1. Rola i miejsce fizyki wśród innych nauk. Fizyka a inne nauki przyrodnicze i technika; fizyka a
nauki humanistyczne. Podać na czym polega metoda badawcza fizyki i jej związek z
matematyką.

Fizyka zajmuje znaczące miejsce wśród innych nauk przyrodniczych. Podstawowe prawa

rządzące mikromaterią pozwalają na wyjaśnienie zjawisk występujących zarówno w świecie wielkości
mikroskopowych jak i w skali kosmicznej. Te same prawa decydują o budowie atomów i cząsteczek
chemicznych, jak i o budowie i działaniu organizmów żywych, oraz o budowie i strukturze gwiazd i
galaktyk. Dlatego nauki szczegółowe zajmujące się tymi zagadnieniami, takie jak: astronomia,
chemia, biologia a nawet medycyna mogą mieć swoje korzenie w fizyce.

Jaki jest związek fizyki z techniką? Technika opierając się na zrozumieniu zjawisk

fizycznych – przyczyn i skutków – zmienia otaczający świat człowieka w taki sposób, aby uczynić go
stosowniejszym do życia w nim, aby zwiększyć wygodę i komfort. Zatem technika stosuje prawa
przyrody w praktycznej działalności. W większości wypadków technika opiera się na fizyce i bez
znajomości fizyki nie mogłaby w ogóle istnieć we współczesnym kształcie. Bez znajomości fizyki nie
mogły by istnieć takie gałęzie techniki współczesnej, jak elektrotechnika, elektronika, teletechnika,
lotnictwo, kosmonautyka, nie mówiąc już o technice laserowej, czy energetyce jądrowej.
Nie ulega wątpliwości, że nowe odkrycia fizyki, prędzej czy później, zostaną wdrożone do techniki.
Tak było za czasów Newtona, Kelvina, Maxwella, i jest obecnie.

Fizyka ma także słaby związek z naukami humanistycznymi, głównie z filozofią. Poprzez

badania fizyka tworzy nowe teorie na temat miejsca człowieka we wszechświecie a także początku
ludzkości. Fizyka to także teorie futurologiczne.

Fizyka jest najbardziej ścisłą spośród wszystkich nauk przyrodniczych. Ścisłość tę zawdzięcza

swej metodzie badawczej opartej w dużej mierze na matematyce, która służy jej do opisu zjawisk.
Podstawową cechą opisywanych przez fizykę zjawisk musi być ich weryfikowalność doświadczalna.
Taki sposób podejścia warunkuje logikę opartą na matematyce.

2. Podać znane, fundamentalne zasady zachowania Jaki jest związek tych zasad z podstawowymi
symetriami czasu i przestrzeni, twierdzenie Noethera. Wymienić cztery oddziaływania
podstawowe występujące w przyrodzie oraz podać ich względne natężenie i zakres.

1. Zasada zachowania pędu:

Całkowity pęd układu odosobnionego jest stały i nie ulega zmianie podczas dowolnych
procesów zachodzących układzie.

v

m

p =

Układ odosobniony to taki na który nie działają żadne siły lub są one pomijalnie małe.
Z.z.p. wynika z fundamentalnej symetrii – translacji – przestrzeni.
Przestrzeń jest symetryczna ze względu na translację – oznacza to że jest taka sama w
określonym miejscu jak i w miejscu przesuniętym o dowolny odcinek.

2. Zasada zachowania momentu pędu.

Całkowity moment pędu układu odosobnionego jest stały i nie ulega zmianie podczas
dowolnych procesów zachodzących w układzie

ω

I

L =

Z.z.m.p. wynika z fundamentalnej symetrii – izotropowości – przestrzeni. (przestrzeń jest taka

sama we wszystkich kierunkach)

3. Zasada zachowania energii.

W układzie odosobnionym suma wszystkich rodzajów energii jest stała.
E= const.

