9.TENSOR NAPRĘŻEŃ W BIEGUNOWYM UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
1
9.
9. TENSOR NAPRĘŻEŃ W BIEGUNOWYM UKŁADZIE WSPÓRZĘDNYCH
Na rysunku 9.1 przedstawiono element ulegający przemieszczeniu:
–
u – czyli przemieszczeniu radialnemu mierzonemu wzdłuż promienia
–
v – czyli przemieszczeniu liniowemu inaczej obwodowemu
Rys.9.1.Element ulegający przemieszczeniu.
Naszym zadaniem jest wyznaczenie składowych tensora odkształcenia przedstawiającego się
następująco:
=
[
r
r
r
]
(9.1)
gdzie:
ε
r
- odkształcenie radialne
ε
φ
- odkształcenie obrotowe
ε
φr
, ε
rφ
- odkształcenie kątowe związane z kątem odkształcenia γ
Z rysunku wynikają równania Cauchy'ego łączące odkształcenia z przemieszczeniami::
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
X
Y
d
v
u
r
v
∂
v
∂
d
u
∂u
∂
d
v
∂
v
∂ r
dr
u
∂ u
∂r
dr
9.TENSOR NAPRĘŻEŃ W BIEGUNOWYM UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
2
r
=
u
∂
u
∂ r
⋅dr
−u
dr
= ∂
u
∂ r
(9.2)
=
v
∂
v
∂ r
⋅dr
−v
dr
r
u
⋅d −r⋅d −v
d
=
1
r
⋅∂
v
∂
u
r
(9.3)
Przy wyznaczeniu pozostałych składowych tensora odkształcenia skorzystamy z zależności 2ε
rφ
= γ
rφ
gdzie:
r
=
1
r
⋅∂
u
∂
∂
v
∂ r
−
v
r
(9.4)
Ostatecznie odkształcenie kątowe ma postać:
r
=
1
2
r
=
1
2
1
r
⋅∂
u
∂
∂
v
∂ r
−
v
r
(9.5)
Wykonując na funkcjach odkształceń operacje różniczkowania można uzyskać równanie
nierozdzielności odkształceń w postaci:
∂
2
∂ r
2
∂
2
r
r
2
∂
2
2
r
⋅
∂
∂ r
−
1
r
⋅
∂
r
∂ r
=2
∂
2
r
r
⋅∂ r ∂
1
r
2
⋅
∂
r
∂
(9.6)
Związki fizyczne w płaskim stanie naprężenia i odkształcenia w układzie współrzędnych
biegunowych (uzyskuje się je analogicznie jak dla współrzędnych prostokątnych):
-płaski stan naprężeń (PSO):
r
=
1
E
r
−
(9.7)
=
1
E
−
r
(9.8)
r
=
1
E
r
(9.9)
-płaski stan odkształceń (PSN):
r
=
1
E
[
1
−
r
−
]
(9.10)
=
1
E
[
1
−
−
r
]
(9.11)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
9.TENSOR NAPRĘŻEŃ W BIEGUNOWYM UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
3
r
=
1
E
r
(9.12)
Zastosowanie funkcji naprężeń:
Szukamy funkcji F(r,φ)=Φ(r,φ) spełniającej warunek:
∇
2
F
=0
(9.13)
Spróbujmy zapisać powyższy warunek we współrzędnych biegunowych. Wiemy, że we
współrzędnych prostokątnych laplasjan to suma:
∇
2
=
∂
2
∂ x
2
∂
2
∂ y
2
(9.14)
a
∂
2
∂ x
2
= ∂
∂ x
∂
∂ x
i
∂
2
∂ y
2
= ∂
∂ y
∂
∂ y
(9.15)
oraz
∂
∂ x
=
∂
∂ r
⋅∂
r
∂ x
∂
∂
⋅
∂
∂ x
i
∂
∂ y
=
∂
∂ r
⋅∂
r
∂ y
∂
∂
⋅
∂
∂ y
(9.16)
Korzystając z związków między współrzędnymi biegunowymi a współrzędnymi prostokątnymi
(Rys. 9.2.):
Rys. 9.2. Układ współrzędnych biegunowych i prostokątnych
r
2
=x
2
y
2
⇔
r
=
x
2
y
2
(9.17)
=arctg
y
x
(9.18)
cos
=
x
r
⇔
x
=rcos
(9.19)
sin
=
y
r
⇔
y
=rsin
(9.20)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
Y
r
φ
X
y
x
9.TENSOR NAPRĘŻEŃ W BIEGUNOWYM UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
4
Zatem:
∂ r
∂ x
= ∂
∂ x
x
2
y
2
=
x
x
2
y
2
=
x
r
2
cos
2
r
2
sin
2
=
x
r
=cos
(9.21)
∂
∂ x
= ∂
∂ x
arctg
y
x
=−
y
x
2
1
y
2
x
2
=−
y
x
2
y
2
=−
y
r
2
=
−sin
r
(9.22)
∂ r
∂ y
= ∂
∂ y
x
2
y
2
=
y
x
2
y
2
=
y
r
2
cos
2
r
2
sin
2
=
y
r
=sin
(9.23)
∂
∂ y
= ∂
∂ y
arctg
y
x
=
x
r
2
=
cos
r
(9.24)
Wartości różniczek uzyskane po zamianie współrzędnych prostokątnych na współrzędne biegunowe
podstawmy do wzorów (9.16):
∂
∂ x
=
∂
∂ r
cos
−
∂
∂
sin
r
(9.25)
∂
∂ y
=
∂
∂ r
sin
∂
∂
cos
r
(9.26)
Więc:
∂
2
∂ x
2
= ∂
∂ x
[
∂
∂ r
cos
−
∂
∂
sin
r
]
(9.27)
∂
2
∂ y
2
= ∂
∂ y
[
∂
∂ r
sin
∂
∂
cos
r
]
(9.28)
Po zsumowaniu wyznaczonych wielkości i wykonaniu odpowiednich przekształceń otrzymujemy:
∂
2
∂ x
2
∂
2
∂ y
2
=
∂
2
∂ r
2
1
r
∂
∂ r
1
r
2
∂
2
∂
2
(9.29)
Otrzymana wielkość to Laplasjan funkcji Φ wyrażony we współrzędnych biegunowych:
∇
2
=
∂
∂ r
2
1
r
∂
∂ r
1
r
2
∂
2
∂
2
(9.30)
Sposób rozwiązywania zadań w płaskim stanie odkształceń i płaskim stanie naprężeń jest identyczny
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
9.TENSOR NAPRĘŻEŃ W BIEGUNOWYM UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
5
jak w przypadku współrzędnych prostokątnych.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron