Zadania z geometrii
Z
ESTAW
5
1.
Które z podanych ni˙zej przekształce´n f : E(K
n
) → E(K
m
) s ˛
a przekształceniami afinicznymi:
(a) n = m = 3,
f
x
y
z
=
x
+ z − 2
2x + z
3x − y + z + 1
,
(b) n = m = 3,
f
x
y
z
=
x
y
+ 1
z
+ 2
,
(c) n = m = 3,
f
x
y
z
=
2x + y
x
+ z
z
,
(d) n = m = 3,
f
x
y
z
=
x
− y + z − 2
z
y
+ 1
,
(e) n = 4, m = 3,
f
x
y
z
t
=
x
− y + 2t + 2
2x + 3y + 5z − t − 3
x
+ z − t + 5
,
(f) n = 4, m = 3,
f
x
y
z
t
=
x
− y + 2t
2x − 3y + 5z − t
x
− z − t − 1
,
(g) n = 3, m = 4,
f
x
y
z
=
x
+ 3y − 2t + 4
x
+ y + z
2y + t − 3
y
+ z
,
(h) n = 3, m = 4,
f
x
y
z
=
x
+ 3y − 2t
x
+ y + z
2y − 3t
2x + 4y + z − 2t
,
(i) n = m = 3,
f
x
y
z
=
x
+ z
2xz
3x − y + z + 1
.
W przypadku, gdy przekształcenie f jest przekształceniem afinicznym zbadaj, czy jest to monomorfizm (epimor-
fizm) oraz wska˙z przekształcenie styczne e
f
.
2.
Przekształcenie afiniczne f : E(K
2
) → E(K
3
) dane jest wzorem
f
x
y
=
2x + 3y + 1
x
− y
3y − 1
.
Wyznacz:
(a) obrazy podprzestrzeni: E(K
2
),
1
3
+ lin (
1
0
),
1
−1
+ lin (
0
1
),
0
0
+ lin (
1
1
),
{
x
y
∈ K
2
: 2x + 3y = 1};
(b) przeciwobrazy podprzestrzeni: E(K
3
),
{
1
5
−7
},
{
6
0
3
},
3
1
−1
+ lin (
2
1
3
),
0
0
0
+ lin (
2
1
0
),
2
−2
2
+ lin (
3
−1
3
,
0
1
0
),
{
x
y
z
∈ K
3
: x + y + z = 1}.
3.
Czy istnieje przekształcenie afiniczne f : E(R
3
) → E(R
3
) spełniaj ˛
ace warunki:
1
(a) f
1
1
0
=
1
0
0
,
f
0
1
1
=
0
1
0
,
f
1
0
1
=
0
0
1
,
f
1
1
1
=
1
1
1
,
f
3
4
3
4
3
4
=
1
2
1
2
1
2
?
(b) f
1
1
0
=
1
2
3
,
f
0
1
1
=
3
2
1
,
f
1
2
1
=
4
4
4
,
f
1
1
−1
=
0
0
0
?
(c) f
0
0
0
=
0
0
1
,
f
1
1
0
=
1
2
3
,
f
0
1
1
=
3
2
1
,
f
1
2
−1
=
4
4
4
?
(d) f
1
1
0
=
1
2
0
,
f
0
−1
1
=
3
0
1
?
(e) f
1
0
1
=
1
−1
0
,
f
2
1
1
=
3
1
1
,
e
f
(
1
1
1
) =
0
0
1
,
e
f
(
1
2
1
) =
−1
0
1
?
W przypadku pozytywnej odpowiedzi przeanalizuj liczb˛e rozwi ˛
aza´n i podaj wzór przynajmniej jednego takiego
odwzorowania afinicznego f oraz wska˙z e
f
.
4.
Czy istnieje przekształcenie afiniczne f : E(R
4
) → E(R
4
) spełniaj ˛
ace warunki
f
(P) = P
1
,
f
(Q) = Q
1
,
f
(R) = R
1
,
f
(L) = L
1
,
o ile:
(a) P =
1
1
1
1
,
Q
=
2
3
2
3
,
R
=
3
2
3
2
,
P
1
=
−1
1
−1
1
,
Q
1
=
0
4
0
4
,
R
1
=
2
2
2
2
,
L
=
1
2
2
2
+ lin (
0
1
0
1
),
L
1
=
−1
2
0
3
+ lin (
1
−5
1
−5
) ?