2

Z.z.e wynika z jednorodności czasu. Czas wykazuje symetrię jednorodności. Upływ czasu w
określonym układzie inercjalnym nie zależy od położenia chwili bieżącej na osi czasu.

Typ oddziaływania

Względne natężenie

Zasięg

Jądrowe (silne)

1

krótki (ok. 10^(-15)m)

Elektromagnetyczne

ok. 10^(-2)

długi (∞)

Słabe

ok. 10^(-5)

krótki (ok. 10^(-15)m)

Grawitacyjne

ok. 10^(-38)

długi (∞)

3. Względność ruchu, układy inercjalne i nieinercjalne. W jaki sposób można stwierdzić czy
znajdujemy się w układzie inercjalnym, czy nieinercjalnym? Transformacje Galileusza, a
transformacje Lorentza.

Ruch jest względny. Jego postrzeganie zależy od układu odniesienia. (dla ludzi na Ziemi to Słońce
porusza się na niebie, a nie Ziemia porusza się wokół Słońca; dla przechodnia tramwaj porusza się
ruchem jednostajnym z szybkością v, a dla pasażera tegoż tramwaju, tramwaj pozostaje w spoczynku,
tymczasem dla pasażera jadącego autem z przeciwka z szybkością v, tramwaj porusza się z szybkością
2v).
Układ inercjalny – układ który spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym (bez przyspieszenia) –
spełniona jest I zasada dynamiki Newtona.
Układ nieinercjalny – układ, który porusza się z przyspieszeniem – I zasada dynamiki Newtona jest
niespełniona – działają siły bezwładności.
Sprawdzając czy działają siły bezwładności można przekonać się o inercjalności, bądź nie, układu w
którym się znajdujemy (na przykład odchylenie poziomu wody w butelce trzymanej w skręcającym,
czy hamującym trolejbusie).
Transformacje Galileusza:

x’=x-vt,

y’=y, z’=z, t’=t.

Transformacje Lorentza:

2

2

1

c

v

vt

x

x

−

−

=

′

,

y

y =

′

,

z

z =

′

,

2

2

2

1

c

v

c

vx

t

t

−

−

=

′

Wszystkie wzory relatywistyczne, w tym transformacje Lorentza, przy ilorazie v

2

/c

2

dążącym do zera,

przechodzą we wzory klasyczne, co oznacza, że dla niewielkich prędkości zdecydowanie
„wystarczają” wzory klasyczne, w tym transformacje Galileusza. Kwadrat w liczniku i mianowniku
potęgują dążenie do zera tegoż ilorazu dla małych prędkości. Wtedy współczynnik Lorentza dąży do
jedności, przez co cały wzór relatywistyczny dąży do wzoru klasycznego.
Niepoprawność transformacji Galileusza dla dużych prędkości wynika z tego, że przyjął on, że czas
upływa jednakowo w różnych układach, tymczasem czas i przestrzeń są wzajemnie zależne od siebie.
Niepoprawność wzorów klasycznych można łatwo wykazać na przykład dla formuły składania
prędkości (wynikającej z transformacji Galileusza):
klasycznie:
u’ = u + v
tymczasem:
c + v → c

4. Postulaty Einsteina w szczególnej teorii względności i transformacje Lorentza.
Szczególna teoria względności opiera się na dwóch postulatach. Treść pierwszego jest następująca:
Wszelkie układy inercjalne są równoważne i żadnego z nich nie da się wyróżnić za pomocą
jakiegokolwiek zjawiska (mechanicznego, elektromagnetycznego itd.) innymi słowy: nie można
stwierdzić bezwzględności spoczynku jakiegokolwiek układu. Drugim postulatem jest stwierdzenie, że:

3

Maksymalną możliwą prędkością w przyrodzie jest prędkość światła w próżni, której wartość jest stała
i wynosi c. Prędkość ta jest uniwersalną stała fizyczną.
Transformacje Lorentza: (występują w poprzednim pytaniu)



5. Podać wzór relatywistyczny na składanie prędkości. Porównać ze wzorem klasycznym.
Otrzymane wartości zestawić na wykresie.

