1

1. Liczby wymierne dodatnie

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Borys miał

15

krówek,

20

irysów i

45

landrynek. Cukierki każdego rodzaju dzielił na równe

części i wkładał do torebek. Ile było torebek, jeśli w każdej znajdowało się tyle samo

cukierków?

A. 1 lub

5

B. 1,

5

lub

10

C.

5

lub

15

D.

5

,

10

lub

15

Zadanie 2

Liczbę trzycyfrową zapisano dwukrotnie obok siebie, otrzymując liczbę sześciocyfrową. Ile

razy tak otrzymana liczba jest większa od początkowej liczby trzycyfrowej?

A.

10100

B.

11

C.

101

D.

1001

Zadanie 3

Mirek, który na Ziemi waży

75 kg

, na Marsie ważyłby

38

,

0

tego, co na Ziemi, a na Jowiszu

o

169,5 kg

więcej niż na Marsie. Ile na Jowiszu ważyłaby Mirka, skoro na Ziemi waży

60 kg

?

A.

229,5 kg

B.

282,5 kg

C.

146, 7 kg

D.

158, 4 kg

Zadanie 4

Znajdź liczbę, która jest o tyle samo większa od

4

1

, co mniejsza od

25

,

1

.

Zadanie 5

Stop, z którego odlewa się posążki, składa się z miedzi, cyny i żelaza w stosunku

4

:

6

:

10

.

Uzupełnij tabelę, wpisując właściwe ilości składników potrzebnych do odlania posążka o

masie 350 g .

Miedź

Cyna

Żelazo

2

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Marek i Jurek mierzyli odległość między sosną i brzozą za pomocą kijów. Kij Marka miał

długość

70 cm

, a Jurka

60 cm

. W czasie mierzenia końce kijów chłopców, nie licząc

momentu rozpoczęcia, pokryły się dziesięć razy. Odległość między sosną i brzozą jest równa:

A.

42 m

B.

84 m

C.

0, 42 m

D.

8, 4 m

Zadanie 2

Stosunek mleka do kakao w napoju czekoladowym jest równy

12 :16

. Jaką część napoju

stanowi mleko?

A.

4

3

B.

7

3

C.

3

2

D.

5

4

Zadanie 3

Suma liczby

4

1

1

i liczby do niej odwrotnej jest większa od iloczynu tych liczb o:

A.

64

,

1

B.

0775

,

0

C.

5

,

2

D.

1, 05

Zadanie 4

Prawdą jest, że:

I.

4

2

1

2

3

1

1





□ TAK □ NIE

II.

8

5

8

5

2

4

1

3





□ TAK □ NIE

III.

5

1

3

1

6

,

0





□ TAK □ NIE

IV.

2

4 : 2

1

5



□ TAK □ NIE

Zadanie 5

W pewnej szkole

3

2

wszystkich chłopców uprawia sport, a

375

,

0

z nich trenuje piłkę nożną.

Jaka część wszystkich chłopców w szkole nie trenuje piłki nożnej?

3

ODPOWIEDZI

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Borys miał

15

krówek,

20

irysów i

45

landrynek. Cukierki każdego rodzaju dzielił na równe

części i wkładał do torebek. Ile było torebek, jeśli w każdej znajdowało się tyle samo

cukierków?

A. 1 lub

5

B. 1,

5

lub

10

C.

5

lub

15

D.

5

,

10

lub

15

Liczba torebek jest wspólnym dzielnikiem liczb

15

,

20

i

45

.

Wypisujemy dzielniki tych liczb.

Wspólne dzielniki tych liczb to 1 i

5

.





15

1, 3, 5, 15

D







20

1, 2, 4, 5, 10, 20

D







45

1, 3, 5, 9, 15, 45

D



Odpowiedź: A.

Zadanie 2

Liczbę trzycyfrową zapisano dwukrotnie obok siebie, otrzymując liczbę sześciocyfrową. Ile

razy tak otrzymana liczba jest większa od początkowej liczby trzycyfrowej?

A.

10100

B.

11

C.

101

D.

1001

Niech początkową liczbą będzie

c

b

a





10

100

, gdzie

a ,

b

,

c – pewne cyfry i a – cyfra

różna od zera.

Otrzymana liczba sześciocyfrowa to

c

b

a

c

b

a











10

100

1000

10000

100000

.

Wtedy:

100000

10000

1000

100

10

a

b

c

a

b c









 

100100

10010

1001

1001(100

10

)

a

b

c

a

b c













Zadanie można rozwiązać w prostszy sposób.

Wybieramy dowolną liczbę trzycyfrową, np.

100

i tworzymy liczbę sześciocyfrową 100100.

Znajdujemy iloraz tych liczb:

1001

100

:

100100



.

Z treści zadania wnioskujemy, że szukany iloraz będzie taki sam dla każdej liczby

4

trzycyfrowej, zatem także dla liczby 100.

Odpowiedź: D.

Zadanie 3

Mirek, który na Ziemi waży 75 kg , na Marsie ważyłby 38

,

0

tego, co na Ziemi, a na Jowiszu

o

169,5 kg

więcej niż na Marsie. Ile na Jowiszu ważyłaby Mirka, skoro na Ziemi waży

60 kg

?

A. 229,5 kg

B. 282,5 kg

C. 146, 7 kg

D. 158, 4 kg

Obliczamy, ile Mirek ważyłby na Marsie.

5

,

28

38

,

0

75





(kg)

Obliczamy, ile Mirek ważyłby na Jowiszu.

198

5

,

169

5

,

28





(kg)

Jednemu kilogramowi na Ziemi odpowiada

198

kg

75

na Jowiszu, zatem

60

kg na Ziemi

odpowiada

75

198

60



kg na Jowiszu.

Obliczamy, ile Mirka ważyłaby na Jowiszu.

60

4

198

75



5

4 198

158, 4

5







(kg)

Odpowiedź: D.

Zadanie 4

Znajdź liczbę, która jest o tyle samo większa od

4

1

, co mniejsza od

25

,

1

.

Szukana liczba to średnia arytmetyczna liczb

4

1

i

25

,

1

.

75

,

0

2

25

,

1

25

,

0

2

25

,

1

4

1









Odpowiedź: Jest to liczba

0, 75

.

Zadanie 5

Stop, z którego odlewa się posążki, składa się z miedzi, cyny i żelaza w stosunku

4

:

6

:

10

.

Uzupełnij tabelę, wpisując właściwe ilości składników potrzebnych do odlania posążka o

masie

350 g

.

Miedź

Cyna

Żelazo

5

Składniki stopu są w stosunku

.

4

:

6

:

10

Masę stopu dzielimy więc na

20

równych

części.

20

4

6

10







5

,

17

20

:

350



(g)

Masa miedzi to

10

z tych części.

175

5

,

17

10





(g)

Masa cyny to

6

z tych części.

105

6

5

,

17





(g)

Masa żelaza stanowi 4 z tych części.

70

4

5

,

17





(g)

Odpowiedź: Miedź –

175 g

, cyna –

105 g

, żelazo –

70 g

.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. A. 2. B. 3. D. 4. I – NIE, II – TAK, III – NIE, IV – TAK. 5.

4

3

.

6

2. Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Liczby

0

n



,

1

a



,

10

m

 

oraz

6

i

 

uporządkowano od najmniejszej do największej.

Zaznacz tę kolejność.

A. n , i , m , a

B. a , m , i , n

C. i , n , a , m

D. m , i , n , a

Zadanie 2

Liczba

25

,

0



nie jest wynikiem działania:

A.

 

4

:

1





B.

4

5

1



C.

5

,

0

2

1





D.

2

:

5

,

0



Zadanie 3

Aby otrzymać

5

4

1



, liczbę

6

5

należy odjąć od:

A.

30

19

2



B.

30

19

2

C.

30

29

D.

30

29



Zadanie 4

Suma dwóch liczb, z których pierwsza jest o

2

1

1

mniejsza od drugiej, jest równa

5

,

3



.

Oblicz iloczyn tych liczb.

Zadanie 5

Pan Izydor hoduje kaczki, gęsi i kury. W sumie ma

312

ptaków. Najmniej ma kaczek, a

najwięcej kur. Liczby kaczek, gęsi i kur to kolejne wielokrotności

13

. Ile kur ma pan Izydor?

7

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Które z poniższych działań daje najmniejszy wynik?

A.

   

2

1

2

2









B.

2

1

2

2





C.

2

1

2

2

1

















D.

2

2

1

:

2

1















Zadanie 2

Ile z liczb:

6, 5

,

3,5



,

8, 5

,

1



,

5, 2



leży na osi liczbowej w odległości mniejszej niż 6 od

2 ?

A. 0

B. 1

C.

3

D.

5

Zadanie 3

Pomyślano o pewnej liczbie, pomnożono ją przez

10

, a następnie wynik podzielono przez

5

.

Do wyniku dodano

3

, sumę tę pomnożono przez

2



i otrzymano liczbę przeciwną do

pomyślanej. Liczba, o której pomyślano, to:

A. 2

B.

2



C. 1

D. 1



Zadanie 4

Oblicz trzecią część wartości wyrażenia

 

4

0,1

:

2

5





.

Zadanie 5

Znajdź liczbę, której

2

1

3

jest równe wartości wyrażenia





10

1

: 2

0,1

2, 4 : 0,8

2,8 :

0,7









.

