Politechnika Śląska w Gliwicach
Politechnika Śląska w Gliwicach
Politechnika Śląska w Gliwicach
Politechnika Śląska w Gliwicach
Mechanika Płynów
Mechanika Płynów
Mechanika Płynów
Mechanika Płynów
Wykład nr 15
„Przepływ cieczy przez długie kanały.”
„Przepływ cieczy przez długie kanały.”
„Przepływ cieczy przez długie kanały.”
„Przepływ cieczy przez długie kanały.”
„Przepływ cieczy przez długie kanały.”
Wykład 15
w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7
Potrzeby techniczne sprawiają konieczność uproszczonych metod obliczeń, w których
stosuje się prosty model przepływu, a wszystkie założone zjawiska uwzględnia się
wprowadzając korekty empiryczne. Modelem dla przepływu cieczy i gazu w kanałach jest
przepływ jednowymiarowy ustalony. Do obliczeń stosuje się równanie z przepływu
idealnych, najczęściej w postaci równania Bernoull’ego:
str
2
2
2
1
1
2
1
z
z
p
g
2
v
z
p
g
2
v
++++
++++
γγγγ
++++
====
++++
γγγγ
++++
.
(15.1)
z
str
– straty mocy w przepływach rzeczywistych oblicza się ze wzoru :
g
2
v
d
l
z
2
str
λλλλ
====
.
(15.2)
Czasami z
str
wyraża się poprzez ciśnienie :
µµµµ
∆∆∆∆
ββββ
====
p
z
str
.
(15.3)
Równania te są typowymi przedstawicielami równań mechaniki płynów zwanej
hydrauliką. Powszechnie stosowana w obliczeniach rurociągów i najstarszym działaniem
mech. płynów.
Takie techniczne układy jak: dysze, dyfuzory zalicza się do działu hydrauliki i stosuje
się uproszczone metody obliczeń.
W obliczeniach kanałów i długich przewodów stosuje się :
1.
obliczanie strumienia masy lub objętości przy znanej różnicy ciśnień, lub obliczenie
potrzebnej różnicy ciśnień dla danego strumienia masy.
dt
dm
m
====
••••
,
====
∆∆∆∆
••••
m
f
p
.
(15.4)
2.
obliczanie średnicy kanału dla danego strumienia lub objętości dla różnej różnicy
ciśnień.
∆∆∆∆
====
••••
p
,
m
f
d
.
(15.5)
„Przepływ cieczy przez długie kanały.”
Wykład 15
w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7
METODA OBLICZEŃ PRZEPŁYWU CIECZY W DŁUGICH KANAŁACH
Wiemy, że dla cieczy lepkiej rozkład prędkości obiega od wartości średniej. W tej
sytuacji jako prędkość przepływu jednowymiarowego przyjmuje się jako prędkość przepływu
prędkość średnią.
Rys. 1
Należy rozważyć jaki błąd się popełnia przy przepływie przez kanały opartych o
równanie Bernulli’ego.
Rzeczywista energia płynu przepływającego przez dany przekrój kanału w jednostce
czasu czyli rzeczywisty strumień energii rzeczywistej w postaci różniczkowej.
2
2
v
V
d
2
1
V
m
d
2
1
E
d
••••
••••
••••
ξξξξ
====
====
(15.6)
Elementarny strumień objętości
••••
V
d
o przekroju kołowym
0
r
2
====
ϕϕϕϕ
obliczamy na
podstawie poniższego rysunku :
„Przepływ cieczy przez długie kanały.”
Wykład 15
w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7
Rys. 2
v
*
dr
*
r
2
V
d
ππππ
====
••••
.
(15.7)
sr
2
o
sr
r
0
v
r
v
*
rdr
2
V
o
ππππ
====
ππππ
====
∫∫∫∫
••••
.
(15.8)
Gdybyśmy założyli prędkość zależną od promienia r czyli v(r) to wydatek objętości:
∫∫∫∫
ππππ
====
••••
0
r
0
dr
))
r
(
v
(
r
2
V
.
(15.9)
15.7 → 15.6
3
rdrv
2
2
1
E
d
ππππ
ξξξξ
====
••••
.
(15.10)
∫∫∫∫
πξ
πξ
πξ
πξ
====
••••
o
r
0
3
dr
rv
E
.
(15.11)
Gdy strumień energi kinetycznej odniesiemy do prędkości średniej v
ś
r
sr
2
sr
v
V
d
2
1
v
m
2
1
E
••••
••••
••••
ξξξξ
====
====
.
(15.12)
2
v
r
'
E
2
sr
2
πξ
πξ
πξ
πξ
====
••••
.
