28
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
Działania na wartościach składowych położeń, prędkości i przyspieszeń
Dotychczas dużo uwagi poświęciliśmy wektorowym aspektom parametrów kinematycznych. Każdy
z wektorów ma określoną długość – czyli wartość. Również składowe wektorów (rzuty na osie)
mają swoje wartości. Operacje na wartościach wektorów pozwalają na stosowanie wszystkich
działań matematycznych jakie umożliwia algebra. Dlatego bardzo ważne jest, abyśmy umieli obraz
wektorowy „sprowadzić” do obrazu skalarnego. Oczywiście można operować na wartościach
samych wektorów bez potrzeby rozpatrywania ich rzutów. Pomaga w tym geometria. Jednak zdarza
się, że wzdłuż różnych osi ciało realizuje inne typy ruchów. Wówczas rozdzielenie wektorów na
składowe pozwala opisywać każdy typ ruchu z osobna.
Przypomnijmy najpierw wzór określający rozkład wektora wodzącego na składowe, zapisany
również z pomocą wektorów jednostkowych
, :
Obliczmy pierwszą pochodną powyższych wektorów po czasie (zakładając, że wektory
jednostkowe
, nie zmieniają się w czasie – czyli układ odniesienia się nie porusza):
Jak wiemy pierwsza pochodna wektora wodzącego jest prędkością. Ją także rozkładaliśmy na
składowe zgodnie z poniższym wzorem:
Mamy sytuację najbardziej ogólną dlatego nie wpisuję żadnego znaku minus przed wartościami
(związanego z przeciwnym zwrotem którejś składowej wektora w stosunku do odpowiadającej jej
osi). W szczególnych sytuacjach należy o takich znakach pamiętać.
Porównując dwa powyższe równania (odpowiednie wyrazy przy wektorach jednostkowych
, )
widzimy że:
Otrzymaliśmy zależności pomiędzy wartościami składowych wektora wodzącego i wektora
prędkości. Są to relacje w postaci skalarnej umożliwiające operacje algebraiczne na powyższych
29
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
parametrach. Oczywiście można napisać analogiczne równanie dla składowych wzdłuż osi Z (w
sytuacji ruchu trójwymiarowego).
Możemy też obliczyć pierwszą pochodną wektora prędkości po czasie:
Jak wiemy pierwsza pochodna prędkości to przyspieszenie. Je także rozkładaliśmy na składowe
zgodnie z poniższym wzorem:
Nadal mamy sytuację najbardziej ogólną dlatego nie wpisuję żadnego znaku minus przed
wartościami (związanego z przeciwnym zwrotem którejś składowej wektora w stosunku do
odpowiadającej jej osi). W szczególnych sytuacjach należy o takich znakach pamiętać.
Porównując dwa powyższe równania (wyrazy przy wektorach jednostkowych
, ) widzimy że:
Otrzymaliśmy zależności pomiędzy wartościami składowych wektora prędkości i wektora
przyspieszenia. Są to relacje w postaci skalarnej umożliwiające operacje algebraiczne na
powyższych parametrach. Oczywiście można napisać analogiczne równanie dla składowych wzdłuż
osi Z (w sytuacji ruchu trójwymiarowego).
Do czego mogą się przydać powyższe równania? Uwierz, że opisują one każdy rodzaj ruchu!
Poniżej dwa przykłady
Rozpatrzmy przykład ruchu ze stałą wartością prędkości wzdłuż osi X. Oznacza to, że wartość
jest stała. Mamy
zatem RUCH JEDNOSTAJNY.
Napiszmy jedno z wcześniejszych równań:
Wykonajmy proste przekształcenie:
30
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
Teraz przecałkujmy równanie obustronnie:
Co daje:
Po prostym przekształceniu:
…otrzymujemy znany wzór na położenie (drogę)
w ruchu jednostajnym!
Dodajmy, że
pełni tutaj rolę stałego położenia początkowego (w momencie gdy czas
).
Zauważ, że jeżeli zwrot wektora prędkości byłby przeciwnie skierowany do osi X, wówczas przed wartością składowej
postawimy minus:
…co daje natychmiast wzór na położenie w sytuacji odwrotnego zwrotu prędkości.
Teraz weźmy przykład ruchu ze stałą wartością przyspieszenia wzdłuż osi X. Oznacza to, że wartość
jest stała.
Mamy zatem ruch JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY.
Napiszmy jedno z wcześniejszych równań:
Wykonajmy proste przekształcenie:
Teraz przecałkujmy równanie obustronnie:
Co daje:
Po prostym przekształceniu:
…otrzymujemy znany wzór na prędkość
w ruchu jednostajnie przyspieszonym!
31
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
Dodajmy, że
pełni tutaj rolę stałej prędkości początkowej (w momencie gdy czas
).
Zauważ, że jeżeli zwrot wektora przyspieszenia byłby przeciwnie skierowany do osi X, wówczas przed wartością
składowej
postawimy minus:
…co daje natychmiast wzór na prędkość w ruchu jednostajnie opóźnionym!
Wiemy jednocześnie, że składowa prędkości jest pochodną składowej wektora wodzącego (po czasie):
.
Podstawmy to równanie pod uzyskany wcześniej wzór na prędkość
w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
Wykonajmy proste przekształcenie:
Teraz przecałkujmy równanie obustronnie (pamiętając, że
jest wielkością stałą):
Co daje:
Po prostym przekształceniu:
Otrzymujemy znany wzór na położenie (drogę)
w ruchu jednostajnie przyspieszonym.
Dodajmy, że podobnie jak poprzednio
pełni tutaj rolę stałego położenia początkowego a
prędkości
początkowej (w momencie gdy czas
).
Analogicznie jak wcześniej możemy zmieniać znaki przy wartościach stosownych składowych w zależności od zwrotu
ich wektorów i osi X.
Jak widzisz znane ze szkoły średniej wzory okazują się prostymi matematycznymi konsekwencjami
zależności pomiędzy składowymi wektora wodzącego, prędkości i przyspieszenia (
). Podkreślmy, że wzory te można zastosować do każdego, nawet najbardziej skomplikowanego
ruchu. Oczywiście równolegle wzdłuż innych osi (Y, Z) mogą realizować się odmienne typy
32
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
ruchów. Wówczas analogiczne rachunki prowadzimy z osobna dla każdej osi. Na końcu uzyskane
składowe można wektorowo posumować i otrzymać całkowite wartości stosownych wektorów dla
dowolnej ilości rozmiarów przestrzeni.