WYDZIAŁ MECHANICZNY - studia zaoczne

Analiza Matematyczna

LISTA 0.

(Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Dwumian Newtona. Pojęcie wartości bezwzględnej i jej
interpretacja geometryczna. Pojęcie funkcji. Dziedzina, zbiór wartości i miejsca zerowe. Niektóre
własności funkcji.)

UWAGA

- Na ćwiczeniach robimy przykłady z zadań: 3,4,8,10,13,19,20,21,22.

Reszta do samodzielnego rozwiązania.

1. Wykonać działania i uprościć wyrażenia:

a)

8x

x

−9x

3

+

3x

x

+3x

2

−

2−6x

(1−3x)

2

;

b)

6

√

y

√

y

−

6

p

x

3

y

2

−

x

√

xy

− x

3

√

y

! "

1

√

x

−

√

y



6

√

x

5

−

y

6

√

x



−

x

− y

3

√

x

2

+

6

√

x√y

#

.

2. Posługując się trójkątem Pascala obliczyć:



3

√

2+

√

2



6

,



√

2+

√

3



4

,



√

2+(

√

2)

−1



4

,



√

3+(

√

2)

−1



6

.

3. Wyznaczyć współczynniki przy: x

0

, x

2

, x

5

, x

6

w rozwinięciu dwumianu



3

√

x

+

2

x



12

.

4. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej rozwiązać następujące równania i nierów-

ności: a) |x−1|=2, b) |2x+1| < 5, d) |x−5| ¬ |x+2|. Zbiór rozwiązań zaznaczyć na osi liczbowej.

5. Dana jest funkcja f (x) =

x

+1

x

−1

.

Wyznaczyć: f (2x), f (

x

2

), 2f (x), f (

1
x

), f (x

2

), (f (x))

2

,

(f ◦ f)(x).

6. Zbadać różnowartościowość i nieparzystość funkcji f (x) =

x

1+|x|

i sporządzić jej wykres. Wyznaczyć i

narysować funkcję odwrotną.

7. Zbadać parzystość i nieparzystość funkcji: a) f (x) =

q

1−x

1+x

,

b) f (x) =

√

1 + x + x

2

−

√

1 − x + x

2

.

8. Narysować wykresy funkcji: a) f (x) = x−2+|x+2|; b) f(x) = ||2x+1| − 2|; c) f(x) = 2x−

√

x

2

−6x+9.

9. Rozwiązać równania i nierówności: a) x

3

−2x

2

+2x−1=0, b) x

4

+4x

2

−32 > 0, c) x

4

−2x

3

+2x−1=0.

10. Narysować wykresy funkcji f (x) =

x

−2

x

+1

, f

(x) =

2x−1

x

+3

.

Wyznaczyć funkcje odwrotne i narysować ich wykresy.

11. Rozwiązać równania i nierówności: a) x

−

3
4

=

1
8

,

b) x

1
4

< x

1
3

,

c) (x−1)

−

3
4

=

1
8

,

d) (x+2)

−

3
2

=

√

2

4

.

12. Wykorzystując wykres funkcji f (x) = 3

x

sporządzić wykresy funkcji: a) f (x) = 2−3

x

−1

,

b) f (x) = 2−3

|x|

.

13. Wyznaczyć dziedzinę oraz miejsca zerowe funkcji: f (x) =

√

2

3x

· 7

x

−2

− 4

x

+1

; g(x) =

p

4 − log

2

(x

2

− 1)

14. Niech a będzie dowolną liczbą dodatnią różną od 1. Zbadać parzystość, nieparzystość i monotoniczność i

wyznaczyć funkcje odwrotne następujących funkcji: a) f (x) =

a

x

−a

−

x

2

;

f

(x) =

a

x

+a

−

x

2

.

15. Obliczyć: log

2

√

2

1
8

; log

9

tg

π

3

; log

2

3 · log

3

4 · · · · · log

127

128;

2

2 log

1
2

3

;

2

2 log

√

2

3

.

16. Wyznaczyć x, wiedząc, że: a) log

x

3 = −1; b) log

√

2

x

= −2; c) log

√

x

8 = 2; d) log

1
3

√

x

= 3.