8

ODPOWIEDZI

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Liczby

0

n



,

1

a



,

10

m

 

oraz

6

i

 

uporządkowano od najmniejszej do największej.

Zaznacz tę kolejność.

A. n , i , m , a

B. a , m , i , n

C. i , n , a , m

D. m , i , n , a

Dowolna liczba dodatnia jest większa od

każdej liczby ujemnej. Zatem największa

liczba to 1.

Z dwóch liczb ujemnych ta jest mniejsza,

która leży dalej od zera na osi liczbowej.

Zatem najmniejsza liczba to

10



.

1

0

6

10











Odpowiedź: D.

Zadanie 2

Liczba

25

,

0



nie jest wynikiem działania:

A.

 

4

:

1





B.

4

5

1



C.

5

,

0

2

1





D.

2

:

5

,

0



Wykonujemy każde z działań.

 

25

,

0

25

,

0

4

1

4

:

1













25

,

0

4

1

4

5

1











25

,

0

5

,

0

5

,

0

5

,

0

2

1















25

,

0

2

:

5

,

0







Odpowiedź: A.

9

Zadanie 3

Aby otrzymać

5

4

1



, liczbę

6

5

należy odjąć od:

A.

30

19

2



B.

30

19

2

C.

30

29

D.

30

29



Poszukiwana liczba jest o

6

5

większa od













5

4

1

.

30

29

30

25

30

54

6

5

5

9

6

5

5

4

1





















Odpowiedź: D.

Zadanie 4

Suma dwóch liczb, z których pierwsza jest o

2

1

1

mniejsza od drugiej, jest równa

5

,

3



.

Oblicz iloczyn tych liczb.

Obliczamy większą z tych liczb.

1

2

2

2

5

,

1

5

,

3

2

2

1

1

5

,

3



















Obliczamy mniejszą z tych liczb.

2

1

2

2

1

1

1









Obliczamy iloczyn tych liczb.

2

1

2

2

1

2

1



















Odpowiedź: Iloczyn tych liczb wynosi

2

1

2

.

Zadanie 5

Pan Izydor hoduje kaczki, gęsi i kury. W sumie ma

312

ptaków. Najmniej ma kaczek, a

najwięcej kur. Liczby kaczek, gęsi i kur to kolejne wielokrotności

13

. Ile kur ma pan Izydor?

Z treści zadania wynika, że gęsi jest o

13

więcej niż kaczek, a kur jest o

26

(

2 13

26

 

)

więcej niż kaczek.

Gdyby gęsi było o

13

mniej, a kur o

26

mniej, to gęsi i kur byłoby tyle, ile kaczek.

10

Jeśli od

312

odejmiemy sumę liczb

13

i

26

oraz otrzymany wynik podzielimy przez

3

,

dowiemy się, ile było kaczek.

91

3

273

3

39

312

3

)

26

13

(

312













Obliczamy, ile kur ma pan Izydor.

117

26

91





Odpowiedź: pan Izydor ma 117 kur.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. B. 2. C. 3. B. 4.

0,1



. 5. 7 .

11

3. Potęgi

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Wiadomo, że

1024

2

10



. Która z podanych liczb jest największa?

A.

2

22

B.

22

2

C.

2

2

2

D.

 

2

2

22

Zadanie 2

Jeżeli

2

9

81



,

2

99

9801



,

2

999

998001



,

2

9999

99980001



, to liczba

2

99999

jest równa:

A.

9998800001

B.

9999880001

C.

9999800011

D.

9999800001

Zadanie 3

Równość

 

10

2

3

11

11

:

11



a

jest prawdziwa, gdy liczba

a jest równa:

A.

6

B. 4

C.

9

D.

10

Zadanie 4

Zaznacz, która z nierówności jest prawdziwa, a która fałszywa.

I.

 

 

15

15

0, 6

0,3



□ PRAWDA □ FAŁSZ

II.

15

15

1

1

6

3

 

 



 

 

 

 

□ PRAWDA □ FAŁSZ

III.

 

 

15

15

0

,

3

0

,

6



□ PRAWDA □ FAŁSZ

IV.

 

 

12

12

6

,

3

3

,

6



□ PRAWDA □ FAŁSZ

Zadanie 5

Oblicz.





0

1

1

2

25

,

0

3

3

2

:

2

1

1

































12

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Ile wynosi kwadrat liczby

9

?

A.

18

B.

36

C.

27

D.

81

Zadanie 2

Ile trójek należy dodać, żeby wynik dodawania był równy

4

3

?

A. 12

B.

27

C.

81

D.

9

Zadanie 3

Jeśli

 

m

12

12

3

12



, to:

A. 6

B. 4

C.

9

D.

10

Zadanie 4

Połącz słowny zapis liczb z ich zapisem liczbowym.

A. sto milionów

I.

2

10



B. jedna miliardowa

II.

9

10



C. jedna setna

III.

6

10

D. tysiąc tysięcy

IV.

8

10

Zadanie 5

Wzorując się na podanych równościach, uzupełnij tabelę.

Pierwsza liczba

Druga liczba

Równość

1

2

2

2

1

1

2

2







2

3

3

3

2

2

2

2







3

4

4

4

3

3

2

2







4

5

5

5

4

4

2

2







5

6

7

n

1

n



13

ODPOWIEDZI

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Wiadomo, że

1024

2

10



. Która z podanych liczb jest największa?

A.

2

22

B.

22

2

C.

2

2

2

D.

 

2

2

22

Szacujemy wartości potęg o podstawie

22

.

900

30

22

2

2





 

2

2

4

4

22

22

30

810 000







Obliczamy

2

2

2 .

16

2

2

4

2

2





Szacujemy wartość potęgi

22

2 .

22

2 20

2

20

10 10

10

10

2

2

2 2

4 2

4 2

2











 

 



10

10

4 2

2

4 1000 1000

4000000





 





Wybieramy największą z otrzymanych liczb.

4000000

810000

900

16







Odpowiedź: B.

Zadanie 2

Jeżeli

2

9

81



,

2

99

9801



,

2

999

998001



,

2

9999

99980001



, to liczba

2

99999 jest równa:

A.

9998800001

B.

9999880001

C.

9999800011

D.

9999800001

Należy zauważyć, jak w kolejnych potęgach zmieniają się cyfry. W każdej potędze cyfrą

jedności jest 1. Liczba zer wzrasta o jeden, cyfra

8

pozostaje bez zmian, a liczba dziewiątek

zwiększa się o jeden.

Zatem w potędze liczby

2

99999

powinna

znaleźć się jedna cyfra 1, cztery cyfry 0 ,

jedna cyfra 8 i cztery cyfry

9

.

9999800001

99999

2



Odpowiedź: D.

14

Zadanie 3

Równość

 

10

2

3

11

11

:

11



a

jest prawdziwa, gdy liczba a jest równa:

A.

15



m

B.

9



m

C.

4



m

D.

36



m

Potęgując potęgę, mnożymy wykładniki.

 

3

2

11

:11

a

L





Dzieląc potęgi o tych samych podstawach,

odejmujemy wykładniki.

3

2

3

2

11 :11

11

a

a







Aby lewa strona była równa prawej,

wykładniki potęg muszą być równe.

10

2

3

11

11





a

3

2 10

a

 

3

12

a



4

a



Odpowiedź: B.

Zadanie 4

Zaznacz, która z nierówności jest prawdziwa, a która fałszywa.

I.

 

 

15

15

0, 6

0,3



□ PRAWDA □ FAŁSZ

II.

15

15

1

1

6

3

 

 



 

 

 

 

□ PRAWDA □ FAŁSZ

III.

 

 

15

15

0

,

3

0

,

6



□ PRAWDA □ FAŁSZ

IV.

 

 

12

12

6

,

3

3

,

6



□ PRAWDA □ FAŁSZ

Z dwóch potęg o jednakowych wykładnikach

ta jest większa, której podstawa jest większa.

3

,

0

6

,

0



, stąd

 

 

15

15

3

,

0

6

,

0



3

1

6

1



, stąd

15

15

3

1

6

1



























0

,

3

0

,

6



, stąd

 

 

15

15

0

,

3

0

,

6



6

,

3

3

,

6



, stąd

 

 

12

12

6

,

3

3

,

6



Odpowiedź: I – PRAWDA, II – PRAWDA, III – FAŁSZ, IV – PRAWDA.

15

Zadanie 5

Oblicz.





0

1

1

2

25

,

0

3

3

2

:

2

1

1

































Aby obliczyć potęgę liczby

mieszanej, najpierw należy zamienić

ją na ułamek niewłaściwy.

Każda liczba podniesiona do potęgi

pierwszej daje tę samą liczbę.

Każda liczba różna od zera

podniesiona do potęgi zerowej jest

równa 1.





2

1

2

1

1

0

1

2

3

2

1

1

:

3

:

9

3

1

2

3

2

3

3

1

4

2

3

0, 25













 

 









 

 

 





 

 





  

 

 



4 3

1

2

1

1

9 2

3

3

3

     

Odpowiedź:

1

.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. D. 2. B. 3. D. 4. A – IV, B – II, C – I, D – III. 5.

)

1

(

)

1

(

2

2











n

n

n

n

.

16

4. Pierwiastki

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Cyfra jedności sumy

49

25



to:

A.

5

B.

