Ugięcie płyty prostokątnej
Wyznaczyć ugięcie betonowej płyty prostokątnej (na 2-óch brzegach swobodnie podparta,
na pozostałych 2-óch dowolne warunki brzegowe) w przekroju:
=
2
,
x
L
x
y
w
( )
[ ]
kPa
I
q
y
x
q
⋅
=
=
5
,
1
,
Warunki brzegowe:
=
=
⇒
=
0
0
,
y
y
y
V
M
L
y
x
=
=
⇒
=
0
0
0
,
y
w
y
x
ϕ
( )
[ ]
kPa
I
q
y
x
q
⋅
=
=
2
,
Warunki brzegowe:
=
=
⇒
±
=
0
0
2
,
y
y
M
w
L
y
x
( )
[ ]
kPa
I
q
y
x
q
⋅
=
=
1
,
Warunki brzegowe:
=
=
⇒
±
=
0
0
2
,
y
y
w
L
y
x
ϕ
( )
[ ]
kPa
I
q
y
x
q
⋅
=
=
5
,
2
,
Warunki brzegowe:
=
=
⇒
=
0
0
0
,
y
w
y
x
ϕ
=
=
⇒
=
0
0
,
y
y
M
w
L
y
x
5
4
m
x
s
m
L
D
q
w
α
⋅
⋅
⋅
=
(
)
2
3
1
12
ν
−
⋅
⋅
=
h
E
D
N
m
a
m
m
∈
=
,
π
α
PRZYKŁAD A.
•
Warunki brzegowe dla
const.
y
=
=
=
⇒
=
0
0
,
y
y
y
V
M
L
y
x
=
=
⇒
=
0
0
0
,
y
w
y
x
ϕ
•
Płyta niesymetryczna – potrzebne równania:
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
∑
∞
=
+
+
+
+
=
1
sin
,
m
m
s
m
m
m
m
m
m
m
m
m
x
w
y
ych
D
y
ch
C
y
ysh
B
y
sh
A
y
x
w
α
α
α
α
α
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
{
} ( )
∑
∞
=
+
+
+
+
+
=
1
sin
,
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
y
x
y
ysh
D
y
sh
C
y
ych
B
y
ch
A
y
ch
D
y
sh
B
y
x
α
α
α
α
α
α
α
α
ϕ
( )
(
)
(
)
[
]
{
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
}
( )
x
y
ych
D
y
ch
C
y
ysh
B
y
sh
A
y
ch
D
y
sh
B
w
D
y
x
M
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
s
m
m
yy
α
α
α
α
α
α
α
ν
α
α
να
sin
1
2
,
1
+
+
+
−
+
+
+
+
−
−
=
∑
∞
=
( )
( )
( )
[
]
( )
∑
∞
=
+
−
=
1
2
sin
2
,
m
m
m
m
m
m
m
y
x
y
ch
D
y
sh
B
D
y
x
Q
α
α
α
α
•
Uwzględniamy warunki brzegowe w powyższych równaniach:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
=
+
=
+
+
+
−
+
+
+
−
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
y
m
m
y
m
m
y
m
y
m
y
m
m
y
m
y
m
y
m
m
m
y
m
m
y
m
m
s
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
s
m
m
m
m
m
m
m
m
m
L
ch
D
L
sh
B
L
ch
L
D
L
ch
C
L
sh
L
B
L
sh
A
L
ch
D
L
sh
B
w
sh
D
sh
C
ch
B
ch
A
ch
D
sh
B
w
ch
D
ch
C
sh
B
sh
A
α
α
α
α
α
α
α
ν
α
α
να
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
•
Otrzymujemy:
( )
(
)
( )
( )
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
( )
(
)
(
)
−
=
=
+
+
+
−
+
+
+
−
−
=
−
=
y
m
y
m
m
m
y
m
y
m
y
m
m
y
m
y
m
y
m
m
m
y
m
m
y
m
m
s
m
m
m
m
m
s
m
m
m
L
sh
L
ch
D
B
L
ch
L
D
L
ch
C
L
sh
L
B
L
sh
A
L
ch
D
L
sh
B
w
D
A
w
ch
C
α
α
α
α
α
α
α
ν
α
α
να
α
α
4
0
1
2
3
1
2
0
1
Podstawiamy (1), (2), (4) do (3) i wyznaczamy w ten sposób stałe:
m
m
m
m
D
C
B
A
,
,
,
.
Podstawiając stałe do równania
( )
x
y
w ,
wyznaczyć linię ugięcia w przekroju:
=
2
,
x
L
x
y
w
PRZYKŁAD B.
•
Warunki brzegowe dla
const.
y
=
=
=
⇒
±
=
0
0
2
,
y
y
M
w
L
y
x
•
Płyta symetryczna – potrzebne równania:
( )
( )
( )
[
]
( )
∑
∞
=
+
+
=
1
sin
,
m
m
s
m
m
m
m
m
x
w
y
ch
C
y
ysh
B
y
x
w
α
α
α
( )
(
) (
)
(
)
(
)
[
]
{
}
( )
∑
∞
=
+
−
+
+
−
−
=
1
sin
1
2
,
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
s
m
m
yy
x
y
ch
C
y
ysh
B
y
sh
B
w
D
y
x
M
α
α
α
α
α
ν
α
να
•
Uwzględniamy warunki brzegowe w powyższych równaniach:
( )
( )
(
)
(
)
=
−
+
−
+
+
−
=
+
+
0
2
1
2
2
1
2
2
2
0
2
2
2
1
y
m
m
m
y
m
y
m
m
y
m
m
s
m
m
s
m
y
m
m
y
m
y
m
L
ch
C
L
sh
L
B
L
sh
B
w
w
L
ch
C
L
sh
L
B
α
α
ν
α
α
ν
α
να
α
α
Wyznaczając z równania (1)
+
−
=
2
2
2
C
m
y
m
s
m
y
m
y
m
L
ch
w
L
sh
L
B
α
α
i podstawiając do równania (2)
otrzymamy wartości
m
m
C
,
B
. Następnie podstawiając stałe do równania
( )
x
y
w ,
wyznaczyć
linię ugięcia w przekroju:
=
2
,
x
L
x
y
w
PRZYKŁAD C.
