CIĄGI LICZBOWE

1. Zapisać kolejne wartości liczbowe określone następującym wzorem na n-tą wartość.

Przedstawić je graficznie.

a) a

n

n

n

1

b) a

n

n

n

n

(

)

1

1

c) a

n

n

n

8

4

2

cos

d) a

n

n

n

n

2

1

2

sin

e) a

n

n

n

(

) (

)

1

2

1

f)

a

n

n

n

(

)

1

1

2

g) a

n

n

1

1
2

(

)

2. Napisać wzór na n-ty wyraz ciągu

a)

}

,

2

,

2

,

2

,

2

,

2

{



b)

}

{

,

32

1

,

16

1

,

8

1

,

4

1

,

2

1



c)

}

,

10

,

8

,

6

,

4

,

2

{



d)

}

{

,

6

5

,

5

4

,

4

3

,

3

2

,

2

1



e)

}

,

8

,

6

,

8

,

6

,

8

{



3. Obliczyć, korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach właściwych ciągów

a)

3

1

lim

2

2

2

2

1

2

1

n

n

n

n

n

b)

)

(

lim

2

1

n

n

c)

3

5

2

7

2

2

1

8

4

6

)

(

lim

n

n

n

n

n

d)

n

n

n

2

1

3

2

lim

e)

3

8

1

4

2

3

5

1

1

3

2

2

lim

n

n

n

n

n

f)

7

1

2

lim

n

n

n

g)

2

3

6

2

lim

n

n

n

h)

2

1

7

4

2

)

(

lim

n

n

n

i)

1

2

2

8

3

4

4

lim

n

n

n

n

n

j)

1

7

5

2

2

lim

n

n

n

k)

5

3

)

3

)(

1

(

2

lim

n

n

n

n

l)

4

9

7

3

1

2

lim

n

n

n

m)

7

8

1

2

2

3

lim

n

n

n

n

n)

1

2

3

3

4

5

3

2

1

lim

n

n

n

o)

1

1

2

1

3

5

3

5

2

lim

n

n

n

n

n

4. Znaleźć granice ciągów, korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów

a)

5

4

2

lim

n

n

b)

2

4

5

3

lim

n

n

n

c)

5

2

)

4

,

0

(

lim

n

n

n

d)

1

)

1

3

(

2

lim

n

n

n

e)

n

n

n

n

lim (

)

2

3

13

3

2

f)

1

2

6

2

3

2

3

lim

n

n

n

n

n

g)

)

(

lim

2

3

4

n

n

n

h)

)

1

(

lim

2

n

n

n

i)

)

1

2

(

lim

3

n

n

n

n

j)

)

(

lim

3

7

9

n

n

n

k)

)

(

lim

1

3

2

n

n

n

l)

)

(

lim

2

5

2

2

n

n

n

n

n

m)

n

n

n

lim (

)

1

4

n)

n

n

n

n

3

)

(

lim

1

o)

5

2

)

1

(

lim

n

n

n

p)

n

n

n

5

1

)

1

(

lim

r)

2

3

2

2

2

)

(

lim

2

n

n

n

n

s)

2

1

1

3

lim

n

n

t)

n

n

n

3

3

2

lim

Odpowiedzi.

2. a)

2

)

1

(

n

n

a

b)

n

n

a

2

1

lub

n

n

a

)

(

2

1

c)

n

a

n

2

d)

1

n

n

n

a

e)

1

)

1

(

7

n

n

a

3. a)

3

1

b) 0

c) 9

d) 1

e)

5

2

3

f)

2

g)

3

1

h)

49

4

i) 4

j) 0

k)

3

1

l) 3

m) 1

n)

6

5

o)

3

5

4 a)

b), c), d) 0

e)

f), g)

h) 0

i)

j) 0

k)

l) 2

m)

e

4

n)

e

3

o)

2

e p)

5

e

r)

6

e

s)

3

t)

3

2