1
1. Liczby wymierne dodatnie
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Borys miał
15
krówek,
20
irysów i
45
landrynek. Cukierki każdego rodzaju dzielił na równe
części i wkładał do torebek. Ile było torebek, jeśli w każdej znajdowało się tyle samo
cukierków?
A. 1 lub
5
B. 1,
5
lub
10
C.
5
lub
15
D.
5
,
10
lub
15
Zadanie 2
Liczbę trzycyfrową zapisano dwukrotnie obok siebie, otrzymując liczbę sześciocyfrową. Ile
razy tak otrzymana liczba jest większa od początkowej liczby trzycyfrowej?
A.
10100
B.
11
C.
101
D.
1001
Zadanie 3
Mirek, który na Ziemi waży
75 kg
, na Marsie ważyłby
38
,
0
tego, co na Ziemi, a na Jowiszu
o
169,5 kg
więcej niż na Marsie. Ile na Jowiszu ważyłaby Mirka, skoro na Ziemi waży
60 kg
?
A.
229,5 kg
B.
282,5 kg
C.
146, 7 kg
D.
158, 4 kg
Zadanie 4
Znajdź liczbę, która jest o tyle samo większa od
4
1
, co mniejsza od
25
,
1
.
Zadanie 5
Stop, z którego odlewa się posążki, składa się z miedzi, cyny i żelaza w stosunku
4
:
6
:
10
.
Uzupełnij tabelę, wpisując właściwe ilości składników potrzebnych do odlania posążka o
masie 350 g .
Miedź
Cyna
Żelazo
2
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Marek i Jurek mierzyli odległość między sosną i brzozą za pomocą kijów. Kij Marka miał
długość
70 cm
, a Jurka
60 cm
. W czasie mierzenia końce kijów chłopców, nie licząc
momentu rozpoczęcia, pokryły się dziesięć razy. Odległość między sosną i brzozą jest równa:
A.
42 m
B.
84 m
C.
0, 42 m
D.
8, 4 m
Zadanie 2
Stosunek mleka do kakao w napoju czekoladowym jest równy
12 :16
. Jaką część napoju
stanowi mleko?
A.
4
3
B.
7
3
C.
3
2
D.
5
4
Zadanie 3
Suma liczby
4
1
1
i liczby do niej odwrotnej jest większa od iloczynu tych liczb o:
A.
64
,
1
B.
0775
,
0
C.
5
,
2
D.
1, 05
Zadanie 4
Prawdą jest, że:
I.
4
2
1
2
3
1
1
□ TAK □ NIE
II.
8
5
8
5
2
4
1
3
□ TAK □ NIE
III.
5
1
3
1
6
,
0
□ TAK □ NIE
IV.
2
4 : 2
1
5
□ TAK □ NIE
Zadanie 5
W pewnej szkole
3
2
wszystkich chłopców uprawia sport, a
375
,
0
z nich trenuje piłkę nożną.
Jaka część wszystkich chłopców w szkole nie trenuje piłki nożnej?
3
ODPOWIEDZI
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Borys miał
15
krówek,
20
irysów i
45
landrynek. Cukierki każdego rodzaju dzielił na równe
części i wkładał do torebek. Ile było torebek, jeśli w każdej znajdowało się tyle samo
cukierków?
A. 1 lub
5
B. 1,
5
lub
10
C.
5
lub
15
D.
5
,
10
lub
15
Liczba torebek jest wspólnym dzielnikiem liczb
15
,
20
i
45
.
Wypisujemy dzielniki tych liczb.
Wspólne dzielniki tych liczb to 1 i
5
.
15
1, 3, 5, 15
D
20
1, 2, 4, 5, 10, 20
D
45
1, 3, 5, 9, 15, 45
D
Odpowiedź: A.
Zadanie 2
Liczbę trzycyfrową zapisano dwukrotnie obok siebie, otrzymując liczbę sześciocyfrową. Ile
razy tak otrzymana liczba jest większa od początkowej liczby trzycyfrowej?
A.
10100
B.
11
C.
101
D.
1001
Niech początkową liczbą będzie
c
b
a
10
100
, gdzie
a ,
b
,
c – pewne cyfry i a – cyfra
różna od zera.
Otrzymana liczba sześciocyfrowa to
c
b
a
c
b
a
10
100
1000
10000
100000
.
Wtedy:
100000
10000
1000
100
10
a
b
c
a
b c
100100
10010
1001
1001(100
10
)
a
b
c
a
b c
Zadanie można rozwiązać w prostszy sposób.
Wybieramy dowolną liczbę trzycyfrową, np.
100
i tworzymy liczbę sześciocyfrową 100100.
Znajdujemy iloraz tych liczb:
1001
100
:
100100
.
Z treści zadania wnioskujemy, że szukany iloraz będzie taki sam dla każdej liczby
4
trzycyfrowej, zatem także dla liczby 100.
Odpowiedź: D.
Zadanie 3
Mirek, który na Ziemi waży 75 kg , na Marsie ważyłby 38
,
0
tego, co na Ziemi, a na Jowiszu
o
169,5 kg
więcej niż na Marsie. Ile na Jowiszu ważyłaby Mirka, skoro na Ziemi waży
60 kg
?
A. 229,5 kg
B. 282,5 kg
C. 146, 7 kg
D. 158, 4 kg
Obliczamy, ile Mirek ważyłby na Marsie.
5
,
28
38
,
0
75
(kg)
Obliczamy, ile Mirek ważyłby na Jowiszu.
198
5
,
169
5
,
28
(kg)
Jednemu kilogramowi na Ziemi odpowiada
198
kg
75
na Jowiszu, zatem
60
kg na Ziemi
odpowiada
75
198
60
kg na Jowiszu.
Obliczamy, ile Mirka ważyłaby na Jowiszu.
60
4
198
75
5
4 198
158, 4
5
(kg)
Odpowiedź: D.
Zadanie 4
Znajdź liczbę, która jest o tyle samo większa od
4
1
, co mniejsza od
25
,
1
.
Szukana liczba to średnia arytmetyczna liczb
4
1
i
25
,
1
.
75
,
0
2
25
,
1
25
,
0
2
25
,
1
4
1
Odpowiedź: Jest to liczba
0, 75
.
Zadanie 5
Stop, z którego odlewa się posążki, składa się z miedzi, cyny i żelaza w stosunku
4
:
6
:
10
.
Uzupełnij tabelę, wpisując właściwe ilości składników potrzebnych do odlania posążka o
masie
350 g
.
Miedź
Cyna
Żelazo
5
Składniki stopu są w stosunku
.
4
:
6
:
10
Masę stopu dzielimy więc na
20
równych
części.
20
4
6
10
5
,
17
20
:
350
(g)
Masa miedzi to
10
z tych części.
175
5
,
17
10
(g)
Masa cyny to
6
z tych części.
105
6
5
,
17
(g)
Masa żelaza stanowi 4 z tych części.
70
4
5
,
17
(g)
Odpowiedź: Miedź –
175 g
, cyna –
105 g
, żelazo –
70 g
.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1. A. 2. B. 3. D. 4. I – NIE, II – TAK, III – NIE, IV – TAK. 5.
4
3
.
6
2. Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Liczby
0
n
,
1
a
,
10
m
oraz
6
i
uporządkowano od najmniejszej do największej.
Zaznacz tę kolejność.
A. n , i , m , a
B. a , m , i , n
C. i , n , a , m
D. m , i , n , a
Zadanie 2
Liczba
25
,
0
nie jest wynikiem działania:
A.
4
:
1
B.
4
5
1
C.
5
,
0
2
1
D.
2
:
5
,
0
Zadanie 3
Aby otrzymać
5
4
1
, liczbę
6
5
należy odjąć od:
A.
30
19
2
B.
30
19
2
C.
30
29
D.
30
29
Zadanie 4
Suma dwóch liczb, z których pierwsza jest o
2
1
1
mniejsza od drugiej, jest równa
5
,
3
.
Oblicz iloczyn tych liczb.
Zadanie 5
Pan Izydor hoduje kaczki, gęsi i kury. W sumie ma
312
ptaków. Najmniej ma kaczek, a
najwięcej kur. Liczby kaczek, gęsi i kur to kolejne wielokrotności
13
. Ile kur ma pan Izydor?
7
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Które z poniższych działań daje najmniejszy wynik?
A.
2
1
2
2
B.
2
1
2
2
C.
2
1
2
2
1
D.
2
2
1
:
2
1
Zadanie 2
Ile z liczb:
6, 5
,
3,5
,
8, 5
,
1
,
5, 2
leży na osi liczbowej w odległości mniejszej niż 6 od
2 ?
A. 0
B. 1
C.
3
D.
5
Zadanie 3
Pomyślano o pewnej liczbie, pomnożono ją przez
10
, a następnie wynik podzielono przez
5
.
Do wyniku dodano
3
, sumę tę pomnożono przez
2
i otrzymano liczbę przeciwną do
pomyślanej. Liczba, o której pomyślano, to:
A. 2
B.
2
C. 1
D. 1
Zadanie 4
Oblicz trzecią część wartości wyrażenia
4
0,1
:
2
5
.
