2 Wynikanie logiczne

2. Wynikanie logiczne

Wobec

zdań oznajmujących, które słyszymy, czytamy lub sami wytwa-

rzamy w mowie lub piśmie, zajmujemy postawy zwane „postawami propozy-
cjonalnymi”

. Gdy są one pozytywne (akceptujące), mówimy o uznawaniu

zdań, kiedy są negatywne — o ich odrzucaniu. Wyrażamy je poprzedzając zda-
nie zwrotami w rodzaju „wiem (jak również: wierzę, zgadzam się, jestem prze-
konany), że...”, bądź zwrotami o wymowie przeciwnej, które tworzymy przez
dodanie przeczenia, więc — na przykład — „wiem, że nie jest tak, że...” Między
uznawaniem a odrzucaniem mieści się wiele postaw pośrednich, czego wyrazem
są formuły takie, jak „przypuszczam (jak również: nie wykluczam, być może
jest tak, jest prawdopodobne), że...”. Uznanie zdania oznajmującego nie zawsze
oznacza uznanie go za prawdziwe, a odrzucenie — uznanie za fałszywe, po-
nieważ są zdania oznajmujące, którym nie da się przypisać żadnej z tych dwóch
własności. Uznanie bądź odrzucenie takiego zdania może zatem być wyrazem
jakiejś aprobaty lub dezaprobaty innego rodzaju (na przykład moralnej). Tutaj
mówiąc o uznawaniu będziemy mieć zawsze na myśli uznawanie za prawdzi-
we, a mówiąc o odrzucaniu — odrzucanie jako fałszywe, zaś dla uproszczenia
wywodów pominiemy postawy pośrednie.
Jak

zauważyliśmy w rozdziale poprzednim, logika bywa charakteryzowa-

na jako nauka o poprawności rozumowań. Pojęcie rozumowania jest nader
ogólne i obejmuje procesy myślowe występujące przy rozwiązywaniu bardzo
różnych zadań o celu poznawczym. Tu wyróżnimy tylko jeden z takich proce-
sów zwany wnioskowaniem.
Wnioskowanie jest to proces myślowy, w którym na podstawie jakichś zdań
uznanych (zwanych wówczas przesłankami) dochodzimy do uznania jakiegoś
innego zdania (zwanego wnioskiem).

W wyjaśnieniu tym dopuszczamy się pewnego uproszczenia związanego

z zapowiedzianym wcześniej pominięciem postaw propozycjonalnych pośred-
nich; wszak bywa często tak, że zdanie będące wnioskiem już wcześniej traktu-
jemy jako prawdopodobne, a odwołując się do pewnych przesłanek jedynie
zwiększamy naszą pewność, co do jego prawdziwości. Warto tu ponadto zauwa-
żyć, że często przeprowadzamy coś, co można nazwać „wnioskowaniem na ni-
by”. Polega to na tym, że wprawdzie zdań odpowiadających przesłankom nie
uznajemy (możemy nawet, być przekonani o ich fałszywości), natomiast na czas
przeprowadzanej operacji zakładamy, że są one prawdziwe i ustalamy, czy przy
takim założeniu uznalibyśmy za prawdziwe zdanie odpowiadające wnioskowi.
Pojęcie wnioskowania jako odnoszące się do pewnego procesu myślowe-
go jest pojęciem z dziedziny psychologii. Uznanie przesłanek jest tu motywem
uznania wniosku, a pojęcie motywacji jest typowym pojęciem psychologicz-

Określenie „propozycjonalne” wywodzi się z angielskiego proposition, któremu w języku polskim odpowiada-

ją terminy „zdanie” jak również „sąd” (rozumiany jako znaczenie zdania).

nym. To, co we wnioskowaniach interesuje logikę, to wynikanie wniosku z
przesłanek, ono bowiem decyduje o wartości poznawczej wnioskowań. Po-
nieważ potocznie z pojęciem wynikania wiąże się często szerzy zakres, w logice
posługujemy się określeniem wynikanie logiczne. Jest to związek między zda-
niami, który zachodzi, albo nie zachodzi, niezależnie od tego czy dane zdania
uczestniczą w jakimś wnioskowaniu lub „wnioskowaniu na niby”, a zatem nie
ma on nic wspólnego z faktycznie zachodzącymi procesami psychicznymi.