7

C. 4

D. 2

Zadanie 2

Która z liczb:

0,36

,

0, 09

,

0, 0064

,

0, 000081

jest największa?

A.

36

,

0

B.

09

,

0

C.

0064

,

0

D.

0,000081

Zadanie 3

Ile wynosi długość krawędzi sześcianu o objętości

3

27 dm

?

A.

9 dm

B.

6 dm

C.

3dm

D.

18dm

Zadanie 4

Oblicz pierwiastek kwadratowy z czwartej potęgi liczby cztery.

Zadanie 5

Zapisz wyrażenie

3

3

3

3

2

2

128

16







w najprostszej postaci.

17

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Liczba

16

1

3

jest:

A. większa od

3

B. mniejsza od

3

C. równa

3

D. większa od 4

Zadanie 2

Liczba

16

to:

A.

16

B. 4

C. 2

D. 1

Zadanie 3

Po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka w liczbie 245 otrzymujemy:

A.

5

7

B.

7

5

C.

5

3

D.

3

5

Zadanie 4

Odległość na osi liczbowej między liczbami

3

64 i

64



jest równa:

A. 4

B.

8



C.

12



D. 12

Zadanie 5

Zaznacz, które równości są prawdziwe, a które fałszywe.

I.

4

3

4

3







□ PRAWDA □ FAŁSZ

II.

4

3

4

3







□ PRAWDA □ FAŁSZ

III.

4

3

4

3



□ PRAWDA □ FAŁSZ

IV. 4 3

4

3

 



□ PRAWDA □ FAŁSZ

18

ODPOWIEDZI

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Cyfra jedności sumy

49

25



to:

A.

5

B.

7

C. 4

D. 2

Obliczamy pierwiastki i dodajemy je.

12

7

5

49

25









Cyfra jedności danej liczby to pierwsza cyfra

z prawej strony.

Cyfra jedności 12 to 2 .

Odpowiedź: D.

Zadanie 2

Która z liczb: 0,36 , 0,09 , 0,0064 , 0,000081 jest największa?

A.

36

,

0

B.

09

,

0

C.

0064

,

0

D.

0,000081

Obliczamy pierwiastki.

6

,

0

36

,

0



3

,

0

09

,

0



08

,

0

0064

,

0



009

,

0

000081

,

0



Porównujemy otrzymane liczby.

009

,

0

08

,

0

3

,

0

6

,

0







Odpowiedź: A.

Zadanie 3

Ile wynosi długość krawędzi sześcianu o objętości

3

27 dm

?

A. 9 dm

B. 6 dm

C. 3dm

D. 18dm

Objętość sześcianu o krawędzi a jest równa

3

a

.

27

3



a

3

27

a



19

3

a



3dm

a



Odpowiedź: C.

Zadanie 4

Oblicz pierwiastek kwadratowy z czwartej potęgi liczby cztery.

Obliczamy czwartą potęgę liczby cztery.

256

4

4



Obliczamy pierwiastek kwadratowy z

czwartej potęgi liczby cztery.

16

256



Odpowiedź:

16

.

Zadanie 5

Zapisz wyrażenie

3

3

3

3

2

2

128

16







w najprostszej postaci.

Wyłączamy czynniki przed znaki

pierwiastków.

3

3

3

3

3

2

2

2

8

2

8

16















3

3

3

3

3

2

4

2

64

2

64

128



















Dodajemy i dzielimy.

1

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

128

16

3

3

3

3

3

3

3

3

3



















Odpowiedź:

1



.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. B. 2. C. 3. A. 4. D. 5. I – PRAWDA, II – FAŁSZ, III – PRAWDA, IV – FAŁSZ.

20

5. Procenty

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Stosunek masy srebra do masy złota w pewnym stopie jest równy

3 : 2

. Ile procent srebra jest

w tym stopie?

A.

%

30

B.

%

10

C.

%

60

D.

%

50

Zadanie 2

Ile wynosi masa ciała Krystyny, jeśli po obiedzie zwiększyła się o

%

1

?

A.

10

,

1

początkowej masy ciała

C.

0

,

11

początkowej masy ciała

B.

01

,

1

początkowej masy ciała

D.

10

,

0

początkowej masy ciała

Zadanie 3

Janek ma

180 cm

wzrostu i jest o

20%

wyższy od Janki. Dziewczyna:

A. jest prawie o

10 cm

niższa od Janka

C. jest o

30 cm

niższa od Janka

B. ma

160 cm

wzrostu

D. ma niecałe

150 cm

wzrostu

Zadanie 4

Rano na pałacowym dziedzińcu zjawili się muszkieterzy. Do królewskich komnat udało się

10%

z nich, a

50%

pozostałych wsiadło na konie i odjechało. Na dziedzińcu pozostało tylko

dziewięciu muszkieterów. Ilu muszkieterów zjawiło się rano na dziedzińcu?

Zadanie 5

Pewien naukowiec uzyskał

40

tys. zł rocznego dochodu ze sprzedaży wynalezionego przez

siebie wehikułu czasu. Niestety, od połowy tej kwoty musiał zapłacić podatek o wartości

19%

. Oblicz dochód naukowca po odliczeniu podatku.

21

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Witek zjadł

20

3

całego arbuza. Ile procent arbuza pozostało mu jeszcze do zjedzenia?

A.

%

17

B.

%

80

C.

%

75

D.

%

85

Zadanie 2

Pizzę podzielono na dwie części w stosunku

1

:

3

. Ile procent całej pizzy stanowi jej większa

część?

A.

%

3

B.

%

30

C.

%

75

D.

%

40

Zadanie 3

Basia na początku roku szkolnego miała 150 cm wzrostu, a na końcu – 160 cm . O ile procent

urosła w ciągu tego roku?

A. więcej niż

60%

B. więcej niż

6%

C. mniej niż

6%

D. mniej niż

1%

Zadanie 4

Na choince wisi

30

bombek: białe i czerwone. Liczba czerwonych bombek stanowi

20%

liczby białych bombek. Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

I. Czerwonych bombek jest o

20

mniej niż białych.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

II. Białych bombek jest pięć razy więcej niż czerwonych.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

III. Jest sześć bombek czerwonych i 14 białych.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

IV. Białych bombek jest nie więcej niż

15

.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

Zadanie 5

Do

35 g

wody dolano

5 g

czystego kwasu octowego. Oblicz stężenie procentowe tak

otrzymanego roztworu.

22

ODPOWIEDZI

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Stosunek masy srebra do masy złota w pewnym stopie jest równy

3 : 2

. Ile procent srebra jest

w tym stopie?

A.

%

30

B.

%

10

C.

%

60

D.

%

50

Jeśli masę stopu podzielimy na pięć (

3 2



)

równych części, to trzy z tych części stanowi

srebro.

%

60

100

60

5

3





Odpowiedź: C.

Zadanie 2

Ile wynosi masa ciała Krystyny, jeśli po obiedzie zwiększyła się o

%

1

?

A.

10

,

1

początkowej masy ciała

C.

0

,

11

początkowej masy ciała

B.

01

,

1

początkowej masy ciała

D.

10

,

0

początkowej masy ciała

Masa ciała Krystyny jest równa

101%

(

%

101

%

1

%

100





) początkowej masy.

01

,

1

100

101

%

101





Odpowiedź: B.

Zadanie 3

Janek ma

180 cm

wzrostu i jest o

20%

wyższy od Janki. Dziewczyna:

A. jest prawie o

10 cm

niższa od Janka

C. jest o

30 cm

niższa od Janka

B. ma

160 cm

wzrostu

D. ma niecałe

150 cm

wzrostu

Wzrost Janka stanowi

%

120

wzrostu Janki.

Obliczamy wzrost Janki.

150

2

,

1

180

%

120

180





(cm)

Odpowiedź: C.

23

Zadanie 4

Rano na pałacowym dziedzińcu zjawili się muszkieterzy. Do królewskich komnat udało się

10%

z nich, a

50%

pozostałych wsiadło na konie i odjechało. Na dziedzińcu pozostało tylko

dziewięciu muszkieterów. Ilu muszkieterów zjawiło się rano na dziedzińcu?

Obliczamy, jaki procent

muszkieterów pozostał na

dziedzińcu.





90 50

45

100% 10% 50%

90% 50%

45%

100 100

100



















Dziewięciu muszkieterów to

45%

(czyli 0,45) wszystkich muszkieterów.

Obliczamy, ilu muszkieterów

zjawiło się rano na placu.

20

45

,

0

9



Odpowiedź: Na placu zjawiło się 20 muszkieterów.

Zadanie 5

Pewien naukowiec uzyskał

40

tys. zł rocznego dochodu ze sprzedaży wynalezionego przez

siebie wehikułu czasu. Niestety, od połowy tej kwoty musiał zapłacić podatek o wartości

19%

. Oblicz dochód naukowca po odliczeniu podatku.

Obliczamy, ile złotych podatku zapłacił

naukowiec.

3800

20000

100

19

2

40000

%

19





















(zł)

Obliczamy dochód po odliczeniu podatku.

36200

3800

40000





(zł)

Odpowiedź: Po odliczeniu podatku dochód naukowca wynosi

36200

zł.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. D. 2. C. 3. B. 4. I – PRAWDA, II – PRAWDA, III – FAŁSZ, IV – FAŁSZ. 5.

%

5

,

12

.