Klasyczne dodawanie prędkości:

u = u’ + v

gdzie:
u – prędkość w układzie U
u’ – w układzie U’
(jeden układ porusza się względem drugiego)

Relatywistyczne dodawanie prędkości:
(por. transformacje Lorentza)

/jeżeli prędkości mają różne zwroty (niejednakowe, a nie
jednakowe (niezły żarcik) ) w miejsce minusów we
wzorze należy wstawić plusy/

Wzór relatywistyczny jest ogólniejszy od wzoru
klasycznego. Dla małych w porównaniu z prędkością
światła prędkości oba wzory dają zbliżone wyniki.

6. Względność pomiarów przestrzeni i czasu. Wyprowadzić wzór na dylatację czasu.
Przeprowadzić dyskusję wzorów oraz omówić ich znaczenie.

Względność pomiarów czasu

Niech w punkcie x’ układu U’ znajduje się
zegar, którzy mierzy przebieg czasu jakiegoś
zjawiska. Oznaczmy czas trwania tego zjawiska

mierzony przez zegar w układzie U’ przez

0

t

∆

i

mijany zegar w układzie U przez

t

∆

. Zatem

'

1

'
2

0

t

t

t

−

=

∆

. Zegar ruchomy w chwili

początkowej

1

t

znajdował się w położeniu

1

x

,

zaś w chwili końcowej

2

t

- w położeniu

2

x

. Z

transformacji Lorentza mamy:

4

2

2

1

2

1

'

1

1

c

v

x

c

v

t

t

−

−

=

2

2

2

2

2

'
2

1

c

v

x

c

v

t

t

−

−

=

Po odjęciu stronami tych równości otrzymamy:

(

)

2

2

1

2

2

0

1

c

v

x

x

c

v

t

t

−

−

−

∆

=

∆

ale ponieważ

t

v

x

x

∆

=

−

1

2

, wobec tego

2

2

0

1

c

v

t

t

−

∆

=

∆

czyli

t

t

∆

<

∆

0

, zatem czas trwania jakiegoś zjawiska zachodzącego w pewnym punkcie jest

najkrótszy w układzie, względem którego ten punkt spoczywa. Jest to właśnie relatywistyczny efekt
wydłużenia czasu, tzw. dylatacja czasu. Rysunek przedstawia konstrukcję graficzną unaoczniającą
poglądowo dylatację czasu.

Względność pomiarów przestrzennych

Względność wymiarów przestrzennych ciała mierzonego w różnych układach odniesienia jest
konsekwencją transformacji Lorentza. Rozważmy pręt spoczywający w układzie U’ i mający w tym
układzie długość

0

l

, którą w łatwy sposób możemy zmierzyć, za pomocą linijki lub określając

współrzędne końców.
Zastanówmy się teraz, jak zmierzyć długość tego samego pręta, gdy jest on w ruchu względem innego
układu odniesienia, powiedzmy, względem układu U. Oczywiście, należy wyznaczyć współrzędne
jego końców w układzie U. Jednakże, współrzędne te, dla ruchomego pręta, ciągle się zmieniają. Jasną
jest rzeczą, że współrzędne końców pręta powinny być wyznaczone jednocześnie. W innym
przypadku, pomiar współrzędnych chwilowych położeń końców w różnym czasie prowadziłby do
dowolności i moglibyśmy wtedy otrzymać długość pręta dowolną, jaką tylko byśmy sobie zażyczyli.
Zatem należy przyjąć, że przez długość pręta ruchomego będziemy rozumieć odległość między
współrzędnymi jego końców wyznaczonych jednocześnie.
Powiedzmy, że pręt jest umieszczony na osi

'

x

układu

'

U

w ten sposób, że jeden koniec znajduje się

w punkcie

0

'

