Adam  Bodnar:  Wytrzymałość  Materiałów.  Osiowe rozciąganie i ściskanie  

 

71 

9. OSIOWE ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE  

9.1. Naprężenia i odkształcenia 

Osiowe  rozciąganie  pręta  pryzmatycznego  występuje  wówczas,  gdy  układ  sił  zewnętrznych 
po jednej stronie przekroju poprzecznego pręta redukuje się do wypadkowej prostopadłej do 
przekroju, zaczepionej w jego środku ciężkości i skierowanej zgodnie z normalną zewnętrzną. 

Wypadkową  tę  N nazywamy  siłą  osiową  lub  podłużną  i  w  przypadku  gdy  jej  zwrot  jest 
zgodny ze zwrotem normalnej zewnętrznej nazywamy siłą rozciągającą a jej współrzędnej N 
przypisujemy  znak  dodatni.  Naszym  zadaniem  będzie  wyznaczenie  elementów    macierzy 
naprężeń  i  odkształceń  w  dowolnym  punkcie  pręta,  bo  te  wielkości  określają  w  nim  stan 
naprężenia i odkształcenia oraz współrzędnych wektora przemieszczenia. 
Rozważmy więc, pokazany na rys. 9.1  pręt pryzmatyczny o polu przekroju poprzecznego A, 
określony  w  układzie  osi    (X,  Y  ,Z),  w  którym  oś  X    jest  osią  pręta,  a  osie  (Y,  Z)  są  osiami 
centralnymi jego przekroju poprzecznego. Pręt wykonany jest z izotropowego, jednorodnego, 
liniowo sprężystego materiału o stałych materiałowych E oraz 

ν. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dokonajmy  myślowego  przekroju  pręta  na  dwie  części,  odrzućmy  część  II  a  do  części  I  
przyłóżmy  układ  sił  wewnętrznych,  który  symbolicznie  zaznaczymy  przez  jego  miary  tzn. 
naprężenia 

xz

xy

x

τ

τ

σ

,

,

 zaczepione w dowolnie wybranym punkcie przekroju poprzecznego. 

Z twierdzenie o równoważności odpowiednich układów sił wewnętrznych i zewnętrznych 
wynika, że: 
 

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}









=

=

=

=

=

=

,

Z

M

W

M

,

Z

M

W

M

,

Z

M

W

M

,

Z

S

W

S

,

Z

S

W

S

,

Z

S

W

S

II

z

I

z

II

y

I

y

II

x

I

x

II

z

I

z

II

y

I

y

II

x

I

x

0

0

0

0

0

0

 

(9.1)   

 

rzuty  sum  i  momentów  zredukowanego  układu  sił  wewnętrznych  przyłożonych  do  części  I 
oraz układu sił zewnętrznych przyłożonych do części II , są sobie równe.  
Zgodnie z powyższym możemy w rozważanym przypadku napisać poniższe związki: 

Rys. 9.1 

Z 

Y 

X

x

 

N 

N 

(

)

0

0

1 ,

,

v

I 

II 

x

σ

X

Z 

xz

τ

xy

τ

Y 

x

 

N 

I 

A 

A 

Adam  Bodnar:  Wytrzymałość  Materiałów.  Osiowe rozciąganie i ściskanie  

 

72 

(

)












=

−

=

=

+

−

=

=

=

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

.

0

,

0

,

0

,

0

,

0

,

A

x

A

x

A

xz

xy

A

xz

A

xy

A

x

dA

y

dA

z

dA

y

z

dA

dA

N

dA

σ

σ

τ

τ

τ

τ

σ

 

(9.2) 

Równania  (9.2)  możemy  nazwać  równaniami    równowagi,  gdyż  wynikają  z  twierdzenia  o 
równoważności  układów  sił  wewnętrznych  i  zewnętrznych  udowodnionego  na  podstawie 
warunków równowagi układu sił działających na ciało. 
Z równań (9.2) nie można wyznaczyć 

xz

xy

x

τ

τ

σ

,

,

,  gdyż to funkcje trzech zmiennych i aby je 

określić,  zajmiemy  się  analizą  deformacji  bryły  po  przyłożeniu  obciążeń.  W  oparciu  o 
przyjęte  założenia  odnośnie  materiału,  jak  i  hipotezę  płaskich  przekrojów  Bernoulliego 
przyjmiemy, że obraz deformacji pręta po przyłożeniu obciążeń jest taki jak to pokazuje rys. 
9.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analizując ten obraz deformacji pręta po przyłożeniu obciążeń przyjmiemy, że: 

•  pole przemieszczeń jest w nim jednorodne, 
•  odkształcenia kątowe włókien równoległych do osi układu odniesienia są równe zero, 
•  odkształcenia liniowe związane są zależnością: 

x

z

y

ε

ν

ε

ε

−

=

=

. 

Powyższe obserwacje pozwalają  napisać następujące zależności: 

,

,

,

1

1

1

h

h

h

h

h

b

b

b

b

b

l

l

l

l

l

z

y

x

−

=

=

−

=

=

−

=

=

∆

ε

∆

ε

∆

ε

 

0

,

0

,

0

=

=

=

zx

yz

xy

γ

γ

γ

. 

Nazwiemy  je  równaniami  geometrycznymi  gdyż  są  wynikiem  analizy  geometrii  pręta  po 
deformacji. 

Mając  odkształcenia  możemy,  korzystając  z  równań  fizycznych  Hooke’a,    wyznaczyć 
elementy macierzy naprężeń: 

Rys. 9.2 

Y 

X

Z 

B

’

C

’

A

’

D

’

∆

l 

b

1

 

h

1 

h 

l

1 

l 

b 

B

C

A

D

konfiguracja 

aktualna 

konfiguracja 

początkowa 

Adam  Bodnar:  Wytrzymałość  Materiałów.  Osiowe rozciąganie i ściskanie  

 

73 

(

)

x

x

z

y

x

x

x

E

E

ε

σ

ε

ε

ε

ν

ν

ε

ν

σ

=

→













+

+

−

+

+

=

2

1

1

,

(

)

0

2

1

1

=

→













+

+

−

+

+

=

y

z

y

x

y

y

E

σ

ε

ε

ε

ν

ν

ε

ν

σ

, 

(

)

0

2

1

1

=

→













+

+

−

+

+

=

z

z

y

x

z

z

E

σ

ε

ε

ε

ν

ν

ε

ν

σ

, 

0

=

→

=

xy

xy

xy

G

τ

γ

τ

;   

0

=

→

=

yz

yz

yz

G

τ

γ

τ

;   

0

=

→

=

zx

zx

zx

G

τ

γ

τ

. 

Nale

ż

y  teraz  wróci

ć

  do  równa

ń

  równowagi  (9.2)  w  celu  sprawdzenia  czy  otrzymane  w 

oparciu o przypuszczone pole przemieszcze

ń

 napr

ęż

enia spełniaj

ą

 te obiektywne zale

ż

no

ś

ci i 

aby wyrazi

ć

 siły wewn

ę

trzne poprzez siły zewn

ę

trzne.  

Zerowanie  si

ę

  napr

ęż

e

ń

  stycznych  powoduje, 

ż

e  równania  drugie,  trzecie  i  czwarte  s

ą

 

spełnione. Z równania pierwszego otrzymamy 

∫∫

∫∫

=

→

=

A

A

x

x

N

dA

E

N

dA

ε

σ

,  a  poniewa

ż

  pole  odkształce

ń

  jest  jednorodne,  to 

odkształcenia liniowe s

ą

 równe: 

A

E

N

x

=

ε

,  

(9.3) 

i napr

ęż

enia normalne wynosz

ą

: 

A

N

x

=

σ

. 

(9.4) 

Wstawiaj

ą

c powy

ż

sze do dwóch ostatnich równa

ń

 równowagi otrzymujemy: 

∫∫

∫∫

=

→

=

A

A

x

dA

z

A

N

dA

z

0

0

σ

   

∫∫

∫∫

=

→

=

−

A

A

x

dA

y

A

N

dA

y

0

0

σ

 

bo  osie  (Y,  Z)  s

ą

  osiami  centralnymi  i  momenty  statyczne  przekroju  poprzecznego  liczone 

wzgl

ę

dem  nich  s

ą

  równe  zero.  Tak  wi

ę

c  ostatecznie  macierze  napr

ęż

e

ń

  i  odkształce

ń

  przy 

osiowym rozci

ą

ganiu maj

ą

 posta

ć

: 

 





















=

0

0

0

0

0

0

0

0

A

N

T

σ

,      





















−

−

=

EA

N

EA

N

EA

N

T

ν

ν

ε

0

0

0

0

0

0

. 

(9.5) 

W  praktyce  in

ż

ynierskiej  bardzo  wa

ż

ne  jest  okre

ś

lenie  wydłu

ż

enia  pr

ę

ta,  czyli 

przemieszczenie  jego  ko

ń

ca   

∆

l

.  Je

ś

li  pole  przemieszcze

ń

  w  pr

ę

cie  jest  jednorodne to łatwo 

wyznaczymy zmian

ę

 jego długo

ś

ci bez potrzeby całkowania odkształce

ń

: 

A

E

l

N

l

A

E

N

l

l

x

=

→

=

=

∆

∆

ε

. 

(9.6) 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

74 

Podobnie  mo

ż

emy  wyznaczy

ć

  zmiany  wymiarów  (zmniejszenie)  przekroju  poprzecznego 

pr

ę

ta: 

A

E

b

N

b

ν

∆

−

=

 oraz  

A

E

h

N

h

ν

∆

−

=

. 

Na ko

ń

cu tej cz

ęś

ci naszych rozwa

ż

a

ń

 nale

ż

y powiedzie

ć

, 

ż

e wyprowadzone zale

ż

no

ś

ci mog

ą

 

by

ć

 stosowane, w tej formie, zarówno dla przypadku rozci

ą

gania jak i 

ś

ciskania osiowego.  

W tym drugim przypadku wypadkowa 

N

 ma zwrot przeciwny do normalnej zewn

ę

trznej, a 

jej współrz

ę

dnej N przypisujemy znak ujemny. Przy czym w przypadku 

ś

ciskania, tj. gdy   

N<0 

 konieczne jest dodatkowe sprawdzenie czy pr

ę

t jest w stanie równowagi statecznej. 

9.2. Analiza stanu naprężenia i odkształcenia 

W  analizowanym  przypadku  wyst

ę

puje  jednoosiowy  i  jednorodny  stan  napr

ęż

enia 

scharakteryzowany  jednym  tylko  napr

ęż

eniem  normalnym  w  przekroju  poprzecznym  pr

ę

ta,  

które  jest  równocze

ś

nie  maksymalnym  napr

ęż

eniem  głównym  w  przypadku  rozci

ą

gania 

(rys.9.3)  i  minimalnym  w  przypadku 

ś

ciskania.  Pozostałe  dwa  napr

ęż

enia  główne  s

ą

  równe 

zeru a ich kierunki to jakiekolwiek dwa prostopadłe do siebie i równocze

ś

nie prostopadłe do 

osi pr

ę

ta. 

  

 

 

 

 

 

Ekstremalne napr

ęż

enia styczne wyst

ę

puj

ą

 w przekrojach nachylonych pod k

ą

tem 45

°

 do osi 

pr

ę

ta  (rys.  9.3)  i  równaj

ą

  si

ę

  połowie napr

ęż

e

ń

 normalnych w przekroju poprzecznym. Koło 

Mohra dla rozwa

ż

anego przypadku pokazane jest na rys. 9.4. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rys. 9.3 

max

x

σ

σ

=

max

x

σ

σ

=

X

 

Z

 

0

=

=

min

z

σ

σ

0

=

=

min

z

σ

σ

o

45

o

45

X

 

2

x

σ

τ

=

 

2

x

σ

τ

=

 

Z

 

2

x

σ

σ

=

2

x

σ

σ

=

0

=

=

=

z

min

v

σ

σ

σ

v

τ

O

1

O

v

σ

2

x

max

v

σ

τ

τ

=

=

2

x

v

σ

σ

=

2

x

v

σ

τ

=

2

x

v

σ

σ

=

x

max

v

σ

σ

σ

=

=

x

σ

Rys. 9.4 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

75 

 

Układ (rozkład) sił wewn

ę

trznych w przekroju poprzecznym pr

ę

ta pokazuje rys. 9.5. 

 

 

 

 

 

 

Warto

ś

ci napr

ęż

e

ń

 normalnych w tym przypadku nie zale

żą

 o współrz

ę

dnych  y oraz  z wi

ę

c 

mo

ż

na  ich  rozkład,  nie  trac

ą

c  czytelno

ś

ci,  rysowa

ć

  płasko,    jak  to  zostało  pokazane na rys. 

9.6.  

 

 

 

 

 

 

 

Stan  odkształcenia  jest  te

ż

  jednorodny  ale  trójosiowy.  Odkształcenia  liniowe  w  kierunku 

równoległym do osi pr

ę

ta s

ą

 maksymalne w przypadku rozci

ą

gania i minimalne w przypadku 

ś

ciskania. Pozostałe dwa odkształcenia  główne s

ą

 sobie równe, a ich kierunki to jakiekolwiek 

dwa prostopadłe do siebie i równocze

ś

nie prostopadłe do osi pr

ę

ta. 

9.3. Energia sprężysta pręta rozciąganego lub ściskanego osiowo 

Znajomo

ść

  elementów      macierze  napr

ęż

e

ń

  i  odkształce

ń

  pozwala  na  wyznaczenie  g

ę

sto

ś

ci 

energii  spr

ęż

ystej  i  energii  spr

ęż

ystej  dla  rozwa

ż

anego  przypadku  obci

ąż

enia  pr

ę

ta. 

Podstawienie zale

ż

no

ś

ci (9.5) do (8.18) daje: 

2

2

1













=

A

N

E

Φ

,  i  st

ą

d  energia  spr

ęż

ysta  pr

ę

ta  o  długo

ś

ci  l  i  polu  przekroju  poprzecznego  A 

rozci

ą

ganego (

ś

ciskanego) osiowo stał

ą

 sił

ą

 o warto

ś

ci N wynosi: 

EA

l

N

dx

EA

N

dA

A

N

E

dx

dV

A

N

E

dV

U

A

l

l

V

V

2

2

2

1

2

1

2

0

2

2

0

2

=

=













=













=

=

∫∫

∫

∫

∫∫∫

∫∫∫

Φ

. 

 

Rys. 9.5 

Y 

X 

Z 

A

N

x

=

σ

N

I

Rys. 9.6 

Z 

X 

A

N

x

=

σ

Z 

X 

A

N

x

=

σ

lub 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

76 

W przypadku konstrukcji zło

ż

onej z wielu pr

ę

tów o ró

ż

nych długo

ś

ciach oraz przekrojach 

poprzecznych obci

ąż

onych osiowo siłami podłu

ż

nymi jej energia spr

ęż

ysta wynosi:  

 

dx

EA

N

U

n

i

l

i

i

i

∑ ∫

=

=

1 0

2

2

, 

(9.7) 

gdzie sumowanie nale

ż

y wykona

ć

 po wszystkich przedziałach charakterystycznych. 

9.4. Zasada de Saint-Venanta 

Wnioski mówi

ą

ce o jednorodno

ś

ci rozkładu napr

ęż

e

ń

 czy odkształce

ń

 w pr

ę

cie rozci

ą

ganym 

osiowo  mog

ą

 budzi

ć

 pewne zastrze

ż

enia, je

ś

li popatrzymy na ró

ż

ne, wyst

ę

puj

ą

ce w praktyce 

in

ż

ynierskiej,  przypadki  obci

ąż

e

ń

,  które  redukuj

ą

  si

ę

  do  siły  rozci

ą

gaj

ą

cej    N  zaczepionej  w 

ś

rodku  ci

ęż

ko

ś

ci  przekroju  poprzecznego.  Mo

ż

na  przypuszcza

ć

, 

ż

e  sposób  przyło

ż

enia 

obci

ąż

enia b

ę

dzie miał wpływ na rozkład napr

ęż

e

ń

 i odkształce

ń

. I tak istotnie jest, ale tylko 

w bliskim s

ą

siedztwie obszaru przyło

ż

enia obci

ąż

enia. Mówi o tym zasada de Saint-Venanta, 

która  jest  jednym  z  naszych  podstawowych  zało

ż

e

ń

  i  któr

ą

  potwierdzaj

ą

  badania 

do

ś

wiadczalne (szczególnie wyra

ź

nie badania elastooptyczne). Zasad

ę

 t

ę

 mo

ż

na sformułowa

ć

 

nast

ę

puj

ą

co: 

jeżeli na pewien niewielki obszar ciała w równowadze działają rozmaicie rozmieszczone, 
ale  statycznie  równoważne  obciążenia,  to  w  odległości  znacznie  przekraczającej 
wymiary  tego  obszaru  wywołują  one  praktycznie  jednakowe  stany  naprężenia  i 
odkształcenia

 (rys. 9.7).  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

9.5. Spiętrzenie naprężeń 

Rozkład napr

ęż

e

ń

 normalnych w przekroju poprzecznym rozci

ą

ganego pr

ę

ta pryzmatycznego 

jest  równomierny.  W  przypadku  rozci

ą

ganych  pr

ę

tów  o  zmiennym  przekroju  poprzecznym 

napr

ęż

enia normalne nie maj

ą

 stałych warto

ś

ci.  

 

Rozwi

ą

zanie 

metodami 

teorii 

spr

ęż

ysto

ś

ci 

zagadnienie 

rozci

ą

ganego pr

ę

ta w kształcie klina (rys. 9.8) pokazuje zmienno

ść

 

napr

ęż

e

ń

  normalnych  i  dodatkowo  wyst

ę

powanie  napr

ęż

e

ń

 

stycznych.  Warto

ść

  napr

ęż

enia  maksymalnego 

max

σ

w  stosunku 

do  warto

ś

ci  napr

ęż

enia  nominalnego 

A

N

n

=

σ

  wzrasta  wraz  z 

k

ą

tem 

α

.  Przy 

o

10

=

α

  napr

ęż

enie  maksymalne  jest  o  1.3  % 

wi

ę

ksze od nominalnego, a przy 

o

30

=

α

jest ju

ż

 wi

ę

ksze o 13 % co 

dowodzi, 

ż

e  gdy  przekrój  zmienia  si

ę

  łagodnie,  to  z  dostateczn

ą

 

dokładno

ś

ci

ą

  w  obliczeniach  mo

ż

na  stosowa

ć

  wzory  jak  dla 

pr

ę

tów pryzmatycznych. 