24

6. Wyrażenia algebraiczne

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Julia kupiła

5 kg

gruszek po

x zł za kilogram i

2 kg

jabłek po

y

zł za kilogram. Podała

kasjerce banknot stuzłotowy. Ile reszty otrzymała?

A.

100 5

2

x

y





B.





100 2 2,5x

y





C.





100 2 2,5x

y





D.

100 5

2

x

y





Zadanie 2

Pole trójkąta o bokach a , b i c wyraża się wzorem









P

p p a

p b

p c









, gdzie

2

a b c

p

 



. Pole trójkąta o bokach

6

,

10

i

8

jest równe:

A.

48

B.

24

C. 12 2

D.

120

Zadanie 3

Jeśli spośród trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych największa jest liczba n , to

najmniejsza z tych liczb wynosi:

A.

2

n



B.

4

n



C.

2

n



D.

4

n



Zadanie 4

Ciastka w cenie

x zł za kilogram zmieszano z ciastkami o

5

zł droższymi w stosunku

2

:

3

,

otrzymując kilogram mieszanki. Określ, co opisuje wyrażenie

5

)

5

(

2

3





x

x

.

Zadanie 5

Czy działania wykonano poprawnie?

I.





x

x

x

x

x

2

3

2

5

)

2

(

5



















□ TAK □ NIE

II.





b

a

b

a

a

b

a

















3

3

3

3

□ TAK □ NIE

III.



 





2

2

2

1

1

1

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x







 

   





□ TAK □ NIE

IV.

4

2

2

2

2

)

1

(

2

)

1

(

2

















x

x

x

x

□ TAK □ NIE

25

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Jeżeli

V

m

p



, to:

A.

mp

V



B.

p

m

V



C.

m

p

V



D.

m

p

V





Zadanie 2

Po wykonaniu redukcji wyrazów podobnych wyrażenie

y

x

x

y

x









8

3

2

5

ma postać:

A.

y



B.

y

x

3

8





C. 0

D.

y

x



Zadanie 3

Ile wynosi średnia arytmetyczna trzech liczb, z których pierwsza to m , a każda następna jest

dwukrotnie większa od poprzedniej?

A.

2



m

B.

3

5m

C.

3

4

3



m

D.

3

7m

Zadanie 4

Wyrażenie, które dla

2



x

ma wartość 2 , to:

I.

2

2



x

□ TAK □ NIE

III.

2

3

x

□ TAK □ NIE

II.

2

2

x

□ TAK □ NIE

IV.

2

x

□ TAK □ NIE

Zadanie 5

Samochód i rowerzysta wyruszyli jednocześnie z tego samego miejsca. Rowerzysta jechał z

prędkością

km

h

x

, a samochód – cztery razy szybciej. Po dwóch godzinach jazdy samochód

zwiększył prędkość o

km

10

h

, a rowerzysta zmniejszył o

km

1

h

. Uzupełnij zdania, wpisując

odpowiednie wyrażenia algebraiczne.

Samochód w ciągu pierwszych dwóch godzin przejechał drogę długości ……

km

.

Rowerzysta przejechał drogę długości

(4

2) km

x



w ciągu …… godzin. Po trzech godzinach

jazdy samochód znajdował się w odległości ……

km

od rowerzysty.

26

ODPOWIEDZI

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Julia kupiła

5 kg

gruszek po x zł za kilogram i

2 kg

jabłek po

y

zł za kilogram. Podała

kasjerce banknot stuzłotowy. Ile reszty otrzymała?

A.

100 5

2

x

y





B.





100 2 2,5x

y





C.





100 2 2,5x

y





D.

100 5

2

x

y





Obliczamy, ile kosztowały gruszki i jabłka.

5

2

x

y



Obliczamy, ile reszty otrzymała Julia.









100

5

2

100 2 2,5

x

y

x

y











Odpowiedź: B.

Zadanie 2

Pole trójkąta o bokach a , b i c wyraża się wzorem









P

p p a

p b

p c









, gdzie

2

a b c

p

 



. Pole trójkąta o bokach 6 ,

10

i

8

jest równe:

A.

48

B.

24

C. 12 2

D.

120

Obliczamy połowę obwodu trójkąta.

6 10 8

12

2

2

a b c

p

 

 







Obliczamy pole, korzystając z podanego

wzoru.









12 12 6 12 10 2 8

P









12 6 2 4

144 4

12 2

24

P



   

   

Odpowiedź: B.

Zadanie 3

Jeśli spośród trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych największa jest liczba n , to

najmniejsza z tych liczb wynosi:

A.

2

n



B.

4

n



C.

2

n



D.

4

n



Kolejne liczby parzyste różnią się o 2 .

n – największa liczba

27

2



n

– środkowa liczba

4

2

2









n

n

– najmniejsza liczba

Odpowiedź: B.

Zadanie 4

Ciastka w cenie x zł za kilogram zmieszano z ciastkami o

5

zł droższymi w stosunku

2

:

3

,

otrzymując kilogram mieszanki. Określ, co opisuje wyrażenie

5

)

5

(

2

3





x

x

.

Ciastka zmieszano w stosunku

2

:

3

, co oznacza, że trzy z pięciu części stanowią tańsze

ciastka, a dwie z pięciu części – droższe (

5

x



zł za kilogram). Tańsze ciastka ważą

3

kg

5

, a

droższe

2

kg

5

.

Wyrażenie





3

2

2

5

5

x

x





opisuje cenę

1 kg

mieszanki.









3

2

5

3

2

5

5

5

5

x

x

x

x











Odpowiedź: Podane wyrażenie opisuje cenę kilograma mieszanki.

Zadanie 5

Czy działania wykonano poprawnie?

I.





x

x

x

x

x

2

3

2

5

)

2

(

5



















□ TAK □ NIE

II.





b

a

b

a

a

b

a

















3

3

3

3

□ TAK □ NIE

III.



 





2

2

2

1

1

1

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x







 

   





□ TAK □ NIE

IV.

4

2

2

2

2

)

1

(

2

)

1

(

2

















x

x

x

x

□ TAK □ NIE

Odejmując sumę, zmieniamy w nawiasie

znaki na przeciwne.





x

x

x

x

x

2

7

2

5

)

2

(

5



















Mnożąc sumę przez liczbę, mnożymy każdy

jej składnik przez tę liczbę.





b

a

b

a

a

b

a

3

3

3

3

3

3

















Odpowiedź: I – NIE, II – NIE, III – TAK, IV – TAK.

28

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. B. 2. A. 3. D. 4. I – NIE, II – NIE, III – TAK, IV – NIE. 5.

8x

, 4 ,

9

11

x



.

29

7. Równania

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Liczba

1



jest rozwiązaniem równania:

A.

1

a

a

 

B.

2

1

a

a

 

C.





3

1

0

a

 

D.

1

2

a

a

  

Zadanie 2

Obie strony równania

2

4

6

y

y

 

podzielono przez 2 , a następnie do obu stron dodano

6

.

Które równanie otrzymano?

A.

4

3

6

y

y

 



B.

2

3

6

y

y

 



C.

2

6

y

y

  

D.

1 3

2

y

y

 



Zadanie 3

Kisząc ogórki, do słoja zawierającego 0,75 kg tych warzyw dodaje się jedną łyżeczkę soli.

Ile łyżeczek soli trzeba dodać do beczki zawierającej

12 kg

ogórków?

A. 14

B.

16

C.

9

D. 12

Zadanie 4

Długość pokoju Majki na planie wykonanym w skali

1: 200

jest o

1,5cm

większa niż na

planie wykonanym w skali

1: 500

. Oblicz długość pokoju Majki, układając i rozwiązując

odpowiednie równanie.

Zadanie 5

Pani Krystyna ma dwa razy więcej szali niż kapeluszy. Każdy szal i kapelusz ma inny kolor.

Pani Krystyna może założyć szal i kapelusz na osiem sposobów. Oblicz, ile kapeluszy i ile

szali ma pani Krystyna.

30

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Wskaż równanie, które ma tylko jedno rozwiązanie.

A.

1

3

1 3

3

x

x





 











C.

1

1

3

1

2

1

3

2

x

x









 



















B.

1

1

1

1

3

3

2

2

2

3

x

x







D.

1

1

3

1

2

3

2

x

x









 



















Zadanie 2

Dwa ptysie kosztują tyle samo co trzy napoleonki. Jeżeli za trzy ptysie i dwie napoleonki

zapłacono

13

zł, to:

A. napoleonka jest o złotówkę droższa od ptysia

B. napoleonka jest złotówkę tańsza od ptysia

C. cena napoleonki stanowi

3

2

ceny ptysia

D. napoleonka jest dwukrotnie tańsza od ptysia

Zadanie 3

Które równania stanowią parę równań równoważnych?

A.

5

x

x

 

i

5

5

x

 

C.

2

4

x



i

4

x



B.

1

x



i

2

1

x



D.

2

4

x

 

i

4

2

x

 

Zadanie 4

Lucjan i Emil wyruszyli rowerami jednocześnie z tego samego miejsca, ale w przeciwnych

kierunkach. Lucjan jechał z prędkością o

km

6

h

większą niż Emil. Emil jechał z prędkością

km

12

h

. Po jakim czasie odległość między nimi będzie równa

75 km

?