Zadaniem logiki jest wyjaśnienie, na czym ów związek polega, jak rów-

nież dostarczenie narzędzi, które pozwolą rozstrzygać w sposób nie budzący
wątpliwości, kiedy ten związek zachodzi. Jak już zauważyliśmy w poprzednim
rozdziale, logika proponuje tu narzędzia pozwalające nie korzystać z zawodnej
— jak wiadomo — intuicji językowej, lecz z operacji, w których mamy na
względzie wyłącznie formy graficzne wyrażeń. Takie operacje określa się mia-
nem formalnych i stąd dział logiki zajmujący się wynikaniem logicznym jako
takim nazywa się logiką formalną.
Należy tu Czytelnika uprzedzić, że żadna ogólna definicja pojęcia wyni-
kania logicznego, które miałoby bezpośrednie zastosowanie do wszelkich zdań
naturalnego języka etnicznego (takiego jak polski, angielski, czy chiński) jest
nieosiągalna. O przyczynach tego niefortunnego stanu rzeczy, oraz o tym, jak
sobie z tym można radzić, będzie mowa w następnych rozdziałach. Ścisła defi-
nicja wynikania logicznego może zatem stosować się wyłącznie do zdań
sztucznego języka symbolicznego konstruowanego po to, aby wydobyć i una-
ocznić ukrytą strukturę logiczną wypowiedzi formułowanych w językach natu-
ralnych. Pojęcie wynikania logicznego powinno zatem być rekonstrukcją

intu-

icyjnego pojęcia wynikania, z którym powszechnie wiąże się charakterystykę
następującą:
Ze zdań A

,...,A

wynika zdanie B wtedy i tylko wtedy, gdy ilekroć prawdziwe

są zdania A

,...,A

, tylekroć również zdanie B musi być prawdziwe.

Zwrotu „musi być” nie można tu zastąpić słowem „jest”, gdyż prowadzi-

łoby to do wniosku, że ze zdań fałszywych wynikają dowolne zdania (zarówno
prawdziwe jak i fałszywe), zaś zdania prawdziwe wynikają z dowolnych zdań,
co jest wyraźnie niezgodne z intuicyjnym pojęciem wynikania.

Niezbędny tu zwrot „musi” jest wyrazem jakiejś konieczności, a ściślej

koniecznego związku między zdaniami, na którym ma polegać wynikanie.
Logicy mówią, że chodzi tu o konieczność logiczną i usiłują wyjaśnić, na czym
ów konieczny związek polega. Zadanie to podjął już Arystoteles, a ponieważ
inni podążali w ślad za nim, zobaczmy, jak sobie z nim poradził.
Otóż Arystoteles miał na uwadze tylko cztery rodzaje zdań prostych za-
czerpniętych z języka naturalnego

, które później nazwano klasycznymi zda-

Zazwyczaj mówi się tu o racjonalnej rekonstrukcji, która nie wyklucza pewnych korekt zakresu pojęcia.

Można tu posłużyć się również formą negatywną mówiąc: nie może być tak, że zdania A

,...,A

są prawdziwe,

natomiast zdanie B — fałszywe.

niami kategorycznymi. Są to zdania ogólno-twierdzące, szczegółowo-
twierdzące, ogólno-przeczące i szczegółowo-przeczące. Ich konkretnymi przy-
kładami są kolejno zdania:

(1) Każdy licealista jest internautą.
(2) Niektórzy licealiści są internautami.
(3) Żaden licealista nie jest internautą.
(4) Niektórzy licealiści nie są internautami.

Wyrażenia wyróżnione tu kursywą nazywamy dziś stałymi logicznymi i

chociaż są one w poszczególnych zdaniach rozdzielone, traktujemy je jako nie-
podzielną całość. Słowa „licealista” i „internauta” nazywane w tym kontekście
„terminami”

uważamy za pozalogiczne (inaczej: deskryptywne).

