dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail:
Elzbieta.Getka-Wilczynska@sgh.waw.pl
,
get-wil@sgh.waw.pl
1
Podstawowe rozkłady prawdopodobieństwa
Rozkłady prawdopodobieństwa dyskretne
1. Rozkład jednopunktowy
Jeśli
1
)
(
=
=
a
X
P
,
to zmienna losowa
X ma rozkład jednopunktowy, oznaczany przez
a
δ
.
Jest to najprostszy rozkład prawdopodobieństwa, w fizyce nazywany deltą Diraca.
Parametry:
R
a
∈
Momenty:
0
,
=
=
VarX
a
EX
Funkcja tworząca:
a
s
s
g
=
)
(
Funkcja charakterystyczna:
ita
e
t
=
)
(
ϕ
2. Rozkład dwupunktowy
Jeśli
p
a
X
P
=
=
)
(
,
p
b
X
P
−
=
=
1
)
(
,
)
1
,
0
(
∈
p
to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy.
Rozkład ten pojawia się przy opisie doświadczenia losowego dwu możliwych wynikach, któ-
rym możemy przypisać wartości liczbowe.
Parametry:
R
b
a
∈
,
)
1
,
0
(
,
∈
≠
p
b
a
Momenty:
2
)
(
,
b
a
pq
VarX
qb
pa
EX
−
=
+
=
Funkcja tworząca
b
a
qs
ps
s
g
+
=
)
(
Funkcja charakterystyczna
itb
ita
qe
pe
t
+
=
)
(
ϕ
3. Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) -
)
,
(
p
n
B
Jeśli
]
1
,
0
[
,
,...,
1
,
0
,
)
1
(
)
(
∈
∈
=
−
=
=
−
p
N
n
n
x
p
p
x
n
x
X
P
x
n
x
,
to zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami
N
n
∈
,
]
1
,
0
[
∈
p
.
Jest to rozkład łącznej liczby x sukcesów w n doświadczeniach Bernoulliego, gdy prawdopo-
dobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu wynosi p.
Zmienna losowa X ma rozkład asymptotycznie normalny
))
1
(
,
(
p
np
np
AN
−
Parametry:
N
n
∈
]
1
,
0
[
∈
p
Momenty:
npq
VarX
np
EX
=
=
,
Funkcja tworząca
n
q
ps
s
g
)
(
)
(
+
=
Funkcja charakterystyczna
n
it
q
pe
t
)
(
)
(
+
=
ϕ
•
Jeżeli
1
=
n
, to
)
,
1
( p
B
jest nazywany rozkładem zero-jedynkowym:
dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail:
Elzbieta.Getka-Wilczynska@sgh.waw.pl
,
get-wil@sgh.waw.pl
2
]
1
,
0
[
1
,
0
,
)
1
(
)
(
∈
=
−
=
=
p
x
p
p
x
X
P
x
x
.
Jeżeli X
i
, gdzie
n
i
,...,
2
,
1
=
, są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie zero-jedynkowym,
)
,
1
( p
B
,to
∑
=
=
n
i
i
X
X
1
ma rozkład dwumianowy
)
,
(
p
n
B
Jeżeli X
i
, gdzie
N
k
k
i
∈
=
,
,...,
2
,
1
, są niezależnymi zmiennymi losowymi o roz-
kładach dwumianowych
)
,
(
p
n
B
i
,to
∑
=
=
k
i
i
X
X
1
ma rozkład dwumianowy
k
n
n
n
p
n
B
+
+
+
=
...
n
gdzie
),
,
(
2
1
.
Jeżeli X
i
, gdzie
N
k
k
i
∈
=
,
,...,
2
,
1
, są niezależnymi zmiennymi losowymi o roz-
kładach dwumianowych
)
,
1
(
i
p
B
,to
∑
=
=
k
i
i
X
X
1
ma uogólniony rozkład dwumianowy
)
...,
,
,
(
,
2
1
n
p
p
p
n
GB
z parametrami
n
p
p
p
n
...,
,
,
,
2
1
.
4. Rozkład Poissona -
)
(
λ
P
Jeśli
0
,
,...,
1
,
0
,
!
)
(
>
∈
=
=
=
−
λ
λ
λ
N
n
n
x
x
e
x
X
P
x
,
to zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem
0
>
λ
oznaczany przez
)
(
λ
P
.
Jest to rozkład graniczny dla ciągu zmiennych losowych
( )
N
n
n
X
∈
o rozkładach dwumiano-
wych
)
,
(
n
p
r
B
, gdy
λ
→
→
∞
→
n
n
np
p
n
,
0
,
. Pojawia się jako rozkład zdarzeń rzadkich
(wypadki drogowe, pożary, katastrofy, wygrane w „Toto-Lotka, itp.)) .
Parametry:
0
>
λ
Momenty:
λ
λ
=
=
VarX
EX
Funkcja tworząca
)
1
(
)
(
−
=
s
e
s
g
λ
Funkcja charakterystyczna
)
1
(
)
(
−
=
it
e
e
t
λ
ϕ
Jeżeli X
i
, gdzie
N
k
k
i
∈
=
,
,...,
2
,
1
, są niezależnymi zmiennymi losowymi o roz-
kładzie Poissona
)
(
i
P
λ
, to
∑
=
=
k
i
i
X
X
1
ma rozkład Poissona
)
...
(
2
1
k
P
λ
λ
λ
+
+
+
5. Rozkład geometryczny
Jeśli
)
1
,
0
(
,...,
2
,
1
,
)
1
(
)
(
1
∈
=
−
=
=
−
p
x
p
p
x
X
P
x
,
to zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem
)
1
,
0
(
∈
p
.
Jest to rozkład czasu oczekiwania na pierwszy sukces w ciągu doświadczeń Bernoulliego z
prawdopodobieństwem sukcesu p w pojedynczym doświadczeniu, zmienna losowa X jest
liczbą doświadczeń, które trzeba wykonać, aby doczekać się sukcesu.
Rozkład geometryczny ma własność braku pamięci
dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail:
Elzbieta.Getka-Wilczynska@sgh.waw.pl
,
get-wil@sgh.waw.pl
3
...
2
,
1
,
0
,
),
(
)
(
=
≥
=
≥
+
≥
n
m
n
X
P
m
X
n
m
X
P
Jego ciągłym odpowiednikiem jest rozkład wykładniczy.
Rozważa się tez zmienną losową Y=X-1, będącą liczbą porażek poprzedzających
pierwszy sukces. Wtedy
)
1
,
0
(
,...,
2
,
1
,
0
,
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
∈
=
−
=
+
=
=
=
−
=
=
p
x
p
p
x
X
P
x
X
P
x
Y
P
x
Parametry:
)
1
,
0
(
∈
p
Momenty:
2
1
1
p
p
VarX
p
EX
−
=
=
Funkcja tworząca
s
p
ps
s
g
)
1
(
1
)
(
−
−
=
Funkcja charakterystyczna
it
it
e
p
pe
t
)
1
(
1
)
(
−
−
=
ϕ
6. Ujemny rozkład dwumianowy -
)
,
(
p
nB
α
Jeśli
)
1
,
0
(
,
0
,...,
2
,
1
,
0
,
)
1
(
1
)
(
∈
>
=
−
−
+
=
=
p
x
p
p
x
r
x
X
P
x
α
α
α
,
to zmienna losowa
X ma ujemny rozkład dwumianowy z parametrami
)
1
,
0
(
,
0
∈
>
p
α
.
Nazwa rozkładu wywodzi się stąd, że
−
−
=
−
+
x
x
x
x
α
α
)
1
(
1
,
gdzie
!
)
1
(
...
)
1
(
x
x
x
+
−
⋅
⋅
−
=
−
α
α
α
α
.
