1. Rola i miejsce fizyki wśród innych nauk. Fizyka a inne nauki przyrodnicze i technika; fizyka a
nauki humanistyczne. Podać na czym polega metoda badawcza fizyki i jej związek z
matematyką.
Fizyka zajmuje znaczące miejsce wśród innych nauk przyrodniczych. Podstawowe prawa
rządzące mikromaterią pozwalają na wyjaśnienie zjawisk występujących zarówno w świecie wielkości
mikroskopowych jak i w skali kosmicznej. Te same prawa decydują o budowie atomów i cząsteczek
chemicznych, jak i o budowie i działaniu organizmów Ŝywych, oraz o budowie i strukturze gwiazd i
galaktyk. Dlatego nauki szczegółowe zajmujące się tymi zagadnieniami, takie jak: astronomia,
chemia, biologia a nawet medycyna mogą mieć swoje korzenie w fizyce.
Jaki jest związek fizyki z techniką? Technika opierając się na zrozumieniu zjawisk
fizycznych – przyczyn i skutków – zmienia otaczający świat człowieka w taki sposób, aby uczynić go
stosowniejszym do Ŝycia w nim, aby zwiększyć wygodę i komfort. Zatem technika stosuje prawa
przyrody w praktycznej działalności. W większości wypadków technika opiera się na fizyce i bez
znajomości fizyki nie mogłaby w ogóle istnieć we współczesnym kształcie. Bez znajomości fizyki nie
mogły by istnieć takie gałęzie techniki współczesnej, jak elektrotechnika, elektronika, teletechnika,
lotnictwo, kosmonautyka, nie mówiąc juŜ o technice laserowej, czy energetyce jądrowej.
Nie ulega wątpliwości, Ŝe nowe odkrycia fizyki, prędzej czy później, zostaną wdroŜone do techniki.
Tak było za czasów Newtona, Kelvina, Maxwella, i jest obecnie.
Fizyka ma takŜe słaby związek z naukami humanistycznymi, głównie z filozofią. Poprzez
badania fizyka tworzy nowe teorie na temat miejsca człowieka we wszechświecie a takŜe początku
ludzkości. Fizyka to takŜe teorie futurologiczne.
Fizyka jest najbardziej ścisłą spośród wszystkich nauk przyrodniczych. Ścisłość tę zawdzięcza
swej metodzie badawczej opartej w duŜej mierze na matematyce, która słuŜy jej do opisu zjawisk.
Podstawową cechą opisywanych przez fizykę zjawisk musi być ich weryfikowalność doświadczalna.
Taki sposób podejścia warunkuje logikę opartą na matematyce.
2. Podać znane, fundamentalne zasady zachowania Jaki jest związek tych zasad z podstawowymi
symetriami czasu i przestrzeni, twierdzenie Noethera. Wymienić cztery oddziaływania
podstawowe występujące w przyrodzie oraz podać ich względne natęŜenie i zakres.
1. Zasada zachowania pędu:
Całkowity pęd układu odosobnionego jest stały i nie ulega zmianie podczas dowolnych
procesów zachodzących układzie.
v
m
p =
Układ odosobniony to taki na który nie działają Ŝadne siły lub są one pomijalnie małe.
Z.z.p. wynika z fundamentalnej symetrii – translacji – przestrzeni.
Przestrzeń jest symetryczna ze względu na translację – oznacza to Ŝe jest taka sama w
określonym miejscu jak i w miejscu przesuniętym o dowolny odcinek.
2. Zasada zachowania momentu pędu.
Całkowity moment pędu układu odosobnionego jest stały i nie ulega zmianie podczas
dowolnych procesów zachodzących w układzie
ω
I
L =
Z.z.m.p. wynika z fundamentalnej symetrii – izotropowości – przestrzeni. (przestrzeń jest taka
sama we wszystkich kierunkach)
3. Zasada zachowania energii.
W układzie odosobnionym suma wszystkich rodzajów energii jest stała.
E= const.
