

d

.

(15.5)

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

METODA OBLICZEŃ PRZEPŁYWU CIECZY W DŁUGICH KANAŁACH

Wiemy, że dla cieczy lepkiej rozkład prędkości obiega od wartości średniej. W tej

sytuacji jako prędkość przepływu jednowymiarowego przyjmuje się jako prędkość przepływu

prędkość średnią.

Rys. 1

Należy rozważyć jaki błąd się popełnia przy przepływie przez kanały opartych o

równanie Bernulli’ego.

Rzeczywista energia płynu przepływającego przez dany przekrój kanału w jednostce

czasu czyli rzeczywisty strumień energii rzeczywistej w postaci różniczkowej.

2

2

v

V

d

2

1

V

m

d

2

1

E

d

••••

••••

••••

ξξξξ

====

====

(15.6)

Elementarny strumień objętości

••••

V

d

o przekroju kołowym

0

r

2

====

ϕϕϕϕ

obliczamy na

podstawie poniższego rysunku :

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

Rys. 2

v

*

dr

*

r

2

V

d

ππππ

====

••••

.

(15.7)

sr

2

o

sr

r

0

v

r

v

*

rdr

2

V

o

ππππ

====

ππππ

====

∫∫∫∫

••••

.

(15.8)

Gdybyśmy założyli prędkość zależną od promienia r czyli v(r) to wydatek objętości:

∫∫∫∫

ππππ

====

••••

0

r

0

dr

))

r

(

v

(

r

2

V

.

(15.9)

15.7 → 15.6

3

rdrv

2

2

1

E

d

ππππ

ξξξξ

====

••••

.

(15.10)

∫∫∫∫

πξ

πξ

πξ

πξ

====

••••

o

r

0

3

dr

rv

E

.

(15.11)

Gdy strumień energi kinetycznej odniesiemy do prędkości średniej v

ś

r

sr

2
sr

v

V

d

2

1

v

m

2

1

E

••••

••••

••••

ξξξξ

====

====

.

(15.12)

2

v

r

'

E

2
sr

2

πξ

πξ

πξ

πξ

====

••••

.

(15.13)

Gdzie

••••

V

można wyliczyć : (strumień objętościowy)

sr

v

*

A

V

====

••••

.

(15.14)

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

A – przekrój rury

Zatem

A

V

v

sr

••••

====

.

(15.15)

Uwzględniając zależność (15.6) można napisać :

2

o

r

0

2

0

r

0

sr

sr

r

rdr

)

r

(

v

2

r

rdr

v

2

v

o

o

∫∫∫∫

∫∫∫∫

====

ππππ

ππππ

====

.

(15.16)

Podstawiając v

sr

do wzoru (15.10) otrzymujemy że :

4

o

3

r

0

r

rdr

)

r

(

v

4

'

E

0















πξ

πξ

πξ

πξ

====

∫∫∫∫

••••

.

(15.17)

Otrzymano dwa wyrażenia: jedno

••••

E

(15.8) dla rzeczywistego rozkładu prędkości i

strumień energii

••••

'

E

dla przyjętego rozkładu prędkości v

sr.

Iloraz tych strumieni energii jest nazywany współczynnikiem Coriolisa :

••••

••••

====

αααα

'

E

E

(15.18)

3

r

0

3

r

0

2

0

3

r

0

3

r

0

4

0

0

0

0

rdr

)

r

(

v

v

rdr

4

r

rdr

)

r

(

v

4

v

rdr

r

d















====















πξ

πξ

πξ

πξ

πξ

πξ

πξ

πξ

====

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

(15.19)

Stosunek rzeczywistego strumienia energii kinetycznej

••••

E

do strumienia energii

kinetycznej

••••

'

E

wynikającej z obliczeń prędkości średniej v

ś

r

nosi nazwę wsp. Coriolisa i dla

przekroju kołowego wynosi zgodnie z wzorem (15.16) widzimy, że

αααα

jest zawsze większa od

jedności.

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

Dla ruchu laminarnego

αααα

=2

Dla ruchu turbulentnego

αααα

=1.1

(15.20)

W przypadku obliczeń pożądane jest uwzględnienie tego współczynnika, gdyż

rzeczywista energia kinetyczna wyrażona poprzez prędkość średnią v

ś

r

wynosi :

2

v

*

E

2
sr

rz

αααα

====

(15.21)

Praktycznie współczynnik

αααα

jest uwzględniony tylko wtedy gdy wartość energii

kinetycznej jest porównywalny z wartością strat podczas przepływu. W długich kanałach nie

mogą być pomijane opory przepływu i stosując równanie bilansu Bernulli’ego piszemy jego

postać pół-empiryczną jak to podano wzorami (15.1).

str

2

2

2

1

1

2

1

z

z

p

g

2

v

z

p

g

2

v

++++

++++

γγγγ

++++

====

++++

γγγγ

++++

.

(15.22)

Kanał pojedynczy: najprostszym przykładem przepływu długi kanał o stałym

przekroju (często kołowym) ciesz wypływa z zbiornika przez poziomy kanał o Ø=d i dł.=l, na

swobodnej powierzchni cieczy ciśnienia pa. Zakłada się w obliczeniach, że w powierzchnia

zbiornika A

1

jest znacznie większa od przekroju A

u

wobec czego V

1

w zbiorniku

przyjmujemy równe 0. Schemat można przedstawić następująco:

Rys. 3

Równanie przyjmuje postać:

str

2

2

2

1

1

2

1

z

z

p

g

2

v

z

p

g

2

v

0

++++

++++

γγγγ

++++

====

++++

γγγγ

++++

====

.