(15.13)
Gdzie
••••
V
można wyliczyć : (strumień objętościowy)
sr
v
*
A
V
====
••••
.
(15.14)
„Przepływ cieczy przez długie kanały.”
Wykład 15
w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7
A – przekrój rury
Zatem
A
V
v
sr
••••
====
.
(15.15)
Uwzględniając zależność (15.6) można napisać :
2
o
r
0
2
0
r
0
sr
sr
r
rdr
)
r
(
v
2
r
rdr
v
2
v
o
o
∫∫∫∫
∫∫∫∫
====
ππππ
ππππ
====
.
(15.16)
Podstawiając v
sr
do wzoru (15.10) otrzymujemy że :
4
o
3
r
0
r
rdr
)
r
(
v
4
'
E
0
πξ
πξ
πξ
πξ
====
∫∫∫∫
••••
.
(15.17)
Otrzymano dwa wyrażenia: jedno
••••
E
(15.8) dla rzeczywistego rozkładu prędkości i
strumień energii
••••
'
E
dla przyjętego rozkładu prędkości v
sr.
Iloraz tych strumieni energii jest nazywany współczynnikiem Coriolisa :
••••
••••
====
αααα
'
E
E
(15.18)
3
r
0
3
r
0
2
0
3
r
0
3
r
0
4
0
0
0
0
rdr
)
r
(
v
v
rdr
4
r
rdr
)
r
(
v
4
v
rdr
r
d
====
πξ
πξ
πξ
πξ
πξ
πξ
πξ
πξ
====
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
(15.19)
Stosunek rzeczywistego strumienia energii kinetycznej
••••
E
do strumienia energii
kinetycznej
••••
'
E
wynikającej z obliczeń prędkości średniej v
ś
r
nosi nazwę wsp. Coriolisa i dla
przekroju kołowego wynosi zgodnie z wzorem (15.16) widzimy, że
αααα
jest zawsze większa od
jedności.
„Przepływ cieczy przez długie kanały.”
Wykład 15
w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7
Dla ruchu laminarnego
αααα
=2
Dla ruchu turbulentnego
αααα
=1.1
(15.20)
W przypadku obliczeń pożądane jest uwzględnienie tego współczynnika, gdyż
rzeczywista energia kinetyczna wyrażona poprzez prędkość średnią v
ś
r
wynosi :
2
v
*
E
2
sr
rz
αααα
====
(15.21)
Praktycznie współczynnik
αααα
jest uwzględniony tylko wtedy gdy wartość energii
kinetycznej jest porównywalny z wartością strat podczas przepływu. W długich kanałach nie
mogą być pomijane opory przepływu i stosując równanie bilansu Bernulli’ego piszemy jego
postać pół-empiryczną jak to podano wzorami (15.1).
str
2
2
2
1
1
2
1
z
z
p
g
2
v
z
p
g
2
v
++++
++++
γγγγ
++++
====
++++
γγγγ
++++
.
(15.22)
Kanał pojedynczy: najprostszym przykładem przepływu długi kanał o stałym
przekroju (często kołowym) ciesz wypływa z zbiornika przez poziomy kanał o Ø=d i dł.=l, na
swobodnej powierzchni cieczy ciśnienia pa. Zakłada się w obliczeniach, że w powierzchnia
zbiornika A
1
jest znacznie większa od przekroju A
u
wobec czego V
1
w zbiorniku
przyjmujemy równe 0. Schemat można przedstawić następująco:
Rys. 3
Równanie przyjmuje postać:
str
2
2
2
1
1
2
1
z
z
p
g
2
v
z
p
g
2
v
0
++++
++++
γγγγ
++++
====
++++
γγγγ
++++
====
.
(15.23)
„Przepływ cieczy przez długie kanały.”
Wykład 15
w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7
Otrzymujemy wyrażenie, że poziomu w zbiorniku cieczy :
str
2
4
1
z
g
2
v
z
++++
====
,
(15.24)
g
2
v
d
l
z
2
4
str
λλλλ
====
.
(15.25)
Uwzględniając wsp. Coriolisa
g
2
v
d
l
g
2
v
z
2
4
2
4
1
λλλλ
++++
αααα
====
.
(15.26)
Odnośnie współczynnika
λλλλ
są różne reguły wyznaczania tego współczynnika, który
jest funkcją najczęściej liczby Reynolds’a względnie można go uzyskać na podstawie
odpowiednich wykresów, które można znaleźć w podręcznikach hydrauliki dotyczących
obliczeń kanałów: np. wzór
4
Re
16
,
0
====
λλλλ
.