2
Z.z.e wynika z jednorodności czasu. Czas wykazuje symetrię jednorodności. Upływ czasu w
określonym układzie inercjalnym nie zaleŜy od połoŜenia chwili bieŜącej na osi czasu.
Typ oddziaływania
Względne natęŜenie
Zasięg
Jądrowe (silne)
1
krótki (ok. 10^(-15)m)
Elektromagnetyczne
ok. 10^(-2)
długi (∞)
Słabe
ok. 10^(-5)
krótki (ok. 10^(-15)m)
Grawitacyjne
ok. 10^(-38)
długi (∞)
3. Względność ruchu, układy inercjalne i nieinercjalne. W jaki sposób moŜna stwierdzić czy
znajdujemy się w układzie inercjalnym, czy nieinercjalnym? Transformacje Galileusza, a
transformacje Lorentza.
Ruch jest względny. Jego postrzeganie zaleŜy od układu odniesienia. (dla ludzi na Ziemi to Słońce
porusza się na niebie, a nie Ziemia porusza się wokół Słońca; dla przechodnia tramwaj porusza się
ruchem jednostajnym z szybkością v, a dla pasaŜera tegoŜ tramwaju, tramwaj pozostaje w spoczynku,
tymczasem dla pasaŜera jadącego autem z przeciwka z szybkością v, tramwaj porusza się z szybkością
2v).
Układ inercjalny – układ który spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym (bez przyspieszenia) –
spełniona jest I zasada dynamiki Newtona.
Układ nieinercjalny – układ, który porusza się z przyspieszeniem – I zasada dynamiki Newtona jest
niespełniona – działają siły bezwładności.
Sprawdzając czy działają siły bezwładności moŜna przekonać się o inercjalności, bądź nie, układu w
którym się znajdujemy (na przykład odchylenie poziomu wody w butelce trzymanej w skręcającym,
czy hamującym trolejbusie).
Transformacje Galileusza:
x’=x-vt,
y’=y, z’=z, t’=t.
Transformacje Lorentza:
2
2
1
c
v
vt
x
x
−
−
=
′
,
y
y =
′
,
z
z =
′
,
2
2
2
1
c
v
c
vx
t
t
−
−
=
′
Wszystkie wzory relatywistyczne, w tym transformacje Lorentza, przy ilorazie v
2
/c
2
dąŜącym do zera,
przechodzą we wzory klasyczne, co oznacza, Ŝe dla niewielkich prędkości zdecydowanie
„wystarczają” wzory klasyczne, w tym transformacje Galileusza. Kwadrat w liczniku i mianowniku
potęgują dąŜenie do zera tegoŜ ilorazu dla małych prędkości. Wtedy współczynnik Lorentza dąŜy do
jedności, przez co cały wzór relatywistyczny dąŜy do wzoru klasycznego.
Niepoprawność transformacji Galileusza dla duŜych prędkości wynika z tego, Ŝe przyjął on, Ŝe czas
upływa jednakowo w róŜnych układach, tymczasem czas i przestrzeń są wzajemnie zaleŜne od siebie.
Niepoprawność wzorów klasycznych moŜna łatwo wykazać na przykład dla formuły składania
prędkości (wynikającej z transformacji Galileusza):
klasycznie:
u’ = u + v
tymczasem:
c + v → c
4. Postulaty Einsteina w szczególnej teorii względności i transformacje Lorentza.
Szczególna teoria względności opiera się na dwóch postulatach. Treść pierwszego jest następująca:
Wszelkie układy inercjalne są równowaŜne i Ŝadnego z nich nie da się wyróŜnić za pomocą
jakiegokolwiek zjawiska (mechanicznego, elektromagnetycznego itd.) innymi słowy: nie moŜna
stwierdzić bezwzględności spoczynku jakiegokolwiek układu. Drugim postulatem jest stwierdzenie, Ŝe:
3
Maksymalną moŜliwą prędkością w przyrodzie jest prędkość światła w próŜni, której wartość jest stała
i wynosi c. Prędkość ta jest uniwersalną stała fizyczną.