Rozważmy, czy wśród przytoczonych tu zdań można wskazać ich pary, w

których z pierwszego wynika drugie. Zapewne co najmniej część czytelników
odpowie, że z (1) wynika (2), natomiast z (3) wynika (4). Tak też utrzymywał
Arystoteles, ponieważ nie przewidywał on, iż w omawianych zdaniach mogą
występować terminy puste, czyli takie jak „jednorożec” lub „smurf”. Tym sa-
mym ze zdaniem ogólno-twierdzącym, a także ogólno-przeczącym wiązał inter-
pretację zwaną mocną. Przy takiej interpretacji zdanie (1) zakłada, że jacyś lice-
aliści istnieją. Zatem gdyby każdy z nich był internautą, to również przynajm-
niej niektórzy byliby internautami, co stwierdza zdanie (2). Istnienie licealistów
zakłada również mocna interpretacja zdania (3), zatem gdyby żaden nich nie był
internautą, to również niektórzy nie byliby internautami. Natomiast we współ-
czesnej logice preferuje się słabą interpretację zdań ogólno-twierdzących i
ogólno-przeczących dopuszczając występowanie w nich również terminów pu-
stych. W interpretacji słabej zdanie (1) stwierdza jedynie, że nie istnieje żaden
licealista, który by nie był internautą, zatem nie może zeń wynikać zdanie (2),
które stwierdza, że jacyś licealiści będący zarazem internautami istnieją. Za-
uważmy, że przy interpretacji słabej, zdania „Każdy jednorożec jest nieparzy-
stokopytny” i „Każdy smurf jest niebieski” są oczywiście prawdziwe, skoro nie
istnieją żadne jednorożce ani smurfy

, natomiast odpowiadające im zdania

szczegółowo-twierdzące są z tego samego powodu fałszywe. Z kolei zdanie (3)
w interpretacji słabej głosi jedynie, że nie istnieją licealiści będący internautami,
a więc nie zakłada istnienia licealistów, co czyni zdanie (4).

Aby wskazać przykłady wynikania, które zachodzą również przy współ-

czesnej, a zatem słabej interpretacji zdań ogólnych, rozważny oprócz przykła-
dów przytoczonych powyżej również ich konwersje (odwrócenia). Są to zdania:

(1’) Każdy internauta jest licealistą.
(2’) Niektórzy internauci są licealistami.

Nie musiał zatem konstruować żadnego języka sztucznego, a jedyną innowacją, jaką wprowadził było posłuże-

nie się dla opisania struktury logicznej zdań literami jako tzw. zmiennymi.

Są to w istocie dowolne nazwy ogólne, a ściślej generalne, które należy odróżniać od imion własnych i tzw.

deskrypcji jednostkowych. O rozróżnieniach tych będzie mowa w jednym z następnych rozdziałów.

Co więcej, choć może to wydawać się paradoksalne, prawdziwe są również zdania „Każdy smurf jest zielony” i

„Każdy jednorożec jest parzystokopytny”.

(3’) Żaden internauta nie jest licealistą.
(4’) Niektórzy internauci nie są licealistami.

łatwością zauważamy, że z (3) wynika (3’), i — po zastanowieniu — że

dotyczy to również analogicznych zdań z terminami pustymi (z „Żaden jednoro-
żec nie jest nieparzystokopytny” wynika „Żaden nieparzystokopytny nie jest
jednorożcem”)

Wynikanie zachodzi również między (2) a (2’), natomiast nie zachodzi

między (4) a (4’), chociaż w obu przypadkach mamy do czynienia ze zdaniami
zapewne prawdziwymi. Zauważając, iż drugim przypadku nie ma wynikania,
odwołamy się zapewne do przeświadczenia, że przecież mogłoby być tak, że
zdanie „Niektórzy licealiści nie są internautami” jest prawdziwe a zdanie „Nie-
którzy internauci nie są licealistami” fałszywe, czyli, iż nie zachodzi tu żadna
konieczność. W spostrzeżeniu tym nie chodzi oczywiście o żadną konieczność
przyrodniczą ani społeczną, lecz właśnie o konieczność logiczną.

