w w w . e l e k t r o . i n f o . p l

n r 1 - 2 / 2 0 0 5

p r e z e n t a c j a

P

rzeniesienie ładunku elektryczne-
go dq od punktu a o potencjale V

a

do punktu b o potencjale V

b

wymaga

pracy dW = (V

a

– V

b

) dq = u

ab

dq. Prąd

elektryczny i = dq / dt, stąd praca:

W

u idt

ab

t

=

∫

0

Jeżeli napięcie u

ab

oraz prąd i nie ule-

gają zmianie, to:

W

u it

ab

=

Moc elektryczna chwilowa wynosi:

p

dW

dt

u i

ab

=

=

a przy niezmiennym w czasie napię-
ciu i prądzie:

P

U I

ab

=

Dodatnia wartość mocy oznacza,

iż dany układ otrzymuje energię elek-
tryczną, czyli jest odbiornikiem ener-
gii, a ujemna wartość mocy – że jest
tzw. wydajnikiem energii elektrycz-
nej. Podstawową jednostką mocy
jest wat (W). W obwodach prądu
przemiennego mamy do czynienia
z mocą:

pozorną S = UI, której jednostką

jest woltoamper (VA),

czynną P = UIcos

ϕ, której jed-

nostką jest wat (W),

bierną Q = UIsin

ϕ, której jed-

nostką jest war, czyli tzw. wolto-
amper reaktancyjny (var),

gdzie:
U – wartość skuteczna napięcia,
I – wartość skuteczna prądu,
ϕ – kąt przesunięcia fazowego mię-
dzy napięciem i prądem.

Dla gałęzi szeregowej złożonej z re-

zystancji R i reaktancji X moc czyn-

na wynosi: P = UIcos

ϕ = I

2

R, a moc

bierna Q = UIsin

ϕ = I

2

X. Między

mocami czynną, bierną i pozorną za-
chodzą zależności:

S

P

Q

Q

P

=

+

=

2

2

tg

ϕ

Moc czynna odbiorników energii,

decydująca o zamianie energii elek-
trycznej na ciepło, na pracę mecha-
niczną jest zawsze dodatnia. Moce
bierne pobierane przez cewki oraz
kondensatory kompensują się wza-
jemnie, wobec czego jednej z nich
należy przypisać znak (+), natomiast
drugiej znak (-). Przyjęto umownie
moc bierną indukcyjną za dodatnią,
a pojemnościową za ujemną. Na ry-
sunku 1

przedstawiono tzw. trójkąty

mocy odbiorników.

Silniki indukcyjne, transformatory,

dławiki, elektromagnesy, aparaty za-
wierające cewki indukcyjne pobierają
moc bierną dodatnią. Do jej skompen-
sowania stosuje się kondensatory i sil-
niki synchroniczne przewzbudzone,
pobierające moc ujemną. Pobór mocy
biernej ujemnej określa się jako wy-
twarzanie mocy biernej. Kondensatory
i silniki synchroniczne przewzbudzo-
ne wytwarzają zatem moc bierną [1].
Dla obwodów okresowych niesinuso-

idalnych (odkształconych) zachodzi na
ogół następująca nierówność:

P

Q

S

2

2

2

+

<

w związku z tym wprowadzono poję-
cie tzw. mocy zniekształcenia T, speł-
niającej warunek:

P

Q

T

S

2

2

2

2

+

+

=

ferrodynamiczne mierniki
laboratoryjne LW-1

Znajomość wartości mocy oddawa-

nej przez źródło lub pobieranej przez
odbiornik informuje o stanie obcią-
żenia danego urządzenia, pozwala na
określenie jego sprawności i umożli-
wia wyznaczenie strat energii. Do bez-
pośredniego pomiaru mocy w obwo-
dach prądu stałego oraz obwodach
o przebiegach sinusoidalnych lub nie-
znacznie odkształconych w paśmie

częstotliwości do ok. 200 Hz stosowa-
ne są od wielu lat laboratoryjne wa-
tomierze ferrodynamiczne LW-1, pro-
dukowane przez rzedsiębiorstwo ERA
GOST. Poglądowy układ połączeń wa-
tomierza przedstawia rysunek 2.