Parametry:
)
,
0
(
∞
∈
α
)
1
,
0
(
∈
p
Momenty:
2
)
1
(
,
)
1
(
p
p
VarX
p
p
EX
−
=
−
=
α
α
•
Jeżeli
N
∈
α
, to rozkład
)
,
(
p
nB
α
jest nazywany rozkładem Pascala i określa prawdo-
podobieństwo czasu oczekiwania na
α
- ty sukces w ciągu prób Bernoulliego z praw-
dopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie. Zmienną losową X interpretuje się ja-
ko liczbę porażek poprzedzających
α
- ty sukces.
•
Gdy
1
=
α
otrzymujemy rozkład geometryczny
)
,
1
( p
nB
.
Jeżeli X
i
, gdzie
N
k
k
i
∈
=
,
,...,
2
,
1
, są niezależnymi zmiennymi losowymi o
jednakowym rozkładzie
)
,
1
( p
nB
, to
∑
=
=
k
i
i
X
X
1
ma rozkład
)
,
(
p
r
nB
.
Jeżeli X
i
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach
)
,
(
p
r
nB
i
, gdzie
N
k
k
i
∈
=
,
,...,
2
,
1
, to
∑
=
=
k
i
i
X
X
1
ma rozkład
)
,
...
(
2
1
p
r
r
r
nB
k
+
+
+
dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail:
Elzbieta.Getka-Wilczynska@sgh.waw.pl
,
get-wil@sgh.waw.pl
4
7. Rozkład wielomianowy
Jeżeli
{
}
n
x
n
x
gdy
h
przypadkac
h
pozostalyc
w
p
p
p
x
x
x
n
x
X
x
X
x
X
P
P
i
k
i
i
x
k
x
x
k
k
k
k
,...,
2
,
1
,
0
,
,
0
...
!
...
!
!
!
)
,...,
,
(
x)
X
(
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
∈
=
∑
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
=
=
=
==
=
=
,
gdzie
T
n
x
x
x
)
,...,
,
(
x
2
1
=
,
to k –wymiarowy wektor losowy
(
)
T
k
X
X
X
,...,
,
X
2
1
=
ma rozkład wielomianowy z parame-
trami
n
,
T
k
p
p
p
)
,...,
,
(
p
2
1
=
(
)
1
;
,...,
2
,
1
,
1
0
,
1
=
∑
=
<
<
∈
=
k
i
i
i
p
k
i
p
N
n
.
Rozkład brzegowy każdej ze współrzędnych
i
X wektora X ma rozkład dwumianowy
)
,
(
i
p
n
B
,
(
)
j
i
j
i
p
p
X
X
−
=
,
cov
, gdy
j
i
≠
.
Rozkład wielomianowy jest uogólnieniem na przypadek wielowymiarowy rozkładu
dwumianowego i opisuje rozkład wyników przy n- krotnym powtórzeniu doświadcze-
nia o k możliwych rezultatach (w wyniku n-krotnie powtarzanego doświadczenia mo-
ż
e pojawić się darzenie należące do jednej z k rozłącznych klas).
)
1
0
(
<
<
i
i
p
p
jest prawdopodobieństwem tego, że wynik doświadczenia należy do
i– tej klasy, przy czym
1
1
=
∑
=
k
i
i
p
. Realizacja
i
i
x
X
=
oznacza, że zdarzenie należące
do i-tej klasy zaszło
i
x razy.
•
Dla
2
=
k
rozkład wielomianowy jest rozkładem dwumianowym
)
,
(
1
p
n
B
8. Rozkład hipergeometryczny
Jeśli
)
,
min(
)
,
0
max(
,
)
(
r
n
x
m
r
n
r
m
x
r
n
m
x
n
x
X
P
≤
≤
−
+
−
−
=
=
,
to
zmienna
losowa
X
ma
rozkład
hipergeometryczny
z
parametrami
m
r
m
n
N
m
,...,
2
,
1
i
,...,
1
,
0
,
=
=
∈
.