 

N 

N/A 

N 

N/A 

N/A 

N/A 

N

max

σ

α

α

α

α

Rys. 9.8 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

77 

W  przypadku  gwałtownej  zmiany  kształtu  lokalny  wzrost  napr

ęż

enia  mo

ż

e  by

ć

  znaczny.  W 

pokazanym na rys. 9.9 rozci

ą

ganym płaskowniku z otworem w jego pobli

ż

u wyst

ę

puje du

ż

y 

wzrost  napr

ęż

e

ń

,  nazywany  spi

ę

trzeniem  lub  koncentracj

ą

  napr

ęż

e

ń

.  Szczególnie  du

ż

a 

koncentracja napr

ęż

e

ń

 wyst

ę

puje w przypadku ostrych naci

ęć

 (rys. 9.10) i wówczas mówimy 

o  efekcie  karbu,  który  mo

ż

e  prowadzi

ć

  do  powstania  p

ę

kni

ę

cia,  a  nast

ę

pnie  do  zniszczenia 

elementu.  Analiz

ą

  propagacji  szczelin  zajmuje  si

ę

  mechanika  p

ę

kania

,  która  obecnie  ze 

wzgl

ę

du  na  wa

ż

no

ść

  i  zło

ż

ono

ść

  problemów,  z  którymi  ma  do  czynienia  stanowi 

autonomiczny przedmiot mechaniki. 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

9.6. Podstawowe dane doświadczalne. Statyczna próba rozciągania 

W  dotychczasowych  naszych  rozwa

ż

aniach  zetkn

ę

li

ś

my  si

ę

  ju

ż

  z  takimi  wielko

ś

ciami,  jak 

moduł  Younga  i  współczynnik  Poissona.  S

ą

  one  charakterystyczne  dla  danego  materiału  i 

nazwali

ś

my  je  ogólnie  stałymi  materiałowymi.  Wspomnieli

ś

my  równie

ż

, 

ż

e  dla  ka

ż

dego 

materiału  istniej

ą

  pewne  charakteryzuj

ą

ce  go  wielko

ś

ci  sił  mi

ę

dzy  cz

ą

steczkowych,    po 

przekroczeniu  których  traci  on  swoj

ą

  spójno

ść

  (niszczy  si

ę

).  Te  jak  i  inne jeszcze wielko

ś

ci 

okre

ś

laj

ą

ce  własno

ś

ci  mechaniczne  materiału,  mog

ą

  by

ć

  wyznaczone  jedynie  na  drodze 

do

ś

wiadczalnej.  Sposób  i  warunki  przeprowadzania  odpowiednich  bada

ń

  laboratoryjnych  s

ą

 

okre

ś

lone bardzo precyzyjnymi przepisami, podanymi w Polskich Normach.  

 Jednym z podstawowych bada

ń

 jest statyczna próba rozci

ą

gania, gdy

ż

, jak w 

ż

adnym innym 

do

ś

wiadczeniu, statyczne i kinematyczne warunki brzegowe jakim podlega badana próbka s

ą

 

najbli

ż

sze tym, które zakładane s

ą

 w modelu teoretycznym.  

Realizowane  w  próbce  stany  napr

ęż

enia  i  odkształcenia  reprezentowane  s

ą

  przez  dwie 

wielko

ś

ci:  napr

ęż

enia  normalne 

σ

  w  przekroju  poprzecznym  badanej  próbki    oraz 

odkształcenia  liniowe 

ε

  w  kierunki  jej  osi.  Obie  te  wielko

ś

ci  mo

ż

na  wyznaczy

ć

  z  prostych 

pomiarów  podczas  badania  i,  co  wi

ę

cej,  zwi

ą

zek  mi

ę

dzy  nimi   

ε

σ

E

=

    zawiera  stał

ą

 

materiałow

ą

 jak

ą

 jest moduł Younga  E. 

Dalej  przedstawimy  najwa

ż

niejsze  wyniki  próby  rozci

ą

gania  stali,  wykonanej  w  sposób  

okre

ś

lony  norm

ą

  PN-76/H-04310.  Dla  innych  materiałów  powszechnie  stosowanych  w 

konstrukcjach  budowlanych  (beton  czy  drewno)  obowi

ą

zuj

ą

  inne  normy  ale  z  uwagi  na 

przyj

ę

te zało

ż

enia o własno

ś

ciach analizowanych przez nas konstrukcji stal jest modelowym 

materiałem i dlatego ni

ą

 si

ę

 przede wszystkim zajmiemy.  

Wykonane zgodnie z podan

ą

 norm

ą

 próbki (zwykle o przekroju kołowym) stali rozci

ą

gane s

ą

 

osiowo  w  maszynach  wytrzymało

ś

ciowych  najcz

ęś

ciej  a

ż

  do  zniszczenia  próbki.  Podczas 

próby rejestrowane s

ą

 zmiany wielko

ś

ci siły rozci

ą

gaj

ą

cej i wymiarów próbki, dzi

ę

ki czemu 

n

σ

max

σ

N

 

Rys. 9.9 

n

σ

max

σ

N

N

Rys. 9.10 

N 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

78 

mo

ż

na  sporz

ą

dzi

ć

  tzw.  wykres  rozci

ą

gania  w  układzie 

ε

σ

−

.  Wykres  rozci

ą

gania  stali 

mi

ę

kkiej pokazuje rys.9.11. 

Na osi odci

ę

tych mamy odkształcenie liniowe 

włókien 

równoległych 

do 

osi 

pr

ę

ta, 

wyznaczane ze wzoru  

0

L

l

∆

ε

=

    gdzie: 

0

L

  -  pierwotna  długo

ść

 

odcinka próbki (długo

ść

 pomiarowa), którego 

wydłu

ż

enia 

l

∆  s

ą

 rejestrowane. 

Na  osi  rz

ę

dnych  wyst

ę

puj

ą

  napr

ęż

enia 

normalne  w  przekroju  poprzecznym  pr

ę

ta, 

wyznaczane ze wzoru: 

0

A

N

=

σ

,  gdzie: N  - siła rozci

ą

gaj

ą

ca próbk

ę

, 

rejestrowan

ą

  podczas  badania,  A

0 

-

  pole 

pierwotnego przekroju poprzecznego próbki..  

 

Poniewa

ż

  podczas  wykonywania  próby  pole  przekroju  poprzecznego  próbki  maleje,  to  te 

napr

ęż

enia s

ą

 wielko

ś

ciami umownymi. 

Omówimy  krótko  poszczególne  charakterystyczne  cz

ęś

ci  wykresu  rozci

ą

gania.  Na 

prostoliniowym  odcinku  OA  odkształcenia    s

ą

  liniowo  zale

ż

ne  od  napr

ęż

e

ń

  i  znikaj

ą

  po 

zdj

ę

ciu  obci

ąż

enia.  Tak  wi

ę

c  własno

ś

ci  materiału  s

ą

  liniowo  spr

ęż

yste  i  najwi

ę

ksze 

napr

ęż

enie,  przy  którym  te  własno

ś

ci  jeszcze  wyst

ę

puj

ą

   

H

R

,  nazywamy  granic

ą

 

proporcjonalno

ś

ci albo granic

ą

 stosowania prawa Hooke’a. Na krzywoliniowym odcinku AB, 

ko

ń

cz

ą

cym  si

ę

  napr

ęż

eniem 

S

R

,  materiał  jest  jeszcze  spr

ęż

ysty  ale  zale

ż

no

ść

    mi

ę

dzy 

napr

ęż

eniami  i  odkształceniami  jest  nieliniowa. 

S

R

  nazywamy  granic

ą

  spr

ęż

ysto

ś

ci,  po  jej 

przekroczeniu  w  materiale  zaczynaj

ą

  wyst

ę

powa

ć

  trwałe  (plastyczne)  odkształcenia.  W 

punkcie  C  wykresu,  któremu  odpowiadaj

ą

  napr

ęż

enia 

e

R

,  w  próbce  narastaj

ą

  znaczne 

odkształcenia:  10  do  15  razy  wi

ę

ksze  ni

ż

  przy  granicy  spr

ęż

ysto

ś

ci,    przy  stałych  a  nawet 

malej

ą

cych  napr

ęż

eniach.  Zjawisko  to  nazywamy  płyni

ę

ciem  materiału  (cz

ęść

  CD okre

ś

lana 

jest  jako  platforma  płyni

ę

cia),  a  napr

ęż

enie   

e

R

  -  wyra

ź

n

ą

  granic

ą

  plastyczno

ś

ci.  Płyni

ę

cie 

materiału  ko

ń

czy  si

ę

  w  punkcie  D,  w  którym  zmienia  si

ę

  charakter  wykresu.  Przyrost 

odkształce

ń

  wymaga  przyrostu  napr

ęż

e

ń

,  materiał  si

ę

  wzmocnił  i  sytuacja  taka  trwa  a

ż

  do 

punktu  F,  któremu  odpowiada  najwi

ę

ksza  siła  uzyskana  w  czasie  próby.  Napr

ęż

enia 

odpowiadaj

ą

ce temu punktowi 

m

R

, nazywamy wytrzymało

ś

ci

ą

 na rozci

ą

ganie. W momencie 

badania,  któremu  odpowiada  na  wykresie  rozci

ą

gania  punkt  F,  w  próbce  tworzy  si

ę

 

przew

ęż

enie, tzw. szyjka i prawie natychmiast próbka w tym miejscu ulega zerwaniu.  

Podczas  próby  rozci

ą

gania  prócz  wyznaczenia  wy

ż

ej  opisanych  granicznych  warto

ś

ci 

napr

ęż

e

ń

 mo

ż

emy wyznaczy

ć

 moduł Younga i liczb

ę

 Poissona. Moduł Younga to nic innego 

jak tangens k

ą

ta nachylenia liniowej cz

ęś

ci wykresu rozci

ą

gania: 

α

ε

σ

tg

=

=

E

. 

Rejestruj

ą

c  zmian

ę

 

ś

rednicy  próbki     

d

∆   podczas  próby  mo

ż

emy  wyznaczy

ć

  odkształcenia 

liniowe w kierunku poprzecznym do osi pr

ę

ta : 

 

Rys. 9.11 

D

 

B

 

A

 

R

H 

R

S 

R

e 

R

m 

O

 

C

 

F

 

H

 

ε

 

napr

ęż

enia 

 rzeczywiste 

σ

G

α

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

79 

0

d

d

pop

∆

ε

=

, gdzie : 

0

d

 -  pierwotna 

ś

rednica próbki. 

Liczb

ę

  Poissona  otrzymujemy  dziel

ą

c  odkształce

ń

  liniowe  w  kierunku  poprzecznym    przez 

odkształcenia liniowe w kierunku równoległym do osi próbki: 

ε

ε

ν

pop

=

. 