(15.23)

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

Otrzymujemy wyrażenie, że poziomu w zbiorniku cieczy :

str

2
4

1

z

g

2

v

z

++++

====

,

(15.24)

g

2

v

d

l

z

2
4

str

λλλλ

====

.

(15.25)

Uwzględniając wsp. Coriolisa

g

2

v

d

l

g

2

v

z

2
4

2
4

1

λλλλ

++++

αααα

====

.

(15.26)

Odnośnie współczynnika

λλλλ

są różne reguły wyznaczania tego współczynnika, który

jest funkcją najczęściej liczby Reynolds’a względnie można go uzyskać na podstawie

odpowiednich wykresów, które można znaleźć w podręcznikach hydrauliki dotyczących

obliczeń kanałów: np. wzór

4

Re

16

,

0

====

λλλλ

.

(15.27)

Przepływy laminarne i turbulencyjne – współczynnik strat

– liczba Blasiusa

Prawo Hagena-Poiseuille’a

4

d

*

l

p

*

128

Q

∆∆∆∆

µµµµ

ππππ

====

,

(15.28)

(strata energii) po przekształceniu:

g

2

v

*

d

l

*

Re

64

r

p

h

ś

r

====

∆∆∆∆

====

∆∆∆∆

,

(15.29)

v

d

v

Re

ś

r

====

,

(15.30)

d

l

g

2

v

R

h

2

str

====

.

(15.31)

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

Współczynnik strat na tarcie

λλλλ

•

dla ruchu laminarnego

Re

64

====

λλλλ

,

(15.32)

•

dla ruchu turbulentnego

λλλλ

określa się doświadczalnie wg wzoru Blausiusa

4

Re

316

,

0

====

λλλλ

,

(15.33)

•

ogólny wzór laminarnego

Re

64

Re

1

K

bn

n

====













====

λλλλ

∑

∑

∑

∑

.

(15.34)

Istnieje pewna krytyczna wartość

v

vd

Re

====

poniżej której ruch kształtuje się jako

laminarny a powyżej turbulentny.

Laminarny Re

kr1

Laminarny lub Turbulentny Re

kr2

Turbulentny

Re

kr1 =

2340

Re

kr2

= 50 000

Współczynnik strat dla ruchu laminarnego są 2 razy mniejsze (dla przepływu laminarnego lub

turbulentnego) – przyjmuje się wyższe.

Szorstkość:

•

Wzór Nikuradusa

2

174

s

v

lg

2

1













++++

====

λλλλ

.

(15.35)

Przy każdej szorstkości ustala się wartość współczynnika strat

λλλλ

wg tabeli lub z

wykresu (rys.4 ).

•

Wzór Misesa

Re

2

2

,

7

r

k

4

0096

,

0

++++

++++

====

λλλλ

.

(15.36)

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

k - liczba (wymiar długości charakterystycznej).

Rys. 4

Obliczanie wydajności pomp.

Jeżeli na drodze przepływu strugi

znajduje się źródło energii, to w tym

miejscu następuje przyrost lub ubytek

energii cieczy. Znajduje to odbicie w

równaniu Bernoulliego.

Rys. 5

z

str

2

2

2
2

1

1

2

1

H

h

z

p

g

2

v

z

p

g

2

v

++++

++++

++++

λλλλ

++++

====

++++

λλλλ

++++

.

(15.37)

H

z

– wys. hydrauliczna źródła energii

str

z

p

v

z

h

h

h

h

H

−−−−

∆∆∆∆

++++

∆∆∆∆

++++

∆∆∆∆

====

,

(15.38)

z

H

Q

N

γγγγ

====

.

(15.39)

W praktyce przyjmujemy że przy długich rurociągach straty lokalne są małe w

stosunku do strat wzdłuż przewodu i można ja zaniedbać. Cała energia strumienia zużyta

zostaje na pokonanie tarcia.

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

d

l

g

2

v

~

h

2

str

λλλλ

====

.

(15.40)

l

d

h

g

2

v

str

λλλλ

====

.

(15.41)

v

4

d

Q

4

ππππ

====

.

(15.42)

Przyjmując

λλλλ

w przybliżeniu obliczamy v

I

,

następnie

v

d

v

Re

I

====

,

(15.43)

oraz z wzoru Blausiasa

4

Re

316

,

0

====

λλλλ

,

(15.44)

następnie II przybliżenie, czyli dla v

II

liczymy ze wzoru (15.43) Re i wyznaczamy

λλλλ

ze

wzoru (15.44).

Przewody rozgałęzione

Rys. 6

H – efektywna różnica ciśnień

2

2

2
2

2

1

1

2

1

1

2

str

1

str

AB

d

l

g

2

v

d

l

g

2

v

h

h

H

λλλλ

++++

λλλλ

====

++++

====

(15.45)

3

3

2
3

3

1

1

2

1

1

3

str

1

str

AC

d

l

g

2

v

d

l

g

2

v

h

h

H

λλλλ

++++

λλλλ

====

++++

====

(15.46)

2
3

3

2
2

2

2

1

1

3

1

d

v

d

v

d

v

Q

Q

Q

++++

====

====

++++

====

(15.47)