Kolokwium II
rok 2011/2012
Zadanie 4 [2p+6p]
a) Podać twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda o promieniu zbieżności szeregu potęgowego.
b) Dla szeregu potęgowego
wyznaczyć promień zbieżności, przedział zbieżności oraz zbadać zbieżność w prawym krańcu
przedziału zbieżności.
Rozwiązanie:
a) Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda: Jeśli dla szeregu potęgowego istnieje granica
(skończona lub nieskończona):
lub
to promień zbieżności tego szeregu wynosi:
b)
1* szukamy promienia zbieżności R
Zgodnie z twierdzeniem Cauchy'ego-Hadamarda dla
2* określamy przedział zbieżności
3* badamy zbieżność w prawym krańcu przedziały zbieżności, czyli dla x=2
Stosujemy kryterium Leibniza dla szeregów naprzemiennych
1) czy ? tak, bo ( +4) będzie zawsze dodatnie
2) czy ciąg jest malejący? tak, bo mianownik stale rośnie, a licznik jest stały
3) czy ? tak, bo
Wniosek: szereg jest zbieżny dla x=2
Odpowiedź:
Promień zbieżności wynosi 1/2, przedział zbieżności to (1;2) oraz w prawym krańcu
zbieżności szereg jest zbieżny.
Autor: Michał Z. Grupa 2
04.12.2013
4
)
3
2
(
)
1
(
1
+
−
−
∑
∞
=
n
x
n
n
n
∑
∞
=
0
n
n
n
x
a
λ
=
∞
→
n
n
n
a
lim
λ
=
+
∞
→
n
n
n
a
a
1
lim
=
∞
+
+ ∞
=
+ ∞
<
<
=
0
0
0
1
λ
λ
λ
λ
gdy
gdy
gdy
R
2
3
0
=
x
0
>
λ
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
−
⋅
−
=
−
−
⋅
+
+
−
=
+
−
−
1
1
1
4
)
2
(
)
2
/
3
(
)
2
(
)
2
(
4
)
3
2
(
4
)
3
2
(
)
1
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
x
(
)
(
)
4
1
)
2
(
4
)
2
(
1
1
+
+
−
=
+
−
=
+
+
n
a
n
a
n
n
n
n
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
0
0
1
0
2
4
1
1
8
2
lim
1
1
4
1
2
4
2
2
lim
4
)
2
(
4
1
)
2
(
lim
lim
1
1
=
+
+
+
=
+
+
+
=
⋅
+
+
+
⋅
=
+
−
+
+
−
=
=
∞
→
∞
→
+
∞
→
+
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
λ
2
1
1
=
=
λ
R
( )
2
,
1
2
1
2
3
,
2
1
2
3
)
,
(
0
0
=
+
−
=
+
−
R
x
R
x
(
)
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
−
=
+
−
=
−
⋅
+
−
=
−
+
−
1
1
1
1
4
)
1
(
)
1
(
4
)
1
(
3
2
2
4
)
1
(
)
3
2
(
4
)
1
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
4
1
+
=
n
a
n
0
>
n
a
n
0
lim
=
∞
→
n
n
a
0
1
lim
=
∞
∞
→
n