Wykład 04

Witold Obłoza

22 listopada 2010

Szeregi liczbowe

DEFINICJA 28

Niech b

,

edzie dany ci

,

ag {a

n

}

∞

n=1

.

Określamy ci

,

ag sum cz

,

eściowych {S

n

}

∞

n=1

szeregu

∞

P

n=1

a

n

wzorem

S

n

=

n

P

k=1

a

k

.

Mówimy, że szereg

∞

P

n=1

a

n

jest zbieżny, jeżeli jego ci

,

ag sum cz

,

eściowych

jest zbieżny do granicy właściwej.

W przeciwnym wypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.

SZEREGI LICZBOWE

PRZYKŁAD 29

Szereg

∞

P

n=1

1

n(n + 1)

jest zbieżny.

DOWÓD:

S

n

=

n

P

k=1

1

k(k + 1)

=

n

P

k=1

(

1

k

−

1

k + 1

) =

n

P

k=1

1

k

−

n

P

k=1

1

k + 1

= 1 +

n

P

k=2

1

k

−

n−1

P

k=1

1

k + 1

−

1

n + 1

=

1 +

n−1

P

k=1

1

k + 1

−

n−1

P

k=1

1

k + 1

−

1

n + 1

= 1 −

1

n + 1

−→ 1

SZEREGI LICZBOWE

TWIERDZENIE 30

Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu

∞

P

n=l

a

n

jest to aby

lim

n→∞

a

n

= 0.

DOWÓD:

Jeżeli szereg

∞

P

n=l

a

n

jest zbieżny to ci

,

ag {S

n

}

∞

n=1

spełnia warunek

Cauchy

,

ego

czyli ∀ε > 0 ∃n

0

∀n > n

0

|a

n

| = |S

n

− S

n−1

| < ε.

Zatem ∀ε > 0 ∃n

0

∀n > n

0

|a

n

| < ε,

a to oznacza, że lim

n→∞

a

n

= 0.

SZEREGI LICZBOWE

UWAGA 31

lim

n→∞

a

n

= 0 warunek konieczny zbieżności szeregu

∞

P

n=l

a

n

nie jest

warunkiem wystarczającym.

DOWÓD:

Szereg

∞

P

n=l

1

n

spełnia warunek lim

n→∞

a

n

= 0, ale nie jest zbieżny.

Ciąg sum częsciowych szeregu

∞

P

n=l

1

n

jest ciągiem rosnącym,

ma zatem

granicę.

Wystarczy pokazać, ze jest on nieograniczony.

SZEREGI LICZBOWE

Rozważmy podciąg {S

2

k

}

∞
k=1

ciągu sum częściowych.

S

2

k

=

2

k

P

m=1

1

m

= 1 +

1

2

+

k−1

P

l=1

2

l+1

P

m=2

l

+1

1

m

≥

1 +

1

2

+

k−1

P

l=1

2

l+1

P

m=2

l

+1

1

2

l+1

= 1 +

1

2

+

k−1

P

l=1

2

l

1

2

l+1

=

1 +

1

2

+ (k − 1) ·

1

2

=

k + 2

2

−→ ∞.

Zatem lim

n→∞

S

n

= ∞ czyli szereg

∞

P

n=l

1

n

nie jest zbieżny.

TWIERDZENIE 32

Jeżeli szeregi

∞

P

n=1

a

n

,

∞

P

n=1

b

n

są zbieżne i λ ∈ R to zbieżny jest

∞

P

n=1

(a

n

+ b

n

) oraz

∞

P

n=1

λa

n

. Ponadto jeżeli

∞

P

n=1

a

n

= A,

∞

P

n=1

b

n

= B to

∞

P

n=1

(a

n

+ b

n

) = A + B oraz

∞

P

n=1

λa

n

= λA.

DOWÓD:

Wynika to natychmiast z Twierdzenia o granicach sumy i iloczynu ciągów.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 33

Szereg geometryczny

∞

P

n=1

a · q

n−1

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

|q| < 1.

