Politechnika Świętokrzyska

Wydział Mechatroniki i Budowy Maszyn

Centrum Laserowych Technologii Metali PŚk i PAN

Zakład Informatyki i Robotyki

Przedmiot:Podstawy Automatyzacji - laboratorium, rok I, sem. II,

Specjalność: SUM - Inżynieria Produkcji, studia uzupełniające, 2002÷2003.

Ćwiczenie nr 1.

Modelowanie i badanie podstawowych elementów liniowych automatyki –

symulacja komputerowa

1. Własności układów automatyki

Opis cech i własności układów lub elementów automatyki dokonywany jest na

podstawie modelu układu. Model przedstawia w uproszczeniu rzeczywisty układ

fizyczny.

Zazwyczaj

jest

to

model

matematyczny

dla

układów

statycznych,

przedstawiający równaniem algebraicznym, a w układach dynamicznych różniczkowym,

zależność pomiędzy sygnałem wejściowym i wyjściowym elementu. Na podstawie opisu

matematycznego wyznacza się graficzną charakterystykę statyczną i dynamiczną układu.

Charakterystyki można również wyznaczyć lub potwierdzić doświadczalnie na

odpowiednio przygotowanych stanowiskach pomiarowych. Tym samym tworzy się

empiryczny model układu lub elementu.

Własności statyczne elementu lub układu określane są w stanie ustalonym. Stan

ustalony występuje wtedy, gdy zarówno wielkość wejściowa

x , jak i wyjściowa

y

osiągnęły już określoną wartość i nie ulegają zmianie w czasie

x

=const , y=const .

Charakterystyka statyczna opisuje zależność pomiędzy sygnałem wejściowym

x

i

wyjściowym

y w stanie ustalonym. Wyznacza się ją analitycznie lub doświadczalnie.

Metoda analityczna polega na graficznym przedstawieniu zależności pomiędzy sygnałem

wejściowym i wyjściowym w oparciu o opisującą model układu zależność matematyczną.

W metodzie doświadczalnej na wejście rzeczywistego układu podaje się określoną,

niezmienną wartość sygnału

x

1

i poprzez pomiar wyznacza się wartość sygnału na

wyjściu

y

1

. Następnie podaje się wartość

x

2

i wyznacza

y

2

itd. Po określeniu

odpowiedniej ilości par

x , y zaznacza się je w układzie współrzędnych i dokonuje

aproksymacji, otrzymując charakterystykę. Porównując charakterystyki uzyskane tymi

dwoma metodami, można ocenić jakość opisu układu za pomocą modelu. Im lepszy

model, tym mniej różnią się te charakterystyki. W układzie statycznym ustalona wielkość

wyjściowa zależy tylko od bieżącej wartości wejściowej.

Własności dynamiczne elementu lub układu automatyki określa się analitycznie za

pomocą równań różniczkowych, ich rozwiązania i interpretacji geometrycznej. Stosuje się

głównie opis za pomocą transmitancji operatorowych (1,1), które są funkcjami zmiennej

zespolonej s

=a jb , gdzie j= −1 :

G

s=

Y

s

X

s

(1.1),

gdzie

Y

s , to postać operatorowa sygnału wyjściowego yt , Xs postać ope-

ratorowa sygnału wejściowego x

t .

Doświadczalnie poprzez podanie na wejście układu odpowiednio dobranego, zmiennego

w czasie sygnału wejściowego x

t i rejestrację sygnału wyjściowego yt .

Sygnał

wejściowy

nosi

nazwę

wymuszenia.

W

automatyce

stosuje

się

kilka

standardowych sygnałów wejściowych. Najważniejsze z nich przedstawione są na rys. 1.1.

Odpowiedź

elementu

lub

układu

na

wymuszenie

standardowe

nazywamy

charakterystyką dynamiczną. Inaczej mówiąc, charakterystyka dynamiczna podaje jak

zmienia się sygnał wyjściowy

y

t po podaniu na wejście układu zmiennego w czasie

sygnału wymuszającego

x

t . Przed podaniem wymuszenia sygnały xt i yt są

w stanie ustalonym. Po podaniu wymuszenia i upływie odpowiednio długiego czasu

układ również znajdzie się w stanie ustalonym. Dotyczy to oczywiście układów

stabilnych, które na swoim wyjściu osiągają w pewnym czasie wartość skończoną. Dlatego

charakterystyka dynamiczna nazywana jest często funkcją przejścia pomiędzy dwoma

stanami ustalonymi, gdyż rejestruje, jak zmienia się sygnał wyjściowy. Model

matematyczny układu dynamicznego jest bardziej złożony niż model układu statycznego.

