Janusz KOWAL
Janusz KOWAL
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza
Hutnicza
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
Wykład 1
Wprowadzenie do układów
automatycznego sterowania
Wykład 1
Wykład 1
Wprowadzenie do układów
Wprowadzenie do układów
automatycznego sterowania
automatycznego sterowania
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
2
9
Wprowadzenie
9
Rys historyczny
9
Pojęcia podstawowe
9
Klasyfikacja układów sterowania automatycznego
9
Przykłady układów sterowania
9
Sygnały w układach automatycznego sterowania
•
Sygnały ciągłe
•
Sygnały impulsowe
•
Sygnały dyskretne
•
Sygnały losowe
Plan wykładu:
Plan wykładu:
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
3
Wprowadzenie
9
Automatyka
to dziedzina wiedzy, zajmującą się
możliwościami ograniczenia udziału człowieka w czynnościach
związanych ze sterowaniem różnorodnych urządzeń
technicznych.
9
Głównym celem jaki stawia sobie automatyka, jest podanie
przepisu, który umożliwi
samoczynne
utrzymywanie
określonych, pożądanych warunków pracy danego urządzenia
oraz realizacja tego przepisu.
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
4
9
Automatyka traktuje jednolicie rozmaite urządzenia techniczne
będące przedmiotem jej zainteresowania, a więc np. maszynę
parową, reaktor chemiczny i żelazko, operując w stosunku do
nich takimi pojęciami jak obiekt, wejście, wyjście oraz
modelami matematycznymi, opisującymi działanie urządzeń
przy użyciu np:
równań różniczkowych,
schematów blokowych,
charakterystyk czasowych lub częstotliwościowych
Wprowadzenie
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
5
Rys historyczny
1. Okres:
(koniec XVIII w. - początek XX w.)
•
1750 rok - James Watt, wynalazł
regulator odśrodkowy zastosowany
do sterowania maszyny parowej.
Regulator taki zapewniał
utrzymywanie stałej prędkości
obrotowej maszyny parowej, przy
zmieniającym się obciążeniu
i ciśnieniu pary.
Regulator odśrodkowy Jamesa Watt`a
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
6
2. Okres:
(lata 1900 - 1940)
9
Gwałtowny rozwój przemysłu energetycznego, hutniczego,
przetwórczego i chemicznego,
9
Publikacja książki Maxa Tolle`a o regulacji prędkości,
9
Minorsky, Nyquist, Hazen – wydają publikacje związane z teorią
sterowania:
1922 rok – Minorsky podaje sposób wyznaczania stabilności
z równań różniczkowych opisujących układ,
1932 rok – Nyquist rozwija procedurę wyznaczania stabilności
układu zamkniętego na podstawie odpowiedzi układu otwartego
na ustalone sinusoidalne sygnały wejściowe,
1934 rok – Hazen przedstawia projekt mechanizmów wykona-
wczych, podążających za zmianami sygnału wejściowego.
Rys historyczny
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
7
9
Lata czterdzieste:
liniowe układy sterowania z obwodem zamkniętym
metoda miejsc geometrycznych Evansa
9
Lata pięćdziesiąte:
układy wielowymiarowe (więcej wejść i wyjść)
układy sterowania optymalnego
9
Lata 1960 – 1980:
teoria sterowania oparta na analizie czasowej
w pełni zbadane sterowanie optymalne układów
9
Lata od 1980 do chwili obecnej:
głównie sterowanie układów wielowymiarowych
algorytmy z zakresu sztucznej inteligencji
integralna części układów sterowania - komputer
układy biologiczne, biomedyczne, ekonomiczne
3. Okres:
(od 1940 r.)
Rys historyczny
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
8
Pojęcia podstawowe
9
Sterowanie
– świadome oddziaływanie na obiekt przy
użyciu sygnałów wejściowych, mające na celu uzyskanie
zachowania się obiektu w sposób zamierzony.
