Egz. z metod numerycznych (18) Dzienne

Nazwisko i imię ................................................ gr ........

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ZAD1

ZAD2

ZAD3

ZAD4

EGZ

LAB

ΣΣΣΣ

OCENA

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zadanie 1 (6+6 pkt).
a) Ocenić w przybliżeniu błąd bezwzględny i błąd względny, jaki popełniamy, obliczając wartość
funkcji trzech zmiennych
z = f(x,y,z) ,
jeżeli przyjęte do obliczeń x,y i z są niedokładne, przy czym oszacowania

∆

x,

∆

y

i

∆

z są niewielkie.

b) Podać oceny przybliżone błędów, gdy f x y

,

z

,

(

)

xyz

=

.

Ad a. Wyprowadzić oceny przybliżone

∆

f i

δ

f .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zadanie 2 (5+4 pkt).
W przedziale [a,b] danych jest (n+1) punktów x

0

x

1

,

....

,

x

n

,

, przy czym

a = x

0

< x

1

< ... < x

n

= b.

Punkty x

i

(i = 0, 1, 2, ...., n) są węzłami funkcji sklejanej.

a) Podać definicję funkcji sklejanej stopnia trzeciego. Od ilu parametrów zależy taka funkcja ?
b) Narysować wszystkie funkcje bazowe

Φ

i

takie, że

Φ

i

x

0

( )

1

=

.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zadanie 3 (8+7 pkt).

Rozważamy zagadnienie przybliżonego obliczania całki

0

2

x

f x

( )

⌠



⌡

d

.

a) Omówić prosty wzór trapezów i wzór Gaussa-Legendre'a oparty na 2 węzłach.

b) Za pomocą tych wzorów wyznaczyć przybliżoną wartość całki

0

2

x

x

2 x

1

−

⋅

+

(

)

⌠



⌡

d .

Obliczenia zilustrować graficznie.

Ad a. Wyprowadzić wzory, przedstawić interpretację geometryczną.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zadanie 4 (4+10 pkt).
Zakładamy, że zagadnienie początkowe
y ' = f(x,y) , y(x

0

) = y

0

(*)

ma jednoznaczne rozwiązanie rozwijalne w szereg Taylora w pewnym otoczeniu punktu x

0

.

a) Omówić metodę rozwijania w szereg Taylora rozwiązania zagadnienia (*).
b) Wyznaczyć dwa pierwsze i trzy pierwsze wyrazy takiego rozwinięcia, gdy y ' = - xy

2

+ 2x + 27 , y(2) = 4.

Obliczenia zilustrować graficznie.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

18

( )

Zadanie 2.

Zadanie 3.

Zadanie 4.

0

1

2

3

4

0 0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

2

2.25 2.5 2.75

3

3

3.25

3.5

3.75

4

x

0

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

y - rozwiązanie dokładne

y

x

2 x

1

−

⋅

+

=