W układzie dynamicznym wartość wielkości wyjściowej zależy nie tylko od bieżącej

wartości wejściowej, ale również od stanu układu w chwili poprzedzającej podanie

sygnału wejściowego.

Rys.1.1 Typowe wymuszenia w układach automatyki

Odpowiedzią skokową

h

t układu jednowymiarowego, liniowego nazywamy

sygnał otrzymany na jego wyjściu po podaniu na wejście wymuszenia skokowego, przy

zerowych warunkach początkowych. Najczęściej przyjmuje się, że amplituda sygnału

wejściowego wynosi 1. Oznacza to, że wymuszeniem jest sygnał skoku jednostkowego

1

t . Dlatego odpowiedź skokowa nosi również nazwę odpowiedzi jednostkowej.

Odpowiedź skokowa bardzo dobrze charakteryzuje własności dynamiczne elementów i

układów automatyki. To ona jest najczęściej stosowana w celu porównywania własności

układów. Doświadczalnie wyznacza się ją jak każdą inną charakterystykę dynamiczną,

tzn. po podaniu na wejście wymuszenia jednostkowego

1

t rejestruje się przebieg

zmian sygnału wyjściowego. Jeżeli model układu stanowi opis matematyczny w formie

równania różniczkowego, wówczas odpowiedź skokową można wyznaczyć analitycznie,

korzystając z przekształcenia Laplace'a. Aby otrzymać postać operatorową odpowiedzi

skokowej

H

s , należy pomnożyć transmitancję operatorową układu Gs przez

transformatę skoku jednostkowego

1

s :

H

s=Gs∗1s

W praktyce podaje się jako charakterystykę dynamiczną jeden z dwóch przebiegów

h

t

albo

y

t . Tak otrzymane wykresy różnią się tylko skalą osi wartości

prostokątnego układu współrzędnych. Kształt uzyskanej charakterystyki lub rodzaj

równań opisujących układ decydują o podziale elementów i układów lub modeli na

liniowe i nieliniowe.

2. Podstawowe człony automatyki i ich własności

Otaczającą nas rzeczywistość cechuje niebywała różnorodność. Dlatego chcąc

poddać analizie rzeczywisty układ sterowania, należy utworzyć taki jego model, który

dobrze odwzorowuje interesujące użytkownika cechy i własności. Elementy lub układy

występujące w modelu matematycznym przyjęto nazywać członami układu sterowania.

Członem może być kondensator, zawór, wzmacniacz, obiekt regulacji itp. Jest wiec to

pojecie bardzo szerokie. Dokonując podziału członów automatyki można kierować się

różnymi kryteriami, np. zasadą działania, budową, zastosowaniem itp. W dalszej części

omówione zostaną człony sklasyfikowane ze względu na ich własności dynamiczne. To

kryterium pozwala wyróżnić:

– człon proporcjonalny,

– człon inercyjny I rzędu (wyższych rzędów również),

– człon całkujący,

– człon różniczkujący,

– człon oscylacyjny,

– człon opóźniający.

Podając zależności dla poszczególnych elementów, zakładamy w tym rozdziale

zerowe warunki początkowe.

2.1 Człon proporcjonalny

W elemencie proporcjonalnym, zwanym również bezinercyjnym, sygnał wyjściowy

y

t jest w każdej chwili proporcjonalny do sygnału wejściowego xt . Opisuje to

zależność:

y

t=k∗xt

Stała

k występująca we wzorze to współczynnik wzmocnienia, zwany również

współczynnikiem proporcjonalności. Transmitancja operatorowa członu proporcjonalnego

ma postać:

G

s=k

Charakterystykę czasową będącą odpowiedzią na wymuszenie jednostkowe przedstawia

rys.2.1.1

Rys. 2.1.1 Odpowiedź na skok jednostkowy członu proporcjonalnego

Przykłady

członów

bezinercyjnych:

dynamometr

sprężynowy,

idealny

wzmacniacz, prądnica tachometryczna, dźwignia dwustronna, układ współpracujących

kół zębatych, rezystorowy dzielnik napięcia itp.

