Model dynamiczny (cały wykład 3)

Stan systemu - najmniejsza liczba danych o systemie w danej chwili, która wraz z wartościami wejściowymi od tej chwili pozwala
określić stan i wielkości wyjściowe modelu w przyszłości

Zmienne stanu – taki (minimalny) zestaw zmiennych, których znajomość w danej chwili zawiera całą informację o przeszłości
systemu

Wektor stanu X=[ x1 x2 x3 … xn]

T

– wektor zmiennych stanu

Przestrzeń stanów – n-wymiarowa przestrzeń, w której każdy stan jest przedstawiony jako punkt

Parametry systemu – dodatkowe czynniki opisujące specyfikę działania systemu



techniczne – różnice pomiędzy poszczególnymi systemami działającymi w tych samych warunkach



środowiska i warunków działania – różnice pomiędzy warunkami działania tego samego systemu

System dynamiczny zdefiniowany tak:

Można zapisać za pomocą równania stanu (układ rów. Różniczkowych 1. rzędu)

Oraz równania wyjścia

Etapy budowy modelu:



wybór wielkości bilansowych,



ułożenie równań bilansowych,



wybór wielkości stanu,



ułożenie równań stanu,



określenie wielkości wyjściowych.

Lagrange, Euler, różniczkowanie

Zasada najmniejszego działania (wariacyjna Hamiltona):
Najbardziej ogólne sformułowanie praw ruchu systemów mechanicznych.
Dla systemu konserwatywnego (bez strat energii) można sformułować funkcję Lagrange’a (stanu) L(q, ̇,t) spełniającą warunek:
przebieg q(t) od q

1

do q

2

odbywa się tak, że całka (S – działanie)

∫ ( ̇ )

przyjmuje wartość minimalną.

Równania Eulera-Lagrange’a – powstają z zasady najmniejszego działania
Tworzą układ N równań różniczkowych zwyczajnych 2. rzędu. Równania uzupełnione o 2N warunków początkowych
jednoznacznie określają równania ruchu konserwatywnego systemu mechanicznego. Wyrażają drugie prawo Newtona –
równowagi sił.

N - liczba stopni swobody systemu = liczbie wsp. uogólnionych = liczbie prędkości uogólnionych
q

k

- współrzędne uogólnione, niezależne parametry jednoznacznie opisujące położenie systemu

̇

- prędkości uogólnione

Q

k

- siła uogólniona związana ze współrzędną uogólnioną q

k

T - energia kinetyczna systemu mechanicznego T

Dla konserwatywnych systemów mechanicznych (ruch w polu potencjalnym – siły są potencjalne)

T – energia kinetyczna
U – energia potencjalna systemu


Równania różniczkowe:

Podstawianie w równaniach różniczkowych:

Rozwiązaniem równania różniczkowego nazywamy dowolną funkcję y=y(x) spełniającą to równanie w pewnym przedziale.
Rozwiązanie ogólne to takie, które zawiera n dowolnych stałych c

1

… c

n

tak, ze że możemy na nie nałożyć n warunków

początkowych
Rozwiązanie szczególne mamy wtedy, kiedy mamy wartości w/w stałych

PRZEPATRZEĆ WYKŁAD 4 str. 28-end i nauczyć się metod

Przekształcenie Laplace’a

Operatory – odwzorowują wielkości wejściowe będące funkcjami (np. czasu) na inne funkcje (tego samego – np. czasu)
reprezentujące wielkości wyjściowe. Pozwalają w ten sposób operować na liczbach zamiast funkcji.

Przekształcenie Laplace’a – operator przekształcający funkcję f(s) zmiennej rzeczywistej na funkcję F(s) zmiennej zespolonej

f(t) ciągła,
f(t)=0 dla t<0,
wartości ograniczone

Odwrotne przekształcenie Laplace’a – znając transformatę funkcji F(s) możemy wyznaczyć funkcję f(s)

Wykorzystanie transformaty Laplace'a umożliwia:



rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych o stałych współczynnikach,



rozwiązywanie niektórych równań różniczkowych cząstkowych,



rozwiązywanie pewnych klas równań całkowych czy też różniczkowo-całkowych,



badanie odpowiedzi impulsowej układu oraz badanie stabilności układu

Różniczkowanie oryginału:

Impuls Diraca i skok jednostkowy:

Ostatnia wartość z tabelki wzorów (mam nadzieję, że jakby co, to ją po prostu da)

Transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa G(s) to stosunek transformat Laplace’a sygnału wyjściowego Y(s) i sygnału wejściowego U(s), przy
założeniu, że wszystkie warunki początkowe są zerowe.

Transmitancja operatorowa charakteryzuje odpowiedź modelu na pewne standardowe sygnały wejściowe, np. odpowiedź
modelu na skok jednostkowy otrzymamy dzieląc transmitancję przez operator s.