Granica i ci¡gªo±¢ funkcji jednej zmiennej rzeczywistej

Zadanie 1. Obliczy¢ nast¦puj¡ce granice funkcji (bez korzystania z reguªy de'Hospitala):

lim

x→∞

q

x+

√

x+

√

x

√

x+1

,

lim

x→8

√

9+2x−5

3

√

x−2

,

lim

x→π

sin nx

sin mx

,

lim

x→0

1−cos x

x

2

,

lim

x→0

tgx

x

,

lim

x→0

sin 5x−sin 3x

sin x

,

lim

x→∞



x

2

+1

x

2

−2



x

2

,

lim

x→0

(1 + x

2

)

ctg

2

x

,

lim

x→0

1+

tgx

1+sin x

1

sin x

,

lim

x→0

ln(x+1)

x

,

lim

x→15

3

√

x+1−

3

√

16

x−15

,

lim

x→−2

x

3

+3x

2

+2x

x

2

−x+6

,

lim

x→0

tgx

1−

√

1+

tgx

,

lim

x→0

1+2x

1−x

1
x

,

lim

x→0

ln(3+x)−ln 3

x

,

lim

x→

π

4

1−

ctg

3

x

2−

ctgx−ctg

3

x

,

lim

x→+∞

√

1 + x + x

2

−

√

1 − x + x

2

,

lim

x→−∞

√

1 + x + x

2

−

√

1 − x + x

2

,

lim

x→π

1−cos 7x

x

2

,

lim

x→5

log

5

(x−4)

x−5

,

lim

x→+0

ctgx · arcsin x, lim

x→1

3

√

x

2

−2

3

√

x+1

(x−1)

2

,

lim

x→0

√

cos 2x−

√

1+x sin x

tg

2

(

x
2

)

,

lim

x→0

tgx

√

x

.

Zadanie 2. Zbada¢ ci¡gªo±¢ funkcji:

a) f(x) =



x

2

−25

x−5

dla x 6= −5

−10

dla x = −5

,

b) f(x) =



sin 4x

x

dla x 6= 0

2

dla x = 0 ,

c) f(x) =



tgx−sin x

x

3

dla −1 < x < 0

1
2

dla 0 ≤ x < 1 ,

d) f(x) =



−




sin

π

2

x




dla |x| 6= 1

x

2

− x + 1

dla |x| > 1 ,

e) f(x) =















5

dla

x < −2

1
2

x

+ 1

dla −2 ≤ x < 0

1 + log

1
2

(x +

1
2

)

dla 0 ≤ x ≤

3
2

−2

2x−3

dla

x >

3
2

.

Zadanie 3. Wyznaczy¢ warto±ci parametru a, tak, aby funkcja f(x) byªa ci¡gªa w caªej dziedzinie:

a) f(x) =



sin 5x

x+x

2

dla x 6= 0

|a + 1|

dla x = 0 ,

b) f(x) =



ln x

dla x ≥ 1

ax − 3

dla x < 1 ,

c) f(x) =

(

x

2

√

1+x sin x−

√

cos x

dla x 6= 0

a

dla x = 0

,

d) ) f(x) =



sin 6x

√

x+4−2

dla x 6= 0

a + 3

dla x = 0

.

1