2.2 Człon inercyjny I rzędu

W elemencie inercyjnym zależność pomiędzy sygnałem wejściowym

x

t i

wyjściowym y

t opisana jest równaniem różniczkowym:

T

∗

dy

t

dt

yt=kxt ,

gdzie

T jest stałą czasowa czyli przedziałem czasu, jaki upływa od zaistnienia

wymuszenia skokowego na wejściu elementu do chwili, w której sygnał wyjściowy osiąga

0.632 jego wartości ustalonej; k - współczynnik wzmocnienia.

W odpowiedzi skokowej członu inercyjnego czas potrzebny do przejścia od 0 do 50%

wartości ustalonej jest taki sam jak czas przejścia do 50% do 75%, taki sam jak od 75% do

87,5% itd. Przyjmuje się, że przebieg wyjściowy układu ustala się po 3 do 5 stałych

czasowych. Nazwa członu pochodzi stąd, że cechuje się on bezwładnością (inercją),

wyraźnie widoczną na rysunku 2.2.1. Transmitancja operatorowa członu inercyjnego jest

równa:

G

s=

k

1

sT

.

Rys. 2.2.1 Odpowiedź na skok jednostkowy członu inercyjnego I rzędu

Przykłady członów inercyjnych: układy elektryczne RC i RL, wirujące maszyny

elektryczne, zbiornik z dopływem i odpływem cieczy, układy grzejne itp.

2.3 Człon całkujący idealny

Dla tego członu sygnał wyjściowy y

t jest proporcjonalny do całki sygnału

wejściowego

x

t :

y

t=k

∫

0

t

x

tdt

,

gdzie:

k - współczynnik wzmocnienia.

Transmitancja operatorowa członu całkującego idealnego jest równa:

G

s=k∗

1

s

Rys. 2.3.1 Odpowiedź na skok jednostkowy członu całkującego idealnego

Przykłady idealnych członów całkujących: idealny kondensator, idealna cewka,

wzmacniacz suwakowy (bez uwzględniania oporów ruchu), zbiornik z dopływem cieczy,

przekładnie mechaniczne bez uwzględniania oporów.

2.4 Człon całkujący z inercją (rzeczywisty)

Człon całkujący z inercją, zwany również rzeczywistym członem całkującym różni

się tym od idealnego, że opis elementu uwzględnia jego bezwładność. Człon całkujący z

inercją opisany jest równaniem:

T

∗

dy

t

dt

yt=k

∫

0

t

x

tdt

,

w którym:

T - stała czasowa, która charakteryzuje bezwładność (inercję) procesów

zachodzących w rzeczywistym członie całkującym,

k - współczynnik wzmocnienia.

Transformacja operatorowa członu całkującego rzeczywistego jest równa:

G

s=

k

s

1sT 

Charakterystykę skokową członu całkującego rzeczywistego wraz z jego symbolem

graficznym przestawiono na rysunku 2.4.1.

Rys. 2.4.1 Odpowiedź na skok jednostkowy członu całkującego rzeczywistego

Przykłady

członów

całkujących

rzeczywistych:

układy

elektryczne

rezystorów,

kondensatorów i cewek, silnik obcowzbudny prądu stałego, siłownik pneumatyczny,

siłownik hydrauliczny, przekładnie zębate (z uwzględnieniem oporów ruchu).

2.5 Człon różniczkujący idealny

W członie różniczkującym idealnym sygnał wyjściowy

y

t jest proporcjonalny

do pochodnej sygnału wejściowego x t  względem czasu:

y

t=k∗

dx

t

dt

,

gdzie: k jest współczynnikiem wzmocnienia.

Jest więc to taki człon, w którym sygnał wyjściowy zależy od szybkości zmian sygnału

wejściowego - wynika to bezpośrednio z własności pochodnej funkcji. Transmitancję

operatorową tego członu przedstawiono poniżej:

G

s=k∗s ,

Idealnego bloku różniczkującego nie da się zrealizować w praktyce jako człon

pojedynczy. Jeżeli jakikolwiek układ zawiera część różniczkującą, to jest to część

różniczkująca rzeczywista.