Wy

ż

ej  wspomniano, 

ż

e  napr

ęż

enia  na  wykresie  rozci

ą

gania  s

ą

  napr

ęż

eniami  umownymi, 

gdy

ż

 otrzymane zostały przez podzielenie siły rozci

ą

gaj

ą

cej przez pocz

ą

tkowe pole przekroju 

poprzecznego.  Napr

ęż

eniami  rzeczywistymi  nazywa

ć

  b

ę

dziemy  iloraz  siły  przez  aktualne 

pole powierzchni przekroju. W pocz

ą

tkowym stadium próby rozci

ą

gania mi

ę

dzy tymi dwoma 

napr

ęż

eniami  nie  ma  istotnych  ró

ż

nic,  pojawiaj

ą

  si

ę

  one  dopiero  pod  koniec  platformy 

płyni

ę

cia.  Przebieg  zmian  napr

ęż

e

ń

  rzeczywistych  na  rys.9.11  pokazany  został  lini

ą

 

przerywan

ą

. 

Wykres rozci

ą

gania na rys. 9.11 pokazuje cechy i zachowanie si

ę

 stali mi

ę

kkiej nazywanej te

ż

 

stal

ą

  niskow

ę

glow

ą

  bo  zawarto

ść

  w

ę

gla  w  jej  składzie  nie    przekracza 0.30 %. Stal o takiej 

charakterystyce jest powszechnie stosowana w budowlanych konstrukcjach stalowych. 
Na rys. 9.12 naszkicowane zostały wykresy rozci

ą

gania innych metali. 

Widoczny  jest  brak  w  pewnych  materiałach 
wyra

ź

nej  granicy  plastyczno

ś

ci 

e

R

.  W  takich 

przypadkach 

posługujemy 

si

ę

 

umown

ą

 

granic

ą

  plastyczno

ś

ci  oznaczan

ą

  przez 

2

0.

R

  i 

definiowan

ą

  jako  napr

ęż

enie,  przy  którym 

trwałe odkształcenia liniowe wynosz

ą

 0.2 %. 

W  przypadku  statycznej  próby 

ś

ciskania 

(sposób  jej  wykonania  w  przypadku  metali 
mo

ż

na znale

źć

 w   normie PN-57/H-04320) w 

zakresie 

napr

ęż

e

ń

 

poni

ż

ej 

granicy 

plastyczno

ś

ci  charakter  wykresu 

ś

ciskania  w 

układzie 

ε

σ

−

  nie  odbiega  od  wykresu 

rozci

ą

gania.  Stal  mi

ę

kka,    aluminium    czy 

mied

ź

 

maj

ą

 

granic

ę

 

proporcjonalno

ś

ci, 

spr

ęż

ysto

ś

ci 

i 

plastyczno

ś

ci 

nieomal 

identyczn

ą

 

jak 

przy 

rozci

ą

ganiu.  Przy 

wi

ę

kszych  napr

ęż

eniach  charakter  wykresu  

si

ę

  zmienia  i  jest  to  powodowane  wpływem 

aktualnej geometrii badanej próbki - zwi

ę

ksza 

si

ę

 pole jej przekroju poprzecznego. 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

400

 

800

 

0

 

σ

 

ε

 

stal  twarda 

mied

ź

 

stal  mi

ę

kka 

MPa 

Rys. 9.12 

30  

%

 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

80 

Na 

wielko

ś

ci 

mechaniczne 

materiałów 

niew

ą

tpliwy  wpływ  maj

ą

  ró

ż

ne  czynniki  

zewn

ę

trze,  przykładowo  mo

ż

na  wymieni

ć

 

temperatur

ę

,  wilgotno

ść

  czy  czas.  To,  jak  

znaczn

ą

  zmian

ę

  wielko

ś

ci  mechanicznych 

b

ę

d

ą

  one  powodowa

ć

  zale

ż

y  mi

ę

dzy  innymi 

od rodzaju materiału. 
Ni

ż

ej  bardzo  pobie

ż

nie,  omówione  zostan

ą

 

niektóre  aspekty  wpływu  temperatury  i  czasu 
na zachowanie si

ę

 stali. 

Wpływ  temperatury  na  granic

ę

  plastyczno

ś

ci 

e

R

  i  wytrzymało

ść

  na  rozci

ą

ganie 

m

R

 

pokazuje rys. 9.13. 
Podwy

ż

szona 

temperatura 

aktywizuje 

własno

ś

ci 

reologiczne 

stali 

polegaj

ą

ce, 

najpro

ś

ciej mówi

ą

c, na zmianie deformacji w 

czasie  przy  stałych  obci

ąż

eniach.  W

ś

ród 

zjawisk (procesów) reologicznych ciał stałych 
zwykle  rozró

ż

nia  si

ę

  zjawisko  pełzania 

okre

ś

lane    jako  wzrost  odkształce

ń

  w  czasie 

przy 

stałych 

napr

ęż

eniach 

i 

zjawisko 

relaksacji  definiowane  jako  spadek  napr

ęż

e

ń

 

w czasie przy stałych odkształceniach. 

 

 
Długotrwała próba rozci

ą

gania stali w podwy

ż

szonej temperaturze tj. próba pełzania (warunki 

i  sposób  jej  wykonania  podany  jest  w  normie  PN-57/H-04330)  poka

ż

e  przebieg  zmian 

odkształce

ń

  w  czasie  przy  stałym  napr

ęż

eniu,  których  wykres,  tzw.  krzyw

ą

  pełzania 

przedstawia rys. 9.14.  
Wynikiem  próby  relaksacji  byłaby  krzywa  relaksacji  pokazuj

ą

ca  zmian

ę

  napr

ęż

e

ń

  w  czasie 

przy stałych odkształcenia naszkicowana na rys. 9.15. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
W  metalach  procesy  reologiczne  wyra

ź

nie  si

ę

  zaznaczaj

ą

    przy  temperaturach  powy

ż

ej  

0.3 – 0.4 ich temperatury topnienia.   
Zjawiska  reologiczne,  zwłaszcza  zjawisko  relaksacji    ma  negatywny  wpływ  za  zachowanie 
si

ę

 konstrukcji. Ono jest przyczyn

ą

 spadku sił spr

ęż

aj

ą

cych w konstrukcjach spr

ęż

onych czy 

rozlu

ź

niania si

ę

 poł

ą

cze

ń

 

ś

rubowych i nitowanych. 

W  tablicy  poni

ż

ej,    podane  s

ą

  warto

ś

ci  charakterystyk  mechanicznych  i  stałych 

materiałowych  dla  niektórych  materiałów.  Poniewa

ż

  wielko

ś

ci  te  bardzo  zale

żą

  od  składu 

chemicznego, obróbki cieplnej, obróbki plastycznej jak i innych czynników  (np. wilgotno

ś

ci 

w  przypadku  drewna)    podane  warto

ś

ci nale

ż

y traktowa

ć

 orientacyjnie , skupiaj

ą

c uwag

ę

 na 

krzywa pełzania

ε

const

=

σ

t

zniszczenie

σ

σ

σ

σ

const

=

ε

t

krzywa relaksacji 

Rys .9.14 

Rys .9.15 

m

R

e

R

400

800

C

T

o

200 

400 

Rys. 9.13 

MPa

 

σ

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

81 

tym  z  jakim  rz

ę

dem  wielko

ś

ci  mamy  do  czynienia.  W  nawiasach  podana  jest  wytrzymało

ść

 

przy 

ś

ciskaniu. 

 
 

Materiał 

Wytrzymałość na 

rozciąganie  

m

R

 

MPa 

Granica 

plastyczności 

e

R

 

MPa 

Wytrzymałość 

obliczeniowa 

r

R

 

MPa 

Moduł 

Younga 

E

 

GPa 

Liczba 

Poissona 

ν

 

Gęstość masy 

ρ

 

kg/m

3 

Stal 
konstrukcyjna 
St3SX,St3SY 

375 

225 

205 

205 

0.30 

7850 

Aluminium 

100 

50 

 

70 

0.32-0.36 

2070 

Miedź 

210-240 

70 

 

110 

0.30-0.34 

8960 

Ż

eliwo szare 

200-400 

 

 

95-110 

0.23-0.27 

7100 

Ołów 

15 

 

 

18 

0.42 

11340 

Brąz 

300 

 

 

113 

0.32-0.35 

8860 

Dural 

270 

150 

 

67-74 

0.32-0.35 

2640 

Beton B350 

2.31 (36) 

 

1.54 (27.7) 

38.6 

1/6 

2500 

Szkło 

40-100 

 

 

56 

0.25 

2400-2600 

Drewno- sosna 
(wzdłuż 
włókien) 

14-26 

 

65-12.5 

6 

 

400-500 

 

9.7. Podstawowe zasady i warunki projektowania 

Maj

ą

c  wyznaczone  stany  napr

ęż

enia,  odkształcenia  i  przemieszczenia  dla  przypadku 

osiowego  rozci

ą

gania  pr

ę

tów  pryzmatycznych  mamy  podstawy  do  projektowania  takich 

elementów konstrukcji in

ż

ynierskich. Na tym przykładzie tego przypadku omówione zostan

ą

 

podstawowe  poj

ę

cia  i  procedury  zwi

ą

zane  z  projektowaniem  przy  bardziej  zło

ż

onych 

przypadkach  obci

ąż

enia  czy  elementach  konstrukcji.  B

ę

dzie  to  w  wi

ę

kszym  stopniu 

omówienie  zasad  wymiarowania  ni

ż

  projektowania,  gdy

ż

  przy  projektowaniu  oprócz  zasad 

wymiarowania  niezb

ę

dna    jest  znajomo

ść

  przepisów  zwanych  normami  budowlanymi,  które  

b

ę

d

ą

  szczegółowo  omawiane  w  przedmiotach  konstrukcyjnych  jak  konstrukcje  stalowe, 

betonowe, 

ż

elbetowe czy drewniane. 

