1
METODY STATYSTYCZNE I
Odpowiedzi i wskazówki do zadań
Ć
WICZENIA 1
Zad. 1
( )
02275
,
0
2
≈
−
Φ
Zad. 2
( )
97128
,
0
9
,
1
≈
Φ
Zad. 3
a) 0,5,
(
)
5
,
0
342
.
9
2
10
≈
>
χ
P
b) 4
c) 3,2
Zad. 4
(
)
8907
,
0
23
,
1
≈
Φ
Zad. 5
a)
(
)
05
,
0
21
2
12
≈
>
χ
P
b)
(
)
995
,
0
25
,
3
9
≈
<
t
P
c)
(
)
005
,
0
88
,
2
18
≈
>
t
P
Zad. 6
a) 0,2843
b) 0,95
c) 0,01
Zad. 7
a)
2
1
~
χ
W
,
(
)
80
18
,
~
2
1
2
σ
m
m
N
Z
−
b)
(
)
99
,
0
9
,
6
7
,
9
≈
<
F
P
Zad. 8
a) 0,0505
b) 0,95
c) 0,9525 Wskazówka:
(
)
( )
( )
(
)
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
∩
−
+
=
∪
, dla niezależnych zdarzeń
A
i
B
(
)
( ) ( )
B
P
A
P
B
A
P
=
∩
Zad. 9
a)
(
)
7
,
0
21
,
3
2
5
≈
≥
χ
P
b)
( )
3
10
~
2
=
S
E
,
( )
9
40
~
2
2
=
S
D
2
Zad. 10
Estymatorem MM oraz MNW parametru
λ
jest
X
=
λ
ˆ
. Estymator ten jest nieobciążony,
zgodny i najefektywniejszy.
Zad. 11
Estymatorem MM oraz MNW parametru
θ
jest
1
1
ˆ
−
=
X
θ
.
Zad. 12
Estymatorem MNW parametru
λ
jest
∑
∑
=
=
+
=
n
i
i
n
i
i
Y
X
n
1
1
2
2
ˆ
λ
.
Zad. 13
Estymatorem MNW parametru
α
jest
(
)
(
)
∑
=
−
+
=
n
i
i
X
n
1
exp
1
ln
ˆ
α
.
Zad. 14
Estymatorem MM parametru
θ
jest
0
ˆ
x
X
X
−
=
θ
.
Estymatorem MNW parametru
θ
jest
0
1
ln
ln
1
1
ˆ
x
X
n
n
i
i
−
=
∑
=
θ
.
Zad. 15
a)
∑
=
=
n
i
i
X
n
1
3
1
ˆ
θ
b)
∑
=
−
=
n
i
i
X
n
X
1
2
1
24
18
ˆ
µ
,
∑
=
−
=
n
i
i
X
n
X
1
2
1
36
24
ˆ
ν
Zad. 16
Jest to estymator nieobciążony.
(
)
1
:
+
=
n
n
X
E
n
n
θ
,
(
)
1
:
1
+
=
n
X
E
n
θ
,
( )
θ
θ
=
ˆ
E
.
Ć
WICZENIA 2
Zad. 1
c
−
= 1
α
,
2
c
=
β
,
2
1 c
M
−
=
Zad. 2
a)
(
)
(
)
1
2
ln
;
0
−
=
k
w
n
, gdzie k zależy od
α
b)
(
)
01
,
0
;
0
=
w
3
Zad. 3
56
,
6
=
t
. Próba musi liczyć przynajmniej 5 elementów.
Zad. 4
1
28
,
1
+
=
n
c
n
.
( )
(
)
(
)
n
m
m
M
1
1
1
28
,
1
1
−
+
Φ
−
=
. Test ten jest nieobciążony i zgodny.
Zad. 5
( )
( )
( )
9
7
1
2
−
Φ
+
−
Φ
−
=
M
Zad. 6
a)
(
)
+∞
=
;
3
,
2
w
b) Wskazówka:
( )
(
)
056
.
0
,
1
3
,
2
0
1
1
=
−
=
∫
dx
x
f
M
θ
θ
.
Zad. 7
( )
( )
n
x
x
n
n
i
i
−
−
=
∑
=
exp
1
exp
1
λ
Zad. 8
Sprawdzaną hipotezę należy odrzucić,
62
.
4
ln
2
=
−
λ
,
841
,
3
2
1
;
05
,
0
=
χ
.
