Podstawy metrologii – w4
Niniejsza prezentacja zawiera materiały pomocnicze do zagadnień objętych
V jednostką tematyczną wykładu z przedmiotu Podstawy metrologii.
Pomocniczy materiał dydaktyczny – wyłącznie do celów edukacyjnych.
Udostępnianie osobom trzecim zabronione.
Podstawy metrologii – w5/s1
Teoria niepewności
Niepewność
–
parametr związany z wynikiem pomiaru charakteryzujący rozrzut wartości, który można
w uzasadniony sposób przypisać wartości mierzonej
.
Niepewność standardowa
–
dla każdej z wielkości wejściowej x
i
wyrażana przez odchylenie standardowe wyników
pomiarów wykonywanych w niezmiennych warunkach odniesienia
.
S
x
u
i
=
)
(
Niepewność złożona (łączna)
–
złożenie niepewności standardowych wielkości wejściowych
x
i
.
2
1
2
i
n
i
i
C
u
X
f
u
∑
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
Niepewność rozszerzona
–
wielkość określająca przedział wartości wokół wyniku pomiaru.
( )
y
u
k
U
C
⋅
=
k
(
k
p
) –
współczynnik rozszerzenia
związany z poziomem ufności
p
( )
y
u
k
U
C
p
p
⋅
=
Niepewność standardowa typu A (metoda A)
–
wyznaczana metodami statystycznymi, odpowiada błędom
spowodowanym efektami przypadkowymi.
Niepewność standardowa typu B (metoda B)
–
wyznaczana metodami innymi, odpowiada m.in. błędom
spowodowanym efektami systematycznymi.
Y
= f (
X
1
, X
2
, X
3
, …, X
n
)
Uogólniony model pomiaru - wynik pomiaru jako funkcja wielu zmiennych
1
∑
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
N
i
i
i
c
x
u
x
f
y
u
)
(
)
(
2
2
Prawo propagacji niepewności
kiedy wielkości wejściowe x
i
nie są skorelowane
x
i
wielkości wejściowe mające wpływ na pomiar
Podstawy metrologii – w5/s2
Procedura obliczania niepewno
Procedura obliczania niepewno
ś
ś
ci
ci
Niepewność typu A (metoda A)
–
obliczanie niepewności standardowej, gdy pomiary różnią się na skutek
oddziaływań losowych; przyjmuje się, że mają one rozkład normalny (Gaussa) dla n
≥
30.
(
)
)
1
(
)
(
1
2
−
−
=
=
∑
=
n
n
X
x
x
u
n
i
s
i
s
i
A
σ
Niepewność typu B (metoda B)
–
obliczanie niepewności standardowej, gdy wartość oczekiwana (estymata)
wielkości wejściowej nie jest wyznaczana z serii pomiarów.
n
x
X
n
i
i
s
∑
=
=
1
wartość oczekiwana
przyjmuje się rozkład równomierny
błędu przyrządu:
każda wartość z wnętrza przedziału
wyznaczonego przez błąd graniczny jest
jednakowo prawdopodobna
3
)
(
i
g
i
B
X
x
u
Δ
=
Δ
g
X
i
– błąd graniczny liczony na
podstawie formuły błędu przyrządu
Niepewność złożona (łączna)
–
na podstawie prawa propagacji niepewności
.
2
2
)
(
B
A
C
u
u
y
u
+
=
)
(
)
(
2
2
1
i
n
i
i
C
x
u
x
f
y
u
∑
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
dla 2 addytywnych składowych wejściowych
Podstawy metrologii – w5/s3
Niepewność rozszerzona
( )
y
u
k
U
C
⋅
=
Współczynnik rozszerzenia k
–
ma wartość zależną od przyjętego poziomu ufności p oraz wypadkowego rozkładu
błędów wynikającego ze złożenia rozkładu błędów wielkości wejściowych opisanych przez niepewności
standardowe typu A (Gaussa lub Studenta) i niepewności standardowe typu B (równomiernego)
.
Centralne tw. graniczne:
- splot rozkładów normalnych jest rozkładem normalnym;
- splot kilku rozkładów różnych jest zbieżny do rozkładu normalnego.
Hipoteza :
- splot rozkładów składowych jest zbieżny do rozkładu składowego o większym odchyleniu standardowym
- splot 3 lub więcej rozkładów jednostajnych (równomiernych) jest zbieżny do rozkładu normalnego;
- splot 2 rozkładów jednostajnych jest rozkładem trapezowym.
Pomiar pojedynczy bezpośredni
• nie można wyznaczyć niepewności standardowej typu A
• wyznaczamy niepewność standardową typu B
• niepewność łączna jest równa niepewności standardowej typu B
• rozkład błędów pomiaru ma rozkład błędów wielkości wejściowej opisany niepewnością standardową typu B
Pomiar pojedynczy pośredni
• nie można wyznaczyć niepewności standardowej typu A
• wyznaczamy niepewności standardowe typu B dla każdej wielkości wejściowej x
i
• wyznaczamy niepewność łączną z prawa propagacji niepewności
• rozkład błędów pomiaru jest splotem rozkładów błędów wielkości wejściowych
Podstawy metrologii – w5/s4
Praktycznie jeśli:
u
A
>> u
B
splot zbieżny do rozkładu normalnego, dla n
≥ 30
3,000
2,576
2,000
1,960
1,645
1,000
k
0,9973
0,9900
0,9545
0,9500
0,9000
0,6827
p
u
A
<< u
B
splot zbieżny do rozkładu równomiernego
1,7273
1,7147
1,6532
1,6454
1,5588
1,1825
k
0,9973
0,9900
0,9545
0,9500
0,9000
0,6827
p
p
k
⋅
= 3
u
A
≈ u
B
ocena niejednoznaczna, zaleca się przyjęcie k jak dla rozkładu normalnego
Pomiar wielokrotny bezpośredni
• wyznaczamy niepewność standardową typu A
• wyznaczamy niepewność standardową typu B
• wyznaczamy niepewność łączną z prawa propagacji niepewności
• rozkład błędów pomiaru jest splotem rozkładów błędów wielkości wejściowych
2
2
)
(
B
A
C
u
u
y
u
+
=
Pomiar wielokrotny pośredni
• wyznaczamy niepewności standardowe typu A dla każdej wielkości wejściowej x
i
• wyznaczamy niepewności standardowe typu B dla każdej wielkości wejściowej x
i
• wyznaczamy niepewność łączną z prawa propagacji niepewności
• rozkład błędów pomiaru jest splotem rozkładów błędów wielkości wejściowych