sterowanie ręczne – realizowane przez człowieka
sterowanie automatyczne – realizowane przez urzą-
dzenia, bez bezpośredniego udziału człowieka
9
Obiekt sterowania
– każdy obiekt fizyczny (np. grzejnik,
zbiornik z cieczą, reaktor chemiczny, samolot), na który
można wywierać wpływ przez sterowanie. Obiekt pozostaje
pod wpływem rozmaitych oddziaływań zewnętrznych –
otoczenia (środowiska)
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
9
9
Sygnały wejściowe
– wielkości fizyczne (np. prąd,
przepływ, temperatura, ciśnienie), za pomocą których
otoczenie oddziałuje na obiekt. Oddziaływanie to ma
dwojaką postać:
sterowanie
– mające charakter zamierzony
zakłócenie
– mające charakter przypadkowy (nie
zamierzony), wywierające niekorzystny wpływ na obiekt
9
Sygnały wyjściowe
– wielkości fizyczne, za pomocą
których obiekt oddziałuje na otoczenie, bądź informacje o
przebiegu procesów zachodzących w obiekcie
Pojęcia podstawowe
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
10
Pojęcia podstawowe
Schematyczne przedstawienie obiektu sterowania
Sygnały wejściowe
(zmienne zakłócające zewnętrzne)
Sygnały
wejściowe
(zmienne
sterujące)
Sygnały
wyjściowe
(zmienne
sterowane)
Obiekt
sterowania
Obiekt
sterowania
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
11
9
Elementy automatyki:
elementy nastawcze
– (np. zadajniki, klawiatura, przyciski
itp.) umożliwiają określenie i wprowadzenie wartości sygnału
wejściowego
regulatory
– umożliwiają zrealizowanie określonego wcześ -
niej celu sterowania
elementy wykonawcze
(np. siłowniki, silniki, grzałki itp.) –
umożliwiają przeniesienie sygnału sterującego na obiekt
elementy pomiarowe
– umożliwiają pomiar dowolnego
sygnału, najczęściej wyjściowego
Pojęcia podstawowe
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
12
Regulator
Element
nastawczy
Element
nastawczy
Algorytm
regulacji
Algorytm
regulacji
Element
wykonawczy
Element
wykonawczy
Obiekt
sterowania
Obiekt
sterowania
Element
pomiarowy
Element
pomiarowy
–
Sygnał
zakłócający
Uchyb regulacji
Sygnał
wejściowy
Sygnał
sterujący
Sygnał
proporcjonalny
do sygnału
wyjściowego
Sygnał
wyjściowy
Pojęcia podstawowe
Elementy układu automatyki
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
13
Element
automatyki
Element
automatyki
Sygnał
wejściowy
Sygnał
wyjściowy
x(t)
y(t)
Sygnał
wejściowy
Sygnał
wyjściowy
Element
automatyki
Element
automatyki
x
1
(t)
x
2
(t)
x
n
(t)
•
•
y
1
(t)
y
2
(t)
y
m
(t)
•
•
Element automatyki: a) jednowymiarowy, b) wielowymiarowy
liniowe
– spełniają zasadę superpozycji wynikającą z
postulatu liniowości; są opisywane liniowymi równania-
mi różniczkowymi, różnicowymi i algebraicznymi
nieliniowe
– nie spełniają zasady superpozycji; w
praktyce większość elementów jest nieliniowa
Elementy automatyki dzielimy na:
Pojęcia podstawowe
a)
b)
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
14
F
1
F
2
Siła
wejściowa
Siła
wyjściowa
a)
I(t)
b)
R
1
R
2
U (t)
1
U (t)
2
Napięcie
wejściowe
Napięcie
wyjściowe
Regulator
Przepływ
wyjściowy
Przepływ
wejściowy
Zawór
c)
Przykłady elementów: a) element mechaniczny, b) element elektryczny,
c) element hydrauliczny, d) wielowymiarowy element cieplny
woda
Wejście 2
w @ T
w
wi
para wodna @ T
s2
Wejście 1
w = K A
S
S
S
woda @ T
w
Wyjście 1
para wodna @ T
S
Wyjście 2
T
m
d)
Pojęcia podstawowe
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
15
Klasyfikacja układów sterowania
Schemat otwartego układu sterowania
9
Urządzenie wytwarzające sygnał sterujący (
urządzenie
sterujące
) połączone z obiektem tworzy
układ sterowania
9
Rozróżniamy dwa podstawowe rodzaje układów sterowania
w układzie otwartym
w układzie zamkniętym (ze sprzężeniem zwrotnym)
Sygnał
sterujący
u(t)
z
1
(t)
Sygnał
wyjściowy
y(t)
Urządzenie
sterujące
Urządzenie
sterujące
Obiekt
sterowania
Obiekt
sterowania
z
2
(t)
Otwarty układ sterowania
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
16
Regulator
Ogólny schemat układu regulacji
9
Podanie sygnału wyjściowego na wejście układu, tworzy
pętlę sprzężenia zwrotnego
, która uzależnia sterowanie
od skutków jakie to sterowanie wywołuje
9
Sterowanie ze sprzężeniem zwrotnym czyli sterowanie w
układzie zamkniętym nazywamy
regulacją
Klasyfikacja układów sterowania
Zamknięty układ sterowania
Urządzenie
sterujące
Urządzenie
sterujące
Obiekt
sterowania
Obiekt
sterowania
–
u(t)
z(t)
w(t)
ε
(t)
y(t)
y(t)
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
17
9
W
regulatorze
następuje:
porównanie aktualnej wartości sygnału regulowanego z
sygnałem wartości zadanej (określenie wartości uchybu
regulacji),
wytworzenie sygnału sterującego wg określonego
algorytmu, o wartości zależnej od wartości uchybu
regulacji oraz szybkości jego zmian.