=

x

, natomiast drugi koniec w punkcie

0

'

l

x =

. Zatem

0

l

jest „długością własną” pręta,

czyli długością pręta spoczywającego.
Położenie końców pręta w układzie U wyznaczymy w jednakowym momencie czasu t=0. Wtedy
początek pręta znajdzie się w punkcie x=0, zaś jego koniec w punkcie x=l ; l jest teraz długością pręta
ruchomego. Wstawiając t=0 do transformacji współrzędnej x’, otrzymujemy

l

x

l

x

=

=

0

'

5

2

2

0

2

2

2

2

1

1

'

1

'

c

v

l

l

c

v

x

x

c

v

vt

x

x

−

=

−

=

→

−

−

=

Jest to znany wzór na skrócenie Lorentza.
Widzimy więc, że długość

0

l

obserwator w układzie U oceni jako krótszą. Ogólnie, przy tej zasadzie

pomiaru długości, możemy powiedzieć, że podłużne liniowe rozmiary ciała są największe w tym
układzie, względem którego ciało spoczywa.

7. Dynamika relatywistyczna. Wzory relatywistyczne na pęd i na siłę, energię całkowitą i
kinetyczną. Porównać ze wzorami klasycznymi.
Wielkości fizyczne

Wzór klasyczny

Wzór relatywistyczny

Pęd

2

2

1

c

v

v

m

p

−

=

→

→

Siła

ma

F =

p

dt

d

F =

,

























−

=

2

2

1

c

v

mv

dt

d

F

Energia całkowita

2

2

2

1

c

v

mc

E

−

=

Energia kinetyczna

2

2

mv

E

k

=

2

2

2

2

1

mc

c

v

mc

E

k

−

−

=

8. Energia kinetyczna, energia całkowita i energia spoczynkowa ciała. Interpretacja wzoru

2

mc

E

=

. Masa w teorii względności. Masa i pęd fotonów. Co to jest defekt masy?

Aby utrzymać w mocy w mechanice relatywistycznej słuszność zasady zachowania energii, między
masą a energią ciała musi zachodzić związek

2

mc

E

=

.

Jest to słynne równanie Einsteina, wyrażające równoważność masy i energii.

2

0

0

c

m

E

=

- energia spoczynkowa, spoczywające ciało ma zawsze pewną energię związaną ze swoją

masą. Tutaj masa ciała jest równa masie spoczynkowej.

0

K

E

E

E

−

=

- energia kinetyczna ciała równa jest różnicy energii całkowitej E ciała w ruchu i jego

energii spoczynkowej. Według mechaniki relatywistycznej energia kinetyczna jest związana z
przyrostem masy ciała.

Pęd w mechanice relatywistycznej zdefiniowany jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
p=mv, ale nie jest on już ściśle proporcjonalny do prędkości, ponieważ masa jest funkcją prędkości.

mv

p =

6

Aby pozostała słuszna zasada zachowania pędu, masa ciała musi zależeć od prędkości wg wzoru

2

0

c

v

1

m

m













−

=

, gdzie

0

m

oznacza masę spoczynkową ciała, czyli masę ciała nieruchomego.

Zachodzi związek pomiędzy energią, pędem i masą:

4

2

2

2

2

c

m

c

p

E

=

−

Deficyt masy (niedobór masy, defekt masy) - różnica ∆m między sumą mas nukleonów wchodzących
w skład jądra atomowego, a masą jądra. Iloczyn niedoboru masy i kwadratu prędkości światła w
próżni jest równy energii wiązania jądra, ∆E.

∆E = ∆mc2

gdzie:

∆m = Nm

n

+ Zm

p

− m

E( Z,N)

gdzie:

• m

p

=1,00727 - masa protonu

• m

n

=1,00866 - masa neutronu

• m

E

- masa jądra atomowego

• c = 3·10

8

m/s - prędkość światła w próżni

Masa nie jest addytywna, tzn. masa ciała nie jest równa sumie mas jego części składowych!