B

ę

dzie to raczej omówienie zasad wymiarowania ni

ż

 projektowania, gdy

ż

 przy projektowaniu 

oprócz zasad wymiarowania niezb

ę

dna  jest znajomo

ść

 przepisów zwanych normami 

budowlanymi, które  b

ę

d

ą

 szczegółowo omawiane w przedmiotach konstrukcyjnych jak 

konstrukcje stalowe, betonowe, 

ż

elbetowe czy drewniane. 

Zobaczymy  pó

ź

niej,    w    trakcie  studiowania  wymienionych  przedmiotów  konstrukcyjnych  , 

ż

e w wielu przypadkach, formuły czy zale

ż

no

ś

ci podane w normach, które s

ą

 obowi

ą

zuj

ą

ce w 

procesie  projektowania  b

ę

d

ą

  do

ść

  odległe  od  zasad  wymiarowania  podanych  w  tym  jak  i 

innych  podr

ę

cznikach  wytrzymało

ś

ci  materiałów

.  Przyczyn

ę

  tego  stanu  mo

ż

na  przede 

wszystkim  upatrywa

ć

  w  tym, 

ż

e  wytrzymało

ść

  materiałów

  posługuje  si

ę

  w  swych 

rozwa

ż

aniach  idealnym  teoretycznym  modelem  materiału,  konstrukcji,    jak  i  schematach  jej 

zniszczenia,  normy  za

ś

  staraj

ą

  si

ę

  uj

ąć

  w  globalny  i  uproszczony  sposób  najbardziej  istotne 

mechaniczne  aspekty  zachowania  si

ę

  elementów  konstrukcji.  St

ą

d  np.  wytrzymało

ść

 

materiałów

  zazwyczaj okre

ś

la  warunki dla napr

ęż

e

ń

 w punkcie a normy formułuj

ą

 warunki 

no

ś

no

ś

ci dla przekroju. Niemniej jednak nie ma sprzeczno

ś

ci w tych dwóch podej

ś

ciach i co 

wi

ę

cej  znajomo

ść

  zasad  wymiarowania  jest  niezb

ę

dna  do  zrozumienia  i  racjonalnego 

stosowania normowych zasad projektowania. 
Jak ju

ż

 wcze

ś

niej powiedzieli

ś

my materiał, kształt i wymiary konstrukcji musz

ą

 by

ć

 dobrane   

w taki sposób, aby była ona odpowiednio wytrzymała, sztywna i stateczna. Je

ż

eli konstrukcja 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

82 

lub  jej  cz

ęść

  przestaje  przenosi

ć

  obci

ąż

enie,  do  przeniesienia  którego  została  przeznaczona 

lub  te

ż

  gdy  nie  odpowiada  zało

ż

onym  warunkom  u

ż

ytkowania,  mówimy, 

ż

e  znajduje  si

ę

  w 

stanie granicznym. Mo

ż

emy wyró

ż

ni

ć

 dwa stany graniczne: 

•  stan graniczny no

ś

no

ś

ci i  

•  stan graniczny u

ż

ytkowania.   

Stan  graniczny  no

ś

no

ś

ci  zwi

ą

zany  jest  z  wyst

ą

pieniem  zniszczenia  ci

ą

gło

ś

ci  materiału  w 

punkcie  lub  obszarze,  zmiany  konstrukcji  w  mechanizm,  uszkodzeniem  spowodowanym 
zm

ę

czeniem materiału, utrat

ą

 stateczno

ś

ci przez cz

ęść

 lub cał

ą

 konstrukcj

ę

. 

Stan  graniczny  u

ż

ytkowania  natomiast  zwi

ą

zany  jest  z  wyst

ą

pieniem  nadmiernych 

przemieszcze

ń

, uszkodze

ń

 zwi

ą

zanych z korozj

ą

, nadmiernych drga

ń

 itp.  

Warunki, które konstrukcja musi spełni

ć

, wynikaj

ą

ce z obu stanów granicznych formułowane 

b

ę

d

ą

  w  postaci  nierówno

ś

ci,  w  których  w  stanie  granicznym  no

ś

no

ś

ci  b

ę

dzie  wyst

ę

powa

ć

 

pewna  graniczna  warto

ść

  napr

ęż

e

ń

,  a  w  stanie  granicznym  u

ż

ytkowania  graniczna  warto

ść

 

przemieszcze

ń

 zwi

ą

zana z warunkami u

ż

ytkowania.  

Te  graniczne  warto

ś

ci  napr

ęż

e

ń

,  wyznaczane  na  podstawie  do

ś

wiadcze

ń

  (np.  próby 

rozci

ą

gania  czy 

ś

ciskania)  i  analizy  probabilistycznej  otrzymanych  z  nich  wyników, 

gwarantuj

ą

  bezpieczny  stan  materiału  w  danym  punkcie  i  nazywane  s

ą

  jego  wytrzymało

ś

ci

ą

 

charakterystyczn

ą

.  

Poniewa

ż

  w    procesie  projektowania  konstrukcji  mog

ą

ce  wyst

ą

pi

ć

  liczne  czynniki 

przypadkowe,  zwi

ą

zane  np.  z  niedokładno

ś

ci

ą

  danych  o  geometrii  konstrukcji,  jej 

obci

ąż

eniach  czy  bł

ę

dach  wykonania,  do  oblicze

ń

  przyjmowana  jest  wytrzymało

ść

 

obliczeniowa,  b

ę

d

ą

ca  ilorazem  wytrzymało

ś

ci  charakterystycznej  i  współczynników 

materiałowych  spełniaj

ą

cych  rol

ę

  współczynników  bezpiecze

ń

stwa.  W  praktyce  projektowej 

dowiemy si

ę

, 

ż

e wytrzymało

ść

 obliczeniowa jest zwi

ą

zana nie tylko z samym materiałem ale 

równie

ż

  z  rodzajem  konstrukcji.  Polska  Norma  do  obliczania  i  projektowania 

ogólnobudowlanych  konstrukcji  stalowych  PN-90/B-03200  wyró

ż

nia  tylko  jedn

ą

 

wytrzymało

ść

  obliczeniow

ą

  stali  oznaczan

ą

  przez 

d

f

(modyfikowan

ą

  współczynnikami 

liczbowymi  dla  innych  przypadków  obci

ąż

enia),  podczas  gdy  norma  obowi

ą

zuj

ą

ca  przy 

projektowaniu  mostów  PN-82/S-100052    wyró

ż

nia  wytrzymało

ść

  obliczeniow

ą

  stali 

elementów konstrukcji mostowych pracuj

ą

cych na rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie osiowe, rozci

ą

ganie 

przy  zginaniu 

R

,  na 

ś

cinanie 

t

R

,  na  docisk  powierzchni  przylegaj

ą

cych 

d

R

,  na  docisk 

powierzchni  stycznych 

dH

R

.  W  normach  zwi

ą

zanych  z  konstrukcjami  betonowymi, 

ż

elbetowymi, drewnianymi i murowymi wyst

ę

puj

ą

 jeszcze inne wielko

ś

ci.

 

Dlatego  te

ż

  w  toku  naszych  dalszych  rozwa

ż

a

ń

,  nie  umniejszaj

ą

c  zasadniczo  ich  ogólno

ś

ci, 

b

ę

dziemy si

ę

 posługiwa

ć

 jedynie poj

ę

ciami wytrzymało

ś

ci obliczeniowej przy 

ś

ciskaniu 

c

R

, 

przy  rozci

ą

ganiu 

r

R

  i  przy 

ś

cinaniu 

t

R

.  W  przypadku  materiału  izonomicznego  (np.  stal)  i 

napr

ęż

e

ń

 normalnych, u

ż

ywa

ć

 b

ę

dziemy jednej wytrzymało

ś

ci obliczeniowej 

R

. 

W  zwi

ą

zku  z  powy

ż

szym  warunki  wymiarowania  pr

ę

tów  osiowo  rozci

ą

ganych  b

ę

d

ą

  miały 

posta

ć

:  

•  ze wzgl

ę

du na stan graniczny no

ś

no

ś

ci 

r

x

R

A

N

max

max

≤

=

σ

 

•  ze wzgl

ę

du na stan graniczny u

ż

ytkowania 

dop

l

A

E

l

N

max

l

max

∆

∆

≤

=

. 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

83 

W  przypadku  pr

ę

tów  osiowo 

ś

ciskanych  w  miejsce  wytrzymało

ś

ci  obliczeniowej  przy 

rozci

ą

ganiu 

r

R

  nale

ż

y  wstawi

ć

  wytrzymało

ść

  obliczeniow

ą

  przy 

ś

ciskaniu 

c

R

,  przy  czym 

musimy pami

ę

ta

ć

, 

ż

e pr

ę

t musi by

ć

 w stanie równowagi statecznej i warunki jej zapewnienia 

b

ę

d

ą

 sformułowane w toku dalszych wykładów. 

 

9.8. Przykłady 

Przykład  9.8.1. 

Wyznaczy

ć

 

ś

rednice  kołowego  stalowego  pr

ę

ta  o  skokowo  zmiennym 

przekroju  poprzecznym  obci

ąż

onym  jak  na  rysunku  je

ś

li  wytrzymało

ść

  obliczeniowa  stali  

R 

=  165  MPa.  Po  okre

ś

leniu  wymiarów  przekroju  poprzecznego  obliczy

ć

  przemieszczenia 

wzdłu

ż

 osi pr

ę

ta 

( )

x

u

 i zmian

ę

 

ś

rednicy w przekroju najwi

ę

kszej siły podłu

ż

nej, je

ś

li moduł 

Younga  E = 205 GPa, a liczba Poissona 

ν

 

= 0.3. 

Rozwiązanie

 

Ś

rednice wyznaczymy z warunku no

ś

no

ś

ci i wpierw nale

ż

y wyznaczy

ć

 siły osiowe w pr

ę

cie. 

Jest to proste zadanie w analizowanym przykładzie i ich rozkład pokazany jest na rysunku. 