Zadanie 5
Znajdź liczbę, której
2
1
3
jest równe wartości wyrażenia
10
1
: 2
0,1
2, 4 : 0,8
2,8 :
0,7
.
8
ODPOWIEDZI
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Liczby
0
n
,
1
a
,
10
m
oraz
6
i
uporządkowano od najmniejszej do największej.
Zaznacz tę kolejność.
A. n , i , m , a
B. a , m , i , n
C. i , n , a , m
D. m , i , n , a
Dowolna liczba dodatnia jest większa od
każdej liczby ujemnej. Zatem największa
liczba to 1.
Z dwóch liczb ujemnych ta jest mniejsza,
która leży dalej od zera na osi liczbowej.
Zatem najmniejsza liczba to
10
.
1
0
6
10
Odpowiedź: D.
Zadanie 2
Liczba
25
,
0
nie jest wynikiem działania:
A.
4
:
1
B.
4
5
1
C.
5
,
0
2
1
D.
2
:
5
,
0
Wykonujemy każde z działań.
25
,
0
25
,
0
4
1
4
:
1
25
,
0
4
1
4
5
1
25
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
2
1
25
,
0
2
:
5
,
0
Odpowiedź: A.
9
Zadanie 3
Aby otrzymać
5
4
1
, liczbę
6
5
należy odjąć od:
A.
30
19
2
B.
30
19
2
C.
30
29
D.
30
29
Poszukiwana liczba jest o
6
5
większa od
5
4
1
.
30
29
30
25
30
54
6
5
5
9
6
5
5
4
1
Odpowiedź: D.
Zadanie 4
Suma dwóch liczb, z których pierwsza jest o
2
1
1
mniejsza od drugiej, jest równa
5
,
3
.
Oblicz iloczyn tych liczb.
Obliczamy większą z tych liczb.
1
2
2
2
5
,
1
5
,
3
2
2
1
1
5
,
3
Obliczamy mniejszą z tych liczb.
2
1
2
2
1
1
1
Obliczamy iloczyn tych liczb.
2
1
2
2
1
2
1
Odpowiedź: Iloczyn tych liczb wynosi
2
1
2
.
Zadanie 5
Pan Izydor hoduje kaczki, gęsi i kury. W sumie ma
312
ptaków. Najmniej ma kaczek, a
najwięcej kur. Liczby kaczek, gęsi i kur to kolejne wielokrotności
13
. Ile kur ma pan Izydor?
Z treści zadania wynika, że gęsi jest o
13
więcej niż kaczek, a kur jest o
26
(
2 13
26
)
więcej niż kaczek.
Gdyby gęsi było o
13
mniej, a kur o
26
mniej, to gęsi i kur byłoby tyle, ile kaczek.
10
Jeśli od
312
odejmiemy sumę liczb
13
i
26
oraz otrzymany wynik podzielimy przez
3
,
dowiemy się, ile było kaczek.
91
3
273
3
39
312
3
)
26
13
(
312
Obliczamy, ile kur ma pan Izydor.
117
26
91
Odpowiedź: pan Izydor ma 117 kur.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1. B. 2. C. 3. B. 4.
0,1
. 5. 7 .
11
3. Potęgi
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Wiadomo, że
1024
2
10
. Która z podanych liczb jest największa?
A.
2
22
B.
22
2
C.
2
2
2
D.
2
2
22
Zadanie 2
Jeżeli
2
9
81
,
2
99
9801
,
2
999
998001
,
2
9999
99980001
, to liczba
2
99999
jest równa:
A.
9998800001
B.
9999880001
C.
9999800011
D.
9999800001
Zadanie 3
Równość
10
2
3
11
11
:
11
a
jest prawdziwa, gdy liczba
a jest równa:
A.
6
B. 4
C.
9
D.
10
Zadanie 4
Zaznacz, która z nierówności jest prawdziwa, a która fałszywa.
I.
15
15
0, 6
0,3
□ PRAWDA □ FAŁSZ
II.
15
15
1
1
6
3
□ PRAWDA □ FAŁSZ
III.
15
15
0
,
3
0
,
6
□ PRAWDA □ FAŁSZ
IV.
12
12
6
,
3
3
,
6
□ PRAWDA □ FAŁSZ
Zadanie 5
Oblicz.
0
1
1
2
25
,
0
3
3
2
:
2
1
1
12
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Ile wynosi kwadrat liczby
9
?
A.
18
B.
36
C.
27
D.
81
Zadanie 2
Ile trójek należy dodać, żeby wynik dodawania był równy
4
3
?
A. 12
B.
27
C.
81
D.
9
Zadanie 3
Jeśli
m
12
12
3
12
, to:
A. 6
B. 4
C.
9
D.
10
Zadanie 4
Połącz słowny zapis liczb z ich zapisem liczbowym.
A. sto milionów
I.
2
10
B. jedna miliardowa
II.
9
10
C. jedna setna
III.
6
10
D. tysiąc tysięcy
IV.
8
10
Zadanie 5
Wzorując się na podanych równościach, uzupełnij tabelę.
Pierwsza liczba
Druga liczba
Równość
1
2
2
2
1
1
2
2
2
3
3
3
2
2
2
2
3
4
4
4
3
3
2
2
4
5
5
5
4
4
2
2
5
6
7
n
1
n
13
ODPOWIEDZI
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Wiadomo, że
1024
2
10
. Która z podanych liczb jest największa?
A.
2
22
B.
22
2
C.
2
2
2
D.
2
2
22
Szacujemy wartości potęg o podstawie
22
.
900
30
22
2
2
2
2
4
4
22
22
30
810 000
Obliczamy
2
2
2 .
16
2
2
4
2
2
Szacujemy wartość potęgi
22
2 .
22
2 20
2
20
10 10
10
10
2
2
2 2
4 2
4 2
2
10
10
4 2
2
4 1000 1000
4000000
Wybieramy największą z otrzymanych liczb.
4000000
810000
900
16
Odpowiedź: B.
Zadanie 2
Jeżeli
2
9
81
,
2
99
9801
,
2
999
998001
,
2
9999
99980001
, to liczba
2
99999 jest równa:
A.
9998800001
B.
9999880001
C.
9999800011
D.
9999800001
Należy zauważyć, jak w kolejnych potęgach zmieniają się cyfry. W każdej potędze cyfrą
jedności jest 1. Liczba zer wzrasta o jeden, cyfra
8
pozostaje bez zmian, a liczba dziewiątek
zwiększa się o jeden.
Zatem w potędze liczby
2
99999
powinna
znaleźć się jedna cyfra 1, cztery cyfry 0 ,
jedna cyfra 8 i cztery cyfry
9
.
9999800001
99999
2
Odpowiedź: D.
14
Zadanie 3
Równość
10
2
3
11
11
:
11
a
jest prawdziwa, gdy liczba a jest równa:
A.
15
m
B.
9
m
C.
4
m
D.
36
m
Potęgując potęgę, mnożymy wykładniki.
3
2
11
:11
a
L
Dzieląc potęgi o tych samych podstawach,
odejmujemy wykładniki.
3
2
3
2
11 :11
11
a
a
Aby lewa strona była równa prawej,
wykładniki potęg muszą być równe.
10
2
3
11
11
a
3
2 10
a
3
12
a
4
a
Odpowiedź: B.
Zadanie 4
Zaznacz, która z nierówności jest prawdziwa, a która fałszywa.
I.
15
15
0, 6
0,3
□ PRAWDA □ FAŁSZ
II.
15
15
1
1
6
3
□ PRAWDA □ FAŁSZ
III.
15
15
0
,
3
0
,
6
□ PRAWDA □ FAŁSZ
IV.
12
12
6
,
3
3
,
6
□ PRAWDA □ FAŁSZ
Z dwóch potęg o jednakowych wykładnikach
ta jest większa, której podstawa jest większa.
3
,
0
6
,
0
, stąd
15
15
3
,
0
6
,
0
3
1
6
1
, stąd
15
15
3
1
6
1
0
,
3
0
,
6
, stąd
15
15
0
,
3
0
,
6
6
,
3
3
,
6
, stąd
12
12
6
,
3
3
,
6
Odpowiedź: I – PRAWDA, II – PRAWDA, III – FAŁSZ, IV – PRAWDA.
15
Zadanie 5
Oblicz.
0
1
1
2
25
,
0
3
3
2
:
2
1
1
Aby obliczyć potęgę liczby
mieszanej, najpierw należy zamienić
ją na ułamek niewłaściwy.
Każda liczba podniesiona do potęgi
pierwszej daje tę samą liczbę.
Każda liczba różna od zera
podniesiona do potęgi zerowej jest
równa 1.
2
1
2
1
1
0
1
2
3
2
1
1
:
3
:
9
3
1
2
3
2
3
3
1
4
2
3
0, 25
4 3
1
2
1
1
9 2
3
3
3
Odpowiedź:
1
.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1. D. 2. B. 3. D. 4. A – IV, B – II, C – I, D – III. 5.
)
1
(
)
1
(
2
2
n
n
n
n
.
16
4. Pierwiastki
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Cyfra jedności sumy
49
25
to:
A.
5
B.
7
C. 4
D. 2
Zadanie 2
Która z liczb:
0,36
,
0, 09
,
0, 0064
,
0, 000081
jest największa?
A.
36
,
0
B.
09
,
0
C.
0064
,
0
D.
0,000081
Zadanie 3
Ile wynosi długość krawędzi sześcianu o objętości
3
27 dm
?
A.
9 dm
B.
6 dm
C.
3dm
D.
18dm
Zadanie 4
Oblicz pierwiastek kwadratowy z czwartej potęgi liczby cztery.
Zadanie 5
Zapisz wyrażenie
3
3
3
3
2
2
128
16
w najprostszej postaci.
17
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Liczba
16
1
3
jest:
A. większa od
3
B. mniejsza od
3
C. równa
3
D. większa od 4
Zadanie 2
Liczba
16
to:
A.
16
B. 4
C. 2
D. 1
Zadanie 3
Po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka w liczbie 245 otrzymujemy:
A.
5
7
B.
7
5
C.
5
3
D.
3
5
Zadanie 4
Odległość na osi liczbowej między liczbami
3
64 i
64
jest równa:
A. 4
B.
8
C.
12
D. 12
Zadanie 5
Zaznacz, które równości są prawdziwe, a które fałszywe.
I.
4
3
4
3
□ PRAWDA □ FAŁSZ
II.
4
3
4
3
□ PRAWDA □ FAŁSZ
III.
4
3
4
3
□ PRAWDA □ FAŁSZ
IV. 4 3
4
3
□ PRAWDA □ FAŁSZ
18
ODPOWIEDZI
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Cyfra jedności sumy
49
25
to:
A.
5
B.
7
C. 4
D. 2
Obliczamy pierwiastki i dodajemy je.
12
7
5
49
25
Cyfra jedności danej liczby to pierwsza cyfra
z prawej strony.
Cyfra jedności 12 to 2 .
Odpowiedź: D.
Zadanie 2
Która z liczb: 0,36 , 0,09 , 0,0064 , 0,000081 jest największa?
A.
36
,
0
B.
09
,
0
C.
0064
,
0
D.
0,000081
Obliczamy pierwiastki.
6
,
0
36
,
0
3
,
0
09
,
0
08
,
0
0064
,
0
009
,
0
000081
,
0
Porównujemy otrzymane liczby.
009
,
0
08
,
0
3
,
0
6
,
0
Odpowiedź: A.
Zadanie 3
Ile wynosi długość krawędzi sześcianu o objętości
3
27 dm
?
A. 9 dm
B. 6 dm
C. 3dm
D. 18dm
Objętość sześcianu o krawędzi a jest równa
3
a
.
27
3
a
3
27
a
19
3
a
3dm
a
Odpowiedź: C.
Zadanie 4
Oblicz pierwiastek kwadratowy z czwartej potęgi liczby cztery.
Obliczamy czwartą potęgę liczby cztery.
256
4
4
Obliczamy pierwiastek kwadratowy z
czwartej potęgi liczby cztery.
16
256
Odpowiedź:
16
.
Zadanie 5
Zapisz wyrażenie
3
3
3
3
2
2
128
16
w najprostszej postaci.
Wyłączamy czynniki przed znaki
pierwiastków.
3
3
3
3
3
2
2
2
8
2
8
16
3
3
3
3
3
2
4
2
64
2
64
128
Dodajemy i dzielimy.
1
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
128
16
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Odpowiedź:
1
.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1. B. 2. C. 3. A. 4. D. 5. I – PRAWDA, II – FAŁSZ, III – PRAWDA, IV – FAŁSZ.
20
5. Procenty
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Stosunek masy srebra do masy złota w pewnym stopie jest równy
3 : 2
. Ile procent srebra jest
w tym stopie?
A.
%
30
B.
%
10
C.
%
60
D.
%
50
Zadanie 2
Ile wynosi masa ciała Krystyny, jeśli po obiedzie zwiększyła się o
%
1
?
A.
10
,
1
początkowej masy ciała
C.
0
,
11
początkowej masy ciała
B.
01
,
1
początkowej masy ciała
D.
10
,
0
początkowej masy ciała
Zadanie 3
Janek ma
180 cm
wzrostu i jest o
20%
wyższy od Janki. Dziewczyna:
A. jest prawie o
10 cm
niższa od Janka
C. jest o
30 cm
niższa od Janka
B. ma
160 cm
wzrostu
D. ma niecałe
150 cm
wzrostu
Zadanie 4
Rano na pałacowym dziedzińcu zjawili się muszkieterzy. Do królewskich komnat udało się
10%
z nich, a
50%
pozostałych wsiadło na konie i odjechało. Na dziedzińcu pozostało tylko
dziewięciu muszkieterów. Ilu muszkieterów zjawiło się rano na dziedzińcu?
Zadanie 5
Pewien naukowiec uzyskał
40
tys. zł rocznego dochodu ze sprzedaży wynalezionego przez
siebie wehikułu czasu. Niestety, od połowy tej kwoty musiał zapłacić podatek o wartości
19%
. Oblicz dochód naukowca po odliczeniu podatku.
21
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Witek zjadł
20
3
całego arbuza. Ile procent arbuza pozostało mu jeszcze do zjedzenia?
A.
%
17
B.
%
80
C.
%
75
D.
%
85
Zadanie 2
Pizzę podzielono na dwie części w stosunku
1
:
3
. Ile procent całej pizzy stanowi jej większa
część?
A.
%
3
B.
%
30
C.
%
75
D.
%
40
Zadanie 3
Basia na początku roku szkolnego miała 150 cm wzrostu, a na końcu – 160 cm . O ile procent
urosła w ciągu tego roku?
A. więcej niż
60%
B. więcej niż
6%
C. mniej niż
6%
D. mniej niż
1%
Zadanie 4
Na choince wisi
30
bombek: białe i czerwone. Liczba czerwonych bombek stanowi
20%
liczby białych bombek. Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.
I. Czerwonych bombek jest o
20
mniej niż białych.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
II. Białych bombek jest pięć razy więcej niż czerwonych.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
III. Jest sześć bombek czerwonych i 14 białych.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
IV. Białych bombek jest nie więcej niż
15
.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
Zadanie 5
Do
35 g
wody dolano
5 g
czystego kwasu octowego. Oblicz stężenie procentowe tak
otrzymanego roztworu.
22
ODPOWIEDZI
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Stosunek masy srebra do masy złota w pewnym stopie jest równy
3 : 2
. Ile procent srebra jest
w tym stopie?
A.
%
30
B.
%
10
C.
%
60
D.
%
50
Jeśli masę stopu podzielimy na pięć (
3 2
)
równych części, to trzy z tych części stanowi
srebro.
%
60
100
60
5
3
Odpowiedź: C.
Zadanie 2
Ile wynosi masa ciała Krystyny, jeśli po obiedzie zwiększyła się o
%
1
?
A.
10
,
1
początkowej masy ciała
C.
0
,
11
początkowej masy ciała
B.
01
,
1
początkowej masy ciała
D.
10
,
0
początkowej masy ciała
Masa ciała Krystyny jest równa
101%
(
%
101
%
1
%
100
) początkowej masy.
01
,
1
100
101
%
101
Odpowiedź: B.
Zadanie 3
Janek ma
180 cm
wzrostu i jest o
20%
wyższy od Janki. Dziewczyna:
A. jest prawie o
10 cm
niższa od Janka
C. jest o
30 cm
niższa od Janka
B. ma
160 cm
wzrostu
D. ma niecałe
150 cm
wzrostu
Wzrost Janka stanowi
%
120
wzrostu Janki.
Obliczamy wzrost Janki.
150
2
,
1
180
%
120
180
(cm)
Odpowiedź: C.
23
Zadanie 4
Rano na pałacowym dziedzińcu zjawili się muszkieterzy. Do królewskich komnat udało się
10%
z nich, a
50%
pozostałych wsiadło na konie i odjechało. Na dziedzińcu pozostało tylko
dziewięciu muszkieterów. Ilu muszkieterów zjawiło się rano na dziedzińcu?
Obliczamy, jaki procent
muszkieterów pozostał na
dziedzińcu.
90 50
45
100% 10% 50%
90% 50%
45%
100 100
100
Dziewięciu muszkieterów to
45%
(czyli 0,45) wszystkich muszkieterów.
Obliczamy, ilu muszkieterów
zjawiło się rano na placu.
20
45
,
0
9
Odpowiedź: Na placu zjawiło się 20 muszkieterów.
Zadanie 5
Pewien naukowiec uzyskał
40
tys. zł rocznego dochodu ze sprzedaży wynalezionego przez
siebie wehikułu czasu. Niestety, od połowy tej kwoty musiał zapłacić podatek o wartości
19%
. Oblicz dochód naukowca po odliczeniu podatku.
Obliczamy, ile złotych podatku zapłacił
naukowiec.
3800
20000
100
19
2
40000
%
19
(zł)
Obliczamy dochód po odliczeniu podatku.
36200
3800
40000
(zł)
Odpowiedź: Po odliczeniu podatku dochód naukowca wynosi
36200
zł.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1. D. 2. C. 3. B. 4. I – PRAWDA, II – PRAWDA, III – FAŁSZ, IV – FAŁSZ. 5.
%
5
,
12
.
