1
1)
DRGANIA HARMONICZNE
.
ENERGIA DRGAŃ HARMONICZNYCH
.
Ruch harmoniczny jest to ruch, w którym położenie ciała jest wyrażane przy pomocy funkcji
harmonicznej (sin lub cos):
x ̴ sin(αt + ϕ)
Drgania harmoniczne zachodzą wtedy, gdy siła powodująca ruch punktu jest proporcjonalna do
jego wychylenia z położenia równowagi:
F = -kx
Funkcja opisująca położenie drgającego punktu:
x = Acos(ω
0
t + ϕ)
Energia potencjalna:
V = kA
2
cos
2
(ω
0
t + ϕ)
Energia kinetyczna:
T = kA
2
sin
2
(ω
0
t + ϕ)
Całkowita energia
E = U + T = = kA
2
jest stała.
A - amplituda drgań
t=0 (?)
ϕ - faza drgań w chwili
ω
0
- częstość drgań własnych
ω
0
t - faza drgań w chwili t
_____________________________________________________________________________________
2)
DRGANIA TŁUMIONE
.
LOGARYTMICZNY DEKREMENT TŁUMIENIA
.
DOBROĆ
.
Równanie różniczkowe drgań tłumionych:
+ 2
+ ω
= 0
ω
0
- częstość drgań własnych
β - współczynnik tłumienia
Drgania tłumione nie są drganiami okresowymi, ale ze względu na powtarzające się w
regularnych odstępach czasu położenie ciała w punkcie równowagi ( x=0 ) definiuje się dla ruchu
drgającego tłumionego wielkości analogiczne do ruchu drgającego:
- częstość kołowa:
ω = ω
− β
- okres:
T =
- amplituda drgań:
A = A
0
e
-βt
- logarytmiczny dekrement tłumienia:
λ = ln
( )
(
)
=
N - liczba drgań po których amplituda maleje e-krotnie
- dobroć - proporcjonalna do liczby drgań wykonanych przez układ w czasie Ƭ :
Q = 2π
E - energia układu drgającego
ΔE - ilość energii traconej w czasie jednego okresu
2
3)
DRGANIA WYMUSZONE
. REZONANS.
Jeżeli siła wymuszająca zależy harmonicznie od czasu, to drgania są opisane równaniem
różniczkowym:
+ 2
+ ω
= ƒ cos (ωt)
Zależność amplitudy drgań wymuszonych od częstości siły wymuszającej prowadzi do tego, że
przy pewnej, określonej dla danego układu, częstotliwości amplituda drgań osiąga maksimum. Układ
drgający jest szczególnie czuły na działanie siły o tej właśnie częstości. Zjawisko to nazywamy
REZONANSEM, a odpowiednią częstość - częstością rezonansową:
ω
rez
= ω
− 2β
_____________________________________________________________________________________
4) POJĘCIE FALI. KLASYFIKACJA FAL.
FALA - zaburzenie ośrodka (sprężystego - fale mechaniczne, pola elektromagnetycznego - fale
elektromagnetyczne) przenoszące energię.
Fala mechaniczna powstaje w ośrodku sprężystym w wyniku wychylenia jakiegoś fragmentu
ośrodka z równowagi. Dzięki sprężystym właściwościom ośrodka drgania są przekazywane kolejno do
jego coraz dalszych części. Ośrodek jako całość nie przesuwa się z falą.
Klasyfikacja fal:
a) ze wzgl. na kąt pomiędzy kierunkiem ruchu cząsteczek, a kierunkiem rozchodzenia się fal:
- poprzeczne
- podłużne
b) ze wzgl. na liczbę wymiarów niezbędnych do opisu kierunku rozchodzenia się energii:
- jednowymiarowe
- dwuwymiarowe
- trójwymiarowe (fale dźwiękowe i świetlne w przestrzeni)
c) ze wzgl. na kształt powierzchni falowej:
- fala płaska
- fala kulista
d) ze wzgl. na przenoszenie energii:
- fala biegnąca (przenosząca energię)
- fala kulista (nie przenosząca energii).