Zmienną losową X interpretujemy jako liczbę wyróżnionych elementów w r- elementowej
próbce, jeśli cała m-elementowa populacja zawiera n elementów wyróżnionych.
Parametry:
r
n
m
,
,
Momenty:
)]
1
(
[
)]
)(
(
[
,
2
−
−
−
=
=
m
m
n
m
r
m
nr
VarX
m
nr
EX
.
9. Rozkłady klasy (a,b)
Rozkład prawdopodobieństwa f jest rozkładem z klasy (a,b), jeżeli zachodzi związek rekuren-
cyjny
dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail:
Elzbieta.Getka-Wilczynska@sgh.waw.pl
,
get-wil@sgh.waw.pl
5
( )
(
)
,...
2
,
1
,
1
=
+
=
−
x
x
b
a
x
f
x
f
,
gdzie a, b sa stalymi tak dobranymi, aby dla każdego
,
2
,
1
,
0
=
x
…,
( )
( )
1
x
f
oraz
0
0
x
=
∑
≥
∞
=
x
f
.
Do rozkładów klasy (a, b) należą rozkłady: Poissona, dwumianowy, ujemny dwumianowy i
geometryczny.
Rozkłady prawdopodobieństwa ciągłe
1. Rozkład jednostajny
•
Niech
R
b
a
A
⊂
=
]
,
[
będzie podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.
Rozkład prawdopodobieństwa o gęstości
( )
R
x
x
a
b
x
f
b
a
∈
−
=
,
1
1
)
(
]
,
[
nazywamy rozkładem jednostajnym na przedziale
]
,
[ b
a
i oznaczamy
]
,
[ b
a
U
.
Momenty zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym na przedziale
]
,
[ b
a
:
12
)
(
,
2
2
a
b
VarX
b
a
EX
−
=
+
=
Funkcja charakterystyczna:
( )
)
(
a
b
it
e
e
t
ita
itb
−
−
=
ϕ
•
Niech
n
R
A
⊂
będzie borelowskim podzbiorem
n
R
o dodatniej i skończonej mierze
Lebesque’a
λ
.
Rozkład prawdopodobieństwa o gęstości
( )
n
A
R
x
x
A
x
f
∈
=
−
,
1
)
(
)
(
1
λ
nazywamy rozkładem jednostajnym na
n
R
A
⊂
.
Rozkład ten wiąże się z intuicją „losowego „ wyboru punktu ze zbioru
A.
2. Rozkład trójkątny
Rozkład prawdopodobieństwa o gęstości
( )
R
x
x
a
b
x
b
a
a
b
x
f
b
a
∈
−
−
+
−
−
=
,
1
)
(
2
1
2
)
(
]
,
(
,
Nazywamy rozkładem trójkątnym na przedziale
R
b
a
⊂
]
,
(
.
Momenty zmiennej losowej o rozkładzie trójkątnym na przedziale
]
,
[
b
a
:
24
)
(
,
2
2
a
b
VarX
b
a
EX
−
=
+
=
dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail:
Elzbieta.Getka-Wilczynska@sgh.waw.pl
,
get-wil@sgh.waw.pl
6
Jeżeli zmienne losowe
2
1
i X
X
są zmiennymi losowymi o rozkładzie
]
,
[ b
a
U
jedno-
stajnym na przedziale [a, b], to zmienna losowa
2
1
X
X
X
+
=
jest zmienną losową o
rozkładzie trójkątnym na przedziale [a, b].
3. Rozkład wykładniczy
Rozkład prawdopodobieństwa o gęstości o
( )
0
,
,
1
)
(
)
,
0
(
>
∈
=
∞
−
λ
λ
λ
R
x
x
e
x
f
x
,
nazywamy rozkładem wykładniczym z parametrem
0
>
λ
.