24
6. Wyrażenia algebraiczne
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Julia kupiła
5 kg
gruszek po
x zł za kilogram i
2 kg
jabłek po
y
zł za kilogram. Podała
kasjerce banknot stuzłotowy. Ile reszty otrzymała?
A.
100 5
2
x
y
B.
100 2 2,5x
y
C.
100 2 2,5x
y
D.
100 5
2
x
y
Zadanie 2
Pole trójkąta o bokach a , b i c wyraża się wzorem
P
p p a
p b
p c
, gdzie
2
a b c
p
. Pole trójkąta o bokach
6
,
10
i
8
jest równe:
A.
48
B.
24
C. 12 2
D.
120
Zadanie 3
Jeśli spośród trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych największa jest liczba n , to
najmniejsza z tych liczb wynosi:
A.
2
n
B.
4
n
C.
2
n
D.
4
n
Zadanie 4
Ciastka w cenie
x zł za kilogram zmieszano z ciastkami o
5
zł droższymi w stosunku
2
:
3
,
otrzymując kilogram mieszanki. Określ, co opisuje wyrażenie
5
)
5
(
2
3
x
x
.
Zadanie 5
Czy działania wykonano poprawnie?
I.
x
x
x
x
x
2
3
2
5
)
2
(
5
□ TAK □ NIE
II.
b
a
b
a
a
b
a
3
3
3
3
□ TAK □ NIE
III.
2
2
2
1
1
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
□ TAK □ NIE
IV.
4
2
2
2
2
)
1
(
2
)
1
(
2
x
x
x
x
□ TAK □ NIE
25
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Jeżeli
V
m
p
, to:
A.
mp
V
B.
p
m
V
C.
m
p
V
D.
m
p
V
Zadanie 2
Po wykonaniu redukcji wyrazów podobnych wyrażenie
y
x
x
y
x
8
3
2
5
ma postać:
A.
y
B.
y
x
3
8
C. 0
D.
y
x
Zadanie 3
Ile wynosi średnia arytmetyczna trzech liczb, z których pierwsza to m , a każda następna jest
dwukrotnie większa od poprzedniej?
A.
2
m
B.
3
5m
C.
3
4
3
m
D.
3
7m
Zadanie 4
Wyrażenie, które dla
2
x
ma wartość 2 , to:
I.
2
2
x
□ TAK □ NIE
III.
2
3
x
□ TAK □ NIE
II.
2
2
x
□ TAK □ NIE
IV.
2
x
□ TAK □ NIE
Zadanie 5
Samochód i rowerzysta wyruszyli jednocześnie z tego samego miejsca. Rowerzysta jechał z
prędkością
km
h
x
, a samochód – cztery razy szybciej. Po dwóch godzinach jazdy samochód
zwiększył prędkość o
km
10
h
, a rowerzysta zmniejszył o
km
1
h
. Uzupełnij zdania, wpisując
odpowiednie wyrażenia algebraiczne.
Samochód w ciągu pierwszych dwóch godzin przejechał drogę długości ……
km
.
Rowerzysta przejechał drogę długości
(4
2) km
x
w ciągu …… godzin. Po trzech godzinach
jazdy samochód znajdował się w odległości ……
km
od rowerzysty.
26
ODPOWIEDZI
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Julia kupiła
5 kg
gruszek po x zł za kilogram i
2 kg
jabłek po
y
zł za kilogram. Podała
kasjerce banknot stuzłotowy. Ile reszty otrzymała?
A.
100 5
2
x
y
B.
100 2 2,5x
y
C.
100 2 2,5x
y
D.
100 5
2
x
y
Obliczamy, ile kosztowały gruszki i jabłka.
5
2
x
y
Obliczamy, ile reszty otrzymała Julia.
100
5
2
100 2 2,5
x
y
x
y
Odpowiedź: B.
Zadanie 2
Pole trójkąta o bokach a , b i c wyraża się wzorem
P
p p a
p b
p c
, gdzie
2
a b c
p
. Pole trójkąta o bokach 6 ,
10
i
8
jest równe:
A.
48
B.
24
C. 12 2
D.
120
Obliczamy połowę obwodu trójkąta.
6 10 8
12
2
2
a b c
p
Obliczamy pole, korzystając z podanego
wzoru.
12 12 6 12 10 2 8
P
12 6 2 4
144 4
12 2
24
P
Odpowiedź: B.
Zadanie 3
Jeśli spośród trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych największa jest liczba n , to
najmniejsza z tych liczb wynosi:
A.
2
n
B.
4
n
C.
2
n
D.
4
n
Kolejne liczby parzyste różnią się o 2 .
n – największa liczba
27
2
n
– środkowa liczba
4
2
2
n
n
– najmniejsza liczba
Odpowiedź: B.
Zadanie 4
Ciastka w cenie x zł za kilogram zmieszano z ciastkami o
5
zł droższymi w stosunku
2
:
3
,
otrzymując kilogram mieszanki. Określ, co opisuje wyrażenie
5
)
5
(
2
3
x
x
.
Ciastka zmieszano w stosunku
2
:
3
, co oznacza, że trzy z pięciu części stanowią tańsze
ciastka, a dwie z pięciu części – droższe (
5
x
zł za kilogram). Tańsze ciastka ważą
3
kg
5
, a
droższe
2
kg
5
.
Wyrażenie
3
2
2
5
5
x
x
opisuje cenę
1 kg
mieszanki.
3
2
5
3
2
5
5
5
5
x
x
x
x
Odpowiedź: Podane wyrażenie opisuje cenę kilograma mieszanki.
Zadanie 5
Czy działania wykonano poprawnie?
I.
x
x
x
x
x
2
3
2
5
)
2
(
5
□ TAK □ NIE
II.
b
a
b
a
a
b
a
3
3
3
3
□ TAK □ NIE
III.
2
2
2
1
1
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
□ TAK □ NIE
IV.
4
2
2
2
2
)
1
(
2
)
1
(
2
x
x
x
x
□ TAK □ NIE
Odejmując sumę, zmieniamy w nawiasie
znaki na przeciwne.
x
x
x
x
x
2
7
2
5
)
2
(
5
Mnożąc sumę przez liczbę, mnożymy każdy
jej składnik przez tę liczbę.
b
a
b
a
a
b
a
3
3
3
3
3
3
Odpowiedź: I – NIE, II – NIE, III – TAK, IV – TAK.
28
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1. B. 2. A. 3. D. 4. I – NIE, II – NIE, III – TAK, IV – NIE. 5.
8x
, 4 ,
9
11
x
.
29
7. Równania
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Liczba
1
jest rozwiązaniem równania:
A.
1
a
a
B.
2
1
a
a
C.
3
1
0
a
D.
1
2
a
a
Zadanie 2
Obie strony równania
2
4
6
y
y
podzielono przez 2 , a następnie do obu stron dodano
6
.
Które równanie otrzymano?
A.
4
3
6
y
y
B.
2
3
6
y
y
C.
2
6
y
y
D.
1 3
2
y
y
Zadanie 3
Kisząc ogórki, do słoja zawierającego 0,75 kg tych warzyw dodaje się jedną łyżeczkę soli.
Ile łyżeczek soli trzeba dodać do beczki zawierającej
12 kg
ogórków?
A. 14
B.
16
C.
9
D. 12
Zadanie 4
Długość pokoju Majki na planie wykonanym w skali
1: 200
jest o
1,5cm
większa niż na
planie wykonanym w skali
1: 500
. Oblicz długość pokoju Majki, układając i rozwiązując
odpowiednie równanie.
Zadanie 5
Pani Krystyna ma dwa razy więcej szali niż kapeluszy. Każdy szal i kapelusz ma inny kolor.
Pani Krystyna może założyć szal i kapelusz na osiem sposobów. Oblicz, ile kapeluszy i ile
szali ma pani Krystyna.
30
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Wskaż równanie, które ma tylko jedno rozwiązanie.
A.
1
3
1 3
3
x
x
C.
1
1
3
1
2
1
3
2
x
x
B.
1
1
1
1
3
3
2
2
2
3
x
x
D.
1
1
3
1
2
3
2
x
x
Zadanie 2
Dwa ptysie kosztują tyle samo co trzy napoleonki. Jeżeli za trzy ptysie i dwie napoleonki
zapłacono
13
zł, to:
A. napoleonka jest o złotówkę droższa od ptysia
B. napoleonka jest złotówkę tańsza od ptysia
C. cena napoleonki stanowi
3
2
ceny ptysia
D. napoleonka jest dwukrotnie tańsza od ptysia
Zadanie 3
Które równania stanowią parę równań równoważnych?
A.
5
x
x
i
5
5
x
C.
2
4
x
i
4
x
B.
1
x
i
2
1
x
D.
2
4
x
i
4
2
x
Zadanie 4
Lucjan i Emil wyruszyli rowerami jednocześnie z tego samego miejsca, ale w przeciwnych
kierunkach. Lucjan jechał z prędkością o
km
6
h
większą niż Emil. Emil jechał z prędkością
km
12
h
. Po jakim czasie odległość między nimi będzie równa
75 km
?