9
Zadaniem
układu automatycznej regulacji
, wykorzystują-
cego ujemne sprzężenie zwrotne, jest uzyskanie zerowego
lub dostatecznie małego uchybu regulacji, który zapewnia
utrzymanie zadanej wartości sygnału regulowanego
Klasyfikacja układów sterowania
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
18
UKŁADY STEROWANIA AUTOMATYCZNEGO
Konwencjonalne
Rozgrywające
Adaptacyjne
Zamknięte
Otwarte
Ekstremalne
Samonastrajalne
Samooptymizujące
Z kompensacją
zakłócenia
Programowane
Stabilizacyjne
Programowe
Nadążne
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
19
9
W grupie
zamkniętych układów sterowania
w zależności
od wartości sygnału wartości zadanej wyróżniamy:
układ stabilizacyjny
– układ o stałej wartości zadanej
w(t)=const; ma za zadanie utrzymywać wartość sygnału
sterowanego w pobliżu wartości zadanej
układ programowy
– układ, w którym wartość zadana
w(t) jest z góry określoną funkcją czasu, czyli zmie-
niającą się według pewnego programu w = f(t)
układ nadążny (śledzący)
– układ, w którym wartość
zadana w(t) jest funkcją czasu, przy czym jest ona
nieznana (w=?). Zmiany tej funkcji związane są ze
zjawiskami występującymi na zewnątrz
Klasyfikacja układów sterowania
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
20
9
Sterowanie adaptacyjne
stosuje się do obiektów o
zmieniających się właściwościach dynamicznych (parame-
trach) oraz o zmieniających się właściwościach zakłóceń
stochastycznych. Polega ono na identyfikacji parametrów
modelu obiektu i zakłóceń a następnie na dostrojeniu
(skorygowaniu) parametrów algorytmu sterowania
Klasyfikacja układów sterowania
9
Otwarte układy sterowania
możemy podzielić na:
układy z kompensacją zakłócenia
– w których likwida-
cja skutków zakłócenia występuje na drodze kompensacji,
poprzez wprowadzenie dodatkowych elementów do
układu sterowania – korektorów zakłóceń
układy programowe
- w których wartość zadana jest z
góry określoną funkcją czasu, położenia itp.
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
21
9
Ze względu na liczbę zmiennych sterowanych:
układy regulacji jednej zmiennej
układy regulacji wielu zmiennych
9
Ze względu na rodzaj elementów:
układy liniowe
układy nieliniowe
9
Ze względu na sposób pomiaru zmiennej sterowanej:
układy analogowe
układy cyfrowe
9
Kolejny rodzaj klasyfikacji wyróżnia:
układy regulacji ciągłej
układy regulacji dyskretnej
Klasyfikacja układów sterowania
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
22
Przykłady układów sterowania
Układ sterowania prędkością obrotową silnika
Silnik
Obciążenie
Zamknięty
Otwarty
Zawór sterujący
Siłownik
hydrauliczny
Paliwo
Ciśnienie
zasilania
Układ sterowania prędkością obrotową silnika
Jeśli z powodu zakłóceń rzeczy-
wista prędkość spada poniżej
żądanej wartości, to zmniejszenie
siły odśrodkowej regulatora powo-
duje, że zawór sterujący otwiera
się, dostarczając więcej paliwa
i prędkość silnika wzrasta.