Rozkład ten jest ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego i posiada również wła-
sność braku pamięci
0
,
0
),
(
)
(
>
>
≥
=
≥
+
≥
t
s
t
X
P
s
X
t
s
X
P
Parametr:
( )
∞
∈
,
0
λ
Momenty:
2
1
,
1
λ
λ
=
=
VarX
EX
Jeżeli X
i
, gdzie
N
k
k
i
∈
=
,
,...,
2
,
1
, są niezależnymi zmiennymi losowymi o
tym samym rozkładzie wykładniczym z parametrem
0
>
λ
, to
∑
=
=
k
i
i
X
X
1
ma
rozkład
)
,
(
n
λ
Γ
.
4. Rozkład normalny (Gaussa)
•
Rozkład o gęstości
R
x
e
x
f
x
∈
=
−
,
2
1
)
(
2
2
π
nazywamy jednowymiarowym standardowym rozkładem normalnym z parametrami
1
i
0
2
=
=
σ
m
i oznaczamy
)
1
,
0
(
N
.
•
Jeżeli zmienna losowa
X ma standardowy rozkład normalny
)
1
,
0
(
N
, to zmienna loso-
wa
m
X
Y
+
=
σ
, gdzie
0
,
>
∈
σ
R
m
, ma rozkład normalny
)
,
(
2
σ
m
N
o gęstości
0
,
,
],
2
)
(
exp([
2
1
)
(
2
2
>
∈
∈
−
−
=
σ
σ
σ
π
R
m
R
x
m
x
x
f
.
Dystrybuantę rozkładu
)
1
,
0
(
N
oznaczamy
( )
t
d
e
x
x
t
∫
=
Φ
∞
−
−
2
2
2
1
π
Jeżeli zmienne losowe X
i
, gdzie
N
n
n
i
∈
=
,
,...,
2
,
1
, są niezależnymi zmiennymi lo-
sowymi o rozkładach normalnych
(
)
2
,
k
k
m
N
σ
, to zmienna losowa
∑
=
=
k
i
i
X
X
1
ma roz-
kład normalny
)
,
(
1
2
1
∑
∑
=
=
n
k
k
n
k
k
m
N
σ
.
dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail:
Elzbieta.Getka-Wilczynska@sgh.waw.pl
,
get-wil@sgh.waw.pl
7
Parametry:
)
,
0
(
,
∞
∈
∈
σ
R
m
Momenty:
2
,
σ
=
=
VarX
m
EX
.
5. Rozkład gamma
( )
β
α
,
Γ
Rozkład prawdopodobieństwa o gęstości o
( )
( )
0
,
,
,
1
)
(
)
,
0
(
1
>
∈
Γ
=
∞
−
−
β
α
β
α
β
β
β
R
x
x
e
x
x
f
x
,
nazywamy rozkładem gamma z parametrami
0
,
0
>
>
β
α
i oznaczamy
(
)
β
α
,
Γ
.
Funkcja Gamma Eulera jest równa
)
1
(
)
1
(
)
(
1
−
Γ
−
=
∫
=
Γ
∞
−
−
β
β
β
β
o
x
dx
e
x
(
)
)
1
(
...
)
1
(
)
(
−
+
⋅
⋅
+
+
Γ
=
Γ
n
n
β
β
β
β
β
dla
,...
2
,
1
),
1
(
=
−
−
<
<
−
n
n
n
β
Gdy
N
∈
β
, to
)!
1
(
)
(
−
=
Γ
n
n
, gdy
2
1
=
β
, to
π
=
Γ
2
1
.
Parametr:
( )
( )
∞
∈
∞
∈
,
0
,
,
0
β
α
Momenty:
2
,
α
β
α
β
=
=
VarX
EX
Funkcja charakterystyczna:
( )
α
α
ϕ
−
−
=
it
t
1
•
Jeśli
1
=
β
, to rozkład gamma
( )
1
,
α
Γ
jest rozkładem wykładniczym
( )
α
W
z parame-
trem
0
>
α
.