Zadanie 5

Na wierzbie rosło

40

owoców –

x gruszek i y jabłek. Zawiał wiatr i spadło osiem gruszek

oraz połowa jabłek. Ela potrząsnęła drzewem i spadła połowa pozostałych gruszek oraz

połowa pozostałych jabłek – razem dziewięć owoców. Zapisz podane informacje w postaci

układu równań.

31

ODPOWIEDZI

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Liczba

1



jest rozwiązaniem równania:

A.

1

a

a

 

B.

2

1

a

a

 

C.





3

1

0

a

 

D.

1

2

a

a

  

Aby sprawdzić, czy liczba jest rozwiązaniem

równania, należy wstawić liczbę do równania

w miejsce niewiadomej i określić, czy lewa

strona równania jest równa prawej. Do

każdego z równań wstawiamy

1





a

.

1

a

a

 

1 1

1

   

,

P

L



2

1

a

a

 

 

2

1

1

1

    

,

P

L







3

1

0

a

 





3

1 1

0

  

,

P

L



1

2

a

a

  

   

1

1

2

1

   



,

P

L



Odpowiedź: B.

Zadanie 2

Obie strony równania

2

4

6

y

y

 

podzielono przez 2 , a następnie do obu stron dodano

6

.

Które równanie otrzymano?

A.

4

3

6

y

y

 



B.

2

3

6

y

y

 



C.

2

6

y

y

  

D.

1 3

2

y

y

 



Dzieląc obie strony równania przez 2 ,

dzielimy każdy wyraz równania przez 2 .

2

4

6

y

y

 

2

4

6

2

2

2

y

y

 

2

3

y

y

 

Do obu stron równania dodajemy 6 .

Redukujemy wyrazy podobne.

2 6

3

6

y

y

  



4

3

6

y

y

 



Odpowiedź: A.

32

Zadanie 3

Kisząc ogórki, do słoja zawierającego

0, 75 kg

tych warzyw dodaje się jedną łyżeczkę soli.

Ile łyżeczek soli trzeba dodać do beczki zawierającej

12 kg

ogórków?

A. 14

B.

16

C.

9

D. 12

Oznaczmy przez

x szukaną liczbę łyżeczek

soli. Zapisujemy treść zadania w postaci

proporcji.

liczba łyżeczek

masa ogórków

1

0, 75

x

12

1

0, 75

12

x



Przekształcamy równanie, mnożąc „na

krzyż”, i rozwiązujemy je.

0, 75

1 12

x

 

12

16

0, 75

x





Odpowiedź: B.

Zadanie 4

Długość pokoju Majki na planie wykonanym w skali

1: 200

jest o

1,5cm

większa niż na

planie wykonanym w skali

1: 500

. Oblicz długość pokoju Majki, układając i rozwiązując

odpowiednie równanie.

Oznaczmy przez

x długość pokoju Majki na

planie wykonanym w skali

1: 200

. Skala

1: 200

oznacza, że

1cm

na planie

odpowiada

200 cm

w rzeczywistości. Skala

1: 500

oznacza, że

1cm

na planie

odpowiada

500 cm

w rzeczywistości.

200 cm

x

– długość pokoju Majki obliczona

ze skali 1:200

500(

1,5) cm

x



– długość pokoju Majki

obliczona ze skali 1:500

Układamy i rozwiązujemy równanie.

500(

1,5)

200

x

x





500

750

200

x

x





500

200

750

x

x





300

750

x



2,5

x



33

Obliczamy rzeczywistą długość pokoju.

200 2,5

500





 

cm

500cm

5m



Odpowiedź: Długość pokoju Majki jest równa 5m .

Zadanie 5

Pani Krystyna ma dwa razy więcej szali niż kapeluszy. Każdy szal i kapelusz ma inny kolor.

Pani Krystyna może założyć szal i kapelusz na osiem sposobów. Oblicz, ile kapeluszy i ile

szali ma pani Krystyna.

Oznaczmy przez

x liczbę kapeluszy. Wtedy

x

2

opisuje liczbę szali. Kapelusze i szale

można założyć na

x

x 2



sposobów (czyli na

osiem sposobów).

2

8

x

x





2

2

8

:2

x



2

4

x



Szukamy liczby naturalnej, która

podniesiona do kwadratu jest równa 4 .

2

x



2

2 2

4

x

  

Odpowiedź: pani Krystyna ma dwa kapelusze i cztery szale.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. D. 2. B. 3. D. 4.

2, 5

godziny. 5.

40

8

9

2

4

x

y

x

y

 





 

 



.

34

8. Wykresy funkcji

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Jakim wzorem możemy zapisać zależność między podanymi w tabeli wielkościami x i

y

?

x

2



0 1 2

A.

x

y

2





C.

x

y

2



y

0

2

3

4

B.

x

y





2

D.

2





x

y

Zadanie 2

Jeżeli funkcja jest określona za pomocą poniższej tabeli, to jaką wartość musi przyjąć a , aby

punkt





,

4

a



należał do wykresu tej funkcji?

x

0, 4



2

1



4

A.

1



a

C.

4





a

y

10



2

4



1

B.

1





a

D.

4

,

0



a

Zadanie 3

Wykres funkcji

5





x

y

:

A. przecina oś

OX

w punkcie

 

0, 5

B. przecina oś

OY

w punkcie





5, 0



C. przecina osie układu współrzędnych w dwóch punktach

D. nie przecina osi układu współrzędnych

Zadanie 4

Współrzędne x i

y

punktu





2, 6

P

 

spełniają warunek:

I.

x

y



□ TAK □ NIE

III.

y

x





3

□ TAK □ NIE

II.

0





y

x

□ TAK □ NIE

IV.

0

3





x

y

□ TAK □ NIE

Zadanie 5

Do wykresu funkcji danej wzorem

2

x

y

m





, (

)

0



m

należy punkt

1

1

,

2

2

P

















. Znajdź

liczbę m .

35

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Wiadomo, że





4, 4

M



,





1, 3

I

 

,

 

2, 2

R



,





3,

1

K

  

i

 

6, 1

A



. Ile punktów

wspólnych z osiami układu współrzędnych ma wielokąt

MIRKA

?

A.

0

B. 2

C. 4

D.

6

Zadanie 2

Funkcja jest określona następująco: każdej liczbie x wyrażającej obwód koła

przyporządkowujemy liczbę

r

równą promieniowi tego koła. Jeśli przyjmiemy

22

π

7



, to

jaki będzie wzór tej funkcji?

A.

x

x

r

7

44

)

(



B.

x

x

r

44

7

)

(



C.

x

x

r

44

7

)

(



D.

x

x

r

7

44

)

(



Zadanie 3

Pęd bambusa miał wysokość

4 cm

. W ciągu tygodnia jego wysokość zwiększała się o

5 cm

dziennie. Zależność wysokości bambusa

 

y od liczby dni

)

(x można opisać wzorem:

A.

5

4





x

y

B.

x

y

5

4





C.

4

5





x

y

D.

5

4





x

y

Zadanie 4

Zaznacz w układzie współrzędnych trzy punkty, których współrzędne

x i y spełniają

warunek

3





x

y

.

Zadanie 5

Przekątne równoległoboku

IZKA

leżą na osiach układu współrzędnych i przecinają się w

połowie długości w punkcie

 

0, 0

. Przekątna

IK

ma długość 12 , a bok

IZ

ma długość

10

.

Narysuj ten wielokąt i oblicz jego pole.

36

ODPOWIEDZI

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Jakim wzorem możemy zapisać zależność między podanymi w tabeli wielkościami x i

y

?

x

2



0

1 2

A.

x

y

2





C.

x

y

2



y

0

2

3

4

B.

x

y





2

D.

2





x

y

Zauważmy, że

2





x

y

.

2





x

y

Odpowiedź: D.

Zadanie 2

Jeżeli funkcja jest określona za pomocą poniższej tabeli, to jaką wartość musi przyjąć a , aby

punkt





,

4

a



należał do wykresu tej funkcji?

x

0, 4



2

1



4

A.

1



a

C.

4





a

y

10



2

4



1

B.

1





a

D.

4

,

0



a

Zauważmy, że dla każdej zapisanej w tabeli

pary liczb

x i y zachodzi związek

4



xy

.

x

y

4



(

)

0



x

– wzór opisujący funkcję

Wstawiamy do wzoru funkcji

4





y

.

4

4

x

 

4

4

x





1





x

1





a

Odpowiedź: B.

37

Zadanie 3

Wykres funkcji

5





x

y

:

A. przecina oś

OX

w punkcie

 

0, 5

B. przecina oś

OY

w punkcie





5, 0



C. przecina osie układu współrzędnych w dwóch punktach

D. nie przecina osi układu współrzędnych

Wykres funkcji przecina oś

OX

w punkcie,

którego druga współrzędna jest równa zero.

0

5

x

 

5

x



 

5, 0

– współrzędne punktu przecięcia

wykresu funkcji z osią

OX

Wykres funkcji przecina oś

OY

w punkcie,

którego pierwsza współrzędna jest równa

zero.

5

5

0









y





0, 5



– współrzędne punktu przecięcia

wykresu funkcji z osią

OY

Odpowiedź: C.

Zadanie 4

Współrzędne x i

y

punktu





2, 6

P

 

spełniają warunek:

I.

x

y



□ TAK □ NIE

III.

y

x





3

□ TAK □ NIE

II.