Rys. 2.5.1 Odpowiedź na skok jednostkowy członu różniczkującego idealnego

Przykłady członów różniczkujących idealnych: idealny kondensator i cewka,

idealna sprężyna, prądnica tachimetryczna pracująca bez strat, idealny tłumik olejowy.

2.6 Człon różniczkujący rzeczywisty.

Człon

różniczkujący

z

inercją,

zwany

również

rzeczywistym

członem

różniczkującym, różni się tym od idealnego, że opis członu uwzględnia jego bezwładność.

Człon różniczkujący z inercją opisany jest równaniem:

T

∗

dy

t

dt

 yt=k∗

dx

t

dt

,

w którym: T - stała czasowa, k - współczynnik wzmocnienia.

Transmitancja operatorowa członu różniczkującego rzeczywistego jest równa:

G

s=

k

∗s

1

s∗T .

Rys. 2.6.1 Odpowiedź na skok jednostkowy członu różniczkującego rzeczywistego

Przykłady członów różniczkujących rzeczywistych: układy elektryczne zawierające

rezystory, kondensatory i cewki, sprężyna, prądnice i silniki, transformatory, tłumik

olejowy.

2.7 Człon oscylacyjny

Człon oscylacyjny jest przykładem takiego, w którym zależność pomiędzy

sygnałem wyjściowym

y

t i sygnałem wejściowym

x

t przedstawia równanie

różniczkowe liniowe drugiego rzędu:

T

2

∗

d

2

y

t

dt

2

2∗∗T∗

dy

t

dt

 yt=k∗xt

,

gdzie: T - stała czasowa,  - współczynnik tłumienia, k - współczynnik

wzmocnienia.

Transmitancja operatorowa członu oscylacyjnego jest równa:

G

s=T

2

∗s

2

2∗∗T∗s1

Oscylacje mogą pojawić się w układach, w których zachodzi przemiana jednego rodzaju

energii w drugi np. układ cewka - kondensator, masa drgająca na sprężynie. Odpowiedzi

członów oscylacyjnych, na wymuszenie jednostkowe, różniących się współczynnikiem

tłumienia przedstawiono w tabeli 2.7.1

Tab. 2.7.1 Odpowiedź na skok jednostkowy członu oscylacyjnego

Przykłady członów oscylacyjnych: układy elektryczne RLC, silniki prądu stałego,

masa na sprężynie, silnik tłokowy, ciało poruszające się po okręgu.

2.8 Człon opóźniający

Jest on ostatnim jaki zwykle w literaturze pojawia się w grupie podstawowych. Ze

względu na obecność opóźnienia jego charakterystyka czasowa jest silnie nieliniowa.

Równanie członu opóźniającego przedstawia się następująco:

y

t =k∗x t−t

o



,gdzie: k - współczynnik wzmocnienia,

t

o

- opóźnienie.

Po upływie czasu

t

o

sygnał wejściowy pojawia się na wyjściu elementu.

Transmitancja członu opóźniającego jest równa:

G

s=k∗e

−st

o

.

Rys. 2.8.1 Odpowiedź na skok jednostkowy członu opóźniającego

Przykłady członów opóźniających: linia długa, rurociąg, taśmociąg, procesy

produkcyjne, procesy ekonomiczne.

3. Wstęp do systemu SciLab

System SciLab jest językiem programowania wysokiego poziomu. Składa się on z

interpretera poleceń, bibliotek funkcji napisanych w języku SciLab oraz bibliotek funkcji

napisanych w językach Fortran i C. SciLab można zaliczyć do grupy programów

zorientowanych

macierzowo

i

liniowych

systemów

algebraicznych.

Obecnie

wykorzystywanych w edukacji i pracach badawczych jest kilka programów tej klasy, są

to: Matlab z Simulinkiem, Octave, Rlab, Yorick, Euler. Struktura SciLab'a sprawia, że

jakakolwiek zmienna czy stała jest traktowana jako macierz, w najprostszej postaci:

jednoelementowa. Znajdujemy tu pokaźną bazę funkcji służących do definiowania

wielomianów, macierzy (dowolnych rzędów), typów własnych użytkownika i innych.