Zadanie 5
Na wierzbie rosło
40
owoców –
x gruszek i y jabłek. Zawiał wiatr i spadło osiem gruszek
oraz połowa jabłek. Ela potrząsnęła drzewem i spadła połowa pozostałych gruszek oraz
połowa pozostałych jabłek – razem dziewięć owoców. Zapisz podane informacje w postaci
układu równań.
31
ODPOWIEDZI
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Liczba
1
jest rozwiązaniem równania:
A.
1
a
a
B.
2
1
a
a
C.
3
1
0
a
D.
1
2
a
a
Aby sprawdzić, czy liczba jest rozwiązaniem
równania, należy wstawić liczbę do równania
w miejsce niewiadomej i określić, czy lewa
strona równania jest równa prawej. Do
każdego z równań wstawiamy
1
a
.
1
a
a
1 1
1
,
P
L
2
1
a
a
2
1
1
1
,
P
L
3
1
0
a
3
1 1
0
,
P
L
1
2
a
a
1
1
2
1
,
P
L
Odpowiedź: B.
Zadanie 2
Obie strony równania
2
4
6
y
y
podzielono przez 2 , a następnie do obu stron dodano
6
.
Które równanie otrzymano?
A.
4
3
6
y
y
B.
2
3
6
y
y
C.
2
6
y
y
D.
1 3
2
y
y
Dzieląc obie strony równania przez 2 ,
dzielimy każdy wyraz równania przez 2 .
2
4
6
y
y
2
4
6
2
2
2
y
y
2
3
y
y
Do obu stron równania dodajemy 6 .
Redukujemy wyrazy podobne.
2 6
3
6
y
y
4
3
6
y
y
Odpowiedź: A.
32
Zadanie 3
Kisząc ogórki, do słoja zawierającego
0, 75 kg
tych warzyw dodaje się jedną łyżeczkę soli.
Ile łyżeczek soli trzeba dodać do beczki zawierającej
12 kg
ogórków?
A. 14
B.
16
C.
9
D. 12
Oznaczmy przez
x szukaną liczbę łyżeczek
soli. Zapisujemy treść zadania w postaci
proporcji.
liczba łyżeczek
masa ogórków
1
0, 75
x
12
1
0, 75
12
x
Przekształcamy równanie, mnożąc „na
krzyż”, i rozwiązujemy je.
0, 75
1 12
x
12
16
0, 75
x
Odpowiedź: B.
Zadanie 4
Długość pokoju Majki na planie wykonanym w skali
1: 200
jest o
1,5cm
większa niż na
planie wykonanym w skali
1: 500
. Oblicz długość pokoju Majki, układając i rozwiązując
odpowiednie równanie.
Oznaczmy przez
x długość pokoju Majki na
planie wykonanym w skali
1: 200
. Skala
1: 200
oznacza, że
1cm
na planie
odpowiada
200 cm
w rzeczywistości. Skala
1: 500
oznacza, że
1cm
na planie
odpowiada
500 cm
w rzeczywistości.
200 cm
x
– długość pokoju Majki obliczona
ze skali 1:200
500(
1,5) cm
x
– długość pokoju Majki
obliczona ze skali 1:500
Układamy i rozwiązujemy równanie.
500(
1,5)
200
x
x
500
750
200
x
x
500
200
750
x
x
300
750
x
2,5
x
33
Obliczamy rzeczywistą długość pokoju.
200 2,5
500
cm
500cm
5m
Odpowiedź: Długość pokoju Majki jest równa 5m .
Zadanie 5
Pani Krystyna ma dwa razy więcej szali niż kapeluszy. Każdy szal i kapelusz ma inny kolor.
Pani Krystyna może założyć szal i kapelusz na osiem sposobów. Oblicz, ile kapeluszy i ile
szali ma pani Krystyna.
Oznaczmy przez
x liczbę kapeluszy. Wtedy
x
2
opisuje liczbę szali. Kapelusze i szale
można założyć na
x
x 2
sposobów (czyli na
osiem sposobów).
2
8
x
x
2
2
8
:2
x
2
4
x
Szukamy liczby naturalnej, która
podniesiona do kwadratu jest równa 4 .
2
x
2
2 2
4
x
Odpowiedź: pani Krystyna ma dwa kapelusze i cztery szale.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1. D. 2. B. 3. D. 4.
2, 5
godziny. 5.
40
8
9
2
4
x
y
x
y
.
34
8. Wykresy funkcji
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Jakim wzorem możemy zapisać zależność między podanymi w tabeli wielkościami x i
y
?
x
2
0 1 2
A.
x
y
2
C.
x
y
2
y
0
2
3
4
B.
x
y
2
D.
2
x
y
Zadanie 2
Jeżeli funkcja jest określona za pomocą poniższej tabeli, to jaką wartość musi przyjąć a , aby
punkt
,
4
a
należał do wykresu tej funkcji?
x
0, 4
2
1
4
A.
1
a
C.
4
a
y
10
2
4
1
B.
1
a
D.
4
,
0
a
Zadanie 3
Wykres funkcji
5
x
y
:
A. przecina oś
OX
w punkcie
0, 5
B. przecina oś
OY
w punkcie
5, 0
C. przecina osie układu współrzędnych w dwóch punktach
D. nie przecina osi układu współrzędnych
Zadanie 4
Współrzędne x i
y
punktu
2, 6
P
spełniają warunek:
I.
x
y
□ TAK □ NIE
III.
y
x
3
□ TAK □ NIE
II.
0
y
x
□ TAK □ NIE
IV.
0
3
x
y
□ TAK □ NIE
Zadanie 5
Do wykresu funkcji danej wzorem
2
x
y
m
, (
)
0
m
należy punkt
1
1
,
2
2
P
. Znajdź
liczbę m .
35
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Wiadomo, że
4, 4
M
,
1, 3
I
,
2, 2
R
,
3,
1
K
i
6, 1
A
. Ile punktów
wspólnych z osiami układu współrzędnych ma wielokąt
MIRKA
?
A.
0
B. 2
C. 4
D.
6
Zadanie 2
Funkcja jest określona następująco: każdej liczbie x wyrażającej obwód koła
przyporządkowujemy liczbę
r
równą promieniowi tego koła. Jeśli przyjmiemy
22
π
7
, to
jaki będzie wzór tej funkcji?
A.
x
x
r
7
44
)
(
B.
x
x
r
44
7
)
(
C.
x
x
r
44
7
)
(
D.
x
x
r
7
44
)
(
Zadanie 3
Pęd bambusa miał wysokość
4 cm
. W ciągu tygodnia jego wysokość zwiększała się o
5 cm
dziennie. Zależność wysokości bambusa
y od liczby dni
)
(x można opisać wzorem:
A.
5
4
x
y
B.
x
y
5
4
C.
4
5
x
y
D.
5
4
x
y
Zadanie 4
Zaznacz w układzie współrzędnych trzy punkty, których współrzędne
x i y spełniają
warunek
3
x
y
.
Zadanie 5
Przekątne równoległoboku
IZKA
leżą na osiach układu współrzędnych i przecinają się w
połowie długości w punkcie
0, 0
. Przekątna
IK
ma długość 12 , a bok
IZ
ma długość
10
.
Narysuj ten wielokąt i oblicz jego pole.
36
ODPOWIEDZI
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Jakim wzorem możemy zapisać zależność między podanymi w tabeli wielkościami x i
y
?
x
2
0
1 2
A.
x
y
2
C.
x
y
2
y
0
2
3
4
B.
x
y
2
D.
2
x
y
Zauważmy, że
2
x
y
.
2
x
y
Odpowiedź: D.
Zadanie 2
Jeżeli funkcja jest określona za pomocą poniższej tabeli, to jaką wartość musi przyjąć a , aby
punkt
,
4
a
należał do wykresu tej funkcji?
x
0, 4
2
1
4
A.
1
a
C.
4
a
y
10
2
4
1
B.
1
a
D.
4
,
0
a
Zauważmy, że dla każdej zapisanej w tabeli
pary liczb
x i y zachodzi związek
4
xy
.
x
y
4
(
)
0
x
– wzór opisujący funkcję
Wstawiamy do wzoru funkcji
4
y
.
4
4
x
4
4
x
1
x
1
a
Odpowiedź: B.
37
Zadanie 3
Wykres funkcji
5
x
y
:
A. przecina oś
OX
w punkcie
0, 5
B. przecina oś
OY
w punkcie
5, 0
C. przecina osie układu współrzędnych w dwóch punktach
D. nie przecina osi układu współrzędnych
Wykres funkcji przecina oś
OX
w punkcie,
którego druga współrzędna jest równa zero.
0
5
x
5
x
5, 0
– współrzędne punktu przecięcia
wykresu funkcji z osią
OX
Wykres funkcji przecina oś
OY
w punkcie,
którego pierwsza współrzędna jest równa
zero.
5
5
0
y
0, 5
– współrzędne punktu przecięcia
wykresu funkcji z osią
OY
Odpowiedź: C.
Zadanie 4
Współrzędne x i
y
punktu
2, 6
P
spełniają warunek:
I.
x
y
□ TAK □ NIE
III.
y
x
3
□ TAK □ NIE
II.
0
y
x
□ TAK □ NIE
IV.