0





y

x

□ TAK □ NIE

IV.

0

3





x

y

□ TAK □ NIE





2, 6

P

 

, więc

2

x

 

,

6

y



2

6





, więc

x

y



0

4

6

2













y

x

y

x















6

)

2

(

3

3

 

0

12

6

6

2

3

6

3





















x

y

Odpowiedź: I – TAK, II – TAK, III – TAK, IV – NIE.

38

Zadanie 5

Do wykresu funkcji danej wzorem

2

x

y

m





, (

)

0



m

należy punkt

1

1

,

2

2

P

















. Znajdź

liczbę m .

Punkt P należy do wykresu funkcji, zatem

podstawiając współrzędne tego punktu do

wzoru funkcji, otrzymamy równość.

1

1

2

2

2

m

 



1

1

2

2

2

2

m

m

 





2

2

4

2

2

m

m

m

m







4

1

m

m

 



5

1

m





1

5

m

 

Odpowiedź:

5

1





m

.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. D. 2. B. 3. B. 4. np.

 

1, 4 ,





2, 1



,

 

0, 3 . 5.

96

.

39

9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku
prawdopodobieństwa

Zadania rozwiązane krok po kroku

Informacje do zadań 1–3

Zapytano kilka osób, ile godzin dziennie oglądają telewizję. Wyniki zapisano w tabeli.

Liczba godzin

0

1

2

3

4

Liczba osób

1

4

5

3

7

Zadanie 1

Mediana zebranych danych jest równa:

A. 4

B. 2

C.

5

,

2

D.

5

,

3

Zadanie 2

Średnia liczba godzin, którą zapytane osoby spędzają przed telewizorem, jest równa:

A.

55

,

3

B.

5

,

3

C.

5

,

2

D.

55

,

2

Zadanie 3

Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana spośród ankietowanych osoba ogląda telewizję

przynajmniej dwie godziny dziennie, jest równe:

A. 75

,

0

B.

25

,

0

C. 5

,

0

D. 15

,

0

Zadanie 4

W bombonierce jest

50

czekoladek, w tym

15

miętowych. Wyjmujemy jedną czekoladkę.

Oblicz prawdopodobieństwo:

a) wyciągnięcia innej czekoladki niż miętowa,

b) wyciągnięcia miętowej czekoladki, gdy trzy osoby już wyjęły czekoladki z bombonierki,

ale żadna nie była miętowa,

c) wyciągnięcia miętowej czekoladki, gdy pięć osób już wyjęło czekoladki z bombonierki i

dwie z nich były miętowe.

40

Zadanie 5

Patryk zdaje ustny egzamin z języka starogreckiego. Na stole leży

20

zestawów z pytaniami,

w tym cztery zestawy zawierają pytania, na które chłopiec zna odpowiedzi, a sześć zestawów

można wymienić na inne („zestawy szczęścia”). Przed Patrykiem zdawała jedna osoba i

wyciągnęła zestaw z pytaniami, na które Patryk nie znał odpowiedzi. Czy podane zdania są

prawdziwe, czy fałszywe? Zaznacz właściwą odpowiedź.

A. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu

z pytaniami, na które zna odpowiedzi, wzrosło.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

B. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu

z pytaniami, na które nie zna odpowiedzi, zmalało.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

C. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu

szczęścia nie zmieniło się.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Przed domem rosną dwie brzozy, jedna lipa, trzy świerki i cztery sosny. Prawdopodobieństwo

tego, że wróbel nie usiądzie na drzewie liściastym, jest równe:

A. 4

,

0

B. 7

,

0

C. 9

,

0

D. 5

,

0

Zadanie 2

W szkatułce jest dziewięć czarnych pereł i siedem białych. Królewski skarbnik wyciąga jedną

perłę. O ile większe jest prawdopodobieństwo, że wyciągnie czarną perłę, od

prawdopodobieństwa wyciągnięcia białej?

A.

125

,

0

B.

0,5625

C.

0, 4375

D.

0, 2

41

Zadanie 3

Uzupełnij tabelę, w której przedstawiono przybliżone dane na temat niektórych polskich

województw.

Województwo

Powierzchnia (

2

km )

Ludność

Gęstość zaludnienia

2

os.

km













Dolnośląskie

2880000

144

Opolskie

9500

1045000

Podlaskie

20 200

60

Lubuskie

980000

70

a) W którym z województw jest największa gęstość zaludnienia?

b) Które z województw ma najmniejszą powierzchnię?

Zadanie 4

Mama poprosiła synów o wyrzucenie śmieci. Bartek zaproponował Adamowi, że rzuci

dwiema monetami lub kostkami. Jeżeli na obu monetach lub kostkach wypadnie to samo –

wyrzuci je sam, a jeśli nie – zrobi to Adam. Którą możliwość powinien wybrać Adam?

Zadanie 5

Bierzesz udział w losowaniu wycieczki na Księżyc. Wśród

50

przygotowanych losów jest

sześć biletów. Oblicz, jaką masz szansę wygranej, jeśli:

a) przed tobą losowały dwie osoby i żadna nie wygrała,

b) przed tobą losowało dziesięć osób i trzy z nich wygrały,

c) przed tobą losowało

30

osób i cztery wygrały.

42

ODPOWIEDZI

Zadania rozwiązane krok po kroku

Informacje do zadań 1–3

Zapytano kilka osób, ile godzin dziennie oglądają telewizję. Wyniki zapisano w tabeli.

Liczba godzin

0

1

2

3

4

Liczba osób

1

4

5

3

7

Zadanie 1

Mediana zebranych danych jest równa:

A. 4

B. 2

C.

5

,

2

D.

5

,

3

Wypisujemy dane. Ich liczba jest parzysta

(

20

), więc obliczamy średnią arytmetyczną

dwóch środkowych liczb.

0

, 1, 1, 1, 1, 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,

3

,

3

,

3

, 4 ,

4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4

5

,

2

2

3

2





Odpowiedź: C.

Zadanie 2

Średnia liczba godzin, którą zapytane osoby spędzają przed telewizorem, jest równa:

A.

55

,

3

B.

5

,

3

C.

5

,

2

D.

55

,

2

Obliczamy, ile osób odpowiedziało na

pytanie.

1 4 5 3 7

20

    

Obliczamy średnią liczbę godzin.

0 1 4 1 5 2 3 3 4 7

2,55

20

        



Odpowiedź: D.

43

Zadanie 3

Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana spośród ankietowanych osoba ogląda telewizję

przynajmniej dwie godziny dziennie, jest równe:

A.

75

,

0

B.

25

,

0

C.

5

,

0

D.

15

,

0

Obliczamy prawdopodobieństwo, że osoba

wybrana spośród

20

ankietowanych ogląda

telewizję przynajmniej dwie godziny dziennie

(czyli dwie, trzy lub cztery godziny).

5 3 7

15

0, 75

20

20

 





Odpowiedź: A.

Zadanie 4

W bombonierce jest

50

czekoladek, w tym

15

miętowych. Wyjmujemy jedną czekoladkę.

Oblicz prawdopodobieństwo:

a) wyciągnięcia innej czekoladki niż miętowa,

b) wyciągnięcia miętowej czekoladki, gdy trzy osoby już wyjęły czekoladki z bombonierki,

ale żadna nie była miętowa,

c) wyciągnięcia miętowej czekoladki, gdy pięć osób już wyjęło czekoladki z bombonierki i

dwie z nich były miętowe.

W bombonierce jest

35

(

35

15

50





) innych

czekoladek niż miętowe. Obliczamy

prawdopodobieństwo wyciągnięcia takiej

czekoladki.

10

7

50

35



Trzy osoby wyciągnęły czekoladki, więc w

bombonierce zostało

47

(

47

3

50





)

czekoladek, wśród których

15

jest

miętowych. Obliczamy prawdopodobieństwo

wyciągnięcia miętowej czekoladki.

47

15

Pięć osób wyciągnęło czekoladki, więc w

bombonierce zostało

45

(

45

5

50





)

czekoladek, wśród których

13

(

15 2 13

 

)

13

45

44

jest miętowych. Obliczamy

prawdopodobieństwo wyciągnięcia miętowej

czekoladki.

Odpowiedź: a)

10

7

; b)

47

15

; c)

13

45

.

Zadanie 5

Patryk zdaje ustny egzamin z języka starogreckiego. Na stole leży

20

zestawów z pytaniami,

w tym cztery zestawy zawierają pytania, na które chłopiec zna odpowiedzi, a sześć zestawów

można wymienić na inne („zestawy szczęścia”). Przed Patrykiem zdawała jedna osoba i

wyciągnęła zestaw z pytaniami, na które Patryk nie znał odpowiedzi. Czy podane zdania są

prawdziwe, czy fałszywe? Zaznacz właściwą odpowiedź.

A. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu

z pytaniami, na które zna odpowiedzi, wzrosło.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

B. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu

z pytaniami, na które nie zna odpowiedzi, zmalało.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

C. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu

szczęścia nie zmieniło się.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

Po wylosowaniu pierwszego zestawu

pozostało ich

19

, w tym cztery z pytaniami,

na które Patryk zna odpowiedzi.