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
23
Układ sterowania robota:
W robocie wysokiego
poziomu kamera szuka
obiektu i określa jego
orientację. Komputer jest
niezbędny do przetwarza-
nia sygnału w procesie
rozpoznawania obrazów.
Siłownik
Zasilanie
Sterownik
(regulator)
Urządzenie
peryferyjne
Pomiar wejść
Pomiar wyjść
Maszyna
robocza
Kamera
telewizyjna
Sygnał sprzężenia zwrotnego
Przykład układu sterowania robota
Przykłady układów sterowania
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
24
Układ sterowania temperaturą pieca:
Piec
elektryczny
Przetwornik
Interfejs
Przekaźnik
Wzmacniacz
Interfejs
Programowane
wejście
Element
grzejny
Termometr
Schemat sterowania temperatury pieca elektrycznego
Temperaturę pieca mierzoną termometrem uzyskujemy w
postaci sygnału analogowego. Sygnał ten ulega zamianie na
cyfrowy poprzez przetwornik A/C. Temperatura w postaci
sygnału cyfrowego podawana jest do sterownika a następnie
porównywana z zaprogramowaną temperaturą.
Przykłady układów sterowania
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
25
Sterowanie temperaturą w kabinie pasażerskiej samochodu
Sterownik
Klimatyzator
Kabina
pasażera
Czujnik
Czujnik
Czujnik
promieniowania
Sterowanie temperaturą w kabinie samochodu
Sterownik porównuje sygnały wejściowy, wyjściowy i z czujników,
oraz wysyła sygnał sterowania do urządzenia klimatyzacyjnego lub
grzewczego w celu sterowania ilością powietrza, tak aby temperatura
w kabinie pasażerskiej była zbliżona do temperatury żądanej.
Przykłady układów sterowania
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
26
9
Sygnał
jest przebiegiem określonej wielkości fizycznej
(w funkcji czasu) niosącej informację
9
Podstawową cechą sygnału jest jego
wielkość nośna
(np. ciśnienie powietrza lub oleju, napięcie lub natężenie
prądu, siła, przyspieszenie, przemieszczenie). Jej zmiany
umożliwiają przekazywanie w określony sposób informacji
9
Do przekazywania informacji mogą być wykorzystywane
różne cechy wielkości nośnej, np. wartość amplitudy,
częstotliwość, szerokość impulsów, itp
Sygnały w układach sterowania
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
27
Sygnały w układach sterowania
9
Ze względu na sposób opisu sygnały dzielimy na
deterministyczne
i
losowe
9
Sygnały deterministyczne można opisać określoną
zależnością matematyczną, w postaci opisu parame-
trycznego lub nieparametrycznego. Można je również
podzielić na:
poliharmoniczne
,
harmoniczne
,
prawie
okresowe
i
przejściowe
9
Sygnały losowe opisujemy przy użyciu parametrów
(np. wartość średnia, średniokwadratowa, wariancja) i/lub
funkcji w dziedzinie amplitud, czasu i częstotliwości
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
28
Sygnały w układach sterowania
9
Ze względu na sposób przenoszenia informacji, sygnały
dzielimy na:
ciągłe
(określone w każdej chwili czasowej)
dyskretne
(określone tylko w chwilach próbkowania)
9
Każdy z nich można podzielić ze względu na typ wartości
amplitudy na:
analogowe
kwantowane
binarne
(dwuwartościowe)
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
29
Podział sygnałów deterministycznych
Opis nieparametryczny
Opis
parametryczny
sygnałów
Rodzaje
harmoniczne
poli-
harmoniczne
prawie
okresowe
przejściowe
f (t)
1
f (t)
2
f (t)
3
f (t)
4
t
t
t
t
T =1/f
1
1
ϕ
f
1
A
f (t)=Asin
1
π
2 t
T
1
f (t)=Asin