Już Arystoteles odkrył, na czym owa konieczność polega. Zauważył on,

że dla wynikania nie ma znaczenia jakie konkretne terminy występują w rozwa-
żanych zdaniach. Istotna jest struktura logiczna tych zdań, którą można przed-
stawić za pomocą odpowiednich schematów. W przypadku czterech rodzajów
zdań, które miał na uwadze Arystoteles, są to schematy:

(1) Każde S jest P
(2) Niektóre S są P

(3) Żadne S nie jest P

(5) Niektóre S nie są P

Jak widać zachowane zostały tu tylko stałe logiczne, natomiast konkretne

terminy zostały zastąpione literami, które funkcjonują tutaj jako zmienne, czyli
symbole, za które można podstawiać dowolne terminy. Kiedy interesują nas za-
leżności miedzy wieloma zdaniami, konstruując ich schematy musimy prze-
strzegać zasady, aby terminy, które się w nich powtarzają, zastępować tymi sa-
mymi zmiennymi, natomiast rożne — różnymi. Zatem parze zdań (2) i (2’) od-
powiadają kolejno schematy:

(a) Niektóre S są P
(b) Niektóre P są S
Kiedy twierdzimy, że ze zdania (2) wynika logicznie zdanie (2’), uzasad-

niamy to w sposób następujący: zdanie (2) podpada pod schemat (a), natomiast
zdanie (2’) pod schemat (b), a podstawiając w tych schematach za zmienne S i P
dowolne terminy, zawsze uzyskamy z (b) zdanie prawdziwe, pod warunkiem,
że również z (a) uzyskaliśmy zdanie prawdziwe.

Sam Arystoteles nie sformułował żadnej definicji wynikania logicznego.

Korzystając ze zmiennych zastępujących dowolne terminy formułował on pew-
ne twierdzenia ogólne, które obecnie nazywamy twierdzeniami logiki lub tau-

Można tu posłużyć się również sformułowaniem następującym: nigdy nie zdarzy się tak, iż po podstawieniu w

tych schematach za zmienne S i P dowolnych terminów uzyskamy z (a) zdanie prawdziwe, natomiast z (b) zda-
nie fałszywe.

tologiami logicznymi. Wszystkie one miały postać schematów zdań warunko-
wych, czyli — w terminologii logicznej — implikacji. Implikacja jest zdaniem
złożonym, w którym wyróżnia się, jako jego składniki, poprzednik i następnik.

Rozważanemu powyżej przykładowi odpowiada twierdzenie:

(*) Jeżeli niektóre S są P, to niektóre P są S.

Poprzednikiem jest tu „niektóre S są P”, zaś następnikiem „niektóre P są

S”. Twierdzenie to jest tautologią, ponieważ przy każdym podstawieniu dowol-
nych terminów za zmienne przekształca się ono w zdanie prawdziwe.

Zauważmy z kolei, dlaczego ze zdania (4) nie wynika logicznie zdanie

(4’). Gdyby wynikanie faktycznie tu zachodziło, to tautologią logiczną powinna
być implikacja:
(**) Jeżeli niektóre S nie są P, to niektóre P nie są S.

Tak jednak nie jest, ponieważ podstawiając w niej za S i P odpowiednio

terminy „kręgowiec” i „ssak” otrzymamy zdanie fałszywe: Jeżeli niektóre krę-
gowce nie są ssakami, to niektóre ssaki nie są kręgowcami.

Odwołując się do pojęcia tautologii można pojęcie wynikania logicznego

scharakteryzować następująco:
Ze zdania A wynika logicznie zdanie B wtedy i tylko wtedy, gdy implikację w
której poprzednikiem jest zdanie A, a następnikiem zdanie B można otrzymać
przez podstawianie odpowiednich wyrażeń za zmienne w pewnej tautologii lo-
gicznej.