2

,

0

20

4



– prawdopodobieństwo

wylosowania przez Patryka zestawu z

pytaniami, na które zna odpowiedzi, gdyby

losował pierwszy

19

4

– prawdopodobieństwo wylosowania

przez Patryka zestawu z pytaniami, na które

zna odpowiedzi, gdy losuje drugi

19

4

20

4



Po wylosowaniu pierwszego zestawu

pozostało ich

19

, w tym dziewięć, na które

Patryk nie zna odpowiedzi.

5

,

0

20

10



– prawdopodobieństwo

wylosowania przez Patryka zestawu z

45

pytaniami, na które nie zna odpowiedzi,

gdyby losował pierwszy

9

0, 473...

0, 47

19





20

10

19

9



„Zestawów szczęścia” jest osiem.

20

8

– prawdopodobieństwo wylosowania

przez Patryka „zestawu szczęścia” gdyby

losował pierwszy

19

8

– prawdopodobieństwo wylosowania

przez Patryka „zestawu szczęścia”, gdy

losuje drugi

19

8

20

8



Odpowiedzi: I – PRAWDA; II – PRAWDA; III – FAŁSZ.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. B. 2. A. 3.

20 000

,

110

,

1212000

,

14 000

; a) dolnośląskie; b) opolskie. 4. monetami –

szansa wyrzucenia tego samego jest równa

2

1

(w przypadku rzutu kostkami wynosi ona

6

1

).

5. a)

125

,

0

; b)

075

,

0

; c)

1

,

0

.

46

10. Figury płaskie

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Miary kątów trójkąta pozostają w stosunku

3: 4 : 2

. Miara kąta między dwusiecznymi kątów

leżących przy najdłuższym boku tego trójkąta jest równa:

A.

120



B.

130



C.

80



D.

90



Zadanie 2

Wokół okrągłego placu stoi kolejno pięć pomników:

1

P

,

2

P

,

3

P

,

4

P

,

5

P

. Odległości

między sąsiadującymi pomnikami są jednakowe. Na środku placu znajduje się fontanna

F

.

Miara kąta między ścieżkami biegnącymi od dwóch z tych pomników do fontanny jest równa

216



. Ścieżki te biegną od pomników:

I.

1

P

i

3

P

□ TAK □ NIE

II. 2

P i 4

P

□ TAK □ NIE

III.

1

P

i

4

P

□ TAK □ NIE

IV.

3

P

i

5

P

□ TAK □ NIE

Zadanie 3

W pewnym miasteczku wszystkie ulice są proste. Biorąc pod uwagę podaną liczbę ulic,

oblicz, ile maksymalnie skrzyżowań może być w tym miasteczku, a następnie uzupełnij

tabelę.

Liczba ulic

Liczba skrzyżowań

1

2

3

4

10

10

45

n

47

Zadanie 4

Długość łuku wycinka kołowego o kącie środkowym

30



jest równa

π . Oblicz pole koła, z

którego wycięto ten wycinek.

Zadanie 5

Działka pana Jędrzeja ma kształt równoległoboku, w którym stosunek sąsiednich boków jest

równy

2

:

1

. Stosunek miar kątów tego równoległoboku leżących przy jednym boku jest

równy

2

:

1

. Ścieżka przecinająca działkę, leżąca na dwusiecznej większego kąta, ma długość

40 m

. Ile metrów siatki potrzeba do ogrodzenia tej działki?

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Walec o średnicy

60 cm

i długości

1m

wykonał

35

obrotów. Oblicz pole prostokątnego

śladu, który zostawił, przetaczając się po zagrabionej ziemi. Przyjmij

22

π

7



.

Zadanie 2

Bartek i Diana mają ogródki w kształcie wielokątów podobnych w skali

1: 3

. Bartek na

obsianie swojego ogródka zużył dwie paczki nasion pietruszki. Diana na obsadzenie granic

swojego ogródka potrzebowała

150

wierzb. Wynika z tego, że:

I. Diana na obsianie swojej działki zużyje sześć paczek

nasion pietruszki.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

II. Bartek na obsadzenie granic swojego ogródka będzie

potrzebował

50

wierzb.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

III. Diana na obsianie połowy swojej działki zużyje

dziewięć paczek nasion pietruszki.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

IV. Bartek na obsadzenie swojej działki będzie

potrzebował

100

wierzb.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

48

Zadanie 3

Na szkolny dziedziniec w kształcie kwadratu o boku

15 m

spadła warstwa śniegu o

wysokości

2 cm

. Oblicz jego objętość.

Zadanie 4

W jezdni znajduje się otwór odpływowy w kształcie trójkąta o bokach

30 cm

,

34 cm

i

16 cm

.

Otwór ten należy zakryć pokrywą w kształcie koła. Jakie co najmniej pole powierzchni musi

mieć ta pokrywa?

Zadanie 5

Długość boku kwadratowego trawnika zwiększono o

3m

, przez co jego powierzchnia

zwiększyła się o

2

39 m

. Oblicz powierzchnię powiększonego trawnika.

49

ODPOWIEDZI

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Miary kątów trójkąta pozostają w stosunku

3: 4 : 2

. Miara kąta między dwusiecznymi kątów

leżących przy najdłuższym boku tego trójkąta jest równa:

A.

120



B.

130



C.

80



D.

90



Obliczamy miary kątów trójkąta.

3

4

2

180

x

x

x









9

180

x





20

x

 

3

3 20

60

x

    

4

4 20

80

x

    

2

2 20

40

x

    

Naprzeciw najdłuższego boku trójkąta leży

kąt o największej mierze –

80



. Przy

najdłuższym boku znajdują się kąty o

miarach

60



i

40



. Dwusieczne dzielą każdy

z tych kątów na dwa kąty o równych

miarach. W trójkącie dwa kąty mają miary

30



i

20



. Obliczamy miarę kąta



– kąta

między dwusiecznymi. Uwaga: kąt między

dwusiecznymi to również kąt przyległy do

kąta



.

20

30

180



  



180

50





  

130







Odpowiedź: B.

Zadanie 2

Wokół okrągłego placu stoi kolejno pięć pomników:

1

P

,

2

P

,

3

P

,

4

P

,

5

P

. Odległości

między sąsiadującymi pomnikami są jednakowe. Na środku placu znajduje się fontanna F .

Miara kąta między ścieżkami biegnącymi od dwóch z tych pomników do fontanny jest równa

216



. Ścieżki te biegną od pomników:

I.

1

P

i

3

P

□ TAK □ NIE

50

II.

2

P

i

4

P

□ TAK □ NIE

III.

1

P

i

4

P

□ TAK □ NIE

IV.

3

P

i

5

P

□ TAK □ NIE

Punkty

1

P

,

2

P

,

3

P

,

4

P

,

5

P

dzielą okrąg

na pięć łuków o równej długości. Oznaczmy



– kąt oparty na jednym takim łuku.

360

72

5







 

Kąt o mierze

216



jest równy miarom trzech

kątów



. Jeśli będziemy poruszać się po

okręgu zgodnie z ruchem wskazówek zegara,

to jest on kątem między ścieżkami

utworzonymi przez pomniki

1

P

i

4

P

. Jeśli

będziemy poruszać się odwrotnie – jest to kąt

między ścieżkami wyznaczonymi przez

1

P

i

3

P

,

2

P

i

4

P

lub

3

P

i

5

P

.

216 : 72

3



 

Odpowiedź: I – TAK, II – TAK, III – TAK, IV – TAK.

Zadanie 3

W pewnym miasteczku wszystkie ulice są proste. Biorąc pod uwagę podaną liczbę ulic,

oblicz, ile maksymalnie skrzyżowań może być w tym miasteczku, a następnie uzupełnij

tabelę.

Liczba ulic

Liczba skrzyżowań

1

2

3

4

10

10

45

n

Największa możliwa liczba skrzyżowań

będzie w sytuacji, gdy każda z n dróg





1

2

n n



– największa możliwa liczba

51

(prostych) przetnie

1

n



pozostałych. Jednak

wszystkich skrzyżowań (punktów przecięcia)

nie będzie





1

n n



, bo każde skrzyżowanie

(punkty przecięcia) tworzą dwie proste.

skrzyżowań

Odpowiedź: 0 , 1,

3

, 6 ,

5

,

(

1))

2

n n



.

Zadanie 4

Długość łuku wycinka kołowego o kącie środkowym

30



jest równa

π . Oblicz pole koła, z

którego wycięto ten wycinek.

Łuk stanowi

30

1

360

12







obwodu koła.

1

π

12

L



12π

L



Szukamy promienia tego koła.

2π

12π

r



6

r



Obliczamy pole koła.

2

2

π

π 6

36π

r

 



Odpowiedź: Pole koła jest równe

36π

.

Zadanie 5

Działka pana Jędrzeja ma kształt równoległoboku, w którym stosunek sąsiednich boków jest

równy

2

:

1

. Stosunek miar kątów tego równoległoboku leżących przy jednym boku jest

równy

2

:

1

. Ścieżka przecinająca działkę, leżąca na dwusiecznej większego kąta, ma długość

40 m

. Ile metrów siatki potrzeba do ogrodzenia tej działki?

Suma kątów leżących przy jednym boku

równoległoboku jest równa

180



. Obliczamy

miary tych kątów, wiedząc, że jeden jest dwa

razy większy od drugiego.