0
3
x
y
□ TAK □ NIE
2, 6
P
, więc
2
x
,
6
y
2
6
, więc
x
y
0
4
6
2
y
x
y
x
6
)
2
(
3
3
0
12
6
6
2
3
6
3
x
y
Odpowiedź: I – TAK, II – TAK, III – TAK, IV – NIE.
38
Zadanie 5
Do wykresu funkcji danej wzorem
2
x
y
m
, (
)
0
m
należy punkt
1
1
,
2
2
P
. Znajdź
liczbę m .
Punkt P należy do wykresu funkcji, zatem
podstawiając współrzędne tego punktu do
wzoru funkcji, otrzymamy równość.
1
1
2
2
2
m
1
1
2
2
2
2
m
m
2
2
4
2
2
m
m
m
m
4
1
m
m
5
1
m
1
5
m
Odpowiedź:
5
1
m
.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1. D. 2. B. 3. B. 4. np.
1, 4 ,
2, 1
,
0, 3 . 5.
96
.
39
9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku
prawdopodobieństwa
Zadania rozwiązane krok po kroku
Informacje do zadań 1–3
Zapytano kilka osób, ile godzin dziennie oglądają telewizję. Wyniki zapisano w tabeli.
Liczba godzin
0
1
2
3
4
Liczba osób
1
4
5
3
7
Zadanie 1
Mediana zebranych danych jest równa:
A. 4
B. 2
C.
5
,
2
D.
5
,
3
Zadanie 2
Średnia liczba godzin, którą zapytane osoby spędzają przed telewizorem, jest równa:
A.
55
,
3
B.
5
,
3
C.
5
,
2
D.
55
,
2
Zadanie 3
Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana spośród ankietowanych osoba ogląda telewizję
przynajmniej dwie godziny dziennie, jest równe:
A. 75
,
0
B.
25
,
0
C. 5
,
0
D. 15
,
0
Zadanie 4
W bombonierce jest
50
czekoladek, w tym
15
miętowych. Wyjmujemy jedną czekoladkę.
Oblicz prawdopodobieństwo:
a) wyciągnięcia innej czekoladki niż miętowa,
b) wyciągnięcia miętowej czekoladki, gdy trzy osoby już wyjęły czekoladki z bombonierki,
ale żadna nie była miętowa,
c) wyciągnięcia miętowej czekoladki, gdy pięć osób już wyjęło czekoladki z bombonierki i
dwie z nich były miętowe.
40
Zadanie 5
Patryk zdaje ustny egzamin z języka starogreckiego. Na stole leży
20
zestawów z pytaniami,
w tym cztery zestawy zawierają pytania, na które chłopiec zna odpowiedzi, a sześć zestawów
można wymienić na inne („zestawy szczęścia”). Przed Patrykiem zdawała jedna osoba i
wyciągnęła zestaw z pytaniami, na które Patryk nie znał odpowiedzi. Czy podane zdania są
prawdziwe, czy fałszywe? Zaznacz właściwą odpowiedź.
A. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu
z pytaniami, na które zna odpowiedzi, wzrosło.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
B. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu
z pytaniami, na które nie zna odpowiedzi, zmalało.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
C. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu
szczęścia nie zmieniło się.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Przed domem rosną dwie brzozy, jedna lipa, trzy świerki i cztery sosny. Prawdopodobieństwo
tego, że wróbel nie usiądzie na drzewie liściastym, jest równe:
A. 4
,
0
B. 7
,
0
C. 9
,
0
D. 5
,
0
Zadanie 2
W szkatułce jest dziewięć czarnych pereł i siedem białych. Królewski skarbnik wyciąga jedną
perłę. O ile większe jest prawdopodobieństwo, że wyciągnie czarną perłę, od
prawdopodobieństwa wyciągnięcia białej?
A.
125
,
0
B.
0,5625
C.
0, 4375
D.
0, 2
41
Zadanie 3
Uzupełnij tabelę, w której przedstawiono przybliżone dane na temat niektórych polskich
województw.
Województwo
Powierzchnia (
2
km )
Ludność
Gęstość zaludnienia
2
os.
km
Dolnośląskie
2880000
144
Opolskie
9500
1045000
Podlaskie
20 200
60
Lubuskie
980000
70
a) W którym z województw jest największa gęstość zaludnienia?
b) Które z województw ma najmniejszą powierzchnię?
Zadanie 4
Mama poprosiła synów o wyrzucenie śmieci. Bartek zaproponował Adamowi, że rzuci
dwiema monetami lub kostkami. Jeżeli na obu monetach lub kostkach wypadnie to samo –
wyrzuci je sam, a jeśli nie – zrobi to Adam. Którą możliwość powinien wybrać Adam?
Zadanie 5
Bierzesz udział w losowaniu wycieczki na Księżyc. Wśród
50
przygotowanych losów jest
sześć biletów. Oblicz, jaką masz szansę wygranej, jeśli:
a) przed tobą losowały dwie osoby i żadna nie wygrała,
b) przed tobą losowało dziesięć osób i trzy z nich wygrały,
c) przed tobą losowało
30
osób i cztery wygrały.
42
ODPOWIEDZI
Zadania rozwiązane krok po kroku
Informacje do zadań 1–3
Zapytano kilka osób, ile godzin dziennie oglądają telewizję. Wyniki zapisano w tabeli.
Liczba godzin
0
1
2
3
4
Liczba osób
1
4
5
3
7
Zadanie 1
Mediana zebranych danych jest równa:
A. 4
B. 2
C.
5
,
2
D.
5
,
3
Wypisujemy dane. Ich liczba jest parzysta
(
20
), więc obliczamy średnią arytmetyczną
dwóch środkowych liczb.
0
, 1, 1, 1, 1, 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,
3
,
3
,
3
, 4 ,
4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4
5
,
2
2
3
2
Odpowiedź: C.
Zadanie 2
Średnia liczba godzin, którą zapytane osoby spędzają przed telewizorem, jest równa:
A.
55
,
3
B.
5
,
3
C.
5
,
2
D.
55
,
2
Obliczamy, ile osób odpowiedziało na
pytanie.
1 4 5 3 7
20
Obliczamy średnią liczbę godzin.
0 1 4 1 5 2 3 3 4 7
2,55
20
Odpowiedź: D.
43
Zadanie 3
Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana spośród ankietowanych osoba ogląda telewizję
przynajmniej dwie godziny dziennie, jest równe:
A.
75
,
0
B.
25
,
0
C.
5
,
0
D.
15
,
0
Obliczamy prawdopodobieństwo, że osoba
wybrana spośród
20
ankietowanych ogląda
telewizję przynajmniej dwie godziny dziennie
(czyli dwie, trzy lub cztery godziny).
5 3 7
15
0, 75
20
20
Odpowiedź: A.
Zadanie 4
W bombonierce jest
50
czekoladek, w tym
15
miętowych. Wyjmujemy jedną czekoladkę.
Oblicz prawdopodobieństwo:
a) wyciągnięcia innej czekoladki niż miętowa,
b) wyciągnięcia miętowej czekoladki, gdy trzy osoby już wyjęły czekoladki z bombonierki,
ale żadna nie była miętowa,
c) wyciągnięcia miętowej czekoladki, gdy pięć osób już wyjęło czekoladki z bombonierki i
dwie z nich były miętowe.
W bombonierce jest
35
(
35
15
50
) innych
czekoladek niż miętowe. Obliczamy
prawdopodobieństwo wyciągnięcia takiej
czekoladki.
10
7
50
35
Trzy osoby wyciągnęły czekoladki, więc w
bombonierce zostało
47
(
47
3
50
)
czekoladek, wśród których
15
jest
miętowych. Obliczamy prawdopodobieństwo
wyciągnięcia miętowej czekoladki.
47
15
Pięć osób wyciągnęło czekoladki, więc w
bombonierce zostało
45
(
45
5
50
)
czekoladek, wśród których
13
(
15 2 13
)
13
45
44
jest miętowych. Obliczamy
prawdopodobieństwo wyciągnięcia miętowej
czekoladki.
Odpowiedź: a)
10
7
; b)
47
15
; c)
13
45
.
Zadanie 5
Patryk zdaje ustny egzamin z języka starogreckiego. Na stole leży
20
zestawów z pytaniami,
w tym cztery zestawy zawierają pytania, na które chłopiec zna odpowiedzi, a sześć zestawów
można wymienić na inne („zestawy szczęścia”). Przed Patrykiem zdawała jedna osoba i
wyciągnęła zestaw z pytaniami, na które Patryk nie znał odpowiedzi. Czy podane zdania są
prawdziwe, czy fałszywe? Zaznacz właściwą odpowiedź.
A. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu
z pytaniami, na które zna odpowiedzi, wzrosło.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
B. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu
z pytaniami, na które nie zna odpowiedzi, zmalało.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
C. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu
szczęścia nie zmieniło się.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
Po wylosowaniu pierwszego zestawu
pozostało ich
19
, w tym cztery z pytaniami,
na które Patryk zna odpowiedzi.
2
,
0
20
4
– prawdopodobieństwo
wylosowania przez Patryka zestawu z
pytaniami, na które zna odpowiedzi, gdyby
losował pierwszy
19
4
– prawdopodobieństwo wylosowania
przez Patryka zestawu z pytaniami, na które
zna odpowiedzi, gdy losuje drugi
19
4
20
4
Po wylosowaniu pierwszego zestawu
pozostało ich
19
, w tym dziewięć, na które
Patryk nie zna odpowiedzi.