•
Warunki brzegowe dla
const.
y
=
=
=
⇒
±
=
0
0
2
,
y
y
M
w
L
y
x
•
Płyta symetryczna – potrzebne równania:
( )
(
)
(
)
[
]
( )
∑
∞
=
+
+
=
1
sin
,
m
m
s
m
m
m
m
m
x
w
y
ch
C
y
ysh
B
y
x
w
α
α
α
( )
( )
( )
( )
[
]
{
} ( )
∑
∞
=
+
+
=
1
sin
,
m
m
m
m
m
m
m
m
m
y
x
y
sh
C
y
ych
B
y
sh
B
y
x
α
α
α
α
α
ϕ
•
Uwzględniamy warunki brzegowe w powyższych równaniach:
( )
( )
=
+
+
=
+
+
0
2
2
2
2
2
0
2
2
2
1
y
m
m
m
y
m
y
m
m
y
m
m
s
m
y
m
m
y
m
y
m
L
sh
C
L
ch
L
B
L
sh
B
w
L
ch
C
L
sh
L
B
α
α
α
α
α
α
α
Wyznaczając z równania (2)
m
y
m
m
y
m
y
m
y
m
B
L
sh
L
ch
L
L
sh
+
−
=
2
2
2
2
C
m
α
α
α
α
α
i podstawiając do
równania (1) otrzymamy wartości
m
m
C
,
B
. Następnie podstawiając stałe do równania
( )
x
y
w ,
wyznaczyć linię ugięcia w przekroju:
=
2
,
x
L
x
y
w
PRZYKŁAD D.
•
Warunki brzegowe dla
const.
y
=
=
=
⇒
=
0
0
0
,
y
w
y
x
ϕ
=
=
⇒
=
0
0
,
y
y
M
w
L
y
x
•
Płyta niesymetryczna – potrzebne równania:
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
∑
∞
=
+
+
+
+
=
1
sin
,
m
m
s
m
m
m
m
m
m
m
m
m
x
w
y
ych
D
y
ch
C
y
ysh
B
y
sh
A
y
x
w
α
α
α
α
α
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
{
} ( )
∑
∞
=
+
+
+
+
+
=
1
sin
,
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
y
x
y
ysh
D
y
sh
C
y
ych
B
y
ch
A
y
ch
D
y
sh
B
y
x
α
α
α
α
α
α
α
α
ϕ
( )
(
)
(
)
[
]
{
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
}
( )
x
y
ych
D
y
ch
C
y
ysh
B
y
sh
A
y
ch
D
y
sh
B
w
D
y
x
M
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
s
m
m
yy
α
α
α
α
α
α
α
ν
α
α
να
sin
1
2
,
1
+
+
+
−
+
+
+
+
−
−
=
∑
∞
=
•
Uwzględniamy warunki brzegowe w powyższych równaniach:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
=
+
+
+
−
+
+
+
−
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
y
m
y
m
y
m
m
y
m
y
m
y
m
m
m
y
m
m
y
m
m
s
m
m
s
m
y
m
y
m
y
m
m
y
m
y
m
y
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
s
m
m
m
m
m
m
m
m
m
L
ch
L
D
L
ch
C
L
sh
L
B
L
sh
A
L
ch
D
L
sh
B
w
w
L
ch
L
D
L
ch
C
L
sh
L
B
L
sh
A
sh
D
sh
C
ch
B
ch
A
ch
D
sh
B
w
ych
D
ch
C
sh
B
sh
A
α
α
α
α
α
ν
α
α
να
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
•
Otrzymujemy:
( )
(
)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
=
+
+
+
−
+
+
+
−
=
+
+
+
+
−
=
−
=
0
1
2
4
0
3
1
2
0
1
y
m
y
m
y
m
m
y
m
y
m
y
m
m
m
y
m
m
y
m
m
s
m
m
s
m
y
m
y
m
y
m
m
y
m
y
m
y
m
m
m
m
m
s
m
m
m
L
ch
L
D
L
ch
C
L
sh
L
B
L
sh
A
L
ch
D
L
sh
B
w
w
L
ch
L
D
L
ch
C
L
sh
L
B
L
sh
A
D
A
w
ch
C
α
α
α
α
α
ν
α
α
να
α
α
α
α
α
α
Uwzględniając (1), (2) w równaniach (3), (4) otrzymujemy układ 2-óch równań (z 2
niewiadomymi) i wyznaczamy w ten sposób stałe:
m
m
m
m
D
C
B
A
,
,
,
.
Podstawiając stałe do równania
( )
x
y
w ,
wyznaczyć linię ugięcia w przekroju:
=
2
,
x
L
x
y
w