_____________________________________________________________________________________
5)
RÓWNANIE FALI PŁASKIEJ
.
PRĘDKOŚĆ FAZOWA
.
Równanie fali rozchodzącej się wzdłuż osi x:
ξ = Acos(ωt - kx + α)
k = - liczba falowa; ω = - częstość kołowa
Równaniem fali płaskiej nazywa się wyrażenie przedstawiające wychylenie drgającej cząstki
w funkcji jej współrzędnej x i czasu t. Funkcja ta jest periodyczna zarówno ze względu na czas, jak i na
położenie.
Prędkość fazowa - prędkość przemieszczenia się określonej fazy fali
v =
. Prędkość ta jest stała,
o ile nie zmieniają się właściwości ośrodka.
3
6)
RÓWNANIE FALOWE
.
Różniczkowe równanie falowe:
ξ =
Po rozpisaniu
+
+
=
Każda spełniająca powyższe równanie falowe opisuje jakąś falę o prędkości fazowej v.
_____________________________________________________________________________________
7)
ENERGIA FALI SPRĘŻYSTEJ
.
NATĘŻENIE FALI
.
Jeżeli mamy daną falę opisaną równaniem:
ξ = Acos(ωt - kx + ϕ)
to na objętość ΔV ośrodka przypada następująca energia kinetyczna:
T =
i energia potencjalna:
U =
gdzie E - moduł Younga
Całkowita energia tej objętości to
T +U
Natężenie fali interpretuje się jako średnią energię przenoszoną przez falę w jednostce czasu
przez jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali.
Natężeniem fali nazywamy średnią wartość wektora Umowa (wektor Umowa - ⃗ =
⃗
):
I = |〈 〉| = ρvω
2
A
2
_____________________________________________________________________________________
8)
RÓWNANIE FALI KULISTEJ
.
Równanie fali kulistej:
- nietłumionej:
ξ = cos(ωt - kr + ϕ)
- tłumionej:
ξ = e
-αr
cos(ωt - kr + ϕ)
Fala kulista jest falą symetryczną (o symetrii środkowej). Jej amplituda maleje wraz ze
zwiększaniem się odległości od źródła nawet wtedy, gdy fala nie jest tłumiona. Wynika to z faktu, że
pewna energia wypromieniowana przez źródło przypada wraz ze zwiększaniem się odległości na coraz
większą objętość ośrodka.
4
9) FALE AKUSTTYCZNE.
POZIOM GŁOŚNOŚCI
.
Fale dźwiękowe - podłużne fale mechaniczne. Mogą rozchodzić się w ciałach stałych, cieczach i
gazach.
Zakres słyszalny dla człowieka mieści się między 20Hz a 20kHz. Fale dźwiękowe o
częstotliwościach niższych niż 20Hz to infradźwięki, a o częstotliwościach wyższych niż 20kHz to
ultradźwięki.
Wielkości charakteryzujące falę dźwiękową:
- wysokość dźwięku (związana z częstotliwością fali)
- barwa
- głośność (powiązana z natężeniem dźwięku)
Poziomem głośności nazywamy wielkość zdefiniowaną następująco
L = 10 log
(|L| = dB)
I - natężenie dźwięku którego poziom ustalamy
I
0
- poziom odniesienia ustalony jako natężenie najsłabszego słyszalnego dźwięku:
I
0
= 10
-12
_____________________________________________________________________________________
10)
ZJAWISKO DOPPLERA
.
Zjawiskiem Dopplera nazywamy rejestrowaną przez odbiornik zmianę częstotliwości fali, której
przyczyną jest ruch odbiornika i/lub źródła fali.