DOWÓD:

Ciąg sum częściowych dla q 6= 1 ma postać:

S

n

= a

1 − q

n

1 − q

=

a

1 − q

· (1 − q

n

). =

a

1 − q

−

a

1 − q

· q

n

.

Wyrażenie

a

1 − q

jest stałe,

istnienie granicy właściwej ciągu S

n

zależy wyłącznie od zbieżności ciągu

q

n

.

Jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 34

Jeżeli ∀n a

n

≥ 0 to warunkiem wystarczaj

,

acym zbieżności szeregu

∞

P

n=l

a

n

jest to, aby ci

,

ag {S

n

}

∞

n=1

był ograniczony z góry.

DOWÓD:

Ciąg sum częściowych jest niemalejący,

jeżeli jest również ograniczony z góry to ma granicę właściwą

czyli szereg jest zbieżny.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 35 ( Kryterium dwa do k-tej )

Załóżmy, że ∀n a

n

> 0 oraz a

n

≥ a

n+1

wówczas szereg

∞

P

n=1

a

n

jest

zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny szereg

∞

P

n=1

2

n

a

2

n

.

DOWÓD:

Niech S

k

=

k

P

n=1

a

n

i S

k

=

k

P

n=1

2

n

a

2

n

.

Wystarczy pokazać, że ci

,

agi {S

k

},

{S

k

} s

,

a równocześnie ograniczone

lub jednocześnie niograniczone.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

Mamy:

2 · S

2

k

= 2a

1

+ 2a

2

+ 2

k−1

P

m=1

2

m+1

P

n=2

m

+1

a

n

≥ 2a

2

+ 2

k−1

P

m=1

2

m+1

P

n=2

m

+1

a

2

m+1

=

= 2a

2

+ 2

k−1

P

m=1

2

m

a

2

m+1

= S

k

.

Z kolei dla n ≤ 2

k

− 1 mamy:

S

n

≤ S

2

k

−1

= a

1

+

k−1

P

m=1

2

m+1

−1

P

n=2

m

a

n

≤ a

1

+

k−1

P

m=1

2

m

a

2

m

= a

1

+ S

k−1

.

Zatem dwa ciągi {S

n

} oraz {S

n

} są jednocześnie zbieżne lub

jednocześnie rozbieżne.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 36

Szereg

∞

P

n=1

1

n

α

jest zbieżny dla α > 1 i rozbieżny dla α ≤ 1.

DOWÓD:

Z kryterium dwa do k-tej wystarczy zbadać zbieżność szeregu

∞

P

n=1

2

n

(2

n

)

α

=

∞

P

n=1

2

n(1−α)

.

Jest to szereg geometryczny o ilorazie 2

1−α

.

Zbieżny jest on gdy 2

1−α

< 1

czyli, gdy

α > 1

zaś dla α ≤ 1 jest

rozbieżny.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DEFINICJA 37 (Majoranty i minoranty)

Jeżeli istnieje n

0

takie, że dla n większych od n

0

a

n

≥ b

n

≥ 0

to mówimy, że szereg

∞

P

n=1

a

n

jest majorantą szeregu

∞

P

n=1

b

n

zaś szereg

∞

P

n=1

b

n

jest minorantą szeregu

∞

P

n=1

a

n

.

TWIERDZENIE 38 (KLASYCZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)

Jeżeli szereg

∞

P

n=1

a

n

jest majorantą szeregu

∞

P

n=1

b

n

to

ze zbieżności majoranty wynika zbieżnośc minoranty

zaś z rozbieżności minoranty wynika rozbieżność majoranty.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DOWÓD:

Dla n ≥ n

0

ciągi sum częściowych obu szeregów są rosnące.

Wystarczy pokazać, że z ograniczoności {S

n

=

n

P

k=1

a

k

}

∞

n=1

wynika

ograniczoność {T

n

=

n

P

k=1

b

k

}

∞

n=1

zaś z nieograniczoności {T

n

=

n

P

k=1

b

k

}

∞

n=1

wynika nieograniczoność

{S

n

=

n

P

k=1

a

k

}

∞

n=1

.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

Dla n ≥ n

0

S

n

− S

n

0

≥ T

n

− T

n

0

.