Transformacje Lorentza: (występują w poprzednim pytaniu)
5. Podać wzór relatywistyczny na składanie prędkości. Porównać ze wzorem klasycznym.
Otrzymane wartości zestawić na wykresie.
Klasyczne dodawanie prędkości:
u = u’ + v
gdzie:
u – prędkość w układzie U
u’ – w układzie U’
(jeden układ porusza się względem drugiego)
Relatywistyczne dodawanie prędkości:
(por. transformacje Lorentza)
/jeŜeli prędkości mają róŜne zwroty (niejednakowe, a nie
jednakowe (niezły Ŝarcik) ) w miejsce minusów we
wzorze naleŜy wstawić plusy/
Wzór relatywistyczny jest ogólniejszy od wzoru
klasycznego. Dla małych w porównaniu z prędkością
światła prędkości oba wzory dają zbliŜone wyniki.
6. Względność pomiarów przestrzeni i czasu. Wyprowadzić wzór na dylatację czasu.
Przeprowadzić dyskusję wzorów oraz omówić ich znaczenie.
Względność pomiarów czasu
Niech w punkcie x’ układu U’ znajduje się
zegar, którzy mierzy przebieg czasu jakiegoś
zjawiska. Oznaczmy czas trwania tego zjawiska
mierzony przez zegar w układzie U’ przez
0
t
∆
i
mijany zegar w układzie U przez
t
∆
. Zatem
'
1
'
2
0
t
t
t
−
=
∆
. Zegar ruchomy w chwili
początkowej
1
t
znajdował się w połoŜeniu
1
x
,
zaś w chwili końcowej
2
t
- w połoŜeniu
2
x
. Z
transformacji Lorentza mamy:
4
2
2
1
2
1
'
1
1
c
v
x
c
v
t
t
−
−
=
2
2
2
2
2
'
2
1
c
v
x
c
v
t
t
−
−
=
Po odjęciu stronami tych równości otrzymamy:
(
)
2
2
1
2
2
0
1
c
v
x
x
c
v
t
t
−
−
−
∆
=
∆
ale poniewaŜ
t
v
x
x
∆
=
−
1
2
, wobec tego
2
2
0
1
c
v
t
t
−
∆
=
∆
czyli
t
t
∆
<
∆
0
, zatem czas trwania jakiegoś zjawiska zachodzącego w pewnym punkcie jest
najkrótszy w układzie, względem którego ten punkt spoczywa. Jest to właśnie relatywistyczny efekt
wydłuŜenia czasu, tzw. dylatacja czasu. Rysunek przedstawia konstrukcję graficzną unaoczniającą
poglądowo dylatację czasu.
Względność pomiarów przestrzennych
Względność wymiarów przestrzennych ciała mierzonego w róŜnych układach odniesienia jest
konsekwencją transformacji Lorentza. RozwaŜmy pręt spoczywający w układzie U’ i mający w tym
układzie długość
0
l
, którą w łatwy sposób moŜemy zmierzyć, za pomocą linijki lub określając
współrzędne końców.
Zastanówmy się teraz, jak zmierzyć długość tego samego pręta, gdy jest on w ruchu względem innego
układu odniesienia, powiedzmy, względem układu U. Oczywiście, naleŜy wyznaczyć współrzędne
jego końców w układzie U. JednakŜe, współrzędne te, dla ruchomego pręta, ciągle się zmieniają. Jasną
jest rzeczą, Ŝe współrzędne końców pręta powinny być wyznaczone jednocześnie. W innym
przypadku, pomiar współrzędnych chwilowych połoŜeń końców w róŜnym czasie prowadziłby do
dowolności i moglibyśmy wtedy otrzymać długość pręta dowolną, jaką tylko byśmy sobie zaŜyczyli.
Zatem naleŜy przyjąć, Ŝe przez długość pręta ruchomego będziemy rozumieć odległość między
współrzędnymi jego końców wyznaczonych jednocześnie.