17. Wykorzystując wykres funkcji f (x) = log

1
2

x

sporządzić wykresy funkcji: a) f (x) = 2 − log

1
2

|x − 3|.

18. Rozwiązać równania i nierówności: a) log

4

(x

2

−5) > 0, b) log

4

(log

2

x

)+log

2

(log

4

x

) = 2, c) log

1
2

|x − 1| < 2.

19. Narysować wykresy funkcji: f (x) = sin x, f (x) = sin

x

2

, f

(x) = sin (x +

π

4

), f (x) = cos x, f (x) = cos 2x,

f

(x) = 1 − sin 2x; f(x) = 2 sin

x

2

−1, f(x)=sin |x|; f(x)=sin |x −

π

4

|, f(x)=| sin x+cos x|; .

20. Rozwiązać następujące równania i nierówności trygonometryczne:

a) sin 2x = sin x;

b) sin 2x = cos x;

c) cos 2x = sin (x +

π

2

);

d) ctg 2x = ctg (x −

π

4

);

e) 2 cos

2

x

= 3 cos x + 2;

f) sin x + cos x ­ 0;

g) sin x − cos x ¬ 1;

h) sin x −

√

3 cos x ­ 0.

21. Dla funkcji okresowej f (x) = A sin(ωx + φ), stałą A nazywamy amplitudą, ω - częstotliwością a φ - fazą

początkową. Wyznaczyć te trzy stałe dla funkcji

a) f (x) = 4 sin (3x+

π

3

);

b) f (x) =

√

3 sin 2x − cos 2x;

c) f (x) = 2 sin

x

2

+2 cos

x

2

.

22. Obliczyć:

a) arc tg



−

1

√

3



;

b) arc tg (−

√

3);

c) sin(arc sin 1);

d) sin(arc cos 1);

e) sin(arc cos 0);

f) arc sin sin

π

3

;

g) arc cos



sin

17π

3



;

h) arc tg ctg

π

3

;

i) arc sin



−

1
2



;

j) arc sin

√

3

2

;

k) arc cos



−

√

3

2



;

l) arc cos sin

5π

3

;

m) arc tg(−1);

n) arc ctg

1

√

3

;

o) arc ctg sin

5π

2

.

ELEKTRONIKA - studia zaoczne

Analiza Matematyczna

LISTA 1.

(Koniec listy 0. Ciągi liczbowe. Granica funkcji w punkcie. Asymptoty wykresu funkcji.)

1. Zbadać monotonoczność i ograniczoność ciągów:

a) a

n

=

√

n

2

+ 2 − n; b) a

n

=

n

3

n

!

;

c) a

n

=

n

3

2

n

;

d) a

n

= 3

n

+ (−2)

n

;

e) a

n

=

n

− 1

√

n

2

+ 1

,

e) d

n

=

1

4

1

+ 1

+

1

4

2

+ 2

+

1

4

3

+ 3

+ . . . +

1

4

n

+ n

;

f) d

n

=

1

2

1

+ 1

+

2

2

2

+ 2

+

3

2

3

+ 3

+ . . . +

n

2

n

+ n

.

2. Korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic oraz z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć podane granice:

a) lim

n

→∞

(2n

2

−

√

n

2

+ 2n + 5) :

b) lim

n

→∞

(2n −

√

4n

2

+ n) :

c) lim

n

→∞

(n

2

−

√

n

4

+ 2n + 5) :

d) lim

n

→∞

2n + (−1)

n

3n + 2

;

e) lim

n

→∞

2n

3

+ sin

2

n

√

3n

3

−

√

n

6

+ 5n

3

;

f) lim

n

→∞

n

√

n

3

+ n

2

+ 2;

3. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć podane granice:

a) lim

n

→∞



2n + 1
2n − 3



3n−1

;

b) lim

n

→∞



1 +

1

2

n



3

n

−2

;

c) lim

n

→∞



n

n

+ 1



sqrtn

; ;

d) lim

n

→∞

n

−

√

n

n

+

√

n

!

