Wykład 5

30 10 2006

iloczyn wektorowy



a

b

c = a×b

wersory układu kartezjańskiego XYZ

j×k =

i×j =

k×i =

i×i = j×j = k×k =

X

Y

Z

i

k

j

a = a

x

i a

y

j  a

z

k

b = b

x

i b

y

j  b

z

k

a×b =

a×b = −b×a

iloczyn wektorowy - własności

a×b  c = a×b  a×c

sa×b = sa×b

a≠0 i b≠0 a×b =0 ⇔ a∥b

iloczyn skalarny

a



b

wersory układu kartezjańskiego XYZ

j⋅k = k⋅j =

i⋅j = j⋅i =

k⋅i = i⋅k =

i⋅i = j⋅j = k⋅k =

X

Y

Z

i

k

j

a = a

x

i a

y

j  a

z

k

b = b

x

i b

y

j  b

z

k

a⋅b =

a⋅b = b⋅a

iloczyn skalarny - własności

a⋅b  c = a⋅b  a⋅c

sa⋅b = sa⋅b

a≠0 i b≠0

a⋅b =0 ⇔ a⊥b

a

2 

= a⋅a = a

2

a

b





b cos

a cos

a

b

siła dociskająca [N]

rzeczywista
powierzchnia
styku [cm

2

]

powierzchnia styku/
powierzchnia geometryczna

20

50

1000

20

5000

0,0002
0,0005

0,01

0,05

1/100 000

1/40 000
1/2 000

1/400

płytki stalowe
geometryczna powierzchnia styku 21 cm

2

przybliżone wartości współczynników tarcia poślizgowego

stal / sta

l

0,15

metal / drewno

0,5 - 0,6

drewno / drewno

0,65

opona / suchy beton

1,0

opona / mokry beton

0,7

teflon / teflon

0,04

praca siły



dr

F

m



A

B

X

Y



r

A



r

B



d r

1



F

1



1



F

2



F

3



F

4



2



3



4



d r

2



d r

3



d r

4

W

AB

l

=

∑

i



F

i

⋅ 

dr

i

=

∑

i

F

i

ds

i

cos



i



A

B

l

X

Y



r

A



r

B



d r

i



F

i



i

A

B

s

F

s

dW

= F

s

⋅ds

ds

A

B

F

F

F







R



mg

R



mg

A

B



s

AB

R



mg

R



mg

A

B



s

AB

T = const



F

1



F

2



F

i



r

dr

r



F

W

Y

X

A

B

X

Y



r

A



r

B



d r

1

l

1





F

1

l

1





d r

2

l

1





d r

3

l

1





d r

4

l

1





F

2

l

1





F

3

l

1





F

4

l

1





F

1

l

2





F

7

l

2





F

8

l

2





d r

1

l

2





d r

7

l

2





d r

8

l

2



A

B

l

1

l

2

praca na drodze zamkniętej

A

B

l

1

l

2

l

3

A

B

W

AB

E

pA

E

pB

mg

mg

h

A

B

mg

C

mg

D

s

s

mg

mg

h

A

B

E

pA

E

pB

mg

mg

h

A

B

E

pA

E

pB

d

 A⋅A = d A⋅A  A⋅d A = 2  A⋅d A

A⋅A = A

2

A⋅d A = 1 

2

d

 A⋅A =

1 
2 

d

 A

2



∫

A⋅d A =

∫

1 

2 

d

 A

2

 =

1 
2 

∫

d

 A

2

 =

A

2 

2

energia kinetyczna

W

=

∫

A

B

F⋅dr =

∫

A

B

d

p

dt

⋅

dr

=

∫

A

B

d

dt

m V ⋅

dr

W

=

∫

A

B

m

d 

V

dt

⋅

dr

=

∫

A

B

m d 

V

⋅

d

r

dt

=

∫

A

B

m 

V

⋅d V

W

=

∫

A

B

m d



1 
2 

V

2

 =

m V

B

2

2 

−

m V

A

2

2 

= E

kB

−E

kA

W

AB

=

∫

A

B

F⋅d r =

∫

A

B

−d E

p

= −E

pB

−E

pA

 = E

pA

−E

pB

W

AB

=

∫

A

B

F⋅d r =

∫

A

B

m d



1 

2 

V

2

 = E

kB

−E

kA

F - siła zachowawcza