2

180

x

x







3

180

x





60

x

 

2

120

x





Dwusieczna podzieliła kąt

120



na kąty o

miarach

60



. Ścieżka wydzieliła zatem

trójkąt równoboczny, w którym każdy bok

80

2

40





(m)

52

jest równy

40 m

. Krótszy bok

równoległoboku ma długość

40 m

. Dłuższy

bok jest dwa razy dłuższy.

Obliczamy, ile siatki potrzeba na ogrodzenie

działki w kształcie równoległoboku.

240

160

80

80

2

40

2













(m)

Odpowiedź: Do ogrodzenia tej działki potrzeba

240 m

siatki.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1.

2

66 m . 2. I – FAŁSZ, II – PRAWDA, III – PRAWDA, IV – FAŁSZ. 3.

3

4,5 m .

4.

2

289π cm . 5.

2

64 cm

.

53

11. Bryły

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Graniastosłup n -kątny ma:

A.

n

2

krawędzi

B.

n

4

wierzchołków

C.

2



n

ścian

D.

4



n

ścian

Zadanie 2

Świecę w kształcie graniastosłupa prawidłowego przetopiono na dwie świece w kształcie

jednakowych ostrosłupów. Ostrosłupy te mają takie same podstawy jak graniastosłup.

Wynika z tego, że wysokość każdej z otrzymanych świec jest:

A. trzykrotnie większa od wysokości przetopionej świecy

B. równa wysokości przetopionej świecy

C. półtora razy większa od wysokości przetopionej świecy

D. dwa razy większa od wysokości przetopionej świecy

Zadanie 3

Prostokąt o bokach długości x i

x

2

(

1

x



) obrócono najpierw dookoła krótszego boku, a

następnie dookoła dłuższego boku. Iloraz objętości większej bryły przez mniejszą jest równy:

A. 2

B.

2

1

C. 4

D.

4

1

Zadanie 4

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa

36 cm

. Zaznacz, które zdanie jest

prawdziwe, a które fałszywe.

I. Objętość sześcianu jest mniejsza niż

3

30 cm .

□ PRAWDA □ FAŁSZ

II. Długość przekątnej sześcianu jest równa

5, 2 cm

.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

III. Pole powierzchni sześcianu jest większe niż

2

50 cm .

□ PRAWDA □ FAŁSZ

IV. Wysokość sześcianu jest większa niż

4 cm

.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

54

Zadanie 5

Sześcienną kostkę z plasteliny oklejono srebrnym papierem i pocięto na

64

jednakowe

sześciany. Zastanów się, ile powstało sześcianów z jedną, dwiema i trzema ścianami

oklejonymi papierem, a ile wykonanych jedynie z plasteliny. Uzupełnij tabelę.

Liczba oklejonych papierem ścian

Liczba sześcianów

3

2

1

0

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Podstawą ostrosłupa jest n -kąt. Wynika z tego, że ostrosłup ten ma:

A.

n wierzchołków,

n

2

krawędzi,

n ścian

B.

1



n

wierzchołków,

n krawędzi,

n

2

ścian

C.

1



n

wierzchołków,

n

2

krawędzi,

1



n

ścian

D.

1



n

wierzchołków,

1



n

krawędzi,

n

2

ścian

Zadanie 2

Objętość graniastosłupa, którego podstawą jest trójkąt równoboczny o krawędzi a , wynosi

V

. Wysokość h tego graniastosłupa jest równa:

A.

3

4

2

a

V

h



B.

2

4

3

a

V

h



C.

2

3

4

a

V

h





D.

V

a

h

4

3

2



Zadanie 3

Z miedzianego walca wycięto element w kształcie stożka o tej samej podstawie i wysokości

co walec. Jaką część objętości walca stanowią odpady?

A.

3

1

B.

3

2

C.

5

3

D.

6

1

55

Zadanie 4

Zaznacz, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

I. Jeśli ostrosłup ma dziesięć krawędzi, to jego podstawą jest

dziesięciokąt.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

II. Ostrosłup, który ma cztery wierzchołki, to ostrosłup

trójkątny.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

III. Jeśli cztery krawędzie czworościanu są równe, to jest to

ostrosłup prawidłowy trójkątny.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

IV Ostrosłup sześciokątny ma siedem ścian.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

Zadanie 5

Wysokość walca jest równa

9 cm

. Przekrój osiowy walca jest prostokątem, którego przekątna

jest równa

15cm

. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość walca.

56

ODPOWIEDZI

Zadania rozwiązane krok po kroku

Zadanie 1

Graniastosłup n -kątny ma:

A.

n

2

krawędzi

B.

n

4

wierzchołków

C.

2



n

ścian

D.

4



n

ścian

Graniastosłup ma

n

3

krawędzi i

n

2

wierzchołków.

Graniastosłup n -kątny ma dwie podstawy i n ścian bocznych, zatem liczba ścian

graniastosłupa to

2

n



.

Odpowiedź: C.

Zadanie 2

Świecę w kształcie graniastosłupa prawidłowego przetopiono na dwie świece w kształcie

jednakowych ostrosłupów. Ostrosłupy te mają takie same podstawy jak graniastosłup.

Wynika z tego, że wysokość każdej z otrzymanych świec jest:

A. trzykrotnie większa od wysokości przetopionej świecy

B. równa wysokości przetopionej świecy

C. półtora razy większa od wysokości przetopionej świecy

D. dwa razy większa od wysokości przetopionej świecy

Oznaczamy:

P

– pole podstawy

graniastosłupa,

h

– wysokość

graniastosłupa.

h

P

V





Graniastosłup i ostrosłup mają takie same

pola podstaw. Oznaczmy : H – wysokość

ostrosłupa.

H

P

V







3

1

0

Objętość graniastosłupa jest równa sumie

objętości ostrosłupów. Układamy równanie i

przekształcamy je tak, aby otrzymać

zależność między h i H .

1

1

3

3

P h

P H

P H

      

2

:

3

P h

P H

P

   

57

2

2

:

3

3

h

H



h

H

2

3



h

H

5

,

1



Odpowiedź: C.

Zadanie 3

Prostokąt o bokach długości x i

x

2

(

1

x



) obrócono najpierw dookoła krótszego boku, a

następnie dookoła dłuższego boku. Iloraz objętości większej bryły przez mniejszą jest równy:

A. 2

B.

2

1

C. 4

D.

4

1

W pierwszym przypadku otrzymujemy walec

o wysokości

x i promieniu podstawy

x

2

.

 

2

3

1

π 2

4π

V

x

x

x



 

W drugim przypadku otrzymujemy walec o

wysokości

x

2

i promieniu podstawy

x .

2

3

2

π

2

2π

V

x

x

x

  



Obliczamy stosunek objętości brył.

3

1

3

2

4π

2

2π

V

x

V

x





Odpowiedź: A.

Zadanie 4

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 36cm . Zaznacz, które zdanie jest

prawdziwe, a które fałszywe.

I. Objętość sześcianu jest mniejsza niż

3

30 cm .

□ PRAWDA □ FAŁSZ

II. Długość przekątnej sześcianu jest równa

5, 2 cm

.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

III. Pole powierzchni sześcianu jest większe niż

2

50 cm .

□ PRAWDA □ FAŁSZ

IV. Wysokość sześcianu jest większa niż

4 cm

.

□ PRAWDA □ FAŁSZ

Sześcian ma 12 krawędzi. Obliczamy

długość jednej z nich.

3

12

:

36



(cm)

Objętość

V

sześcianu o krawędzi a jest

27

3

3





V

(

3

cm

)

58

równa

3

a

.

30

27



Przekątna

d

sześcianu o krawędzi

a jest

równa

3

a

.

195

,

5

3

3





d

(cm)

2

,

5

195

,

5



Pole powierzchni

P

sześcianu o krawędzi

a

jest równe

2

6a .

54

9

6

3

6

2











P

(

2

cm

)

50

54



Wysokość h sześcianu jest równa długości

krawędzi sześcianu.

3cm

h



4

3



Odpowiedź: I – PRAWDA, II – FAŁSZ, III – PRAWDA, IV – FAŁSZ.

Zadanie 5

Sześcienną kostkę z plasteliny oklejono srebrnym papierem i pocięto na

64

jednakowe

sześciany. Zastanów się, ile powstało sześcianów z jedną, dwiema i trzema ścianami

oklejonymi papierem, a ile wykonanych jedynie z plasteliny. Uzupełnij tabelę.

Liczba oklejonych papierem ścian

Liczba sześcianów

3

2

1

0

Trzy ściany oklejone papierem ma osiem sześcianów leżących w wierzchołkach kostki.

Dwie srebrne ściany mają sześciany leżące

przy krawędziach kostki (oprócz tych w

wierzchołkach). Na każdych dwóch ścianach

jest ich osiem.

24

2

8

6





Każda ściana sześcianu została podzielona na

16

części. Odejmujemy od nich cztery z

trzema srebrnymi ścianami oraz osiem z

dwiema srebrnymi ścianami i otrzymujemy

liczbę części z jedną srebrną ścianą.

24

4

6

)

8

4

16

(

6













Pozostałe sześciany nie mają srebrnych

ścian.





8

56

64

24

24

8

64













Odpowiedź:

8

,

24

,

24

,

8

.

59

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. C. 2. A. 3. B. 4. I – FAŁSZ, II – PRAWDA, III – FAŁSZ, IV – PRAWDA. 5.

2

108π cm

,

3

324 cm



.