(b) P =
2
−1
3
−2
,
Q
=
3
1
6
−1
,
R
=
5
1
4
1
,
P
1
=
1
−2
3
5
,
Q
1
=
2
1
8
7
,
R
1
=
3
2
10
−6
,
L
=
2
0
4
−1
+ lin (
0
1
2
0
),
L
1
=
1
−1
5
−2
+ lin (
0
2
3
−3
)?
5.
Wyznacz wzór analityczny:
(a) symetrii przestrzeni E(R
2
) wzgl˛edem
1
1
+ lin (
1
2
) i wzdłu˙z
1
1
+ lin (
0
1
);
(b) symetrii przestrzeni E(R
3
) wzgl˛edem
1
0
1
+ lin (
1
1
0
,
0
1
2
) i wzdłu˙z
1
0
1
+ lin (
1
1
1
);
(c) rzutu przestrzeni E(R
2
) na
1
0
+ lin (
2
3
) wzdłu˙z
1
0
+ lin (
−1
1
);
(d) rzutu przestrzeni E(R
3
) na
1
1
1
+ lin (
1
0
1
) wzdłu˙z
1
1
1
+ lin (
1
1
1
,
−1
1
2
);
(e) jednokładno´sci przestrzeni E(R
n
) o ´srodku w punkcie O =
a
1
..
.
a
n
i skali b.
2
6.
Wyka˙z, ˙ze:
(a) t
α
◦ t
β
= t
β
◦ t
α
,
(b) f ◦ t
α
= t
α
◦ f wtedy i tylko wtedy, gdy e
f
(α) = α,
(c) f ◦ t
α
= t
e
f
(α)
◦ f ,
(d) f ◦ g = g ◦ f wtedy i tylko wtedy, gdy jednocze´snie e
f
◦
e
g
=
e
g
◦ e
f
i istnieje punkt P ∈ E taki, ˙ze ( f ◦ g)(P) =
(g ◦ f )(P).
Pozostałe zadania dotycz ˛
a przestrzeni E(R
n
) ze zwykłym iloczynem skalarnym
7.
Wyznacz wzór analityczny:
(a) (n=2) symetrii prostopadlej wzgl˛edem prostej
1
0
+ lin (
0
1
)
(b) (n=3) symetrii prostopadłej wzgl˛edem prostej
1
0
1
+ lin (
0
1
1
)
(c) (n=2) rzutu przestrzeni na prost ˛
a
1
1
+ lin (
2
0
)
(d) (n=3) rzutu przestrzeni E(R
3
) na płaszczyzn˛e
1
0
1
+ lin (
1
1
1
,
−1
1
0
).
8.
(n=2) Znajd´z współrz˛edne punktu symetrycznego do punktu (2, 3) wzgl˛edem prostej X − 3Y = 1.
9.
(n=2) Znajd´z wzór okre´slaj ˛
acy symetri˛e prostopadł ˛
a wzgl˛edem prostej 2X −Y = 1.
10.
(n=2) Znajd´z obraz prostej 5X − 3Y + 2 = 0 w symetrii prostopadłej wzgl˛edem prostej X −Y = 0.
11.
(n=3) Znajd´z obraz punktu (1, 2, 3) w symetrii prostopadłej wzgl˛edem płaszczyzny X − 2Y + Z = 1.
12.
(n=3) Znajd´z wzór okre´slaj ˛
acy symetri˛e prostopadł ˛
a wzgl˛edem płaszczyzny X −Y − Z = 1.
13.
(n=3) Znajd´z rzut prostopadły punktu A = (1, −2, 1) na prost ˛
a
X
+1
1
=
Y
+8
−1
=
Z
−2
2
. Znajd´z wzór okre´slaj ˛
acy ten
rzut.
14.
(n=3) Znajd´z obraz punktu A = (2, −1, 3) w symetrii prostopadłej wzgl˛edem prostej af((0, −7, 2), (3, −2, 4)).
Znajd´z wzór okre´slaj ˛
acy t˛e symetri˛e.
15.
(n=3) Znajd´z rzut prostopadły prostej
X
−3
5
=
Y
+1
1
=
Z
−4
1
na płaszczyzn˛e 2X − 2Y + 3Z = 5.
16.
(n=3) Przez rzut prostopadły punktu (2, −1, 1) na prost ˛
a L = (1, 1, 1)+lin([1, −1, 2]) poprowad´z prost ˛
a prostopadł ˛
a
do prostej L i przecinaj ˛
ac ˛
a prost ˛
a
(
X
−Y − Z + 2 = 0
X
− 2Y + 4 = 0.
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron