Egz. z metod numerycznych (18) Dzienne
Nazwisko i imię ................................................ gr ........
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ZAD1
ZAD2
ZAD3
ZAD4
EGZ
LAB
ΣΣΣΣ
OCENA
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 1 (6+6 pkt).
a) Ocenić w przybliŜeniu błąd bezwzględny i błąd względny, jaki popełniamy, obliczając wartość
funkcji trzech zmiennych
z = f(x,y,z) ,
jeŜeli przyjęte do obliczeń x,y i z są niedokładne, przy czym oszacowania
∆
x,
∆
y
i
∆
z są niewielkie.
b) Podać oceny przybliŜone błędów, gdy f x y
,
z
,
(
)
xyz
=
.
Ad a. Wyprowadzić oceny przybliŜone
∆
f i
δ
f .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 2 (5+4 pkt).
W przedziale [a,b] danych jest (n+1) punktów x
0
x
1
,
....
,
x
n
,
, przy czym
a = x
0
< x
1
< ... < x
n
= b.
Punkty x
i
(i = 0, 1, 2, ...., n) są węzłami funkcji sklejanej.
a) Podać definicję funkcji sklejanej stopnia trzeciego. Od ilu parametrów zaleŜy taka funkcja ?
b) Narysować wszystkie funkcje bazowe
Φ
i
takie, Ŝe
Φ
i
x
0
( )
1
=
.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 3 (8+7 pkt).
RozwaŜamy zagadnienie przybliŜonego obliczania całki
0
2
x
f x
( )
⌠
⌡
d
.
a) Omówić prosty wzór trapezów i wzór Gaussa-Legendre'a oparty na 2 węzłach.
b) Za pomocą tych wzorów wyznaczyć przybliŜoną wartość całki
0
2
x
x
2 x
1
−
⋅
+
(
)
⌠
⌡
d .
Obliczenia zilustrować graficznie.
Ad a. Wyprowadzić wzory, przedstawić interpretację geometryczną.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 4 (4+10 pkt).
Zakładamy, Ŝe zagadnienie początkowe
y ' = f(x,y) , y(x
0
) = y
0
(*)
ma jednoznaczne rozwiązanie rozwijalne w szereg Taylora w pewnym otoczeniu punktu x
0
.
a) Omówić metodę rozwijania w szereg Taylora rozwiązania zagadnienia (*).
b) Wyznaczyć dwa pierwsze i trzy pierwsze wyrazy takiego rozwinięcia, gdy y ' = - xy
2
+ 2x + 27 , y(2) = 4.
Obliczenia zilustrować graficznie.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