Zasada działania miernika ferrody-

namicznego polega na wykorzystaniu
sił elektrodynamicznych działających
między cewkami z prądem nawinię-
tymi na rdzeniach ferromagnetycz-
nych. Przez nieruchomą cewkę prą-
dową, włączoną do obwodu szerego-
wo, płynie prąd I

1

. Ruchoma cewka na-

pięciowa o rezystancji r, połączona sze-
regowo z rezystorem dodatkowym R

d

włączona jest równolegle z badanym
odbiornikiem i tworzy tor napięciowy
o rezystancji R = r+R

d

. Przez cewkę

napięciową płynie prąd I

2

= U / R. Mo-

ment napędowy miernika jest propor-
cjonalny do iloczynu napięcia i prądu
odbiornika oraz współczynnika mocy

Prąd

znamionowy

[A]

Napięcie

znamionowe

[V]

Pobór mocy

w obw. prądowym

[VA]

Pobór mocy

w obw. napięciowym

[VA]

0,5 / 1

100 / 200 / 400

0,8

0,7 / 1,4 / 2,8

1 / 2

100 / 200 / 400

0,8

0,7 / 1,4 / 2,8

2,5 / 5

100 / 200 / 400

0,9

0,7 / 1,4 / 2,8

5 / 10

100 / 200 / 400

1,5

0,7 / 1,4 / 2,8

10 / 20

100 / 200 / 400

2,0

0,7 / 1,4 / 2,8

Tab. 1 Zakresy pomiarowe watomierzy LW-1

pomiar mocy
miernikami
ferrodynamicznymi

produkcji P.W. ERA GOST

mgr inż. Ireneusz Zalewski – P.W. ERA GOST

52

p r e z e n t a c j a

Rys. 1 Trójkąty mocy odbiorników: a) o charakterze indukcyjnym R, L (Q > 0), b) o charakterze pojemnościowym R, C (Q < 0),

c) o przeważającej reaktancji indukcyjnej R, L, C; X

l

>X

c

(Q > 0), d) o przeważającej reaktancji pojemnościowej R, L, C;

X

l

< X

c

(Q < 0)

Fot. 1 Miernik laboratoryjny LW-1

E.I_01_02_2005.indb 52

E.I_01_02_2005.indb 52

2005-01-13 15:11:03

2005-01-13 15:11:03

w w w . e l e k t r o . i n f o . p l

n r 1 - 2 / 2 0 0 5

53

(dla prądu przemiennego). Moc wska-
zana przez watomierz wynosi:

P

c

w

w

= α

gdzie:
c

w

– stała watomierza [W / dz],

α – odchylenie organu ruchomego [dz].
Stałą watomierza wyznacza się
ze wzoru:

c

U I

w

n n

n

=

α

ϕ

max

cos

gdzie:
U

n

– napięcie znamionowe,

I

n

– prąd znamionowy,

cos

ϕ

n

– znamionowy współczyn-

nik mocy (dla watomierza LW-1
cos

ϕ

n

= 1),

α

max

– liczba działek podziałki wa-

tomierza.

Watomierze LW-1 budowane są jako

wielozakresowe. Mają dwa zakresy prą-
dowe i trzy zakresy napięciowe. Zakre-
sy napięciowe zmienia się za pomocą
rezystorów dodatkowych w obwodzie
ruchomej cewki napięciowej, a prądo-
we poprzez dzielenie nieruchomej cew-
ki prądowej na jednakowe sekcje i łą-
czenie tych sekcji szeregowo lub rów-

nolegle. Do tego celu służą przełączni-
ki obrotowe.

Watomierze LW-1 mierzą moc prądu

stałego oraz moc czynną jednofazowe-
go prądu przemiennego o częstotliwo-
ści od 15 do 200 Hz. Stosując dodatko-
wy przybór pomiarowy OD-41 (układ
rezystorów manganinowych) można
dokonywać pomiaru w sieciach trójfa-
zowych, trójprzewodowych w układzie
tzw. sztucznego zera. Do pomiaru mocy
prądu trójfazowego należy zastosować
dwa lub trzy watomierze, w zależności
od rodzaju zasilania i obciążenia. Moż-
na nimi również mierzyć moc bierną.

podstawowe dane
techniczne watomierzy LW-1

zakresy pomiarowe (tab. 1),

klasa dokładności 0,5,

znamionowy zakres częstotliwo-

ści 15…45…65…200 Hz,

znamionowy współczynnik mocy

cos

ϕ

n

= 1,

zakres prądu (0…1,0…1,3) I

n

,

zakres napięcia (0,8…1,0…1,5) U

n

,

rezystancja obwodu napięciowego

150

Ω/ V,

napięcie probiercze izolacji 2 kV,

masa ok. 1,5 kg.

ERA GOST w swojej ofercie ma

również przybór OD-41 klasy 0,2 do
watomierza LW-1, pozwalający na:

pomiar mocy w sieciach trójfazo-

wych, trójprzewodowych w ukła-
dzie sztucznego zera,

zwiększenie ilości zakresów na-

pięciowych w sieciach jednofazo-
wych z trzech do dziewięciu,

zwiększenie ilości zakresów na-

pięciowych w sieciach trójfazo-
wych, trójprzewodowych z trzech
do sześciu.