5
,
0
20
10
– prawdopodobieństwo
wylosowania przez Patryka zestawu z
45
pytaniami, na które nie zna odpowiedzi,
gdyby losował pierwszy
9
0, 473...
0, 47
19
20
10
19
9
„Zestawów szczęścia” jest osiem.
20
8
– prawdopodobieństwo wylosowania
przez Patryka „zestawu szczęścia” gdyby
losował pierwszy
19
8
– prawdopodobieństwo wylosowania
przez Patryka „zestawu szczęścia”, gdy
losuje drugi
19
8
20
8
Odpowiedzi: I – PRAWDA; II – PRAWDA; III – FAŁSZ.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1. B. 2. A. 3.
20 000
,
110
,
1212000
,
14 000
; a) dolnośląskie; b) opolskie. 4. monetami –
szansa wyrzucenia tego samego jest równa
2
1
(w przypadku rzutu kostkami wynosi ona
6
1
).
5. a)
125
,
0
; b)
075
,
0
; c)
1
,
0
.
46
10. Figury płaskie
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Miary kątów trójkąta pozostają w stosunku
3: 4 : 2
. Miara kąta między dwusiecznymi kątów
leżących przy najdłuższym boku tego trójkąta jest równa:
A.
120
B.
130
C.
80
D.
90
Zadanie 2
Wokół okrągłego placu stoi kolejno pięć pomników:
1
P
,
2
P
,
3
P
,
4
P
,
5
P
. Odległości
między sąsiadującymi pomnikami są jednakowe. Na środku placu znajduje się fontanna
F
.
Miara kąta między ścieżkami biegnącymi od dwóch z tych pomników do fontanny jest równa
216
. Ścieżki te biegną od pomników:
I.
1
P
i
3
P
□ TAK □ NIE
II. 2
P i 4
P
□ TAK □ NIE
III.
1
P
i
4
P
□ TAK □ NIE
IV.
3
P
i
5
P
□ TAK □ NIE
Zadanie 3
W pewnym miasteczku wszystkie ulice są proste. Biorąc pod uwagę podaną liczbę ulic,
oblicz, ile maksymalnie skrzyżowań może być w tym miasteczku, a następnie uzupełnij
tabelę.
Liczba ulic
Liczba skrzyżowań
1
2
3
4
10
10
45
n
47
Zadanie 4
Długość łuku wycinka kołowego o kącie środkowym
30
jest równa
π . Oblicz pole koła, z
którego wycięto ten wycinek.
Zadanie 5
Działka pana Jędrzeja ma kształt równoległoboku, w którym stosunek sąsiednich boków jest
równy
2
:
1
. Stosunek miar kątów tego równoległoboku leżących przy jednym boku jest
równy
2
:
1
. Ścieżka przecinająca działkę, leżąca na dwusiecznej większego kąta, ma długość
40 m
. Ile metrów siatki potrzeba do ogrodzenia tej działki?
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Walec o średnicy
60 cm
i długości
1m
wykonał
35
obrotów. Oblicz pole prostokątnego
śladu, który zostawił, przetaczając się po zagrabionej ziemi. Przyjmij
22
π
7
.
Zadanie 2
Bartek i Diana mają ogródki w kształcie wielokątów podobnych w skali
1: 3
. Bartek na
obsianie swojego ogródka zużył dwie paczki nasion pietruszki. Diana na obsadzenie granic
swojego ogródka potrzebowała
150
wierzb. Wynika z tego, że:
I. Diana na obsianie swojej działki zużyje sześć paczek
nasion pietruszki.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
II. Bartek na obsadzenie granic swojego ogródka będzie
potrzebował
50
wierzb.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
III. Diana na obsianie połowy swojej działki zużyje
dziewięć paczek nasion pietruszki.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
IV. Bartek na obsadzenie swojej działki będzie
potrzebował
100
wierzb.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
48
Zadanie 3
Na szkolny dziedziniec w kształcie kwadratu o boku
15 m
spadła warstwa śniegu o
wysokości
2 cm
. Oblicz jego objętość.
Zadanie 4
W jezdni znajduje się otwór odpływowy w kształcie trójkąta o bokach
30 cm
,
34 cm
i
16 cm
.
Otwór ten należy zakryć pokrywą w kształcie koła. Jakie co najmniej pole powierzchni musi
mieć ta pokrywa?
Zadanie 5
Długość boku kwadratowego trawnika zwiększono o
3m
, przez co jego powierzchnia
zwiększyła się o
2
39 m
. Oblicz powierzchnię powiększonego trawnika.
49
ODPOWIEDZI
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Miary kątów trójkąta pozostają w stosunku
3: 4 : 2
. Miara kąta między dwusiecznymi kątów
leżących przy najdłuższym boku tego trójkąta jest równa:
A.
120
B.
130
C.
80
D.
90
Obliczamy miary kątów trójkąta.
3
4
2
180
x
x
x
9
180
x
20
x
3
3 20
60
x
4
4 20
80
x
2
2 20
40
x
Naprzeciw najdłuższego boku trójkąta leży
kąt o największej mierze –
80
. Przy
najdłuższym boku znajdują się kąty o
miarach
60
i
40
. Dwusieczne dzielą każdy
z tych kątów na dwa kąty o równych
miarach. W trójkącie dwa kąty mają miary
30
i
20
. Obliczamy miarę kąta
– kąta
między dwusiecznymi. Uwaga: kąt między
dwusiecznymi to również kąt przyległy do
kąta
.
20
30
180
180
50
130
Odpowiedź: B.
Zadanie 2
Wokół okrągłego placu stoi kolejno pięć pomników:
1
P
,
2
P
,
3
P
,
4
P
,
5
P
. Odległości
między sąsiadującymi pomnikami są jednakowe. Na środku placu znajduje się fontanna F .
Miara kąta między ścieżkami biegnącymi od dwóch z tych pomników do fontanny jest równa
216
. Ścieżki te biegną od pomników:
I.
1
P
i
3
P
□ TAK □ NIE
50
II.
2
P
i
4
P
□ TAK □ NIE
III.
1
P
i
4
P
□ TAK □ NIE
IV.
3
P
i
5
P
□ TAK □ NIE
Punkty
1
P
,
2
P
,
3
P
,
4
P
,
5
P
dzielą okrąg
na pięć łuków o równej długości. Oznaczmy
– kąt oparty na jednym takim łuku.
360
72
5
Kąt o mierze
216
jest równy miarom trzech
kątów
. Jeśli będziemy poruszać się po
okręgu zgodnie z ruchem wskazówek zegara,
to jest on kątem między ścieżkami
utworzonymi przez pomniki
1
P
i
4
P
. Jeśli
będziemy poruszać się odwrotnie – jest to kąt
między ścieżkami wyznaczonymi przez
1
P
i
3
P
,
2
P
i
4
P
lub
3
P
i
5
P
.
216 : 72
3
Odpowiedź: I – TAK, II – TAK, III – TAK, IV – TAK.
Zadanie 3
W pewnym miasteczku wszystkie ulice są proste. Biorąc pod uwagę podaną liczbę ulic,
oblicz, ile maksymalnie skrzyżowań może być w tym miasteczku, a następnie uzupełnij
tabelę.
Liczba ulic
Liczba skrzyżowań
1
2
3
4
10
10
45
n
Największa możliwa liczba skrzyżowań
będzie w sytuacji, gdy każda z n dróg
1
2
n n
– największa możliwa liczba
51
(prostych) przetnie
1
n
pozostałych. Jednak
wszystkich skrzyżowań (punktów przecięcia)
nie będzie
1
n n
, bo każde skrzyżowanie
(punkty przecięcia) tworzą dwie proste.
skrzyżowań
Odpowiedź: 0 , 1,
3
, 6 ,
5
,
(
1))
2
n n
.
Zadanie 4
Długość łuku wycinka kołowego o kącie środkowym
30
jest równa
π . Oblicz pole koła, z
którego wycięto ten wycinek.
Łuk stanowi
30
1
360
12
obwodu koła.
1
π
12
L
12π
L
Szukamy promienia tego koła.
2π
12π
r
6
r
Obliczamy pole koła.
2
2
π
π 6
36π
r
Odpowiedź: Pole koła jest równe
36π
.
Zadanie 5
Działka pana Jędrzeja ma kształt równoległoboku, w którym stosunek sąsiednich boków jest
równy
2
:
1
. Stosunek miar kątów tego równoległoboku leżących przy jednym boku jest
równy
2
:
1
. Ścieżka przecinająca działkę, leżąca na dwusiecznej większego kąta, ma długość
40 m
. Ile metrów siatki potrzeba do ogrodzenia tej działki?
Suma kątów leżących przy jednym boku
równoległoboku jest równa
180
. Obliczamy
miary tych kątów, wiedząc, że jeden jest dwa
razy większy od drugiego.
2
180
x
x
3
180
x
60
x
2
120
x
Dwusieczna podzieliła kąt
120
na kąty o
miarach
60
. Ścieżka wydzieliła zatem
trójkąt równoboczny, w którym każdy bok
80
2
40
(m)
52
jest równy
40 m
. Krótszy bok
równoległoboku ma długość
40 m
. Dłuższy
bok jest dwa razy dłuższy.