Zad. 9
Obszar krytyczny:
(
)
( )
(
)
841
,
3
ln
1
2
ln
2
2
1
;
05
,
0
=
>
−
−
−
−
=
−
χ
λ
x
x
n
x
n
.
Zad. 10
Obszar krytyczny:
(
)
635
,
6
1
ln
1
1
ln
5
,
0
ln
5
,
0
1
ln
2
ln
2
2
1
;
01
,
0
=
>
+
−
+
−
−
+
−
−
=
−
χ
λ
x
x
x
n
x
x
n
x
n
n
.
Ć
WICZENIA 3, 4
Zad. 1
a)
6
=
a
b)
( )
(
)
x
x
f
X
2
exp
2
−
=
,
0
>
x
,
( )
(
)
y
y
f
Y
3
exp
3
−
=
,
0
>
y
c) Zmienne losowe X i Y są niezależne.
d)
(
)
(
)
x
y
x
f
2
exp
2
|
−
=
,
0
>
x
e)
(
)
(
)(
)
1
3
0
,
2
1
9
2
4
−
−
=
<
<
<
<
−
−
−
e
e
e
Y
X
P
Zad. 2
a)
1
=
a
b) Zmienne losowe X i Y są niezależne.
c)
(
)
2
3
4
2
2
1
,
2
1
−
−
−
+
−
=
<
<
<
<
e
e
e
Y
X
P
4
Zad. 3
a)
1
=
a
c)
( )
(
)
−
∈
+
=
poza
,
0
0
,
1
,
2
2
x
x
x
f
X
,
( )
(
]
( )
∈
∈
=
poza
2
,
1
1
,
0
,
0
,
2
,
y
y
-y
y
y
f
Y
Zad. 4
(
)
(
)
{
}
(
)
{
}
(
)
{
}
(
)
{
}
(
)
{
}
>
∧
>
=
>
∧
≤
<
=
≤
<
∧
>
=
≤
<
∧
≤
<
=
≤
∨
≤
=
=
1
2
:
,
,
1
1
2
0
:
,
,
4
1
1
0
2
:
,
,
1
0
2
0
:
,
,
4
1
0
0
:
,
,
0
,
2
2
2
2
y
x
y
x
D
y
x
y
x
C
x
y
x
y
x
B
y
y
x
y
x
A
y
x
y
x
y
x
E
y
x
F
Zad. 5
a)
( )
2
1
1
1
1
+
= x
x
f
X
,
( )
1
,
0
1
∈
x
,
( )
2
1
2
2
2
+
= x
x
f
X
,
( )
1
,
0
2
∈
x
b)
(
)
2
1
|
2
2
1
2
1
+
+
=
x
x
x
x
x
f
,
( )
1
,
0
,
2
1
∈
x
x
,
(
)
2
1
|
1
2
1
1
2
+
+
=
x
x
x
x
x
f
,
( )
1
,
0
,
2
1
∈
x
x
c)
=
12
7
12
7
µ
,
−
−
=
Σ
144
11
144
1
144
1
144
11
Zad. 8
a) Zmienne losowe
1
X
i
2
X
są zależne.
b) Zmienne losowe
2
1
X
X
i
3
X
są niezależne.
Zad. 9
a)
(
)
( )
[
]
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
4
2
1
1
0
1
0
8
3
4
1
1
4
1
2
3
4
2
1
2
1
exp
8
2
1
,
,
4
2
1
4
2
1
2
1
2
3
4
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
π
b)
[
]
(
)
(
)
[
]
−
+
−
−
−
+
−
=
=
7
8
7
3
90
35
90
21
90
21
90
140
7
8
7
3
2
1
exp
49
91
2
1
3
2
|
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
f
T
π
x
x
d) Wektor losowy Y ma jednowymiarowy rozkład normalny ze średnią
11
=
µ
i wariancją
16
2
=
σ
.
Zad. 11
505
,
17
=
F
,
6
,
4
27
;
3
;
01
,
0
=
F
, hipotezę zerową odrzucamy.
5
Zad. 12
9
,
2
=
F
,
44
,
2
20
;
3
;
01
,
0
=
F
, hipotezę zerową odrzucamy.
Zad. 13
264
,
0
=
F
,
23
,
3
40
;
2
;
05
,
0
=
F
, brak podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wektorów
wartości średnich.
Zad. 15
22
=
H
,
345
,
11
2
3
;
01
,
0
=
χ
, hipotezę zerową odrzucamy.