ROZWIĄZANIA ZADAŃ Z KOLOKWIUM 2

Kolokwium 2 A

1.

Kula o masie m

1

porusza się z szybkością v

1

naprzeciw kuli o masie m

2

=2m

1

poruszającej się z szybkością v

2

.

Znaleźd prędkości w

1

i w

2

obu kul po centralnym i sprężystym zderzeniu.

Rozwiązanie: stosujemy zasadę zachowania pędu:

, jeśli zderzenie centralne, to

kule poruszają się wzdłuż prostej:

(1) (znaki przy

są nieistotne, bo z

obliczeo dostaniemy wyrażenia, z których wywnioskujemy, jaki zwrot będą miały te prędkości!). Zderzenie

sprężyste, więc energia kinetyczna zachowana:

(2). Przekształcamy

równania (1) i (2) do postaci:

(1’) i

(2’).

Dzielimy stronami (2’) i (1’) dostając:

(3). Rozwiązujemy układ równao liniowych (1’) i (3):

.

2. Proton ( ładunek +e) zbliża się do nieruchomego jądra atomowego o dużej
masie i ładunku +Ze (e – ładunek elementarny, Z – liczba atomowa). Gdyby
cząstka nie podlegała oddziaływaniom, to minęłaby jądro w odległości b. Siły
odpychania elektrostatycznego odpowiedzialne są jednak za zakrzywienie toru
cząstki. Znajdź odległośd największego zbliżenia dla rzeczywistej orbity R, jeśli
znana jest szybkośd cząstki v

0

w nieskooczenie wielkiej odległości od jądra.

(Przyjmij, że masa jądra jest tak duża, że można pominąć jego energię odrzutu i
jądro pozostaje nieruchome.) Polecenia: napisz, z jakich zasad zachowania korzystasz i uzasadnij dlaczego.

Rozwiązanie: Ruch protonu w polu siły kulombowskiej:

, która jest siłą centralną więc

zachowawczą i energia mechaniczne jest zachowana:

. (Wyprowadzenie wyrażenia

na energię potencjalną jak na wykładzie dla siły grawitacji). Dla siły centralnej

(dlaczego?) i moment pędu jest zachowany:

, skąd

(dlaczego pojawiło się „b”?).

Rozwiązujemy układ równao i dostajemy:

.

3. Punkt materialny uczestniczy jednocześnie w dwóch, wzajemnie prostopadłych drganiach harmonicznych
opisanych równaniami

i

. Wyznacz równanie toru tego punktu i naszkicuj go.

Rozwiązanie: Należy z równao wyeliminowad czas t. Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej:

, aby w wyrażeniu na y zmienid argument funkcji, następnie podnosimy wyrażenie na x

do kwadratu i eliminujemy czas z y. Dostajemy równanie paraboli:

. Z warunków podanych w

temacie łatwo wywnioskowad w jakich granicach x i y będzie odbywał się ruch punktu (-2>x>+2 i -1>y>+1) i
naszkicowad jego tor.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Kolokwium 2 B

1. W przestrzeni kosmicznej doszło do niesprężystego zderzenia meteorytu o masie m

1

=20,0kg z satelitą o masie

m

2

=500kg . Znajdź wektor prędkości satelity

2

v



, jeśli wartośd prędkości

1

v



meteorytu wynosiła 1000m/s, a po zderzeniu (meteoryt ugrzązł w

satelicie) wrak satelity poruszał się z szybkością 66,6m/s pod kątem 30

o

do

kierunku początkowego ruchu meteorytu.

Rozwiązanie: zderzenie jest niesprężyste, więc tylko korzystamy z zasady
zachowania pędu:

. Obieramy układ współrzędnych kart. i

przechodzimy do skalarnych równao dla każdego z kierunków:

jądro

p

tor

v

0

b

R=?

x

y

v

2x

v

2y

m

1

+m

2

m

2

w

y

m

1

w

x

, (1)

. (2)

Z (2) :

m/s,

z(1) :

m/s,

,

.

2. Dziewczyna o masie m stoi na brzegu karuzeli (promieniu R i momencie bezwładności ), która się nie porusza.
Dziewczyna rzuca kamieo o masie M w kierunku poziomym, stycznie do zewnętrznego promienia karuzeli z
szybkością względem podłoża. Jaka jest szybkośd kątowa karuzeli po wyrzuceniu kamienia? A szybkośd liniowa
dziewczyny?

Rozwiązanie: Dla układu dziewczyna-kamieo-karuzela początkowy moment pędu

. Wypadkowy moment

siły dla układu

, więc mom. pędu

. Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu:

,

traktujemy dziewczynę jak punkt materialny o momencie bezwładności

:

, (suma momentów pędu karuzeli+dziewczyny +kamienia, nie korzystamy z

tw.Steinera!).
Skalarnie:

, a stąd:

oraz

.

3. Częstośd kołowa drgao kulki stalowej o promieniu r i gęstości



, zawieszonej na sprężynie, wynosi w powietrzu





, a w cieczy



. Zapisz równanie ruchu kulki w cieczy. (Wskazówka: wartośd siły lepkości dana jest wzorem

.) Jaką postad ma jego rozwiązanie

?Wyznacz współczynnik lepkości cieczy .

