Wykład 5
30 10 2006
iloczyn wektorowy
a
b
c = a×b
wersory układu kartezjańskiego XYZ
j×k =
i×j =
k×i =
i×i = j×j = k×k =
X
Y
Z
i
k
j
a = a
x
i a
y
j a
z
k
b = b
x
i b
y
j b
z
k
a×b =
a×b = −b×a
iloczyn wektorowy - własności
a×b c = a×b a×c
sa×b = sa×b
a≠0 i b≠0 a×b =0 ⇔ a∥b
iloczyn skalarny
a
b
wersory układu kartezjańskiego XYZ
j⋅k = k⋅j =
i⋅j = j⋅i =
k⋅i = i⋅k =
i⋅i = j⋅j = k⋅k =
X
Y
Z
i
k
j
a = a
x
i a
y
j a
z
k
b = b
x
i b
y
j b
z
k
a⋅b =
a⋅b = b⋅a
iloczyn skalarny - własności
a⋅b c = a⋅b a⋅c
sa⋅b = sa⋅b
a≠0 i b≠0
a⋅b =0 ⇔ a⊥b
a
2
= a⋅a = a
2
a
b
b cos
a cos
a
b
siła dociskająca [N]
rzeczywista
powierzchnia
styku [cm
2
]
powierzchnia styku/
powierzchnia geometryczna
20
50
1000
20
5000
0,0002
0,0005
0,01
0,05
1/100 000
1/40 000
1/2 000
1/400
płytki stalowe
geometryczna powierzchnia styku 21 cm
2
przybliżone wartości współczynników tarcia poślizgowego
stal / sta
l
0,15
metal / drewno
0,5 - 0,6
drewno / drewno
0,65
opona / suchy beton
1,0
opona / mokry beton
0,7
teflon / teflon
0,04
praca siły
dr
F
m
A
B
X
Y
r
A
r
B
d r
1
F
1
1
F
2
F
3
F
4
2
3
4
d r
2
d r
3
d r
4
W
AB
l
=
∑
i
F
i
⋅
dr
i
=
∑
i
F
i
ds
i
cos
i
A
B
l
X
Y
r
A
r
B
d r
i
F
i
i
A
B
s
F
s
dW
= F
s
⋅ds
ds
A
B
F
F
F
R
mg
R
mg
A
B
s
AB
R
mg
R
mg
A
B
s
AB
T = const
F
1
F
2
F
i
r
dr
r
F
W
Y
X
A
B
X
Y
r
A
r
B
d r
1
l
1
F
1
l
1
d r
2
l
1
d r
3
l
1
d r
4
l
1
F
2
l
1
F
3
l
1
F
4
l
1
F
1
l
2
F
7
l
2
F
8
l
2
d r
1
l
2
d r
7
l
2
d r
8
l
2
A
B
l
1
l
2
praca na drodze zamkniętej
A
B
l
1
l
2
l
3
A
B
W
AB
E
pA
E
pB
mg
mg
h
A
B
mg
C
mg
D
s
s
mg
mg
h
A
B
E
pA
E
pB
mg
mg
h
A
B
E
pA
E
pB
d
A⋅A = d A⋅A A⋅d A = 2 A⋅d A
A⋅A = A
2
A⋅d A = 1
2
d
A⋅A =
1
2
d
A
2
∫
A⋅d A =
∫
1
2
d
A
2
=
1
2
∫
d
A
2
=
A
2
2
energia kinetyczna
W
=
∫
A
B
F⋅dr =
∫
A
B
d
p
dt
⋅
dr
=
∫
A
B
d
dt
m V ⋅
dr
W
=
∫
A
B
m
d
V
dt
⋅
dr
=
∫
A
B
m d
V
⋅
d
r
dt
=
∫
A
B
m
V
⋅d V
W
=
∫
A
B
m d
1
2
V
2
=
m V
B
2
2
−
m V
A
2
2
= E
kB
−E
kA
W
AB
=
∫
A
B
F⋅d r =
∫
A
B
−d E
p
= −E
pB
−E
pA
= E
pA
−E
pB
W
AB
=
∫
A
B
F⋅d r =
∫
A
B
m d
1
2
V
2
= E
kB
−E
kA
F - siła zachowawcza