•
Jeżeli zmienne losowe X
i
, gdzie
N
k
k
i
∈
=
,
,...,
2
,
1
, są niezależnymi zmiennymi lo-
sowymi o rozkładzie gamma
( )
1
,
α
Γ
, to zmienna losowa
∑
=
=
k
i
i
X
X
1
ma rozkład
gamma
)
,
(
k
α
Γ
.
•
Jeśli
2
,
2
1
n
=
=
β
α
, to rozkład gamma
Γ
2
,
2
1
n
jest rozkładem
( )
n
2
χ
chi-kwadrat z
n –stopniami swobody, czyli rozkładem sumy
2
2
2
2
1
...
n
n
X
X
X
S
+
+
+
=
, gdzie
i
X ,
N
n
n
i
∈
=
,
,...,
2
,
1
, są niezależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie
normalnym
)
1
,
0
(
N
.
Jeżeli zmienne losowe X
i
, gdzie
N
k
k
i
∈
=
,
,...,
2
,
1
, są niezależnymi zmiennymi lo-
sowymi o rozkładzie gamma
(
)
i
β
α
,
Γ
, to zmienna losowa
∑
=
=
k
i
i
X
X
1
ma rozkład
gamma
)
...
,
(
2
1
k
β
β
β
α
+
+
+
Γ
.
dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail:
Elzbieta.Getka-Wilczynska@sgh.waw.pl
,
get-wil@sgh.waw.pl
8
6. Rozkład Beta
( )
b
a
B ,
Rozkład prawdopodobieństwa o gęstości o
( )
0
,
0
,
,
1
)
1
(
)
,
(
1
)
(
]
1
,
0
[
1
1
>
>
∈
−
=
−
−
b
a
R
x
x
x
x
b
a
B
x
f
b
a
gdzie funkcja
0
,
0
,
,
)
1
(
)
,
(
1
0
1
1
>
>
∈
∫
−
=
−
−
b
a
R
x
dx
x
x
b
a
B
b
a
,
(
)
(
)
b
a
b
a
b
a
B
+
Γ
Γ
Γ
=
(
)
)
,
(
nazywamy rozkładem gamma z parametrami
0
,
0
>
>
β
α
i oznaczamy
( )
β
α
,
Γ
.
Rozkład
( )
1
,
1
B
jest rozkładem jednostajnym
)
1
,
0
(
U
Parametr:
( )
( )
∞
∈
∞
∈
,
0
,
,
0
b
a
Momenty:
)
1
(
)
(
,
2
+
+
+
=
+
=
b
a
b
a
ab
VarX
b
a
a
EX
Funkcja charakterystyczna:
( )
α
α
ϕ
−
−
=
it
t
1
7. Rozkład Cauchy’ego
( )
b
a
C ,
•
Rozkład prawdopodobieństwa o gęstości o
0
,
,
,
)
)
(
(
)
(
2
2
>
∈
∈
−
+
=
b
R
a
R
x
a
x
b
a
x
f
π
,
nazywamy rozkładem Cauchy’ego z parametrami
0
,
>
∈
b
R
a
, z medianą a i odległością
międzykwartylową 2b i oznaczamy
( )
b
a
C ,
.
•
Rozkład prawdopodobieństwa o gęstości o
1
,
0
,
,
)
1
(
)
(
2
=
=
∈
+
=
b
a
R
x
x
a
x
f
π
nazywamy standardowym rozkładem Cauchy’ego z parametrami
1
,
0
=
=
b
a
i oznaczamy
( )
1
,
0
C
. Rozkład
( )
1
,
0
C
jest równy rozkładowi t Studenta t(1).
Parametry:
( )
∞
∈
∈
,
0
, b
R
a
Momenty: wartość oczekiwana nie istnieje.