−2n

.

4. Zbadać istnienie następujących granic funkcji:

a) lim

x

→2

x

4 − x

2

;

b) lim

x

→∞

x

sin x;

c) lim

x

→1

|x − 1|

3

x

3

− x

2

;

d) lim

x

→

π

2

1

cos x

;

e) lim

x

→0

sin x

|x|

.

5. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic obliczyć podane granice:

a) lim

x

→1

x

6

− 1

1 − x

2

;

b) lim

x

→0

√

1 + x −

√

1 − x

2x

;

c) lim

x

→6

√

x

− 2 − 2

x

− 6

;

d) lim

x

→−∞



√

x

2

+ 1 + x



;

e) lim

x

→0

sin

2

x

1 − cos x

;

f) lim

x

→∞

√

1 + x

2

−

√

x

2

− 1;

g) lim

x

→∞

2

x

+ 3

x

3

x

+ 1

;

h) lim

x

→∞

√

1 + x

2

3

√

1 − x

3

;

6. Korzystając z twierdzenia o dwu lub trzech funkcjach uzasadnić podane równości:

a) lim

x

→∞

sin x

x

= 0; ;

b) lim

x

→0

x

sin

1

x

= 0; ;

c) lim

x

→∞

2+sin x

x

2

= 0;

d) lim

x

→−∞

e

x

+sin

2

x

= 0.

7. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć podane granice:

a) lim

x

→

π

2

cos 5x
cos 3x

;

b) lim

x

→0

e

3x

− 1

sin 2x

;

c) lim

x

→

π

2

ln (1 + cos x)

x

−

π

2

;

d) lim

x

→0

cos 3x − cos 7x

x

2

;

8. Wyznaczyć asymptoty pionowe i ukośne wykresów podanych funkcji:

a) f (x) =

x

2

+ 2x − 3

x

2

− 4

;

b) f (x) =

√

1 − x

2

x

;

c) g(x) = x − sin

1
x

;

d) f (x) =

1

e

x

− 1

.

9. Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki:

a) lim

x

→−∞

f

(x) = 0, lim

x

→1

f

(x) = 3, lim

x

→∞

f

(x)

x

= 2;

b) lim

x

→1

p

(x) = ∞, lim

x

→2

p

(x) = 0, funkcja p jest okresowa i ma okres T = 3;

c) lim

x

→−∞

q

(x) = 4, lim

x

→1

q

(x) = ∞, funkcja q jest nieparzysta;

Na rysunkach wskazać fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki.

ELEKTRONIKA - studia zaoczne

Analiza Matematyczna

LISTA 2.

(Ciągłość funkcji. Podstawowe własności funkcji ciągłych.)

1. Określić rodzaje nieciągłości podanych funkcji we wskazanych punktach:

a) f (x) = sgn



x

(x − 1)



,

;

b) g(x) =

(

x

arctg

1

x

dla

x

6= 0,

π

2

dla

x

= 0,

x

0

= 0;

x

0

= 1;

x

0

= 0;

2. Wyznaczyć parametr a, tak, by funkcja

f

(x) =

(

x

2

+ 2x − a

dla

x <

0

√

x

2

− 6x + 9 + 2a

dla

x

­ 0

była ciągła na całej prostej. Narysować wykres otrzymanej funkcji.

3. Dobrać parametry a, b ∈ IR tak, aby podane funkcje były ciągłe we wskazanych punktach:

a) f (x) =

(

bx

dla

x < π,

sin x

ax

dla

x

­ π,

;

b) h(x) =











(x − 1)

3

dla

x

¬ 0,

ax

+ b

dla

0 < x < 1,

√

x

dla

x

­ 1,

x

0

= π;

x

1

= 0;

i x

2

= 1;

c) g(x) =

(

bx

+ 3

dla

x <

1,

2x

2

+ x + a

dla

x

­ 1,

d) p(x) =

(

x

dla

|x| ¬ 1,

x

2

+ ax + b

dla

|x| > 1,

x

0

= 1;

Narysować wykresy otrzymanych funkcji.

4. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach:

a) 1 =

sin x

2

+ x, 0,

π

2

;

b) arctg x =

1

x

2

,



1

√

3

,

√

3



;

c) ln x + 2x = 1,



1
2

,

1



d) 3

x

+ x = 3, (0, 1) ;

e) x

100

+ x − 1 = 0,



1
2

,

1



;

f) x2

x

= 1, (0, ∞) .

Wyznaczyć rozwiązanie równania c) z dokładnością 0.125.

5. Korzystając z twierdzenia Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich przez funkcję ciągłą uzasadnić

następujące stwierdzenia:

a) jeżeli samochód wyruszył z Wrocławia o godz. 8:00 i jadąc ze zmienną szybkością dotarł do Warszawy
o godz. 12:00, a następnego dnia o godzinie 8:00 wyruszył z powrotem i jadąc po tej samej drodze wrócił
do Wrocławia o godz. 12:00, to jest takie miejsce na tej drodze, w którym był o tej samej godzinie zarówno
jadąc do Warszawy jak i wracając z powrotem;

b) jeżeli zegar o północy spó«niał się o 5 min., a po nakręceniu, następnego dnia o północy spieszył się o 10
min., to w pewnej chwili wskazywał właściwy czas;

ELEKTRONIKA - studia zaoczne

Analiza Matematyczna

LISTA 3.

(Pojęcie pochodnej i jej interpretacja geometryczna. Podstawowe własności funkcji różniczkowal-
nych. Zastosowania rachunku różniczkowego)

1. Korzystając z definicji sprawdzić, czy podane funkcje mają pochodne we wskazanych punktach:

a) f (x) =

1

3

√

x

,

x

0

6= 0; b) f(x) = |x

5

|, x

0

= 0;

c) h(x) =

(

x

2

dla x ¬ 1,

√

x

dla x > 1,

,

x

0

= 1.

2. Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji w dowolnym punkcie x

0

:

a) f (x) = x

n

;

b) g(x) = sin x;

c) h(x) =

1

x

,

x

6= 0; d) p(x) = a

x

.

3. Znaleźć parametry a, b, c, dla których podane funkcje mają pochodne na IR :

a) f (x) =

(

ae

x

+b dla x ¬ 0,

2−x

dla x > 0;

b) g(x) =











−1

dla x < 0,

a

sin x+b cos x+c dla 0 ¬ x ¬ π,

1

dla x > π.

Narysować wykresy otrzymanych funkcji.

4. Korzystając z reguł obliczania pochodnych obliczyć pochodne podanych funkcji:

a) y = tg x;

b) y = ctg x;

c) y = a

x

;

d) y = arc tg

x

x

+1

;

e) y =

x

√

x

;

f) y = (sin x)

x

;

g) y = x

sin x

;

h) y =



1 +

1
x



x

.

5. Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne, obliczyć pochodne funkcji:

a) y = sin (f (x)g(x));

b) y = (f (x))

g

(x)

;

c) y = tg

f

(x)

g

(x)

;

d) y = f (x) arctg g(x).

6. Napisac równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:

a) f (x) =

2x

1+x

2

,

(

√

2, f (

√

2));

b) f (x) =

x

√

x,

(e, f (e)) ;

c) f (x) = arctg x

2

,

(0, f (0)) ;

d) f (x) =

e

x

x

+1

,

(1, f (1)) ;

e) f (x) =

ln x

x

,

(e, f (e));

f) f (x) = arctg

1−x

1+x

,

(1, f (1)) .

7. Wyznaczyć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy podanych funkcji:

a) f (x) = x

2

, g(x) =

3

√

x

, x > 0;

b) f (x) = 4 − x, g(x) = 4 −

x

2

2

, x > 0;

c) f (x) = 2

x

i g(x) = 4

x

−1

;

8. Dla jakich wartości parametru a ∈ IR, wykresy funkcji y = e

ax

, y = e

−x

przetną się pod kątem prostym?

9. Napisać wzór Taylora dla funkcji f (x) = e

√

x

w punkcie x

0

= 1 z resztą R

3

.

