Ć

wiczenie 3

Standaryzacja zmiennej:

Niech X ma rozkład normalny o redniej i odchyleniu standardowym

σ

. X - N(

µ

,

σ

).

Wtedy U=(X-

µµµµ

)/

σσσσ

ma rozkład normalny standaryzowany N(0, 1). Zmienna o rozkładzie

normalnym standaryzowanym jest oznaczana liter U (czasem: Z).

W ten sposób dowoln zmienn normaln X mo na przekształci w zmienn o rozkładzie

normalnym standaryzowanym U.

eby odstandaryzowa zmienn nale y skorzysta z przekształcenia odwrotnego X=U

σσσσ

+

µµµµ

.

Uwaga. Standaryzacja nie zmienia kształtu rozkładu – je li X ma rozkład nie-normalny, to
(X-

µ

)/

σ

równie ma rozkład nie-normalny.

Dystrybuanta:

Dystrybuanta rozkładu normalnego standaryzowanego (U) jest oznaczana liter .

Je li

x

jest pewn warto ci zmiennej losowej o rozkładzie

(

)

,

N

µ σ

, za u odpowiadaj c

jej warto ci standaryzowan , to warto ci ich dystrybuanty s równe:

( )

( )

F x

u

= Φ

Korzystamy z tego gdy chcemy znale prawdopodobie stwo przyj cia przez zmienn
normaln warto ci z pewnego przedziału, od

1

x

do

2

x

.

(

)

(

)

( )

( )

1

2

1

2

2

1

Pr

Pr

x

X

x

u

U

u

u

u

< ≤

=

< ≤

= Φ

− Φ

Rozkład normalny jest symetryczny wzgl dem redniej, wi c:

(u)= 1- (-u)

Kwantyle:

Dla zmiennej losowej X kwantyl rz du p to taka warto tej zmiennej (x

p

), dla której

prawdopodobie stwo, e zmienna losowa X przyjmie warto x

p

lub mniejsz wynosi p. Czyli

poni ej x

p

znajduje si 100%

×

p przypadków.

P (X ≤ x

p

) = p