Obliczamy, ile siatki potrzeba na ogrodzenie
działki w kształcie równoległoboku.
240
160
80
80
2
40
2
(m)
Odpowiedź: Do ogrodzenia tej działki potrzeba
240 m
siatki.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1.
2
66 m . 2. I – FAŁSZ, II – PRAWDA, III – PRAWDA, IV – FAŁSZ. 3.
3
4,5 m .
4.
2
289π cm . 5.
2
64 cm
.
53
11. Bryły
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Graniastosłup n -kątny ma:
A.
n
2
krawędzi
B.
n
4
wierzchołków
C.
2
n
ścian
D.
4
n
ścian
Zadanie 2
Świecę w kształcie graniastosłupa prawidłowego przetopiono na dwie świece w kształcie
jednakowych ostrosłupów. Ostrosłupy te mają takie same podstawy jak graniastosłup.
Wynika z tego, że wysokość każdej z otrzymanych świec jest:
A. trzykrotnie większa od wysokości przetopionej świecy
B. równa wysokości przetopionej świecy
C. półtora razy większa od wysokości przetopionej świecy
D. dwa razy większa od wysokości przetopionej świecy
Zadanie 3
Prostokąt o bokach długości x i
x
2
(
1
x
) obrócono najpierw dookoła krótszego boku, a
następnie dookoła dłuższego boku. Iloraz objętości większej bryły przez mniejszą jest równy:
A. 2
B.
2
1
C. 4
D.
4
1
Zadanie 4
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa
36 cm
. Zaznacz, które zdanie jest
prawdziwe, a które fałszywe.
I. Objętość sześcianu jest mniejsza niż
3
30 cm .
□ PRAWDA □ FAŁSZ
II. Długość przekątnej sześcianu jest równa
5, 2 cm
.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
III. Pole powierzchni sześcianu jest większe niż
2
50 cm .
□ PRAWDA □ FAŁSZ
IV. Wysokość sześcianu jest większa niż
4 cm
.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
54
Zadanie 5
Sześcienną kostkę z plasteliny oklejono srebrnym papierem i pocięto na
64
jednakowe
sześciany. Zastanów się, ile powstało sześcianów z jedną, dwiema i trzema ścianami
oklejonymi papierem, a ile wykonanych jedynie z plasteliny. Uzupełnij tabelę.
Liczba oklejonych papierem ścian
Liczba sześcianów
3
2
1
0
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Podstawą ostrosłupa jest n -kąt. Wynika z tego, że ostrosłup ten ma:
A.
n wierzchołków,
n
2
krawędzi,
n ścian
B.
1
n
wierzchołków,
n krawędzi,
n
2
ścian
C.
1
n
wierzchołków,
n
2
krawędzi,
1
n
ścian
D.
1
n
wierzchołków,
1
n
krawędzi,
n
2
ścian
Zadanie 2
Objętość graniastosłupa, którego podstawą jest trójkąt równoboczny o krawędzi a , wynosi
V
. Wysokość h tego graniastosłupa jest równa:
A.
3
4
2
a
V
h
B.
2
4
3
a
V
h
C.
2
3
4
a
V
h
D.
V
a
h
4
3
2
Zadanie 3
Z miedzianego walca wycięto element w kształcie stożka o tej samej podstawie i wysokości
co walec. Jaką część objętości walca stanowią odpady?
A.
3
1
B.
3
2
C.
5
3
D.
6
1
55
Zadanie 4
Zaznacz, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
I. Jeśli ostrosłup ma dziesięć krawędzi, to jego podstawą jest
dziesięciokąt.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
II. Ostrosłup, który ma cztery wierzchołki, to ostrosłup
trójkątny.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
III. Jeśli cztery krawędzie czworościanu są równe, to jest to
ostrosłup prawidłowy trójkątny.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
IV Ostrosłup sześciokątny ma siedem ścian.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
Zadanie 5
Wysokość walca jest równa
9 cm
. Przekrój osiowy walca jest prostokątem, którego przekątna
jest równa
15cm
. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość walca.
56
ODPOWIEDZI
Zadania rozwiązane krok po kroku
Zadanie 1
Graniastosłup n -kątny ma:
A.
n
2
krawędzi
B.
n
4
wierzchołków
C.
2
n
ścian
D.
4
n
ścian
Graniastosłup ma
n
3
krawędzi i
n
2
wierzchołków.
Graniastosłup n -kątny ma dwie podstawy i n ścian bocznych, zatem liczba ścian
graniastosłupa to
2
n
.
Odpowiedź: C.
Zadanie 2
Świecę w kształcie graniastosłupa prawidłowego przetopiono na dwie świece w kształcie
jednakowych ostrosłupów. Ostrosłupy te mają takie same podstawy jak graniastosłup.
Wynika z tego, że wysokość każdej z otrzymanych świec jest:
A. trzykrotnie większa od wysokości przetopionej świecy
B. równa wysokości przetopionej świecy
C. półtora razy większa od wysokości przetopionej świecy
D. dwa razy większa od wysokości przetopionej świecy
Oznaczamy:
P
– pole podstawy
graniastosłupa,
h
– wysokość
graniastosłupa.
h
P
V
Graniastosłup i ostrosłup mają takie same
pola podstaw. Oznaczmy : H – wysokość
ostrosłupa.
H
P
V
3
1
0
Objętość graniastosłupa jest równa sumie
objętości ostrosłupów. Układamy równanie i
przekształcamy je tak, aby otrzymać
zależność między h i H .
1
1
3
3
P h
P H
P H
2
:
3
P h
P H
P
57
2
2
:
3
3
h
H
h
H
2
3
h
H
5
,
1
Odpowiedź: C.
Zadanie 3
Prostokąt o bokach długości x i
x
2
(
1
x
) obrócono najpierw dookoła krótszego boku, a
następnie dookoła dłuższego boku. Iloraz objętości większej bryły przez mniejszą jest równy:
A. 2
B.
2
1
C. 4
D.
4
1
W pierwszym przypadku otrzymujemy walec
o wysokości
x i promieniu podstawy
x
2
.
2
3
1
π 2
4π
V
x
x
x
W drugim przypadku otrzymujemy walec o
wysokości
x
2
i promieniu podstawy
x .
2
3
2
π
2
2π
V
x
x
x
Obliczamy stosunek objętości brył.
3
1
3
2
4π
2
2π
V
x
V
x
Odpowiedź: A.
Zadanie 4
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 36cm . Zaznacz, które zdanie jest
prawdziwe, a które fałszywe.
I. Objętość sześcianu jest mniejsza niż
3
30 cm .
□ PRAWDA □ FAŁSZ
II. Długość przekątnej sześcianu jest równa
5, 2 cm
.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
III. Pole powierzchni sześcianu jest większe niż
2
50 cm .
□ PRAWDA □ FAŁSZ
IV. Wysokość sześcianu jest większa niż
4 cm
.
□ PRAWDA □ FAŁSZ
Sześcian ma 12 krawędzi. Obliczamy
długość jednej z nich.
3
12
:
36
(cm)
Objętość
V
sześcianu o krawędzi a jest
27
3
3
V
(
3
cm
)
58
równa
3
a
.
30
27
Przekątna
d
sześcianu o krawędzi
a jest
równa
3
a
.
195
,
5
3
3
d
(cm)
2
,
5
195
,
5
Pole powierzchni
P
sześcianu o krawędzi
a
jest równe
2
6a .
54
9
6
3
6
2
P
(
2
cm
)
50
54
Wysokość h sześcianu jest równa długości
krawędzi sześcianu.
3cm
h
4
3
Odpowiedź: I – PRAWDA, II – FAŁSZ, III – PRAWDA, IV – FAŁSZ.
Zadanie 5
Sześcienną kostkę z plasteliny oklejono srebrnym papierem i pocięto na
64
jednakowe
sześciany. Zastanów się, ile powstało sześcianów z jedną, dwiema i trzema ścianami
oklejonymi papierem, a ile wykonanych jedynie z plasteliny. Uzupełnij tabelę.
Liczba oklejonych papierem ścian
Liczba sześcianów
3
2
1
0
Trzy ściany oklejone papierem ma osiem sześcianów leżących w wierzchołkach kostki.
Dwie srebrne ściany mają sześciany leżące
przy krawędziach kostki (oprócz tych w
wierzchołkach). Na każdych dwóch ścianach
jest ich osiem.
24
2
8
6
Każda ściana sześcianu została podzielona na
16
części. Odejmujemy od nich cztery z
trzema srebrnymi ścianami oraz osiem z
dwiema srebrnymi ścianami i otrzymujemy
liczbę części z jedną srebrną ścianą.
24
4
6
)
8
4
16
(
6
Pozostałe sześciany nie mają srebrnych
ścian.
8
56
64
24
24
8
64
Odpowiedź:
8
,
24
,
24
,
8
.
59
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1. C. 2. A. 3. B. 4. I – FAŁSZ, II – PRAWDA, III – FAŁSZ, IV – PRAWDA. 5.
2
108π cm
,
3
324 cm
.