Rozważa się następujące przypadki:
- ruch odbiornika:
ƒ' = ƒ
- ruch źródła:
ƒ' = ƒ
- przypadek ogólny:
ƒ' = ƒ
v
0
- prędkość odbiornika
v
z
- prędkość źródła
u - prędkość fali w ośrodku
f - częstotliwość fali wytwarzanej przez źródło
f' - efektywna częstotliwość fali odbierana przez odbiornik
_____________________________________________________________________________________
11) POLARYZACJA DIELEKTRYKA.
WEKTOR POLARYZACJI
.
Dielektrykami nazywamy substancje nieprzewodzące prądu elektrycznego.
Polaryzacja dielektryka - zjawiska zachodzące w zewnętrznym polu elektrycznym, pod wpływem
którego będzie powstawało uporządkowanie momentów dipolowych dielektryka. (polaryzacja elektryka
to jego reakcja na przyłożone pole elektryczne).
Rodzaje polaryzacji:
- elektronowa
- orientacji
- jonowa
Wektor polaryzacji - miara polaryzacji dielektryka, równa sumie wszystkich momentów
dipolowych cząsteczek dielektryka na element objętości.
⃗ =
∑ ⃗
V - objętość dielektryka
- elektryczny moment dipolowy konkretnego dipola
5
12)
POLARYZACJA ELEKTRONOWA
.
POLARYZACJA ORIENTACJI
.
Pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego ładunki w cząsteczce niepolarnej ulegają
przesunięciu względem siebie - dodatnie zgodnie ze zwrotem wektora natężenia pola ⃗, ujemnie w
kierunku przeciwnym. W wyniku tego przesunięcia w cząsteczce pojawia się indukowany moment
dipolowy. Moment ten jest proporcjonalny do natężenia pola:
⃗ =
⃗
⃗ - moment elektryczny
-
polaryzowalność elektronowa
-
przenikalność elektryczna
Polaryzowalność elektronowa:
= 4π r
3
r - promień orbity chmury elektronowej
Proces polaryzacji cząsteczki niepolarnej zachodzi tak, jak gdyby ładunki dodatnie i ujemne
związane były wzajemnie siłami sprężystymi. Z tego powodu mówimy o cząsteczce niepolarnej, że
zachowuje się w polu elektrycznym jak dipol sprężysty.
Pod nieobecność zewnętrznego pola elektrycznego dipolowe momenty cząsteczek są równe 0.
Działanie pola elektrycznego na cząsteczkę polarną sprowadza się do wymuszania obrotu
cząsteczki tak, aby jej moment dipolowy ustawiał się w kierunku pola. Zorientowaniu takiemu
sprzeciwiają się chaotyczne ruchy cieplne cząsteczek.
Moment dipolowy ⃗ uzyskuje w zewnętrznym polu elektrycznym o natężeniu E energię U
wyrażaną wzorem:
= ⃗ ⃗ =
Polaryzowalność orientacji wynosi:
=
〈 〉
=
3
Polaryzowalność orientacji jest znacznie większa od polaryzowalności elektronowej i jonowej.
_____________________________________________________________________________________
13) FERROELEKTRYKI.
Ferroelektryki - grupa dielektryków krystalicznych wykazujących w określonym zakresie
temperatur spontaniczną polaryzację występującą pod nieobecność zewnętrznego pola elektrycznego,
która silnie zmienia się pod wpływem oddziaływań zewnętrznych (pole elektryczne, deformacje,
temperatura).
Ferroelektryki charakteryzuje przenikalność elektryczna rzędu 10
3
- 10
6
.
Charakterystyczne dla ferroelektryków jest zjawisko histerezy dielektrycznej (dla tej samej
wartości E próbka może mieć różne wartości polaryzacji).
Punkt Curie - charakterystyczna dla każdego ferroelektryka temperatura, powyżej której
substancja traci swoje szczególne własności i zachowuje się jak dielektryk.
6
14) PIEZOELEKTRYKI.
Piezoelektrykami nazywamy kryształy niesymetryczne, w których występuje zjawisko
piezoelektryczności, polegające na pojawianiu się różnoimiennych ładunków elektrycznych na
przeciwległych do siebie powierzchniach kryształu pod wpływem deformacji mechanicznej.