(S

n

− S

n

0

=

n

P

k=n

0

+1

a

n

≥

n

P

k=n

0

+1

b

n

= T

n

− T

n

0

.)

Stąd dla n ≥ n

0

mamy

T

n

≤ S

n

+ (T

n

0

− S

n

0

)

oraz

S

n

≥ T

n

+ (S

n

0

− T

n

0

).

Z ograniczoności S

n

wynika ograniczoność T

n

oraz z nieograniczoności T

n

wynika nieograniczoność S

n

.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 39 (GRANICZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)

Niech b

,

ed

,

a dane dwa szeregi

∞

P

n=1

a

n

∞

P

n=1

b

n

takie, że ∀n a

n

≥ 0 oraz

b

n

> 0 i niech istnieje granica lim

n→∞

a

n

b

n

= g ∈ (0, ∞) wtedy szeregi

∞

P

n=1

a

n

oraz

∞

P

n=1

b

n

s

,

a jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.

DOWÓD:

Dla

n > n

0

g
2

≤

a

n

b

n

≤

3g

2

.

Mamy stad

g
2

b

n

≤ a

n

≤

3g

2

b

n

.

Jeżeli

∞

P

n=1

a

n

jest zbiezny to

∞

P

n=1

g
2

b

n

jest zbieżny na mocy klasycznego

kryterium porównawczego.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

∞

P

n=1

g
2

b

n

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny

∞

P

n=1

b

n

.

Jeżeli

∞

P

n=1

b

n

jest zbieżny to jest zbieżny

∞

P

n=1

3g

2

b

n

i na mocy klasycznego kryterium porównawczego zbieżny jest zbiezny

∞

P

n=1

a

n

.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 40 ( KRYTERIUM Cauchy’ego)

Załóżmy, że ∀n a

n

≥ 0 i istnieje granica lim

n→∞

n

√

a

n

= g.

Jeżeli g < 1 to szereg

∞

P

n=1

a

n

jest zbieżny.

Jeżeli g > 1 to szereg

∞

P

n=1

a

n

jest rozbieżny.

Jeżeli g = 1 to szereg

∞

P

n=1

a

n

może być zbieżny lub rozbiezny.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DOWÓD:

Niech g < 1 wówczas ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

n

√

a

n

<

1+g

2

< 1.

Stąd ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

a

n

≤

1+g

2

n

.

Oznacza to, że szereg

∞

P

n=1

a

n

ma majorantę zbieżną, więc jest zbieżny.

Dowód dla g > 1

jest analogiczny.

Dla szergu zbieżnego

∞

P

n=1

1

n

2

lim

n→∞

n

q

1

n

2

= 1,

ale i dla szeregu rozbieżnego

∞

P

n=1

1

n

lim

n→∞

n

q

1

n

= 1.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

TWIERDZENIE 41(KRYTERIUM d’Alemberta)

Niech b

,

edzie dany szereg

∞

P

n=1

a

n

taki, że ∀n a

n

> 0 i niech istnieje

granica lim

n→∞

a

n+1

a

n

= g. Jeżeli q < 1 to szereg

∞

P

n=1

a

n

jest zbieżny,

a gdy q > 1 to szereg

∞

P

n=1

a

n

jest rozbieżny.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH

DOWÓD:

Niech g > 1 wówczas ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

a

n+1

a

n

>

1+g

2

> 1.

Zatem ∀n > n

0

a

n

≥

1+g

2

· a

n−n

0

−1

n

0

+1

,

Szereg

∞

P

n=1

a

n

ma minorantę rozbieżną

zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.

Dla szergu zbieżnego

∞

P

n=1

1

n

2

lim

n→∞

a

n+1

a

n

== 1,

ale i dla szeregu rozbieżnego

∞

P

n=1

1

n

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= 1.