Jest to charakterystyka bardzo ogólna, ale nieścisła, bowiem nie dysponu-

jemy tu jeszcze ani ścisłym, ani w miarę ogólnym pojęciem tautologii logicznej
(znamy tylko jeden jej przykład). Ponadto nie wiemy jeszcze, jakie to różne ro-
dzaje zmiennych mogą występować w schematach będących tautologiami. Cha-
rakteryzując wcześniej intuicyjne pojęcie wynikania uwzględniliśmy przypadki,
kiedy jakieś zdanie wynika nie z jednego, lecz z kilku zdań. Tu natomiast mó-
wimy w wynikaniu z jednego tylko zdania. Jest to oczywiście uproszczenie, ale
nieistotne, bowiem z kilku zdań można zawsze utworzyć jedno łącząc je spójni-
kiem „i”, czyli tworząc koniunkcję tych zdań.

System logiki stworzony przez Arystotelesa nazywany jest sylogistyką,

ponieważ większość twierdzeń zawartych w tym systemie to właśnie sylogizmy.
W ujęciu Arystotelesa są to tautologie logiczne, których przykładem jest twier-
dzenie:
(***) Jeżeli żadne M nie jest P i każde S jest M, to żadne S nie jest P.

Gwoli ścisłości historycznej zauważmy, że Arystoteles posługiwał się odmienną stylistyką, skutkiem czego

twierdzenie to ma u niego postać: „Jeżeli B przysługuje niektórym A, to A przysługuje niektórym B”.

Dotychczas odróżnialiśmy zdania od schematów przedstawiających ich strukturę logiczną. Czytelnik może

zatem zapytać, w jakim to sensie schemat w rodzaju (*) może być twierdzeniem, wszak twierdzić coś mogą
tylko zdania. To prawda, ale kiedy zakładamy, że schemat ma być prawdziwy przy wszelkich podstawieniach za
zmienne, możemy go interpretować jako zdanie (twierdzenie) ogólne. Tak przecież interpretujemy wzory mate-
matyczne w rodzaju: (a + b)

= a

+2ab + b

Arystoteles sformułował to następująco: „Jeżeli A nie przysługuje żadnemu B, a B przysługuje każdemu C, to

A nie przysługuje żadnemu C”. Warto tu zauważyć, że w jego sformułowaniach sylogizmów często następnik

Charakterystyczną cechą sylogizmu jest to, iż jest on schematem implika-

cji. Ponadto w implikacjach tych poprzednikiem jest zawsze koniunkcja dwóch
zdań, w których występują trzy zmienne, z których jedna pośredniczy między
członami koniunkcji (jest nią M), natomiast nie występuje w następniku. Nato-
miast logicy średniowieczni, a pod ich wpływem także późniejsi, traktowali sy-
logizmy nie jako twierdzenia logiki, lecz jako schematy wnioskowań, i to one
zazwyczaj również dziś nazywane są sylogizmami.

Odpowiednikiem twierdzenia (***) jest schemat:

Żadne M nie jest P
Każde S jest
Żadne S nie jest P

Przy takiej interpretacji sylogizmów o wynikaniu logicznym można po-

wiedzieć co następuje:
W danym wnioskowaniu wniosek wynika logicznie z przesłanek wtedy i tylko
wtedy, gdy wnioskowanie to przebiega według jakiegoś schematu, który jest
niezawodny.

Natomiast niezawodność schematu wnioskowania można wyjaśnić się na-

stępująco:
Schemat danego wnioskowania jest niezawodny wtedy i tylko wtedy, gdy przy
każdym podstawieniu odpowiednich wyrażeń za występujące w nim zmienne,
jego część odpowiadająca wnioskowi przekształca się w zdanie prawdziwe, pod
warunkiem, że części odpowiadające przesłankom również stają się prawdziwe.
Schemat

wnioskowania

odpowiadający tautologii logicznej jest oczywi-

ście niezawodny, co pozwala stwierdzić, że w poniższym wnioskowaniu wnio-
sek wynika logicznie z przesłanek.

Żaden miś nie jest prosiaczkiem
Każda sowa jest misiem
Żadna sowa nie jest prosiaczkiem.