Zjawisko piezoelektryczne jest odwracalne.
Piezoelektryczność umożliwia przetwarzanie napięć i impulsów mechanicznych w elektryce
(wytwarzanie ultradźwięków, pomiar ciśnień).
_____________________________________________________________________________________
15) POLE MAGNETYCZNE.
POLE MAGNETYCZNE W MATERII
.
WEKTOR NAMAGNESOWANIA
.
Oddziaływanie między naładowanymi elektrycznie cząstkami, ciałami i prądami odbywa się za
pośrednictwem pola elektromagnetycznego (kombinacja pola magnetycznego i elektrycznego). Pole
elektryczne wywiera na ładunek siłę niezależną od prędkości ruchu ładunku. Pole magnetyczne działa
tylko na ładunki poruszające się, siłą proporcjonalną do prędkości ich ruchu. Poruszające się ładunki
(prądy) zmieniają własności otaczającej je przestrzeni - wytwarzają pole magnetyczne.
Zarówno dla pola magnetycznego, jak i elektrycznego spełniona jest zasada superpozycji: pole
wytwarzane przez kilka ładunków jest równe sumie pól wytwarzanych przez każdy ładunek z osobna.
Wielkości opisujące pole magnetyczne:
- natężenie pola
- indukcja pola
Materia wpływa nie tylko na pole elektryczne, ale oddziałuje z polem magnetycznym, w którym
się znajduje. Jeżeli w próżni indukcja pola magnetycznego wynosi B
0
, to po umieszczeniu w nim
materiału B, możemy przedstawić tą zależność w postaci wzoru:
⃗ =
⃗
współczynnik nazywamy przenikalnością magnetyczną materiału
Dla scharakteryzowania stanu namagnesowania danego materiału definiuje się wektor
namagnesowania analogicznie do wektora polaryzacji dielektrycznej. Jest on równy wypadkowemu
momentowi magnetycznemu wszystkich cząstek ośrodka przypadającemu na jednostkę objętości
⃗ =
1
∆
⃗
_____________________________________________________________________________________
16) DIAMAGNETYKI. PARAMEGNATYKI. FERROMAGNETYKI.
Diamagnetyki - substancje wykazujące zjawisko diamagnetyzmu, czyli tylko te substancje
których atomy nie mają własnego momentu magnetycznego (suma wektorowa orbitalnych i spinowych
momentów magnetycznych jest równa zero). Diamagnetyzm substancji można wyjaśnić posługując się
prostym modelem Bohra, zgodnie z którym elektrony w atomach poruszają się po stacjonarnych
orbitach kołowych.
Paramagnetyki - substancje składające się z atomów, których moment magnetyczny
jest
różny od zera (pola magnetyczne nie równoważą się wzajemnie). Ciała te wykazują słabe własności
magnetyczne.
7
Ferromagnetyki - stanowią oddzielną grupę magnetyków, są to substancje, które wykazują
namagnesowanie pod nieobecność zewnętrznego pola magnetycznego. Nazwano je ferromagnetykami
ze względu na ich najbardziej reprezentatywny przykład - żelazo.
Ferromagnetyki są substancjami o szczególnie silnych właściwościach magnetycznych.
_____________________________________________________________________________________
17)
RÓWNANIA MAXWELLA
.
Do równań Maxwella należą:
- związek wektora natężenia pola elektrycznego ze zmianami w czasie wektora indukcji
magnetycznej (prawo indukcji elektromagnetycznej):
⃗ = −
⃗
- nie istnieją źródła pola magnetycznego (prawo Ostrogradskiego - Gaussa):
⃗ = 0
- związek między prądami przewodnictwa i przesunięcia, a wytwarzanym przez nie polem
magnetycznym:
⃗ = ⃗ +
⃗
⃗ - gęstość prądu makroskopowego
- źródłem pola elektrycznego są ładunki obce:
⃗ =
- gęstość ładunku elektrycznego
_____________________________________________________________________________________
18)
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
.
