CIĄGI

Przykłady

Ciąg Fibonacci'ego

Granica ciągu

L = lim

{n→∞}

 a

n 

 wtw gdy dla każdego  ε  istnieje N takie że dla n  ≥ N 

│a

n

-L│ ≤ ε

UWAGA

Jeśli  

oraz 

to  

Twierdzenie

Jeśli dla n  ≥ N 

oraz 

to

UWAGA

Jeśli 

to 

Ciąg rosnący; ciąg malejący; ciąg ograniczony od dołu; ciąg ograniczony od góry; ciąg ograniczony

Twierdzenie

Każdy  ciąg monotoniczny, ograniczony jest zbieżny.

  

Szeregi

Mając ciąg

możemy utworzyć ciąg sum częściowych

Ciąg   

 nazywamy szeregiem, oznaczenie

Ten nowy ciąg może mieć lub nie mieć granicy. Jeśli ma to jego granicę 
nazywamy sumą tego szeregu.

I wtedy mówimy, że szereg jest zbieżny. Przeciwnym przypadku szereg 
jest rozbieżny.

Ciąg geometryczny

Warunki dostateczne i wystarczające

Twierdzenie

Jeśli szereg   

jest zbieżny to 

Dowód.
Niech

Wtedy

Ponieważ szereg jest zbieżny to 

Także  

Zatem

Przykład

Szereg harmoniczny

jest rozbieżny.

Podobnie

i ogólnie

Własności

Przykłady

1. Dywan Sierpińskiego

Suma pól usuniętych  kwadratów równa się 1.

2. Jaka jest suma pól usuniętych kół?

TESTY ZBIEŻNOŚCI

Zatem suma tego szeregu jest mniejsza niż

Wiemy, że całka

jest rozbieżna, tak więc suma szeregu jest nieskończona. 

Kryterium całkowe zbieżności szeregów

Niech f będzie funkcją ciągłą, dodatnią, malejącą na odcinku [0,∞) i 
niech a

n

 = f(n). Wtedy szereg 

zbieżny wtw gdy całka niewłaściwa 

jest zbieżna. 

Przykład

Zbadaj zbieżność szeregu

Funkcja  

na odcinku  [0,∞)  jest ciągła, dodatnia i malejąca. 

Co więcej

Zatem szereg jest rozbieżny
.

Przykład

Dla jakich wartości p szereg

jest zbieżny?

a) p < 0. 

Zatem szereg rozbieżny.

b) p =0.

Zatem szereg rozbieżny.

c) p > 0. Oczywiście funkcja

 jest ciągła, dodatnia i malejąca na odcinku  [0,∞) . 

Wiemy, że całka

jest zbieżna dla p > 1 i rozbieżna dla p ≤ 1. Skąd

szereg jest zbieżny dla  p > 1 i rozbieżny dla p ≤ 1.

Kryterium  porównawcze

Przykład 

Czy szereg 

jest zbieżny.

Wiemy, że 

i że szereg o wyrazach

jest zbieżny. Zatem nasz pierwszy szereg jest zbieżny. 

Test porównawczy

Niech 

i 

będą dwoma szeregami o wyrazach dodatnich. 

Jeśli szereg 

jest zbieżny i 

dla prawie wszystkich n, to także szereg 

jest zbieżny. 

Jeśli szereg 

jest rozbieżny i 

dla prawie wszystkich n, to także szereg 

jest rozbieżny. 

Przykład

Czy szereg 

jest zbieżny?

Mamy następujące oszacowanie

Szereg

jest zbieżny, zatem i nasz szereg jest zbieżny. 

Przykład

Czy szereg  

jest zbieżny?

Mamy oszacowanie

Zatem szereg jest rozbieżny.

Kryterium porównawcze graniczne

Niech 

i 

będą dwoma szeregami o wyrazach dodatnich.  Jeśli

i c jest liczbą rzeczywistą to albo oba szeregi są zbieżne albo oba 
szeregi są rozbieżne. 

Przykład

Czy szereg 

jest zbieżny?

Stosujemy powyższe kryterium do 

Wtedy 

Zatem szereg jest zbieżny.

SZACOWANIE SUMY SZEREGU

Jeśli wyrazy szeregu są dane przez funkcję f malejącą i dodatnią to 

oraz 

i

Zatem

ZADANIE

A) Przybliż sumę szeregu

przy pomocy pierwszych 10 wyrazów i oszacuj błąd tego przybliżenia.

Zatem błąd tego przybliżenia jest mniejszy niż 0,005.

b) Ile wyrazów musielibyśmy wziąć pod uwagę by błąd przybliżenia był 
mniejszy niż 0,0005?

Wiemy, że 

i chcemy by 

Skąd 

czyli 

OGÓLNIE MAMY ZWIĄZEK

SZEREGI NAPRZEMIENNE

Przykłady

Ogólnie szereg naprzemienny ma wyrazy postaci

lub

gdzie wyrazy b

n 

są dodatnie.

KRYTERIUM ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW NAPRZENNYCH

Jeśli szereg naprzemienny 

spełnia warunki

to jest on zbieżny. 

Bez dowodu

PRZYKŁADY

1. Naprzemienny szereg harmoniczny jest zbieżny.

Bo 

2. Szereg poniższy jest naprzemienny

ale nie jest zbieżny. Warunek b) nie jest spełniony

i co więcej granica  

nie istnieje.

Szacowanie sumy szeregu naprzemiennego

Niech 

będzie sumą szeregu naprzemiennego spełniającego warunki (a) i  (b). 
Wtedy

BEZWGLĘDNA ZBIEŻNOŚĆ

Mówimy, że szereg 

jest bezwzględnie zbieżny gdy szereg wartości bezwzględnych jest 
zbieżny, tj.  szereg

jest zbieżny. 

Przykłady

A) Szereg

jest bezwzględnie zbieżny ponieważ szereg

jest zbieżny. 

B) Szereg 

jest  zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny, bo szereg 

jest rozbieżny. 

TWIERDZENIE
Szereg bezwględnie zbieżny jest zbieżny.

Dowód. Zauważ, że 

Kryterium porównawcze zapewnia, że szereg

jest zbieżny. Następnie

jest zbieżny. 

Przykład

Szereg 

jest bezwzględnie zbieżny ponieważ

Kryterium zbieżności d'Alambert'a (ułamkowe).

a) Jeśli 

to szereg 

jest bezwzględnie zbieżny. 

b)  Jeśli 

to szereg 

jest rozbieżny. 

Przykład 

A  Czy szereg  

jest bezwzględnie zbieżny?

B) Czy szereg  

jest bezwzględnie zbieżny?

Odp. Rozbieżny.