Schemat OD-41 pokazano na rysun-
ku 3

. Przedsiębiorstwo ERA GOST ma

w ofercie również watomierze o zakre-
sach napięciowych 120 / 240 / 480 V i za-
kresach prądowych 1 / 5 A.

pomiar mocy czynnej

Pomiar mocy w obwodzie prądu sta-
łego oraz mocy czynnej w obwodzie
jednofazowym

Sposób pomiaru mocy w obwo-

dzie prądu stałego oraz mocy czyn-
nej w obwodzie prądu jednofazowe-
go przedstawia rysunek 4.

Kierunek wychylenia wskazówki

miernika zależy od kierunku prądów
płynących przez cewkę prądową i na-
pięciową. Dlatego początek cewki prą-
dowej łączy się tak, aby był zwrócony
w kierunku dopływu energii, a począ-

tek cewki napięciowej łączy się z po-
czątkiem lub końcem cewki prądowej.
Początki cewek są oznaczone na mier-
niku gwiazdkami. Do pomiaru mocy
biernej w obwodach jednofazowych
używa się waromierza (watomierza
z układem Hummla) włączonego tak
samo, jak watomierz.
Pomiar mocy czynnej w obwodach
trójfazowych
1. Pomiar trzema watomierzami

Pomiar mocy czynnej trzema wa-

tomierzami może być wykonywany
zarówno w sieci trójfazowej cztero-
przewodowej (rys. 5), jak i trójfazo-
wej trzyprzewodowej (rys. 6).
Moc czynną w sieci trójfazowej czte-
roprzewodowej i trzyprzewodowej
wyznacza się ze wzoru:
P = U

L1

I

L1

cos

ϕ

L1

+U

L2

I

L2

cos

ϕ

L2

+

+U

L3

I

L3

cos

ϕ

L3

= P

L1

+P

L2

+P

L3

,

gdzie:
U

L1

, U

L2

, U

L3

– napięcia fazowe,

I

L1

, I

L2

, I

L3

– prądy przewodowe,

ϕ

L1

,

ϕ

L2

,

ϕ

L3

– kąty pomiędzy napię-

ciami i prądami w poszczególnych
fazach,
P

L1

, P

L2

, P

L3

– moce czynne fazowe.

Rys. 2 Układ połączeń watomierza ferrodynamicznego

Rys. 3 Przybór OD-41

Rys. 4 Pomiar mocy w obwodzie prądu stałego i mocy czynnej w obwodzie prądu

jednofazowego

Fot. 2 Przybór OD-41

E.I_01_02_2005.indb 53

E.I_01_02_2005.indb 53

2005-01-13 15:11:25

2005-01-13 15:11:25

w w w . e l e k t r o . i n f o . p l

n r 1 - 2 / 2 0 0 5

p r e z e n t a c j a

54

Moc czynna pobierana przez odbior-
nik równa się sumie wskazań wato-
mierzy P = P

W1

+ P

W2

+ P

W3

,

gdzie:
P

W1

, P

W2

, P

W3

– moce wskazane przez

watomierze.

Pomiar mocy daje prawidłowy wy-

nik bez względu na symetrię czy asy-
metrię zasilania i obciążenia. Za po-
mocą trzech watomierzy odpowied-
nio włączonych do sieci można do-
konać również pomiaru mocy bier-
nej [4].
2. Pomiar jednym watomierzem

W układzie trójfazowym o syme-

trycznym zasilaniu i obciążeniu speł-
nione są zależności:
U

L1

= U

L2

= U

L3

=U

f

I

L1

= I

L2

= I

L3

= I

f

cos

ϕ

L1

= cos

ϕ

L2

= cos

ϕ

L3

= cos

ϕ,

a więc moc czynna pobierana przez
odbiornik wynosi:
P = 3 U

f

I

f

cos

ϕ = 3 P

W

,

gdzie:
P

W

– moc wskazana przez watomierz.

Pomiar mocy czynnej jednym wato-
mierzem przedstawia rysunek 7.