Powiedzmy, Ŝe pręt jest umieszczony na osi
'
x
układu
'
U
w ten sposób, Ŝe jeden koniec znajduje się
w punkcie
0
'
=
x
, natomiast drugi koniec w punkcie
0
'
l
x =
. Zatem
0
l
jest „długością własną” pręta,
czyli długością pręta spoczywającego.
PołoŜenie końców pręta w układzie U wyznaczymy w jednakowym momencie czasu t=0. Wtedy
początek pręta znajdzie się w punkcie x=0, zaś jego koniec w punkcie x=l ; l jest teraz długością pręta
ruchomego. Wstawiając t=0 do transformacji współrzędnej x’, otrzymujemy
l
x
l
x
=
=
0
'
5
2
2
0
2
2
2
2
1
1
'
1
'
c
v
l
l
c
v
x
x
c
v
vt
x
x
−
=
−
=
→
−
−
=
Jest to znany wzór na skrócenie Lorentza.
Widzimy więc, Ŝe długość
0
l
obserwator w układzie U oceni jako krótszą. Ogólnie, przy tej zasadzie
pomiaru długości, moŜemy powiedzieć, Ŝe podłuŜne liniowe rozmiary ciała są największe w tym
układzie, względem którego ciało spoczywa.
7. Dynamika relatywistyczna. Wzory relatywistyczne na pęd i na siłę, energię całkowitą i
kinetyczną. Porównać ze wzorami klasycznymi.
Wielkości fizyczne
Wzór klasyczny
Wzór relatywistyczny
Pęd
2
2
1
c
v
v
m
p
−
=
→
→
Siła
ma
F =
p
dt
d
F =
,
−
=
2
2
1
c
v
mv
dt
d
F
Energia całkowita
2
2
2
1
c
v
mc
E
−
=
Energia kinetyczna
2
2
mv
E
k
=
2
2
2
2
1
mc
c
v
mc
E
k
−
−
=
8. Energia kinetyczna, energia całkowita i energia spoczynkowa ciała. Interpretacja wzoru
2
mc
E
=
. Masa w teorii względności. Masa i pęd fotonów. Co to jest defekt masy?
Aby utrzymać w mocy w mechanice relatywistycznej słuszność zasady zachowania energii, między
masą a energią ciała musi zachodzić związek
2
mc
E
=
.
Jest to słynne równanie Einsteina, wyraŜające równowaŜność masy i energii.
2
0
0
c
m
E
=
- energia spoczynkowa, spoczywające ciało ma zawsze pewną energię związaną ze swoją
masą. Tutaj masa ciała jest równa masie spoczynkowej.
0
K
E
E
E
−
=
- energia kinetyczna ciała równa jest róŜnicy energii całkowitej E ciała w ruchu i jego
energii spoczynkowej. Według mechaniki relatywistycznej energia kinetyczna jest związana z
przyrostem masy ciała.
Pęd w mechanice relatywistycznej zdefiniowany jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
p=mv, ale nie jest on juŜ ściśle proporcjonalny do prędkości, poniewaŜ masa jest funkcją prędkości.
mv
p =
6
Aby pozostała słuszna zasada zachowania pędu, masa ciała musi zaleŜeć od prędkości wg wzoru
2
0
c
v
1
m
m
−
=
, gdzie
0
m
oznacza masę spoczynkową ciała, czyli masę ciała nieruchomego.
Zachodzi związek pomiędzy energią, pędem i masą:
4
2
2
2
2
c
m
c
p
E
=
−
Deficyt masy (niedobór masy, defekt masy) - róŜnica ∆m między sumą mas nukleonów wchodzących
w skład jądra atomowego, a masą jądra. Iloczyn niedoboru masy i kwadratu prędkości światła w
próŜni jest równy energii wiązania jądra, ∆E.
∆E = ∆mc2
gdzie:
∆m = Nm
n
+ Zm
p
− m
E( Z,N)
gdzie:
• m
p
=1,00727 - masa protonu
• m
n
=1,00866 - masa neutronu
• m
E
- masa jądra atomowego
• c = 3·10
8
m/s - prędkość światła w próŜni
Masa nie jest addytywna, tzn. masa ciała nie jest równa sumie mas jego części składowych!