SciLab zawiera funkcje służące do analizy numerycznej systemów liniowych i

nieliniowych. Umożliwia to kreślenie charakterystyk oraz optymalizację badanych

układów. System jest w pełni otwarty, co przekłada się na możliwość generowania

własnych funkcji rozszerzających możliwości programu.

SciLab jest dostępny do celów edukacyjnych oraz komercyjnych bez żadnych opłat

licencyjnych. Jest on produktem francuskich instytutów INRIA i ENPC. Program

adaptowano

dla

większości

platform

używanych

współcześnie

w

placówkach

edukacyjnych i badawczych czyli: UNIX, Linux, FreeBSD, MSWindows, MacOS.

4. Pierwsza sesja ze SciLab'em

Zakłada się, że użytkownik sprawnie por usza się w systemie MSWindows:

uruchamia aplikacje, tworzy katalogi, zapisuje i odczytuje dane z i na dysk, kasuje pliki, z

wprawą wykorzystuje wielozadaniowość systemu.

Program uruchamiamy korzystając paska Start, grupy Programy, podgrupy SciLab.

W podgrupie SciLab, znajduje się ikona aplikacji. Klikając lewym klawiszem myszy na

ikonie aplikacji program zostanie wczytany przez system operacyjny. SciLab jest aplikacją

adaptowaną do systemu MSWindows. Po uruchomieniu na pasku zdań pojawiają się dwie

ikony. Pierwsza jest ikoną terminalu (MS-DOS), druga zaś ikoną interpretera poleceń. Do

prawidłowej pracy system wymaga obecności tych dwóch programów (rys. 4.1).

Rys. 4.1 Program SciLab uruchomiony w systemie MSWindows

Z możliwościami aplikacji można się zapoznać korzystając z opcji Demos

znajdującej się w menu górnym. Dla osób zainteresowanych polecam przejrzenie

przykładów znajdujących w programie.

5. Początek edycji programu w SciLab'ie

SciLab w oknie interpretera umożliwia wprowadzanie tekstu programu oraz

wydawanie komend. Daje to możliwości pracy z aplikacją tak jak z kalkulatorem.

Przykład 5.1 (wartość wyrażenia)

--> a=2; b=1.5;

--> 2*a+b^2

ans =

6.25

Przykład 5.2 (wartość funkcji elementarnej)

--> sqrt(9)

ans =

3

Przykład 5.3 (wykres funkcji sin(t))

--> t=(0:0.1:6*%pi);

--> plot2d(t',sin(t)');

--> xtitle('plot2d and xgrid ','t','sin(t)');

--> xgrid();

Przykład 5.4 (odpowiedź układu opisanego transmitancją operatorową na

wymuszenie jednostkowe)

-->s=poly(0,'s');

-->sl=syslin('c',1/(s*s+0.2*s+1));

-->instants=0:0.05:20;

-->y=csim('step',instants,sl);

-->plot2d(instants',y')

-->xgrid();

Przykład 5.5 (odpowiedź układu opisanego transmitancją operatorową na

wymuszenie impulsowe)

-->s=poly(0,'s');

-->sl=syslin('c',1/(s*s+0.2*s+1));

-->instants=0:0.05:20;

-->y=csim('imp',instants,sl);

-->plot2d(instants',y')

-->xgrid();

6. Reguły przekształcania schematów blokowych

Na

rysunku

6.1

przedstawiono

trzy

przykłady

zamiany

schematów

wieloblokowych na równoważne jednoblokowe.

Rys. 6.1 Reguły przekształcania schematów blokowych (wybór)

7. Przebieg ćwiczenia.

Dla wybranych układów (pięciu) o znanych transmitancjach operatorowych proszę

wykreślić w programie SciLab charakterystyki skokowe (wymuszenie jednostkowe) oraz

charakterystyki impulsowe. Pełny kod stosownych programów znajduje się w punktach

5.4 i 5.5. Proszę zauważyć, że transmitancję operatorową postaci:

G

s=

1

s

2

0.2s1

wprowadzamy do systemu SciLab w poniższej linii:

-->sl=syslin('c',

1/(s*s+0.2*s+1)

);

Otrzymane przebiegi proszę porównać wskazując na wartość przeregulowania

sygnału wyjściowego, czasu regulacji oraz dokładności statycznej.