Oszacować przybliżenie tej

funkcji wielomianem Taylora stopnia 2 dla x ∈ (0, 9; 1, 1).

10. Obliczyć ln (0, 9) oraz

3

√

0.99 z dokładnością 10

−3

.

11. Uzasadnić następujące tożsamości:

a)a) arcsinx + arccosx =

π

2

dla każdego x, ∈ [−1, 1].

b) sin(arccosx) =

√

1 − x

2

dla każdego x, ∈ (−1, 1).

12. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a udowodnić następujące nierówności:

a) |arctgx − arctgy| ­ |x − y| dla dowolnych x, y ∈ IR.

b)

x

x

+1

<

ln (x + 1) < x dla 0 < x,

13. Wykorzystując regułę de l’Hospitala wyznaczyć następujące granice:

a) lim

x

→0

arc sin 2x

x

3

;

b) lim

x

→

π

0

2

x

−1

x

;

c) lim

x

→0

e

sin x

−1

x

2

;

d) lim

x

→0

+

x

−sin x

x

3

e) lim

x

→∞

x

ln x

x

+ln x

.

14. Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wykresy funkcji:

a) f (x) = xe

−x

2

;

b) f (x) =

x

ln x

;

c) f (x) =

x

3

x

−1

;

d) f (x) = sin x − sin

2

x.

ELEKTRONIKA - studia zaoczne

Analiza Matematyczna

LISTA 4.

(Całka nieoznaczona. Całka oznaczona i jej związek z całką nieoznaczoną.
Zastosowania całki oznaczonej.)

1. Wykorzystując definicję oraz podstawowe własności obliczyć następujące całki nieoznaczone:

a)

R

sinxdx

;

b)

R

sin

2

xdx

;

c)

R

dx

√

1−x

2

;

d)

R

(3·2

x

−2·3

x

)dx

5

x

;

e)

R

2

3

√

x

−3x

2

+7

x

2

.

2. Wykorzystując metodę całkowania przez podstawienie obliczyć następujące całki nieoznaczone:

a)

R

xsin

3x

2

+ 1dx;

b)

R

sin

5

x

cos xdx;

c)

R

x

3

dx

1+x

8

;

d)

R

x

2

dx

√

1−x

6

;

e)

R

3

√

2 − 3x

3

x

2

dx

;

f)

R

xsin

3x

2

+ 1dx;

g)

R

cos

5

x

sin 2xdx;

c)

R

e

x

dx

1+e

2x

;

c)

R

e

x

dx

√

1−e

2x

;

d)

R

3

√

x

4

+ 7x

3

dx.

3. Wykorzystując metodę całkowania przez części obliczyć następujące całki nieoznaczone:

a)

R

xsin

3xdx;

b)

R

x

2

cos 2xdx;

c)

R

x

2

e

3x

dx

;

d)

R

xe

−3x

dx

;

e)

R

x

ln xdx;

f)

R

ln xdx;

g)

R

arc sin xdx;

h)

R

x

cos

2

x

dx

;

i)

R

√

x

+1+2

x

−1

dx

;

i)

R

√

1 − x

2

dx.

4. Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:

a) y = x

2

− 6x + 7, y = 3 − x; b) xy

2

= 1, xy

2

= 4, y = 1, y = 2;

c) y = 2

x

, x

+y = 1, y = log

2

x, y

= 4.

5. Obliczyć długość podanych krzywych:

a) y = x

√

x

dla 0 ¬ x ¬ 4

b) y = ln x dla

√

3 ¬ x ¬ 2

√

2;

c) y = chx dla 0 ¬ x ¬ 1.

6. Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót danej figury względem podanej osi.

a) T = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 3, 0 ¬ y ¬

1

√

9+x

2

}, 0x, b) T = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ 3, 0 ¬ y ¬

1

√

x

(1+ln x

}, 0x

a) T = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ e, 0 ¬ y ¬

1

√

9+x

2

}, 0y, , b) T = {(x, y) : 0 ¬ x ¬ e, 0 ¬ y ¬

1

x

2

(1+ln x

}. 0y