Rozwiązanie: Równanie drgao tłumionych i postad jego rozwiązania były podane na wykładzie! Więc nie piszę, ale
za tę częśd rozwiązania były 3 punkty!

Częstośd kołowa oscylatora tłumionego:

, gdzie

, stąd:

.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Kolokwium 2 C

1. Pocisk lecący poziomo z prędkością v =100m/s rozrywa się na dwie równe części na wysokości h = 40,0 m.
Jedna częśd spada na ziemię po upływie czasu t = 1,0 s dokładnie pod punktem wybuchu. Obliczyd wielkośd i
kierunek prędkości drugiej części pocisku zaraz po rozerwaniu. (Wskazówka: potraktuj pocisk, a następnie jego
części jako układ odosobniony i zastosuj zasadę zachowania pędu. Wykorzystaj wzór na drogę w spadku
swobodnym.)

Rozwiązanie: Z zasady zachowania pędu:

.

Wzdłuż osi

(1) i

(2), przy

i warunku dla

spadającej części

, dostajemy z (2):

/t =35m/s =

.

Z (1) i (2):

= 0,175,

m/s i

m/s.

2. Jaś stoi na stoliku, który może się obracad wokół pionowej osi. W swoich rękach trzyma koło rowerowe. Koło
obraca się dokoła pionowej osi z szybkością kątową

. Jaś będąc sam w spoczynku stara się zmienid kierunek

obrotu koła odchylając jego oś obrotu o kąt 180

0

. Wytłumacz jak i dlaczego zmieni się ruch tego układu.

Rozwiązanie: Moment pędu układu Jaś-stolik-koło jest zachowany. Początkowo obraca się tylko koło i jego

moment pędu

. Po obróceniu koła o 180

0

jego moment pędu wynosi

(tę samą wartośd i kierunek lecz

przeciwny zwrot), zatem stolik z Jasiem musiały zyskad moment pędu

, aby moment pędu układu był

zachowany:

. Jeśli początkowo koło obracało się przeciwnie do wskazówek zegara, to po jego

obróceniu o 180

0

stolik z Jasiem zaczną się obracad również przeciwnie do wskazówek zegara. Znalezienie

prędkości kątowej stolika wymaga znajomości momentów bezwładności Jasia i stolika. Ogólnie:

i stąd

.

3. Klocek o masie M przymocowany jest do jednego kooca sprężyny jak na rys. Napisz
równanie ruchu tego klocka po wychyleniu go z położenia równowagi o

(opory ruchu

zaniedbujemy). Znajdź zależnośd wychylenia od czasu

. Oblicz energię kinetyczną i

potencjalną klocka i udowodnij, że jego energia mechaniczna jest zachowana.

Rozwiązanie: Polecam zapoznad się z przykładem na str. 13 z wykładu 5!

Kolokwium 2 D

1. Dwa satelity, każdy o masie m, mają byd wysłane na kołowe orbity dokoła środka Ziemi. Satelita A ma krążyd na
wysokości R, a satelita B na wysokości 3R nad powierzchnią Ziemi. a. Jaki jest stosunek energii potencjalnych
satelitów A i B na orbitach (wyprowadź wzór na energię potencjalną!)? b. Jaki jest stosunek ich energii
kinetycznych? c. Który z nich ma większą energię całkowitą? Czy energia mechaniczna satelity na orbicie jest
zachowana i dlaczego? R – promieo Ziemi, M- masa Ziemi dane.

Rozwiązanie: a. Obliczamy energię potencjalną (str.5 w.5!)

.

Odpowiednio dla satelity A i B:

,

i

.

b. Można pokazad, że energia kinetyczna satelity

. Wystarczy zapisad wyrażenie na siłę

dośrodkową:

i stąd dostajemy

. Podobnie obliczmy, że

.

Całkowitą energię dostaniemy sumując energie: kinetyczną i potencjalną:

,

porównując pamiętajmy, że energia jest ujemna! Ponieważ siła grawitacji jest siłą centralną, więc zachowawczą i
energia mechaniczna (całkowita) każdego satelity na orbicie jest stała.

2. Kulkę przywiązano do linki, która przechodzi przez pustą rurkę i wprawiono w ruch. Kulka obracała się w
płaszczyźnie poziomej po okręgu o promieniu z szybkością . Pociągając za linkę w dół skrócono promieo do
wartości . Znaleźd wartośd prędkości liniowej

oraz kątowej

. Z jakiego prawa korzystamy? Uzasadnid, że

jest ono spełnione w tych warunkach.

Rozwiązanie: Siła, która działa na kulkę jest siłą centralną, naciągu linki. Moment siły

i

. Stąd

Jeśli moment bezwładności kulki

, to z zasady zachowania pędu:

wynika, że

.

3. Klocek o masie M przyczepiony za pośrednictwem dwu nieważkich sprężyn do
sztywnych ścianek, ślizga się po poziomej powierzchni. Każda ze sprężyn ma
współczynnik sprężystości k i długośd swobodną l

0

, a w położeniu równowagi (jak

na rysunku) osiąga długośd l. Napisz równanie ruchu klocka, znajdź jego
rozwiązanie (pamiętaj o warunkach początkowych) oraz okres drgao.