9. Relatywistyczny związek między pędem i energią. Podać interpretację geometryczną tego
związku w oparciu o pojęcie czteroWEKTORA. Interpretacja geometryczna energii
spoczynkowej, energii całkowitej, pędu oraz masy.
Aby uzyskać relatywistyczny związek między pędem a energią przekształca się wzór relatywistyczny
na energię całkowitą:
2
2
2
1
c
v
mc
E
−
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
)
(
1
1
)
(
1
)
(
1
c
v
mv
c
m
c
v
v
m
c
v
v
c
m
c
v
v
v
c
m
c
v
c
m
c
E
−
+
=
−
+
−
−
=
−
+
−
=
−
=
zatem ostatecznie:
2
2
4
2
2
c
p
c
m
E
+
=
Interpretacja geometryczna w oparciu o pojęcie czterowektora:
Dokonuję się jej w oparciu o pojęcie tzw. czterowektora pędu. Odpowiednikiem odległości w
przestrzeni czterowymiarowej jest interwał, którego kwadrat ma postać:
(ct)
2
– x
2
– y
2
– z
2
= s
2
, lub
2
2
3
2
2
2
1
2
0
s
x
x
x
x
=
−
−
−
,
gdzie: x
0
=ct,
x
1
≡x, x
2
≡y, x
3
≡z,
Wektor pędu w zwykłej przestrzeni trójwymiarowej ma współrzędne:
τ
d
dx
m
p
1
1
=
τ
d
dx
m
p
1
1
=
τ
d
dx
m
p
1
1
=
,
gdzie τ – czas własny, niezaleŜny od układu odniesienia
7
Czwartą współrzędną – czasową, tworzymy analogicznie:
τ
τ
τ
d
mcdt
d
ct
md
d
dx
m
p
=
=
=
)
(
0
0
, ale
korzystając z wzoru
2
2
1
1
c
v
d
dt
−
=
τ
(wyprowadzany przy okazji pędu relatywistycznego)
otrzymujemy ostatecznie:
2
2
0
1
c
v
mc
p
−
=
.
Zatem zachodzi relacja czwartej współrzędnej (czasowej) pędu z energią!:
E
c
p
1
0
=
Tworząc, na wzór interwału wyraŜenie odpowiadające kwadratowi długości czteropędu
2
2
3
2
2
2
1
2
0
P
p
p
p
p
=
−
−
−
, gdzie p
1
=p
x
, p
2
=p
y
, p
3
=pz
x
, a p
0
=E/c otrzymamy:
2
2
2
2
2
2
P
p
p
p
c
E
z
y
x
=
−
−
−
Porównując wzór z wyŜej wyprowadzoną relacją
2
2
4
2
2
c
p
c
m
E
+
=
otrzymujemy wniosek:
P
2
= m
2
c
2
Zatem trzy wielkości: energia, pęd i masa są związane ze sobą wspólną relacją wektorową!!!
10. Czterowymiarowa czasoprzestrzeń Minkowskiego. Interpretacja czterowymiarowa
transformacji Lorentz'a.
W równaniach transformacyjnych Galileusza czas wchodził na innych prawach niŜ trzy
wymiary przestrzenne. W transformacjach Lorentza, czas i przestrzeń występują razem. dzięki temu
teoria względności w miejsce przestrzeni i czasu posługuje się jednolitą czterowymiarową
czasoprzestrzenią. Poszczególne punkty w tej przestrzeni określone są przez cztery współrzędne: trzy
przestrzenne i jedną czasową. Punkty te nazywają się zdarzeniami.
Czasoprzestrzeń jest uogólnieniem trójwymiarowej zwykłej przestrzeni x, y, z. Kwadrat
"odległości" między dwoma zdarzeniami dany jest wyraŜeniem:
∆s
2
=∆x
2
+∆ y
2
+∆z
2
−(c∆t)
2
Pierwiastek z powyŜszego wyraŜenia wziętego ze znakiem przeciwnym nazywa się interwałem. Jego
postać i wartość nie ulegają zmianie przy przekształceniach Lorentza (jest niezmiennikiem
przekształceń Lorentza). Kwadrat interwału moŜe przybierać wartości zarówno dodatnie jak i ujemne
w zaleŜności od tego czy kwadrat “odległości” czasowej jest mniejszy czy większy od kwadratu
odległość przestrzennej.