 

 

Ś

rednica na odcinku  AB: 

R

N

A

R

A

N

AB

AB

AB

AB

≥

→

≤

 

2

1

6

3

2

1

10

89

5

10

165

10

450

4

−

≥

→

≥

*

.

d

*

*

d

π

m 

Przyj

ę

to do wykonania 

0

6

1

.

d

=

cm. 

Ś

rednica na odcinku  BD: 

R

N

max

A

R

A

N

max

BD

BD

BD

BD

≥

→

≤

 

2

2

6

3

2

2

10

20

5

10

165

10

350

4

−

≥

→

≥

*

.

d

*

*

d

π

m 

Przyj

ę

to do wykonania 

2

5

2

.

d

=

 cm. 

 

Przemieszczenia wzdłu

ż

 osi pr

ę

ta (wydłu

ż

enia) 

( )

x

u

 : 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

∫

∫

=

→

=

→

=

→

=

x

x

x

x

x

dx

A

E

x

N

x

u

dx

x

x

u

dx

x

x

u

d

dx

x

u

d

x

0

0

ε

ε

ε

 

gdy  N(x) jest stałe to 

( )

x

A

E

N

x

u

=

 i wydłu

ż

enie jest liniow

ą

 funkcj

ą

 współrz

ę

dnej x. 

St

ą

d w rozwa

ż

anym przykładzie: 

0 < x < 1.0 m 

( )

(

)

x

x

x

u

3

4

2

9

3

10

*

78

.

0

10

*

4

6

10

*

205

10

*

450

−

−

=

=

π

 

0.78

 

1.18

 

4

5

0

 

3

5

0

 

1

5

0

 

N(x) 

kN 

1.35

 

u(x) 

mm 

A 

u

2

d

1

d

x

200 kN 

150 kN 

100 kN 

B 

C 

D 

1.0 m 

0.5m 

0.5m 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

84 

( )

AB

l

u

∆

=

1

= 0.78 *10 

-3 

m = 0.78 mm . 

1.0 < x < 1.5 m 

( )

(

)

(

)

(

)

1

10

*

80

.

0

1

10

*

4

2

.

5

10

*

205

10

*

350

3

4

2

9

3

−

+

=

−

+

=

−

−

x

l

x

l

x

u

AB

AB

∆

π

∆

 

( )

(

)

3

10

*

40

.

0

78

.

0

5

.

1

−

+

=

+

=

=

BC

AB

AC

l

l

l

u

∆

∆

∆

= 1.18*10 

–3

 m = 1.18 mm 

1.5 < x < 2.0 m 

( )

(

)

(

)

(

)

5

.

1

10

*

34

.

0

5

.

1

10

*

4

2

.

5

10

*

205

10

*

150

3

4

2

9

3

−

+

=

−

+

=

−

−

x

l

x

l

x

u

AC

AC

∆

π

∆

 

( )

(

)

3

10

*

17

.

0

40

.

0

78

.

0

0

.

2

−

+

+

=

+

+

=

=

CD

BC

AB

AD

l

l

l

l

u

∆

∆

∆

∆

= 1.35*10

 –3 

m =1.35 mm . 

Zmiana wymiarów 

ś

rednicy w miejscu najwi

ę

kszej siły podłu

ż

nej wynosi: 

(

)

3

2

4

2

9

3

1

1

10

*

014

.

0

10

*

6

10

*

4

6

10

*

205

10

*

450

3

.

0

−

−

−

−

=

−

=

−

=

π

ν

∆

d

A

E

N

d

AB

AB

m = -0.014 mm . 

Warto zwróci

ć

 uwag

ę

 jak małe s

ą

 wielko

ś

ci przemieszcze

ń

 i zmiany wymiarów w  stosunku 

do pocz

ą

tkowych wymiarów konstrukcji. Potwierdza  to zasadno

ść

 przyj

ę

cia zało

ż

enia zasady 

zesztywnienia jak i pó

ź

niejsze zało

ż

enia o małych odkształceniach. 

Przykład  9.8.2.   

Pr

ę

t  pryzmatyczny,  jak  na 

rysunku,  obci

ąż

ony  jest  tylko  ci

ęż

arem 

własnym.  Wyznaczy

ć

 

( )

x

N

, 

( )

x

x

σ

  i 

( )

x

u

 

je

ś

li  znane  s

ą

  jego:  pole  przekroju  A,  ci

ęż

ar 

obj

ę

to

ś

ciowy 

γ

,  długo

ść

  l  oraz  moduł 

spr

ęż

ysto

ś

ci  podłu

ż

nej  E.  Obliczy

ć

  długo

ść

 

zerwania  je

ś

li  wytrzymało

ść

  na  rozci

ą

ganie 

wynosi R

m

. 

 

Rozwiązanie 

Wyznaczenie sił podłu

ż

nych:  

( )

(

)

( )

( )

γ

γ

l

A

N

x

N

max

;

x

l

A

x

N

=

=

−

=

0

 

Siły  podłu

ż

ne  zmieniaj

ą

  liniowo  wzdłu

ż

  osi  pr

ę

ta  i  osi

ą

gaj

ą

  maksymaln

ą

  warto

ść

  w 

utwierdzeniu. 

Napr

ęż

enia normalne: 

( )

( ) ( )

( )

γ

σ

σ

γ

σ

l

max

;

x

l

A

x

N

x

x

x

x

=

=

−

=

=

0

 

Warto

ś

ci napr

ęż

e

ń

 te

ż

 zmieniaj

ą

 si

ę

 liniowo wzdłu

ż

 osi pr

ę

ta, osi

ą

gaj

ą

 maksymaln

ą

 warto

ść

 

w utwierdzeniu i ta maksymalna warto

ść

 nie zale

ż

y od pola przekroju poprzecznego pr

ę

ta. 

Przemieszczenia wzdłu

ż

 osi pr

ę

ta (wydłu

ż

enia) 

( )

x

u

 : 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

∫

=

→

=

→

=

x

x

x

x

dx

x

x

u

dx

x

x

u

d

dx

x

u

d

x

0

ε

ε

ε

 

( )

( )

(

)

(

)

[

]

(

)

2

2

2

0

0

2

2

2

x

lx

E

l

x

l

E

dx

x

l

E

dx

E

x

x

u

x

x

x

−

=

−

−

−

=

−

=

=

∫

∫

γ

γ

γ

σ

 

( )

x

N

 

x

l

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

85 

( )

E

l

l

l

u

u

max

2

2

γ

∆

=

=

=

 

Przemieszczenia s

ą

 kwadratow

ą

 funkcj

ą

 współrz

ę

dnej x i osi

ą

gaj

ą

 sw

ą

 najwi

ę

ksz

ą

 warto

ść

 na 

ko

ń

cu pr

ę

ta, przy czym warto

ść

 ta nie zale

ż

y od pola przekroju poprzecznego pr

ę

ta. Wykresy 

poszukiwanych funkcji pokazuje rysunek poni

ż

ej. 

 

 

 

 

Długo

ść

  zerwania 

R

l

  to  długo

ść

  pr

ę

ta,  obci

ąż

onego  jedynie  ci

ęż

arem  własnym,  przy  której 

najwi

ę

ksze  w  nim  napr

ęż

enia  normalne  b

ę

d

ą

  równe  wytrzymało

ś

ci  na  rozci

ą

ganie  (mo

ż

na 

powiedzie

ć

: długo

ść

 przy której zerwie si

ę

 pod ci

ęż

arem własnym). 

Zatem: 

γ

γ

σ

m

R

R

m

x

R

l

l

R

max

=

→

=

=

  

Jak  wida

ć

  długo

ść

  zerwania 

R

l

  jest  stał

ą

  materiałow

ą

.  Przykładowe  wielko

ś

ci  długo

ś

ci 

zerwania: drewno sosnowe 13.5 km, stal niskow

ę

glowa  4.8 km, stal wysokow

ę

glowa 9.1 km, 

duraluminium  16.9 km . 

Przykład  9.8.3.

  Na  1  m długo

ś

ci ławy fundamentowej o 

przekroju  prostok

ą

tnym  bxh  wykonanej  z  betonu  o 

ci

ęż

arze  obj

ę

to

ś

ciowym 

γ

 

=  22  kN/m

3

 

przekazuje  si

ę

 

równomiernie  rozło

ż

one  obci

ąż

enie  ze 

ś

ciany  q  =  250 

kN/m.  Wyznaczy

ć

  potrzebn

ą

  szeroko

ść

  fundamentu  b 

je

ś

li  jej  wysoko

ść

  h  =  1.5  m,  a  wytrzymało

ść

 

obliczeniowa  gruntu  na 

ś

ciskanie,  na  którym  jest  on 

posadowiony wynosi R

c,g

 

= 0.2 MPa 

 

Rozwiązanie 

Siła przekazywana z fundamentu na grunt wynosi: 

1

1

*

b

*

h

*

*

q

N

γ

+

=

 

Z warunku no

ś

no

ś

ci wynika:

 

g

,

c

g

,

c

R

*

b

*

b

*

h

*

*

q

R

*

b

N

≤

+

→

≤

1

1

1

1

γ

 

5

1

10

2

0

5

1

10

22

10

250

6

3

3

.

b

*

.

b

b

*

.

*

*

*

≥

→

≤

+

m. 

Przykład 9.8.4.

 Nadpro

ż

e wykonane z belki dwuteowej     200 przekazuje na mur obci

ąż

enie 

w  postaci  siły  P  =  60  kN.  Obliczy

ć

  potrzebn

ą

  długo

ść

  oparcia  belki  przyjmuj

ą

c, 

ż

e 

napr

ęż

enie obliczeniowe muru na 

ś

ciskanie R

c,m

 

= 2.0 MPa. 

( )

x

u

 

E

l

2

2

γ

l

x

( )

x

x

σ

γ

l

γ

l

A

( )

x

N

1.0 m 

b 

h 

q =250 kN/m 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

86 

 

 

Rozwiązanie 

Z warunku no

ś

no

ś

ci wynika: 

2

6

2

3

10

3

33

10

2

10

9

10

60

−

−

≥

→

≥

→

≥

→

≤

*

.

a

*

*

*

*

a

R

*

s

P

a

R

a

*

s

P

m

,

c

m

,

c

m 

Przyj

ę

to do wykonania 

35

=

a

cm.