9. Relatywistyczny związek między pędem i energią. Podać interpretację geometryczną tego
związku w oparciu o pojęcie czteroWEKTORA. Interpretacja geometryczna energii
spoczynkowej, energii całkowitej, pędu oraz masy.

Aby uzyskać relatywistyczny związek między pędem a energią przekształca się wzór relatywistyczny
na energię całkowitą:

2

2

2

1

c

v

mc

E

−

=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

)

(

1

1

)

(

1

)

(

1

c

v

mv

c

m

c

v

v

m

c

v

v

c

m

c

v

v

v

c

m

c

v

c

m

c

E

−

+

=

−

+

−

−

=

−

+

−

=

−

=

zatem ostatecznie:

2

2

4

2

2

c

p

c

m

E

+

=

Interpretacja geometryczna w oparciu o pojęcie czterowektora:
Dokonuję się jej w oparciu o pojęcie tzw. czterowektora pędu. Odpowiednikiem odległości w
przestrzeni czterowymiarowej jest interwał, którego kwadrat ma postać:

(ct)

2

– x

2

– y

2

– z

2

= s

2

, lub

2

2

3

2
2

2

1

2

0

s

x

x

x

x

=

−

−

−

,

gdzie: x

0

=ct,

x

1

≡x, x

2

≡y, x

3

≡z,

Wektor pędu w zwykłej przestrzeni trójwymiarowej ma współrzędne:

τ

d

dx

m

p

1

1

=

τ

d

dx

m

p

1

1

=

τ

d

dx

m

p

1

1

=

,

gdzie τ – czas własny, niezależny od układu odniesienia

7

Czwartą współrzędną – czasową, tworzymy analogicznie:

τ

τ

τ

d

mcdt

d

ct

md

d

dx

m

p

=

=

=

)

(

0

0

, ale

korzystając z wzoru

2

2

1

1

c

v

d

dt

−

=

τ

(wyprowadzany przy okazji pędu relatywistycznego)

otrzymujemy ostatecznie:

2

2

0

1

c

v

mc

p

−

=

.

Zatem zachodzi relacja czwartej współrzędnej (czasowej) pędu z energią!:

E

c

p

1

0

=

Tworząc, na wzór interwału wyrażenie odpowiadające kwadratowi długości czteropędu

2

2
3

2
2

2

1

2

0

P

p

p

p

p

=

−

−

−

, gdzie p

1

=p

x

, p

2

=p

y

, p

3

=pz

x

, a p

0

=E/c otrzymamy:

2

2

2

2

2

2

P

p

p

p

c

E

z

y

x

=

−

−

−

Porównując wzór z wyżej wyprowadzoną relacją

2

2

4

2

2

c

p

c

m

E

+

=

otrzymujemy wniosek:

P

2

= m

2

c

2

Zatem trzy wielkości: energia, pęd i masa są związane ze sobą wspólną relacją wektorową!!!


10. Czterowymiarowa czasoprzestrzeń Minkowskiego. Interpretacja czterowymiarowa
transformacji Lorentz'a.

W równaniach transformacyjnych Galileusza czas wchodził na innych prawach niż trzy

wymiary przestrzenne. W transformacjach Lorentza, czas i przestrzeń występują razem. dzięki temu
teoria względności w miejsce przestrzeni i czasu posługuje się jednolitą czterowymiarową
czasoprzestrzenią. Poszczególne punkty w tej przestrzeni określone są przez cztery współrzędne: trzy
przestrzenne i jedną czasową. Punkty te nazywają się zdarzeniami.

Czasoprzestrzeń jest uogólnieniem trójwymiarowej zwykłej przestrzeni x, y, z. Kwadrat

"odległości" między dwoma zdarzeniami dany jest wyrażeniem:

∆s

2

=∆x

2

+∆ y

2

+∆z

2

−(c∆t)

2

Pierwiastek z powyższego wyrażenia wziętego ze znakiem przeciwnym nazywa się interwałem. Jego
postać i wartość nie ulegają zmianie przy przekształceniach Lorentza (jest niezmiennikiem
przekształceń Lorentza). Kwadrat interwału może przybierać wartości zarówno dodatnie jak i ujemne
w zależności od tego czy kwadrat “odległości” czasowej jest mniejszy czy większy od kwadratu
odległość przestrzennej.