Rozwiązanie: Polecam zapoznad się z rozwiązaniem tego zadania zrobionym na dwiczeniach. Wszystkie grupy go
przerobiły! Ewentualnie zaglądnąd do podanych podręczników.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Kolokwium 2 E

1. Ze środka wirującej z prędkością kątową

tarczy o masie M i promieniu R wyrusza żółw i kieruje się ku

brzegowi tarczy. Kiedy żółw znajduje się na skraju tarczy, prędkośd kątowa wynosi

. Oblicz moment

bezwładności żółwia względem osi przechodzącej przez jego środek masy, I

0

. Masa żółwia – m.

Rozwiązanie: Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu:

. Moment bezwładności tarczy

, a moment bezwł. żółwia na brzegu tarczy obliczamy z tw. Steinera

.

. Stąd obliczamy

2. Sprężyna o współczynniku sprężystości k, której masę pomijamy, umocowana jest
poziomo. Ze sprężyną tą zderza się ciało o masie m powodując jej ściśnięcie o

, licząc

od położenia równowagi. Obliczyd prędkośd ciała w chwili zderzenia, jeśli współczynnik
tarcia kinetycznego między ciałem a poziomą powierzchnią, równy jest f.

Rozwiązanie: Energia mechaniczna nie jest zachowana, bo występuje siła tarcia, siła niezachowawcza. Obliczamy

pracę tej siły:

. Częśd energii kinetycznej ciała zostanie

rozproszona i

,

, stąd obliczamy

.

3. a. Zbadad ruch kulki materialnej (napisad równanie ruchu) poruszającej się wzdłuż prostoliniowego tunelu

przechodzącego przez środek Ziemi, jeśli siła grawitacji działającej w nim na kulkę wynosi

, M, R

– odpowiedni masa i promieo Ziemi, r- jest odległością od środka Ziemi. Prędkośd początkowa kulki na
powierzchni wynosi zero. b. Znaleźd zależnośd położenia kulki względem środka Ziemi od czasu, r(t). c. Obliczyd
czas, po którym kulka znajdzie się w środku Ziemi i prędkośd, z jaką go minie.

Rozwiązanie: a. zauważmy, że siła wewnątrz tunelu jest proporcjonalna do r i jest to siła analogicznej postaci jak

siła sprężysta. Równanie ruchu ma postad:

, czyli

. Dostajemy równanie

oscylatora harmonicznego:

, gdzie

.

b. Ogólnym rozwiązaniem równania ruchu jest funkcja

. Z warunków początkowych:

i

,

znajdujemy

.

c. Kulka znajdzie się w środku tunelu po upływie t=T/4 i jej szybkośd

.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Kolokwium 2 F

1. Nieważka sprężyna może byd ściśnięta o pod wpływem siły . Ta sama sprężyna została umieszczona przy
podstawie doskonale gładkiej równi pochyłej, o kącie nachylenia



. Ciało o masie M, pozostające początkowo w

spoczynku na szczycie równi, zaczyna ześlizgiwad się w dół. Ciało to zatrzymuje się natychmiast po ściśnięciu
sprężyny o . (a) Jaką odległośd przebywa ciało do chwili zatrzymania się? (b) Jaką prędkośd ma to ciało
bezpośrednio przed zetknięciem ze sprężyną?

Rozwiązanie: Z warunku równowagi siły sprężystej i obliczamy k:

,

. Z tematu zadania

wynika, że nie występuje siła tarcia, więc energia mechaniczna jest zachowana (w polu grawitacyjnym).

i początkowa energia potencjalna zamienia się na kinetyczną, a ta z kolei na energie potencjalna

sprężystości.

a.

,

. Obliczamy s:

.

b.

,

.

2. Dziewczyna o masie m stoi na brzegu karuzeli (promieniu R i momencie bezwładności ), która się nie porusza.
Dziewczyna rzuca kamieo o masie M w kierunku poziomym, stycznie do zewnętrznego promienia karuzeli z
szybkością względem podłoża. Jaka jest szybkośd kątowa karuzeli po wyrzuceniu kamienia? A szybkośd liniowa
dziewczyny?

Patrz zadanie 2 z tematów B.

3. Okres drgao tłumionych T=4,0s, logarytmiczny dekrement tłumienia drgao



=1,6, a faza początkowa jest równa

zeru. Wychylenie punktu w chwili t=T/4 jest równe 4,5cm. Napisz równanie ruchu drgao i znajdź jego rozwiązanie.

Rozwiązanie: Równanie ruchu drgao tłumionych i postad jego rozwiązania były podane na wykładzie! Zadanie było
przerabiane na dwiczeniach!

Logarytmiczny dekrement tłumienia drgao:

, stąd obliczmy współczynnik tłumienia

.

Częstośd kołowa oscylatora tłumionego

, gdzie

rad



s

-1

.

rad



s

-1

, A=6,7cm. Rozwiązanie równania ruchu:

.