 

 

W dwóch ostatnich powy

ż

szych przykładach warto zauwa

ż

y

ć

 jak schemat obliczeniowy (pr

ę

t 

pryzmatyczny osiowo obci

ąż

ony) daleko odbiega od rzeczywistej konstrukcji. 

Przykład  9.8.5.

  Wyznaczy

ć

  nacisk  N  na  1  m  długo

ś

ci  przyczółka  mostu  jaki  wywiera  płyta 

ż

elbetowa  o  grubo

ś

ci  h  =  42  cm  przy  wzro

ś

cie  temperatury 

∆

T 

=  25

°  C  je

ś

li  moduł 

spr

ęż

ysto

ś

ci podłu

ż

nej betonu E = 38.6 GPa a współczynnik rozszerzalno

ś

ci liniowej   

α

T

 

= 10

-5

 /

°C.  Płyta przylega 

ś

ci

ś

le do obu przyczółków. 

Rozwiązanie 

Wydłu

ż

enie  rozpi

ę

to

ś

ci  płyty  l  w  przypadku  jej  swobodnego  podparcia  byłoby  równe 

 

∆

l

 = 

α

T  

∆

T  l

. 

Skrócenie jej rozpi

ę

to

ś

ci na skutek przyło

ż

enia 

ś

ciskaj

ą

cej siły wynosi  

∆

l

 = Nl/EA. 

Porównanie obu tych wielko

ś

ci daje równo

ść

: 

3

9

5

10

053

4

42

0

10

6

38

25

10

1

*

.

.

*

*

.

*

*

h

E

T

N

*

h

*

E

l

N

l

T

T

T

=

=

=

→

=

−

∆

α

∆

α

 kN. 

Wida

ć

  z  powy

ż

szego, 

ż

e  ta  siła  (a  jest  ona  bardzo  du

ż

a)  nie  zale

ż

y  od  rozpi

ę

to

ś

ci  płyty 

mostowej. Oczywi

ś

cie szeroko

ść

 potrzebnej szczeliny dylatacyjnej b

ę

dzie od niej zale

ż

ała.

 

Przykład  9.8.6.

  Dobra

ć

  potrzebny  przekrój  pr

ę

ta  AB  w  pasie  dolnym  podanej  stalowej 

kratownicy,  je

ś

li  wytrzymało

ść

  obliczeniowa  stali  R  =  215  MPa.  Przekrój  pr

ę

ta  ma  by

ć

 

zło

ż

ony z dwóch k

ą

towników równoramiennych. Po wyznaczeniu przekroju obliczy

ć

 no

ś

no

ść

 

tego pr

ę

ta. 

 

Rozwiązanie 

Sił

ę

  w  pr

ę

cie  AB  wyznaczymy 

metod

ą

 

Rittera. 

Warunek 

równowagi  odci

ę

tej  lewej  cz

ęś

ci 

kratownicy daje: 

0

=

L

C

M

Σ

 

0

4

*

2

*

100

4

*

50

4

*

300

=

−

−

−

AB

N

 

200

=

AB

N

kN (pr

ę

t jest rozci

ą

gany)

 

 

P 

a 

a 

s=9 cm 

B

AB

N

C

A

100 kN 

300 kN 

300 kN 

6*2 m 

100 kN 100 kN 100 kN 100 kN

2 m 

50 kN 

50 kN 

2 m 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

87 

Potrzebne pole przekroju poprzecznego wyznaczamy z warunku granicznego no

ś

no

ś

ci: 

4

6

3

10

*

302

.

9

10

*

215

10

*

200

−

=

≥

→

≥

→

≤

A

R

N

A

R

A

N

AB

AB

m

2

 = 9.302 cm

2

 . 

Przyj

ę

to 

z 

tablic 

profili 

walcowanych  

2 

 

45/45/6, 

których 

pole 

przekroju 

poprzecznego 

2

.

10

=

A

  cm

2

  (najbli

ż

sze  w 

tablicach ale wi

ę

ksze od obliczonego). 

 

Przez  no

ś

no

ść

  pr

ę

ta  rozumiemy  najwi

ę

ksz

ą

  sił

ę

  podłu

ż

n

ą

  któr

ą

    mo

ż

e  przenie

ść

  bez  utraty 

ci

ą

gło

ś

ci. 

Z warunku no

ś

no

ś

ci otrzymujemy no

ś

no

ść

 pr

ę

ta AB: 

3

2

10

3

219

10

215

2

10

*

.

*

*

.

N

max

R

A

N

max

R

A

N

max

AB

AB

AB

=

≤

→

≤

→

≤

 N.

 

 

Przykład  9.8.7.   

Wyznaczy

ć

  potrzebne  wymiary 

przekrojów  poprzecznych  pr

ę

tów  danego  układu 

przegubowo-pr

ę

towego 

je

ś

li: 

wytrzymało

ść

 

obliczeniowa  stali  R  =  165  MPa  i  wytrzymało

ść

  

obliczeniowa drewna przy 

ś

ciskaniu R

c,d

 

= 10 MPa. 

Po  wyznaczeniu  wymiarów  okre

ś

li

ć

  poło

ż

enie 

punktu  B  po  deformacji,  je

ś

li  moduły  spr

ęż

ysto

ś

ci 

podłu

ż

nej stali i drewna wynosz

ą

 : 

E

s

 

= 205 GPa i  E

d

 

= 9 GPa. 

 

 

Rozwiązanie 

Siły  w  pr

ę

tach  wyznaczymy  z  warunków 

równowagi sił działaj

ą

cych na w

ę

zeł B. 

0

sin

;

0

0

cos

;

0

=

−

=

=

−

−

=

P

N

Y

N

N

X

BC

AB

BC

α

Σ

α

Σ

 

0

.

32

−

=

AB

N

kN (pr

ę

t 

ś

ciskany) 

0

.

40

=

BC

N

 kN (pr

ę

t rozci

ą

gany) 

 

 

 
Wymiary przekrojów poprzecznych pr

ę

tów wyznaczymy z warunku granicznego no

ś

no

ś

ci. 

 
Pr

ę

t AB – drewniany; 

ś

ciskany: 

6

3

2

,

,

10

*

10

10

*

32

≥

→

≥

→

≤

a

R

N

A

R

A

N

d

c

AB

AB

d

c

AB

AB

2

10

*

66

.

5

−

≥

a

m 

Przyj

ę

to do wykonania  a = 6.0 cm. 

Skrócenie pr

ę

ta AB 

    Pr

ę

t BC – stalowy; rozci

ą

gany: 

    

6

3

2

10

*

165

10

*

40

4

≥

→

≥

→

≤

d

R

N

A

R

A

N

s

BC

BC

s

BC

BC

π

 

    

2

10

*

76

.

1

−

≥

d

m 

    Przyj

ę

to do wykonania  d = 1.8 cm. 

    Wydłu

ż

enie pr

ę

ta BC 

d 

B 

α

P = 24 kN 

A 

C 

a 

drewno 

stal 

3.0 m 

4.0 m 

N

BC 

N

AB 

B

α

P = 24 kN 

X 

Y 

45 mm 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

88 

=

=

=

−4

9

3

10

*

36

*

10

*

9

4

*

10

*

32

AB

d

AB

AB

AB

A

E

l

N

l

∆

 

2

10

*

395

.

0

−

=

m. 

(

)

=

=

=

−4

2

9

3

10

*

4

8

.

1

*

10

*

205

5

*

10

*

40

π

∆

BC

s

BC

BC

BC

A

E

l

N

l

 

2

10

*

383

.

0

−

=

m. 

 
Ze  wzgl

ę

du  na  bardzo  małe  skrócenie  i  wydłu

ż

enie  pr

ę

tów, 

poło

ż

enia  punktu  B  po  deformacji  poszukiwa

ć

  b

ę

dziemy  na 

prostych  prostopadłych  do  pierwotnych  kierunków  pr

ę

tów,  tak 

jak  to  jest  pokazane  na  rysunku  obok,  nazywanym  planem 
przemieszcze

ń

. W przyj

ę

tym układzie odniesienia współrz

ę

dne 

wektora przemieszczenia 

(

)

B

B

v

u

B

B

,

'

 maj

ą

 warto

ś

ci: 

395

.

0

−

=

−

=

AB

B

l

u

∆

 cm 

165

.

1

6

.

0

383

.

0

3

4

395

.

0

sin

ctg

=

+

=

+

=

α

∆

α

∆

BC

AB

B

l

l

v

 cm 

Przerywane  linie  na  planie  przemieszcze

ń

  wyja

ś

niaj

ą

,  w  jaki 

sposób wyliczono 

B

v

. 

 

Przykład 9.8.8.

  

Wyznaczy

ć

  współrz

ę

dne  wektora  przemieszczenia  punktu  przyło

ż

enia  siły  podanego  układu 

przegubowo-pr

ę

towego.  

 

Rozwiązanie 

Przyjmijmy, 

ż

e  znane  s

ą

  warto

ś

ci  siły,  wielko

ś

ci 

okre

ś

laj

ą

ce  geometri

ę

  układu  i  moduł  Younga  co 

pozwala  wyliczy

ć

  siły  w  pr

ę

tach  układu  i  wielko

ś

ci 

wydłu

ż

enia i skrócenia odpowiednich pr

ę

tów 

1

∆

 i 

2

∆

. 

Przy  dowolnej  geometrii  układu  kłopotliwe  jest  po 
narysowaniu 

planu 

przemieszcze

ń

 

wyznaczenie 

współrz

ę

dnych 

wektora 

przemieszczenia 

punktu 

przyło

ż

enia siły 

).