W zależności od tego, czy oś czasową czasoprzestrzeni przyjmiemy jako rzeczywistą, czy

urojoną, mamy możliwość zbudowania czterowymiarowej czasoprzestrzeni rzeczywistej lub
zespolonej. Do opisu (zobrazowania) czterowymiarowej przestrzeni używamy przekrojów
płaszczyznami x – (ct); y – (ct) z – (ct)

Można w prosty sposób wykazać że w czasoprzestrzeni zespolonej przekształcenia Lorentza

odpowiadają obrotowi układu współrzędnych w czasoprzestrzeni. Przekształcenie współrzędnych
wynikające z ruchu postępowego jednego układu względem drugiego jest równoważne obrotowi
układu współrzędnych w czterowymiarowej czasoprzestrzeni.

W przestrzeni rzeczywistej mamy do czynienia z przejściem z układu prostokątnego do układu

ukośnokątnego, które to przejście można uznać za przeciwbieżny obrót osi czasowej z osią
przestrzenną.

8

11. Układy prostokątne i ukośnokątne w czasoprzestrzeni rzeczywistej. Interwał
czasoprzestrzenny. Na czym polega pseudoeuklidesowość czasoprzestrzeni rzeczywistej.
Hiperbola niezmiennicza.

Układy prostokątne i ukośnokątne zostały omówione przy okazji opracowywania pytania 13. Pojęcie
hiperboli niezmienniczej również zostało wspomniane w pytaniu szóstym, natomiast interwał
czasoprzestrzenny był wyjaśnione w pytaniu 10.
Pseudoeuklidesowość czasoprzestrzeni rzeczywistej wynika z braku zachowania prostokątności osi
tejże czasoprzestrzeni. W geometrii euklidesowej miejscem geometrycznym punktów jednakowo
odległych od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie (x, y) jest koło o równaniu x

2

+ y

2

= r

2

.

W przypadku płaszczyzny czasoprzestrzeni (x, ct) miejscem geometrycznym zdarzeń mających
jednakowy interwał od początku układu współrzędnych jest hiperbola, która jest określona równaniem
x

2

– (ct)

2

= ± s

2

. Jest to właśnie hiperbola niezmiennicza.

12. Co to jest „zdarzenie” i „linia świata”? Przedstawić na wykresie czasoprzestrzennym ruch
jednostajny punktu materialnego z dwoma różnymi prędkościami oraz linię świata dla światła.

Zdarzenie jest to punkt w czasoprzestrzeni. Linia świata jest to linia przedstawiona na wykresie
czasoprzestrzennym – wykresie będącym przekrojem czasoprzestrzeni płaszczyzną (x, ct). (dla mniej
wtajemniczonych czwartym wymiarem). Ruch jednostajny jest na takim wykresie reprezentowany
linią prostą, która będzie nachylona pod kątem większym od 45°. Linia nachylona pod kątem 45°
reprezentuje ruch z prędkością światła, niemożliwą do osiągnięcia przez ciało posiadające niezerową
masę, dlatego dla ciał posiadających masę linia nachylona jest pod kątem większym, a nigdy równym
bądź mniejszym od 45°.

ct

(ruch x = v

1

t

x = ct (ruch z prędkością światła)

jedno- x = v

2

t

stajny) v

1

< v

2

x

Inne możliwe linie świata:

ct

v < 0

x

0

≠ 0, x = x

0

+ vt

punkt nieruchomy

x

ruch ze zmienną prędkością


13. Zilustruj wykresem czasoprzestrzennym względność czasu i względność równoczesności.
Przeszłość i przyszłość – absolutna i względna.