CIĄGI

Przykłady

Ciąg Fibonacci'ego

Granica ciągu

L = lim

{n→∞}

a

n

wtw gdy dla każdego ε istnieje N takie że dla n ≥ N

│a

n

-L│ ≤ ε

UWAGA

Jeśli

oraz

to

Twierdzenie

Jeśli dla n ≥ N

oraz

to

UWAGA

Jeśli

to

Ciąg rosnący; ciąg malejący; ciąg ograniczony od dołu; ciąg ograniczony od góry; ciąg ograniczony

Twierdzenie

Każdy ciąg monotoniczny, ograniczony jest zbieżny.

Szeregi

Mając ciąg

możemy utworzyć ciąg sum częściowych

Ciąg

nazywamy szeregiem, oznaczenie

Ten nowy ciąg może mieć lub nie mieć granicy. Jeśli ma to jego granicę
nazywamy sumą tego szeregu.

I wtedy mówimy, że szereg jest zbieżny. Przeciwnym przypadku szereg
jest rozbieżny.

Ciąg geometryczny

Warunki dostateczne i wystarczające

Twierdzenie

Jeśli szereg

jest zbieżny to

Dowód.
Niech

Wtedy

Ponieważ szereg jest zbieżny to

Także

Zatem

Przykład

Szereg harmoniczny

jest rozbieżny.

Podobnie

i ogólnie

Własności

Przykłady

1. Dywan Sierpińskiego

Suma pól usuniętych kwadratów równa się 1.

2. Jaka jest suma pól usuniętych kół?

TESTY ZBIEŻNOŚCI

Zatem suma tego szeregu jest mniejsza niż

Wiemy, że całka

jest rozbieżna, tak więc suma szeregu jest nieskończona.

Kryterium całkowe zbieżności szeregów

Niech f będzie funkcją ciągłą, dodatnią, malejącą na odcinku [0,∞) i
niech a

n

= f(n). Wtedy szereg

zbieżny wtw gdy całka niewłaściwa

jest zbieżna.

Przykład

Zbadaj zbieżność szeregu

Funkcja

na odcinku [0,∞) jest ciągła, dodatnia i malejąca.

Co więcej

Zatem szereg jest rozbieżny
.

Przykład

Dla jakich wartości p szereg

jest zbieżny?

a) p < 0.

Zatem szereg rozbieżny.

b) p =0.

Zatem szereg rozbieżny.

c) p > 0. Oczywiście funkcja

jest ciągła, dodatnia i malejąca na odcinku [0,∞) .

Wiemy, że całka

jest zbieżna dla p > 1 i rozbieżna dla p ≤ 1. Skąd

szereg jest zbieżny dla p > 1 i rozbieżny dla p ≤ 1.

Kryterium porównawcze

Przykład

Czy szereg

jest zbieżny.

Wiemy, że

i że szereg o wyrazach

jest zbieżny. Zatem nasz pierwszy szereg jest zbieżny.

Test porównawczy

Niech

i

będą dwoma szeregami o wyrazach dodatnich.

Jeśli szereg

jest zbieżny i

dla prawie wszystkich n, to także szereg

jest zbieżny.

Jeśli szereg

jest rozbieżny i

dla prawie wszystkich n, to także szereg

jest rozbieżny.

Przykład

Czy szereg

jest zbieżny?

Mamy następujące oszacowanie

Szereg

jest zbieżny, zatem i nasz szereg jest zbieżny.

Przykład

Czy szereg

jest zbieżny?

Mamy oszacowanie

Zatem szereg jest rozbieżny.

Kryterium porównawcze graniczne

Niech

i

będą dwoma szeregami o wyrazach dodatnich. Jeśli

i c jest liczbą rzeczywistą to albo oba szeregi są zbieżne albo oba
szeregi są rozbieżne.

Przykład

Czy szereg

jest zbieżny?

Stosujemy powyższe kryterium do

Wtedy

Zatem szereg jest zbieżny.

SZACOWANIE SUMY SZEREGU

Jeśli wyrazy szeregu są dane przez funkcję f malejącą i dodatnią to

oraz

i

Zatem

ZADANIE

A) Przybliż sumę szeregu

przy pomocy pierwszych 10 wyrazów i oszacuj błąd tego przybliżenia.

Zatem błąd tego przybliżenia jest mniejszy niż 0,005.

b) Ile wyrazów musielibyśmy wziąć pod uwagę by błąd przybliżenia był
mniejszy niż 0,0005?

Wiemy, że

i chcemy by

Skąd

czyli

OGÓLNIE MAMY ZWIĄZEK

SZEREGI NAPRZEMIENNE

Przykłady

Ogólnie szereg naprzemienny ma wyrazy postaci

lub

gdzie wyrazy b

n

są dodatnie.

KRYTERIUM ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW NAPRZENNYCH

Jeśli szereg naprzemienny

spełnia warunki

to jest on zbieżny.

Bez dowodu

PRZYKŁADY

1. Naprzemienny szereg harmoniczny jest zbieżny.

Bo

2. Szereg poniższy jest naprzemienny

ale nie jest zbieżny. Warunek b) nie jest spełniony

i co więcej granica

nie istnieje.

Szacowanie sumy szeregu naprzemiennego

Niech

będzie sumą szeregu naprzemiennego spełniającego warunki (a) i (b).
Wtedy

BEZWGLĘDNA ZBIEŻNOŚĆ

Mówimy, że szereg

jest bezwzględnie zbieżny gdy szereg wartości bezwzględnych jest
zbieżny, tj. szereg

jest zbieżny.

Przykłady

A) Szereg

jest bezwzględnie zbieżny ponieważ szereg

jest zbieżny.

B) Szereg

jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny, bo szereg

jest rozbieżny.

TWIERDZENIE
Szereg bezwględnie zbieżny jest zbieżny.

Dowód. Zauważ, że

Kryterium porównawcze zapewnia, że szereg

jest zbieżny. Następnie

jest zbieżny.

Przykład

Szereg

jest bezwzględnie zbieżny ponieważ

Kryterium zbieżności d'Alambert'a (ułamkowe).

a) Jeśli

to szereg

jest bezwzględnie zbieżny.

b) Jeśli

to szereg

jest rozbieżny.

Przykład

A Czy szereg

jest bezwzględnie zbieżny?

B) Czy szereg

jest bezwzględnie zbieżny?

Odp. Rozbieżny.