,

(

'

A

A

v

u

A

A

 Łatwo mo

ż

na to zrobi

ć

 

post

ę

puj

ą

c w pokazany ni

ż

ej sposób. 

 

 

W  rozwa

ż

anym  punkcie  przyjmijmy  układ  odniesienia 

(u,  v)  w  którym  chcemy  wyznaczy

ć

  współrz

ę

dne 

wektora 

przemieszczenia.  Współrz

ę

dne  wersorów 

kierunkowych  pr

ę

tów  w  przyj

ę

tym  układzie  wynosz

ą

 

odpowiednio: 

(

)

α

α

sin

,

cos

1

e

 oraz  

(

)

β

β

sin

,

cos

2

−

e

 

i  ich  wyznaczenie  jest  proste  przy  znanej  geometrii 
układu. 
Korzystaj

ą

c  z  własno

ś

ci  iloczynu  skalarnego  wektorów 

mo

ż

emy napisa

ć

 układ równa

ń

: 









=

=

2

2

'

1

1

'

∆

∆

e

A

A

e

A

A

     

→      

(

)







=

+

−

=

+

2

1

sin

cos

sin

cos

∆

β

β

∆

α

α

A

A

A

A

v

u

v

u

, 

z  którego  nie  jest  trudno  wyliczy

ć

  obie  poszukiwane 

współrz

ę

dne 

A

u

 oraz 

A

v

. 

B

u

u 

AB

l

∆

α

α

B 

α

BC

l

∆

v 

B

’ 

B

v

A 

2 

1 

α

β

P 

1

e

2

∆

A 

2 

1 

α

β

u 

A

’ 

v 

1

∆

2

e

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

89 

W omawianym przykładzie przyjmuj

ą

 one warto

ś

ci: 

α

β

β

α

α

∆

β

∆

cos

sin

cos

sin

sin

sin

2

1

+

−

=

A

u

;      

α

β

β

α

α

∆

β

∆

cos

sin

cos

sin

cos

cos

2

1

+

+

=

A

v

. 

Przykład 9.8.9. 

Wyznaczy

ć

 siły w odkształcalnych pr

ę

tach układu statycznie wyznaczalnego 

i  współrz

ę

dne  wektora  przemieszczenia  punktu  K.  Dane  s

ą

  warto

ś

ci  obci

ąż

e

ń

,  moduły 

spr

ęż

ysto

ś

ci  i  wymiary  układu.  Nieodkształcalne  pr

ę

ty  układu  narysowane  zostały  grubymi 

liniami. 

 

 

 

 

 

 

 

 

W  celu  wyznaczenia  sił  w  odkształcalnych  pr

ę

tach  dokonujemy  podziału  konstrukcji,  a 

nast

ę

pnie rozpatrujemy warunki równowagi odci

ę

tych cz

ęś

ci.  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

P

N

a

P

a

N

M

D

2

0

*

4

2

*

0

2

2

=

=

−

→

=

Σ

             

P

N

a

P

a

N

a

N

M

C

3

0

*

2

*

*

0

1

2

1

=

=

+

−

→

=

Σ

 

Znajomo

ść

 sił w pr

ę

tach 1 oraz 2 pozwala wyznaczy

ć

 ich wydłu

ż

enia: 

1

1

1

3

A

E

a

P

=

∆

  oraz   

2

2

2

4

A

E

a

P

=

∆

. 

Przemieszczenie  punktu  K  b

ę

dzie  zale

ż

ało  od  przemieszczenia  punktu  B  spowodowanego 

wydłu

ż

eniem pr

ę

ta 1 oraz wydłu

ż

enia pr

ę

ta 2. 

Plan przemieszcze

ń

 pokazuje  rysunek ni

ż

ej. 

 
 
 
 
 

2 

1 

D

a 

P 

4P 

a 

a 

a 

a 

K

C

B

A

P 

C

B

A

N

2 

N

1 

a 

a 

a 

D

4P 

K

N

2 

a 

V

D 

H

D 

H

C 

V

C 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

90 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Poło

ż

enia  punktu  A  po  deformacji  poszukujemy  na  prostopadłej  do  pierwotnego  kierunku 

pr

ę

ta  1  i  prostopadłej  do  kierunku  odcinka  AC,  który  jest  nieodkształcalny.  Podobnie 

post

ę

pujemy w punkcie K.    

 Współrz

ę

dne przemieszczenia wektora punktu K wynosz

ą

: 

2

1

2

∆

∆

+

=

K

u

   i    

(

)

α

∆

∆

tg

2

2

1

+

=

K

v

 

gdzie: tg

 α

 

=

 

1/2.

 

 

Przykład 9.8.10. 

Pr

ę

t BC ( na odcinku B1 

– drewniany na odcinku 1C – stalowy), 
potrzymuje sztywn

ą

 ram

ę

 AD konstrukcji 

pr

ę

towej o geometrii i obci

ą

zeniu jak na 

rys. Wyznaczy

ć

 wymiar a pr

ę

ta BC z 

warunku no

ś

no

ś

ci , je

ś

li: wytrzymało

ść

 

obliczeniowa na rozci

ą

ganie stali 

215

=

s

R

  MPa, drewna 

8

=

d

R

  MPa, i 

warunku u

ż

ytkowania 

ż

adaj

ą

cym aby 

pionowe przemieszczenie punktu D  -   v

D

  

nie przekraczało 1 cm. Moduł spr

ęż

ysto

ś

ci 

wynosz

ą

: stali 

205

=

s

E

 GPa, drewna 

9

=

d

E

 GPa. 

 

Rozwiązanie

 

 
 
Obliczenie sił osiowych w pr

ę

cie BC. 

Sił

ę

 na odcinku B1 wyznaczymy z warunku 

zerowania si

ę

  momentów wzgl

ę

dem punktu 

A

  wszystkich sił działaj

ą

cych na odci

ę

t

ą

 

cz

ęść

 konstrukcji (rys. obok) 

∑

= 0

A

M

, 

0

2

4

10

2

4

12

2

4

1

=

−

+

*

*

*

*

N

B

, 

142

2

1

.

N

B

=

 kN. 

 
Siła na odcinku 1C jest równa: 

142

14

00

12

142

2

1

1

.

.

.

P

N

N

B

C

=

+

=

+

=

 kN. 

 

 

v 

α

 

K

2 

1 

D

C

B

K

α

 

∆

1 

B

’ 

A

’ 

2

∆

1

 

2

∆

1

 

+

∆

2

  

u 

a 

a 

a 

a 

a 

A

C 

4 m 

2 m 

P=12 kN 

A 

1 

B 

D 

a 

2a 

q=10 kN/m 

2 m 

4 m 

2 m 

q=10 kN/m 

N

B1 

C 

4 m 

P=12 kN 

A 

D 

4 m 

V

A 

H

A 

Adam  Bodnar:  Wytrzymało

ść

  Materiałów.  Osiowe rozci

ą

ganie i 

ś

ciskanie  

 

91 

Wyznaczenie wymiaru a z warunku no

ś

no

ś

ci: 

pr

ę

t stalowy: 

2

6

3

2

2

1

10

915

0

10

215

10

142

14

4

4

−

≥

→

≥

→

≤

*

.

a

*

*

.

a

R

a

N

s

C

π

π

 m, 

pr

ę

t drewniany: 

2

6

3

2

2

1

10

818

0

10

8

10

142

2

4

4

−

≥

→

≥

→

≤

*

.

a

*

*

.

a

R

a

N

d

B

 m.

 

 
Wyznaczenie wymiaru a przekroju pr

ę

ta z 

warunku u

ż

ytkowania. 

Pionowe przemieszczenie punktu D, które 
wynosi (patrz rys. obok) 

β

cos

DD

v

'

D

=

 

potrzebujemy wyrazi

ć

 poprzez wydłu

ż

enie 

pr

ę

ta BC. 

Z  planu przemieszcze

ń

 pokazanego obok  

odczytujemy,

 

832

0

6

4

6

2

2

.

cos

=

+

=

β

, 

α

α

tg

.

tg

DD

'

211

7

6

4

2

2

=

+

=

  

'

CC

tg

2

4

=

α

 

 

Wydłu

ż

enie pr

ę

ta BC : 

 

 

=

+

=

+

=

+

=

=

4

10

205

2

2

142

14

4

10

9

2

2

142

2

2

9

2

9

1

1

1

1

1

1

1

1

a

*

*

*

.

a

*

*

*

.

A

*

E

l

N

A

*

E

l

N

l

l

CC

l

C

s

C

C

B

d

B

B

C

B

'

BC

π

∆

∆

∆

 

 

2

9

10

417

0

−

−

=

a

*

.

 

Pionowe przemieszczenie punktu D: 

2

9

10

152

14

938

33

−

−

=

=

=

a

*

.

CC

*

.

cos

DD

v

'

'

D

β

, 

st

ą

d warunek u

ż

ytkowania daje:  

2

2

2

9

10

189

1

10

1

10

152

14

−

−

−

−

≥

→

≤

*

.

a

*

a

*

.

 m. 

Jak wid

ą

c z oblicze

ń

 o wielko

ś

ci a decyduje w tym przypadku stan graniczny u

ż

ytkowania i 

ostatecznie przyj

ę

to do wykonania 

20

1.

a

=

cm. 

 

Przykład 9.8.11. 

Wyznaczy

ć

 siły w pr

ę

tach układu pokazanego na rysunku, obci

ąż

onego sił

ą

  

P 

=  48  kN  je

ś

li  przekroje  wszystkich  pr

ę

tów  s

ą

  jednakowe  o  polu  A  =  2  cm

2 

.  Okre

ś

li

ć

 

poło

ż

enie  punktu  przyło

ż

enia  siły  po  deformacji  je

ś

li  moduł  Younga  materiału  pr

ę

tów    E  = 

205 GPa. 
  

C 

v

D 

A 

α

B 

D 

D

’ 

C

’ 

α

B 

β

4 m 

2 m 

4 m