(15.27)
Przepływy laminarne i turbulencyjne – współczynnik strat
– liczba Blasiusa
Prawo Hagena-Poiseuille’a
4
d
*
l
p
*
128
Q
∆∆∆∆
µµµµ
ππππ
====
,
(15.28)
(strata energii) po przekształceniu:
g
2
v
*
d
l
*
Re
64
r
p
h
ś
r
====
∆∆∆∆
====
∆∆∆∆
,
(15.29)
v
d
v
Re
ś
r
====
,
(15.30)
d
l
g
2
v
R
h
2
str
====
.
(15.31)
„Przepływ cieczy przez długie kanały.”
Wykład 15
w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7
Współczynnik strat na tarcie
λλλλ
•
dla ruchu laminarnego
Re
64
====
λλλλ
,
(15.32)
•
dla ruchu turbulentnego
λλλλ
określa się doświadczalnie wg wzoru Blausiusa
4
Re
316
,
0
====
λλλλ
,
(15.33)
•
ogólny wzór laminarnego
Re
64
Re
1
K
bn
n
====
====
λλλλ
∑
∑
∑
∑
.
(15.34)
Istnieje pewna krytyczna wartość
v
vd
Re
====
poniżej której ruch kształtuje się jako
laminarny a powyżej turbulentny.
Laminarny Re
kr1
Laminarny lub Turbulentny Re
kr2
Turbulentny
Re
kr1 =
2340
Re
kr2
= 50 000
Współczynnik strat dla ruchu laminarnego są 2 razy mniejsze (dla przepływu laminarnego lub
turbulentnego) – przyjmuje się wyższe.
Szorstkość:
•
Wzór Nikuradusa
2
174
s
v
lg
2
1
++++
====
λλλλ
.
(15.35)
Przy każdej szorstkości ustala się wartość współczynnika strat
λλλλ
wg tabeli lub z
wykresu (rys.4 ).
•
Wzór Misesa
Re
2
2
,
7
r
k
4
0096
,
0
++++
++++
====
λλλλ
.
(15.36)
„Przepływ cieczy przez długie kanały.”
Wykład 15
w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7
k - liczba (wymiar długości charakterystycznej).
Rys. 4
Obliczanie wydajności pomp.
Jeżeli na drodze przepływu strugi
znajduje się źródło energii, to w tym
miejscu następuje przyrost lub ubytek
energii cieczy. Znajduje to odbicie w
równaniu Bernoulliego.
Rys. 5
z
str
2
2
2
2
1
1
2
1
H
h
z
p
g
2
v
z
p
g
2
v
++++
++++
++++
λλλλ
++++
====
++++
λλλλ
++++
.
(15.37)
H
z
– wys. hydrauliczna źródła energii
str
z
p
v
z
h
h
h
h
H
−−−−
∆∆∆∆
++++
∆∆∆∆
++++
∆∆∆∆
====
,
(15.38)
z
H
Q
N
γγγγ
====
.
(15.39)
W praktyce przyjmujemy że przy długich rurociągach straty lokalne są małe w
stosunku do strat wzdłuż przewodu i można ja zaniedbać. Cała energia strumienia zużyta
zostaje na pokonanie tarcia.
„Przepływ cieczy przez długie kanały.”
Wykład 15
w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7
d
l
g
2
v
~
h
2
str
λλλλ
====
.
(15.40)
l
d
h
g
2
v
str
λλλλ
====
.
(15.41)
v
4
d
Q
4
ππππ
====
.
(15.42)
Przyjmując
λλλλ
w przybliżeniu obliczamy v
I
,
następnie
v
d
v
Re
I
====
,
(15.43)
oraz z wzoru Blausiasa
4
Re
316
,
0
====
λλλλ
,
(15.44)
następnie II przybliżenie, czyli dla v
II
liczymy ze wzoru (15.43) Re i wyznaczamy
λλλλ
ze
wzoru (15.44).
Przewody rozgałęzione
Rys. 6
H – efektywna różnica ciśnień
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
str
1
str
AB
d
l
g
2
v
d
l
g
2
v
h
h
H
λλλλ
++++
λλλλ
====
++++
====
(15.45)
3
3
2
3
3
1
1
2
1
1
3
str
1
str
AC
d
l
g
2
v
d
l
g
2
v
h
h
H
λλλλ
++++
λλλλ
====
++++
====
(15.46)
2
3
3
2
2
2
2
1
1
3
1
d
v
d
v
d
v
Q
Q
Q
++++
====
====
++++
====
(15.47)