W zaleŜności od tego, czy oś czasową czasoprzestrzeni przyjmiemy jako rzeczywistą, czy
urojoną, mamy moŜliwość zbudowania czterowymiarowej czasoprzestrzeni rzeczywistej lub
zespolonej. Do opisu (zobrazowania) czterowymiarowej przestrzeni uŜywamy przekrojów
płaszczyznami x – (ct); y – (ct) z – (ct)
MoŜna w prosty sposób wykazać Ŝe w czasoprzestrzeni zespolonej przekształcenia Lorentza
odpowiadają obrotowi układu współrzędnych w czasoprzestrzeni. Przekształcenie współrzędnych
wynikające z ruchu postępowego jednego układu względem drugiego jest równowaŜne obrotowi
układu współrzędnych w czterowymiarowej czasoprzestrzeni.
W przestrzeni rzeczywistej mamy do czynienia z przejściem z układu prostokątnego do układu
ukośnokątnego, które to przejście moŜna uznać za przeciwbieŜny obrót osi czasowej z osią
przestrzenną.
8
11. Układy prostokątne i ukośnokątne w czasoprzestrzeni rzeczywistej. Interwał
czasoprzestrzenny. Na czym polega pseudoeuklidesowość czasoprzestrzeni rzeczywistej.
Hiperbola niezmiennicza.
Układy prostokątne i ukośnokątne zostały omówione przy okazji opracowywania pytania 13. Pojęcie
hiperboli niezmienniczej równieŜ zostało wspomniane w pytaniu szóstym, natomiast interwał
czasoprzestrzenny był wyjaśnione w pytaniu 10.
Pseudoeuklidesowość czasoprzestrzeni rzeczywistej wynika z braku zachowania prostokątności osi
tejŜe czasoprzestrzeni. W geometrii euklidesowej miejscem geometrycznym punktów jednakowo
odległych od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie (x, y) jest koło o równaniu x
2
+ y
2
= r
2
.
W przypadku płaszczyzny czasoprzestrzeni (x, ct) miejscem geometrycznym zdarzeń mających
jednakowy interwał od początku układu współrzędnych jest hiperbola, która jest określona równaniem
x
2
– (ct)
2
= ± s
2
. Jest to właśnie hiperbola niezmiennicza.
12. Co to jest „zdarzenie” i „linia świata”? Przedstawić na wykresie czasoprzestrzennym ruch
jednostajny punktu materialnego z dwoma róŜnymi prędkościami oraz linię świata dla światła.
Zdarzenie jest to punkt w czasoprzestrzeni. Linia świata jest to linia przedstawiona na wykresie
czasoprzestrzennym – wykresie będącym przekrojem czasoprzestrzeni płaszczyzną (x, ct). (dla mniej
wtajemniczonych czwartym wymiarem). Ruch jednostajny jest na takim wykresie reprezentowany
linią prostą, która będzie nachylona pod kątem większym od 45°. Linia nachylona pod kątem 45°
reprezentuje ruch z prędkością światła, niemoŜliwą do osiągnięcia przez ciało posiadające niezerową
masę, dlatego dla ciał posiadających masę linia nachylona jest pod kątem większym, a nigdy równym
bądź mniejszym od 45°.
ct
(ruch x = v
1
t
x = ct (ruch z prędkością światła)
jedno- x = v
2
t
stajny) v
1
< v
2
x
Inne moŜliwe linie świata:
ct
v < 0
x
0
≠ 0, x = x
0
+ vt
punkt nieruchomy
x
ruch ze zmienną prędkością
13. Zilustruj wykresem czasoprzestrzennym względność czasu i względność równoczesności.
Przeszłość i przyszłość – absolutna i względna.