Zmienne pole elektryczne wytwarza pole magnetyczne, które z kolei będąc zmiennym wytwarza
pole elektryczne itd. Jeżeli wzbudzić za pomocą drgań ładunków zmienne pole elektromagnetyczne, to
powstaje ciąg wzajemnych przemian pól elektrycznych i magnetycznych, rozchodzących się w
przestrzeni. Proces ten wykazuje okresowość w czasie i przestrzeni, stanowi więc falę.
Istnienie fal elektromagnetycznych wynika z równań Maxwella:
+
+
=
+
+
=
Charakterystyczne cechy fali:
- prędkość fazowa
- modulacja częstotliwości
- modulacja fazy
8
19) FALE ŚWIETLNE. FALA ŚWIETLNA NA GRANICY DWÓCH OŚRODKÓW.
Falami świetlnymi nazywamy fale elektromagnetyczne należące do przedziału częstotliwości fal
widzialnych. Przedział ten jest stosunkowo wąski i obejmuje długości fal od 7,6 · 10
-7
do
7,6 · 10
-7
.
Fala świetlna może ulegać odbiciu, załamaniu lub polaryzacji na granicy dwóch ośrodków.
Prawo odbicia światła - promień odbity leży w tej samej płaszczyźnie co promień padający
i normalna wystawiona w punkcie padania; kąt padania jest równy kątowi odbicia.
Prawo załamania światła - promień załamany leży w tej samej płaszczyźnie co promień padający
i normalna wystawiona w punkcie padania; stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest
wielkością stałą dla danego ośrodka.
_____________________________________________________________________________________
20) OPTYKA GEOMETRYCZNA. PRAWA OPTYKI GEOMETRYCZNEJ. ZASADA FERMATA.
Optyka geometryczna - dział optyki pomijający własności światła. Głównym pojęciem jest w niej
promień świetlny
Prawa optyki geometrycznej:
- Prawo prostoliniowego rozchodzenia się światła - w ośrodku jednorodnym światło
rozchodzi się prostoliniowo.
- Prawo niezależności promieni świetlnych - przecinające się promienie świetlne nie
zaburzają się wzajemnie. Przecięcia promieni nie przeszkadzają w rozchodzeniu się każdego z nich z
osobna. Prawo to stosuje się do światła nie osiągającego bardzo dużych natężeń, w przypadku których
przestaje obowiązywać.
Zasada Fermata - światło rozchodzi się po takich liniach, którym odpowiadają możliwie
najmniejsze drogi optyczne.
_____________________________________________________________________________________
21)
INTERFERENCJA ŚWIATŁA
.
Interferencją nazywamy nakładanie się fal powodujące zmniejszanie lub zwiększanie amplitudy
fali wypadkowej w zależności od różnicy faz fal składowych.
Jeżeli mamy fale dane równaniami:
=
cos (
+
)
=
cos (
+
)
wówczas amplituda fali wypadkowej jest dana równaniem:
=
+
+ 2
cos (
−
)
Dwa ciągi fal interferują ze sobą jedynie wtedy , gdy drgania źródeł wytwarzających oba ciągi fal
różnią się w fazie o stałą wielkość (przynajmniej przez czas odpowiadający większej liczbie okresów. Fale
spełniające taki warunek nazywamy spójnymi albo koherentnymi.
9
22) DYFRAKCJA ŚWIATŁA. ZASADA HUYGENSA - FRESNELA.
Dyfrakcją nazywa się zespół zjawisk powstających podczas rozchodzenia się światła w ośrodku z
ostrymi niejednorodnościami związanych z odchyleniami od praw optyki geometrycznej. Prowadzi ona w
szczególności do omijania przez fale świetlne przeszkód i przenikania światła do obszarów cienia
geometrycznego.
Odchylenia od praw optyki geometrycznej będą tym większe, im większa będzie długość fali
świetlnej.