Ktoś mógłby tu zauważyć, że druga przesłanka jest tutaj ewidentnie fał-
szywa, a wniosek prawdziwy. Istotnie, ale nie podważa to zachodzącego tu wy-
nikania; zdania prawdziwe wynikają niekiedy z fałszywych przesłanek. Wyklu-
czone jest wszak tylko jedno: wynikanie z prawdziwych przesłanek zdań fał-
szywych. Oczywiście nikt nie ma ochoty uznawać za prawdziwe zdań, na pod-
stawie przesłanek, o których wie, że są fałszywe, natomiast może w takim przy-
padku przeprowadzić „wnioskowanie na niby”.

Dociekliwy Czytelnik mógłby tu zapytać, jak można wykazać, że pewien

schemat jest tautologią logiczną (względnie niezawodnym schematem wnio-

poprzedzony jest zwrotem „z konieczności”, co wskazuje na to, iż Arystoteles był świadom, że między po-
przednikiem a następnikiem zachodzi tu jakiś związek konieczny odpowiadający wynikaniu logicznemu.

Dwa pierwsze schematy odpowiadają tu możliwym przesłankom, natomiast schemat pod poziomą kreską —

wnioskowi. W praktyce wniosek poprzedzamy wyrażeniami w rodzaju: zatem, przeto, a więc itp.

skowań). Oczywiście nie można tego wykazać przez kolejne podstawianie od-
powiednich wyrażeń za zmienne i pytanie o prawdziwość względnie fałszywość
uzyskiwanych w ten sposób zdań. Podstawień takich jest, być może, nieograni-
czenie wiele, a poza tym musielibyśmy być wszechwiedzący i nieomylni.

To-

też już Arystoteles uznał pewne schematy za poprawne (czyli tautologiczne) w
sposób oczywisty i na ich podstawie dowodził poprawności innych. Tak też po-
stępują logicy współcześni przedstawiając systemy logiki jako systemy
aksjomatyczne, w których aksjomaty uchodzą za oczywiste. Można również
dowodzić tautologiczności schematów zdań na gruncie teorii wykraczających
poza logikę, czyli traktowanych jako „metateorie”.

Jeśli czytelnik zapyta ponadto, na jakiej podstawie pewne tautologie lo-
giczne uznajemy za oczywiste, musimy go odesłać do filozofii logiki, gdzie ry-
walizują trzy koncepcje. Według jednej jest to sprawa konwencji regulujących
sposób użycia wyrażeń zaliczanych do stałych logicznych; według drugiej —
sprawa struktury naszych władz poznawczych, według trzeciej — struktury ota-
czającej nas rzeczywistości.

* * *

W rozdziale tym nawiązywaliśmy do Arystotelesowskiej sylogistyki, bę-

dącej pierwszym i przez kilka stuleci jedynym znanym systemem logiki. Nie
przedstawiliśmy go w sposób wyczerpujący, ponieważ po pewnej korekcie (po-
legającej na rezygnacji z mocnej interpretacji zdań ogólnych) jest ona tylko
drobnym fragmentem systemów logiki współczesnej. Nawiązując do sylogistyki
jedynie w bardzo skromnym wymiarze, potraktowaliśmy ją po prostu jako tło,
na którym można zaprezentować pewne pojęcia logiki w sposób przystępny nie
korzystając z właściwej logice współczesnej notacji symbolicznej.

Przez wyszukiwanie odpowiednich podstawień można oczywiście wykazać, że pewien schemat nie jest tauto-

logią, czego przykładem było odrzucenie schematu (**).

W przypadku sylogistyki problem tautologiczności schematów jest względnie prosty do rozwiązania, ponie-

waż ich poprawność można sprawdzić za pomocą odpowiednich diagramów ilustrujących stosunki między za-
kresami terminów. Metody tej nie znał Arystoteles, a jest to metoda odwołująca się w istocie do „metateorii”,
którą jest w tym przypadku elementarna teoria zbiorów.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:

więcej podobnych podstron