Do pomiaru mocy w obwodzie

o symetrycznym zasilaniu i obcią-
żeniu wystarczy jeden watomierz.
W układzie ze sztucznym punktem
zerowym należy pamiętać, aby re-
zystancja rezystorów dodatkowych
R była równa rezystancji toru na-

pięciowego miernika. Do tego celu
używa się przyboru pomiarowego
OD-41. Za pomocą jednego watomie-
rza odpowiednio włączonego do sie-
ci można dokonać również pomiaru
mocy biernej [4].
3. Pomiar dwoma watomierzami

Pomiaru mocy czynnej za pomocą

dwóch watomierzy dokonuje się w sy-
metrycznie i niesymetrycznie obcią-
żonych obwodach trójprzewodowych.
Trzy równoważne sposoby włączenia
watomierzy przedstawia rysunek 8.
Moc czynna odbiornika równa jest
sumie mocy wskazywanych przez
watomierze: P = P

W1

+P

W2

. Stosując

układ Arona w obwodzie symetrycz-
nym można oprócz mocy wyznaczyć
również współczynnik mocy cos

ϕ,

który wynosi:

cos

ϕ =

+

+

−

P

P

P

P

P P

W

W

W

W

W

W

1

2

1

2

2

2

1

2

2

Jeśli jeden z watomierzy ma wskaza-

nia ujemne (tzn. wskazówka odchyla się
w przeciwną stronę), to należy zmienić
kierunek przepływu prądu w jego cewce
napięciowej poprzez zamianę miejscami
przewodów na jego zaciskach napięcio-
wych, a przy obliczeniu mocy całkowitej
uwzględnić ujemny kierunek wskazań.
Przy obciążeniu symetrycznym ze wska-
zań mierników można określić również
kolejność faz. Jeśli obciążenie ma charak-

ter czynno-indukcyjny, to większą war-
tość mocy wskaże watomierz włączony
w fazę wyprzedzającą; przy obciążeniu
czynno-pojemnościowym – watomierz
włączony w fazę opóźniającą się. Za po-
mocą dwóch watomierzy odpowiednio
włączonych można dokonać również po-
miaru mocy biernej [4].
4. Pomiar mocy czynnej metodami
pośrednimi

Pomiar metodami pośrednimi po-

lega na zastosowaniu przekładni-
ków prądowych i napięciowych, któ-
re umożliwiają wykonanie pomiarów
mocy czynnej w obwodach o dużych
prądach i wysokich napięciach. Zna-
mionowe zakresy prądowe i napięcio-
we watomierzy LW-1 (np. 5 A i 100 V) są
zbieżne z typowymi prądami wtórny-
mi przekładników prądowych i napię-
ciami wtórnymi przekładników napię-
ciowych. Można wyróżnić dwa rodzaje
układów do pomiaru mocy:

układ półpośredni – cewki prądo-

we watomierzy łączone są za po-
średnictwem przekładników prą-
dowych, a tory napięciowe wato-
mierzy – bezpośrednio (zazwyczaj
dla I > 20 A, U < 700 V),

układ pośredni – cewki prądowe

watomierzy łączone są za pośred-
nictwem przekładników prądo-
wych, a tory napięciowe watomie-
rzy za pośrednictwem przekładni-

ków napięciowych; układ jest sto-
sowany przy wysokich napięciach
(zazwyczaj dla U > 700 V).
Kryteria doboru układów pomiaro-

wych do pomiaru mocy czynnej tymi
metodami są takie same, jak w meto-
dach bezpośrednich. Moc czynna pobie-
rana przez odbiornik w sieci trójfazowej
trójprzewodowej, mierzona np. w ukła-
dzie pośrednim za pomocą dwóch wa-
tomierzy, z zastosowaniem dwóch prze-
kładników prądowych i dwóch prze-
kładników napięciowych jest równa:

P = v

1

v

2

(P

W1

+P

W2

)

gdzie:
P

W1

, P

W2

– moce wskazywane przez

watomierze,
v

1

– przekładnia przekładników prą-

dowych,
v

2

– przekładnia przekładników na-

pięciowych.

W celu kontroli pracy watomie-

rzy i niedopuszczenia do przecią-
żenia któregoś z ich obwodów, wa-
tomierze powinny współpracować
z amperomierzami i woltomierzami.
ERA GOST jest producentem duże-
go wyboru

laboratoryjnych ampe-

romierzy i woltomierzy elektroma-
gnetycznych oraz magnetoelektrycz-
nych klasy 0,5.

Od redakcji

: Literatura do artykułu

dostępna na www.elektro.info.pl.

Rys. 5 Pomiar mocy czynnej trzema watomierzami

w sieci trójfazowej czteroprzewodowej

Rys. 7 Pomiar mocy czynnej jednym watomierzem:

a) w sieci czteroprzewodowej, b) w sieci trój-
przewodowej

Rys. 8 Układ do pomiaru mocy czynnej dwoma watomierzami (układ Arona)

Rys. 6 Pomiar mocy czynnej trzema watomierzami

w sieci trójfazowej trójprzewodowej

E.I_01_02_2005.indb 54

E.I_01_02_2005.indb 54

2005-01-13 15:11:32

2005-01-13 15:11:32