Funkcja charakterystyczna:
( )
)
exp(
t
b
ita
t
−
=
ϕ
Jeżeli zmienne losowe X
i
, gdzie
N
n
n
i
∈
=
,
,...,
2
,
1
, są niezależnymi zmiennymi lo-
sowymi o standardowym rozkładzie Cauchy’ego
( )
1
,
0
C
, to zmienna losowa
1
nX
ma
taki sam rozkład, jak zmienna losowa
∑
=
=
k
i
i
X
X
1
.
dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail:
Elzbieta.Getka-Wilczynska@sgh.waw.pl
,
get-wil@sgh.waw.pl
9
Jeżeli zmienne losowe X
i
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Cau-
chy’ego
(
)
i
b
a
C
,
1
, gdzie
N
n
n
i
∈
=
,
,...,
2
,
1
, to
∑
=
=
k
i
i
X
X
1
ma rozkład Cauchy’ego
∑
∑
=
=
k
i
i
k
i
i
b
a
C
1
1
,
Jeżeli zmienne losowe
Z
Y
i
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach od-
powiednio
( )
2
,
0
σ
N
i
( )
1
,
0
N
, to
Z
Y
a
X
+
=
ma rozkład Cauchy’ego
( )
2
,
σ
a
C
8. Rozkład chi-kwadrat
( )
n
2
χ
Rozkład prawdopodobieństwa
( )
n
2
χ
, chi-kwadrat z n stopniami swobody o gęstości
( )
,
,
1
2
2
1
)
,
(
)
,
0
(
1
2
2
2
R
x
x
e
x
n
n
x
f
x
n
n
∈
Γ
=
∞
−
−
,
jest rozkładem zmiennej losowej ∑
=
n
i
i
X
1
2
, gdzie X
i
, są niezależnymi zmiennymi losowymi o
rozkładzie normalnym
( )
1
,
0
N
,
n
i
,...,
2
,
1
=
.
Rozkład prawdopodobieństwa
( )
n
2
χ
jest rozkładem gamma
Γ
2
,
2
1 n
, gdyż jeżeli X
i
ma
rozkład normalny
( )
1
,
0
N
, to
2
i
X
ma rozkład
Γ
2
1
,
2
1
,
n
i
,...,
2
,
1
=
, a stąd ∑
=
n
i
i
X
1
2
ma rozkład
gamma
Γ
2
,
2
1 n
.
Ciąg zmiennych losowych
( )
N
n
n
X
∈
o rozkładzie
( )
n
2
χ
jest asymptotycznie normalny
)
2
,
(
n
n
AN
.
Momenty:
n
VarX
n
EX
2
=
=
.
8. Rozkład Studenta
)
(n
t
Rozkład prawdopodobieństwa Studenta
)
(n
t
z n stopniami swobody o gęstości
2
1
2
1
2
1
1
)
,
(
+
−
+
Γ
+
Γ
=
n
n
x
n
n
n
n
n
x
f
π
,
jest rozkładem zmiennej losowej
n
Z
Y
T
=
, gdzie
Z
Y
,
są niezależnymi zmiennymi losowy-
mi o rozkładach odpowiednio, normalnym
( )
1
,
0
N
i
( )
n
2
χ
.
dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail:
Elzbieta.Getka-Wilczynska@sgh.waw.pl
,
get-wil@sgh.waw.pl
10
Ciąg zmiennych losowych
( )
N
n
n
X
∈
o rozkładzie
)
(n
t
jest asymptotycznie normalny
)
1
,
0
(
AN
.
Momenty:
2
,
2
0
>
−
=
=
n
n
n
VarX
EX
.