Zasada Huygens -Fresnela - każdy punkt ośrodka, do którego dotrze fala, staje się źródłem
wtórnych fal kulistych, których amplituda jest proporcjonalna do powierzchni fragmentu ośrodka. Na
skutek interferencji tych fal elementarnych powstaje nowe czoło fali.
_____________________________________________________________________________________
23) POLARYZACJA ŚWIATŁA.
PRAWO MALUSA
.
Światłem spolaryzowanym nazywa się światło, w którym drgania wektora świetlnego są w jakiś
sposób uporządkowane. W świetle naturalnym drgania odbywają się w różnych kierunkach i zmieniają
się szybko.
Płaszczyzna polaryzacji jest prostopadła do płaszczyzny drgań.
Światło płasko spolaryzowane można otrzymać ze światła naturalnego za pomocą
polaryzatorów.
Prawo Malusa przedstawia zależność natężenia światła przechodzącego przez polaryzator i
analizator od kąta między ich płaszczyznami polaryzacji:
=
- natężenie światła przed polaryzatorem
_____________________________________________________________________________________
24) PROMIENIOWANIE CIEPLNE.
PRAWO KIRCHHOFFA
.
Wypromieniowanie fal elektromagnetycznych przez ciała może odbywać sie kosztem różnych
rodzajów energii. Najbardziej rozpowszechnione jest promieniowanie cieplne (termiczne), tzn. emisja fal
elektromagnetycznych kosztem energii wewnętrznej ciał. Promieniowanie cieplne emitowane jest
promieniowaniem równowagowym, co oznacza, że za jego pośrednictwem może następować
równoważenie się układu.
Prawo Kirchhoffa - stosunek zdolności emisyjnej do zdolności absorpcyjnej nie zależy od rodzaju
ciała i jest on dla wszystkich ciał jednakową funkcją częstości (długości fali) i temperatury:
( , )
( , )
= ( , )
10
25)
PRAWO STEFANA-BOLTZMANNA
.
PRAWO WIENA
.
Prawo Stefana-Boltzmanna:
Według ustalonego doświadczalnie przez Stefana, a udowodnionego teoretycznie przez
Boltzmanna prawa, całkowita energia promieniowania widzialnego i niewidzialnego wysyłana przez
jednostkę powierzchni ciała doskonale czarnego w jednostce czasu wyraża sie wzorem:
E = δT
4
δ - stała Stefana-Boltzmanna równa 5,669 · 10
-8
Prawo Wiena przedstawia zależność długości fali, na którą przypada maksimum spektralnej
zdolności emisyjnej, od temperatury:
λ
max
T = const = 2,897 · 10
-3
m · K
_____________________________________________________________________________________
26)
WZÓR RAYLEIGHA-JEANSA
.
WZÓR PLANCKA
.
Funkcja gęstości promieniowania zrównoważonego:
( , ) =
k - stała Boltzmanna
c - prędkość światła
Zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego:
( , ) =
4
Wzór Plancka (Planck przyjął, że promieniowanie elektromagnetyczne emitowane jest w postaci
porcji energii o wartości proporcjonalnej do częstości promieniowania), czyli funkcja przedstawiająca
zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego:
( , ) =
ħ
4
(
ħ
− 1)
_____________________________________________________________________________________
27)
KORPUSKULARNA NATRA ŚWIATŁA
.
W drugiej połowie XVII wieku Newton wysunął hipotezę korpuskularnej natury światła, według
której światło jest strumieniem cząsteczek.
Takie zjawiska jak interferencja i dyfrakcja są dowodami na falową naturę światła, ale zjawiska
takie jak zjawisko fotoelektryczne i Comptona dają się wyjaśnić tylko na gruncie teorii korpuskularnej.
Podstawowe prawa wiążące własności falowe światła z jego własnościami korpuskularnymi :
= ℎ
=
E - energia fotonu
h - stała Plancka
p - pęd fotonu
v - częstotliwość fali
λ - długość fali