Nierozróżnialność cząstek kwantowo (klasycznie rozróżnialne)

Rozważmy dwie identyczne cząstki nieodziaływujące ze sobą:

∣ 

r

1,

r

2,

t∣

2

=∣ 

r

2,

r

1,

t∣

2

Gdyż wszystkie wyniki eksperymentów dają tą samą wartość 

w obu sytuacjach.

Możliwe dwa rozwiązania:



r

1,

r

2,

t = r

2,

r

1,

t 



r

1,

r

2,

t =−r

2,

r

1,

t 

Funkcja symetryczna

Funkcja antysymetryczna

Ze względu na przestawienie cząstek



H  r

1,

r

2,

⋯

, r

n

, t =i ℏ ∂

∂

t



r

1,

r

2,

⋯

,r

n

,t 

Równanie Schrodingera dla n identycznych cząstek

Operator hamiltona jest symetryczny w/dem przestawienia cząstek

⇒ 

H r

1,

r

2,

⋯

,r

n

, t 

Jest symetryczne bądź 

antysymetryczne zależnie od 

funkcji falowej



H 

Jeżeli

Symetryczne, to

i ℏ ∂

∂

t



Symetryczne



tt = t 

∂

∂

t



t



tt 

Też symetryczne

Symetria funkcji falowej jest zachowana i jest własnością układu cząstek

Załóżmy, że mamy dwie identyczne cząstki i dwa stany kwantowe



, −stany kwantowe

1, 2−oznaczenia cząstek

Możliwe są sytuacje:

u





1 ,u





2

u





2 ,u





1

u

I

=

u





1⋅u





2

u

II

=

u





2⋅u





1

Oczywiście funkcja może być symetryczna, bądź antysymetryczna – 

symetryzujemy funkcję, ponieważ cząstki są nierozróżnialne:

u

s

=

u

I



u

II

=

u





1⋅u





2u





2⋅u





1

u

as

=

u

I

−

u

II

=

u





1⋅u





2−u





2⋅u





1

jeżeli

=−

czyli mamy jeden stan kwantowy

wtedy

u

as

=

u





1⋅u





2−u





2⋅u





1=0

Nie istnieje stan kwantowy opisany funkcją antysymetryczną, który jest 

obsadzony przez dwie identyczne cząstki.

Funkcją symetryczną opisane cząstki nazwano bozonami

Funkcją antysymetryczną opisane cząstki nazwano fermionami

Dla fermionów obowiązuje zakaz Pauliego – dwa fermiony nie mogą być w tym 

samym stanie kwantowym.

Zasada budowania funkcji falowej dla n­cząstek identycznych.

U

s

=

∑

P

P u





1⋅u



,⋯,u





n

U

as

=

det

∣

u





1 , u





2 ,⋯, u





n

u





1 ,u





2 ,⋯, u





n

⋯

,⋯,⋯,⋯

u





1 , u





2 ,⋯, u





n

∣

Jeżeli układ jest opisany funkcją antysymetryczną (fermiony), to każdy stan 

układu może być “pusty” ­ nieobsadzony lub zajęty tylko przez jeden fermion.

Jeżeli układ jest opisany funkcją symetryczną (bozony), to każdy stan układu 

może być obsadzony przez dowolną liczbę bozonów lub może być pusty.

Statystyki kwantowe

Fermiony – rozkład Fermiego­Diraca

Bozony – rozkład Bosego­Einsteina

Bozony I fermiony będą miały różne własności statystyczne

To tłumaczy zapełnianie powłok elektronowych w atomach.

Fermiony – cząstki o liczbie spinowej ułamkowej

Bozony –cząstki o liczbie spinowej całkowitej