9. Rozkład Fishera-Snedecora
)
,
( r
n
F
Rozkład prawdopodobieństwa Fishera-Snedecora
)
,
( r
n
F
z
)
,
( r
n
stopniami swobody o gę-
stości
)
(
1
2
2
)
,
,
(
)
,
0
(
2
1
2
2
x
n
r
x
x
n
r
r
n
n
r
n
r
n
x
f
r
n
n
r
∞
+
−
+
Γ
Γ
+
Γ
=
,
jest rozkładem zmiennej losowej
n
Z
n
Y
T
=
, gdzie
Z
Y ,
są niezależnymi zmiennymi losowymi
o rozkładach odpowiednio
( )
n
2
χ
i
( )
r
2
χ
.
Momenty:
)
4
(
)
2
(
)
2
(
2
2
,
2
2
−
−
−
+
=
>
−
=
r
r
n
r
n
n
VarX
r
r
r
EF
.
10. Rozkład Weibulla
)
,
(
β
α
We
Rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości
)
(
1
exp
)
(
)
,
0
(
1
x
x
x
x
f
∞
−
−
−
=
α
α
α
β
αβ
nazywamy rozkładem Weibulla z parametrami
0
,
0
>
>
β
α
.
Momenty:
+
Γ
−
+
Γ
=
+
Γ
=
α
α
β
α
β
1
1
2
1
1
1
2
2
VarX
EX
Rozkład
)
,
1
(
λ
We
jest rozkładem wykładniczym z parametrem
λ
.
Rozkład
)
2
,
2
(
σ
We
jest rozkładem Rayleigha z parametrem
σ
.
11. Rozkład potegowy
)
,
(
α
λ
Po
Rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości
)
(
1
)
(
)
,
0
(
1
x
x
x
f
λ
α
α
λ
α
−
=
nazywamy rozkładem potęgowym z parametrami
0
,
0
>
>
λ
α
i oznaczamy
)
,
(
α
λ
Po
.
dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail:
Elzbieta.Getka-Wilczynska@sgh.waw.pl
,
get-wil@sgh.waw.pl
11
Momenty:
(
) (
)
2
1
1
2
2
+
+
=
+
=
α
α
αλ
α
αλ
VarX
EX
Jeżeli zmienne losowe X
i
są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym roz-
kładzie jednostajnym
)
,
0
(
λ
U
, gdzie
N
n
n
i
∈
=
,
,...,
2
,
1
, to
{
}
X
X
X
X
n
,...,
,
max
2
1
=
ma rozkład
)
,
1
(
α
λ
Po
, a zmienna losowa
X
λ
ln
ma rozkład wykładniczy z parame-
trem
α
1
.
12. Rozkład Pareto
Rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości
( )
x
x
x
x
x
f
x
(
1
)
,
(
0
1
0
0
∞
+
=
α
α
),
0
,
0
0
>
>
x
α
Nazywamy rozkładem Pareto z parametrami
0
,
0
0
>
>
x
α
.
Momenty:
(
) (
)
2
dla
2
1
1
dla
1
2
2
0
0
>
−
−
=
>
−
=
α
α
α
α
α
α
α
x
VarX
x
EX
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Kamys B Tablice podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (kwantyle)
podstawowe rozklady prawdopodob Nieznany
5 PPOO Empiryczny rozkład prawdopodobieństwa(1)
ROZKŁADY PRAWDOP(1)
Zmienna losowa i rozklad prawdopodobienstwa - zadania, Pliki, Studia PK (Mechaniczny & WIL)
Niezawodnosc Rozklady prawdopodobienstwa, id
5 rozklady prawdopodobienstwa i Nieznany (2)
Estymacja parametr w rozkladu prawdopodobienstwa, Estymacja parametrów rozkładu prawdopodobieństwa:
35H8? ralf majorkiewicz przykladowy rozkład prawdopodobieństw
Podstawy rachunku prawdopodobienstwa
cw Rozklady prawdopod
Rozkład Studenta, Rozkład Studenta - (rozkład t lub rozkład t-Studenta) ciągły rozkład prawdopodobie
03 Wykład 3 Podstawowe rozkłady zmiennych losowychid 4224
01 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIENSTWA
więcej podobnych podstron