1
ω
1
t
f
1
f
2
B
A
ω
1
ω
2
f (t)=Asin
2
t +
+Bsin
t
f
1
f
2
f
3
f
4
A
B
C
D
ω
1
ω
3
ω
4
f (t)=Asin t+
+Bsin t+
+Csin t+
+Dsin t
3
a
θ
f (t)=Asin t+
+Bsin t+
+Csin t+
+Dsin t
3
f (t)=
4
0
a(1-e ) dla0<t<θ
-t /
τ
dla t<0
a
dla t> θ
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
30
CZAS
A
M
P
L
IT
U
D
A
Sygnał
analogowy
Sygnał
kwatowany
Sygnał
binarny
Sygnały ciągłe
Sygnały dyskretne
Klasyfikacja sygnałów
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
31
Sygnały ciągłe
0
0
1
1
1
=
+
+
+
−
−
−
x
a
dt
x
d
a
dt
x
d
a
n
n
n
n
n
n
K
9
Opis parametryczny
polega na tym, że sygnał jest określony
przez przyjęte wartości współczynników (parametrów)
9
Opis nieparametryczny
dotyczy sygnałów, których nie można
określić za pomocą skończonej liczby wartości (np. postać
graficzna odpowiedzi skokowej, ciąg wartości liczbowych)
9
Sygnały wykładnicze – to sygnały będące rozwiązaniem
liniowego równania różniczkowego o stałych współczynnikach
i zerowych warunkach początkowych
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
32
Sygnał wykładniczy
(opis analityczny)
≥
<
=
0
0
0
)
(
t
dla
ce
t
dla
t
x
t
α
t
x(t)
c
Sygnał wykładniczy określony dla t
≥
0
Sygnały ciągłe
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
33
Skok jednostkowy
definiujemy jako:
( )
≥
<
=
0
1
0
0
1
t
dla
t
dla
t
t
x(t)
1
Skok jednostkowy
Sygnały ciągłe
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
34
Sygnały impulsowe
∫
∞
∞
−
=
∆
α
każdego
dla
1
)
( dt
t
i
=
∞
≠
=
∆
→
0
0
0
)
(
lim
0
t
t
t
i
dla
dla
α
Sygnały impulsowe: a) określony dla
b) określony dla
α
<
< t
0
2
2
α
α
<
<
−
t
∆
1
−α/2
α/2
1/α
α
(t)
t
∆
1
1/α
(t)
t
9
Wszystkie
sygnały impulsowe
o długości mają
następujące własności:
α
( )
t
i
∆
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
35
Impuls Diraca
można zdefiniować jako granicę funkcji
impulsowych przy
α →
0:
)
(
lim
)
(
0
t
t
i
∆
=
→
α
δ
zatem
( )
∫
∞
∞
−
= 1
dt
t
δ
stąd
dt
t
d
t
)
(
)
(
1
=
δ
Skok jednostkowy można więc rozważać jako funkcję
pierwotną impulsu jednostkowego:
( )
∫
∞
∞
−
=
dt
t
t
)
(
1
δ
Sygnały impulsowe
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
36
Sygnały dyskretne
9
Sygnały dyskretne
, to sygnały określone tylko dla pewnego
przeliczalnego ciągu określonych chwil czasowych t = {t
1
, t
2
,
..., t
n
, ...}
Najczęściej sygnały dyskretne zapisuje się jako:
K
,
2
,
1
,
0
)
(
±
±
=
=
n
x
t
x
n
n
9
Rozważa się jedynie przypadek, gdy poszczególne chwile
(punkty czasowe) są równoodległe (przedziały czasowe
między tymi punktami są równe)
∆
=
−
+
i
i
t
t
1
dla każdego i
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
37
9
Sygnał dyskretny można również zdefiniować na podstawie
sygnału ciągłego. Przykładowo, niech ciąg x
n
będzie
określony równością:
)
(
∆
=
n
x
x
n
x
n
- próbka sygnału x(t)
∆
- okres próbkowania
Próbkowanie sygnału skokowego l(t)
a) sygnał skoku jednostkowego,
b) wynik próbkowania sygnału skoku jednostkowego
Sygnały dyskretne
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
38
9
Sygnał losowy (stochastyczny)
zmienia się w czasie
w sposób, którego nie da się przewidzieć (nie można
przewidzieć przebiegu sygnału na podstawie znajomości
aktualnej jego wartości)
Najczęściej sygnały losowe określa się trzema parametrami
statystycznymi:
wartością średnią
m (t):
[
]
,
1
lim
)
(
gdzie
)
(
)
(
1
∑
=
∞
→
=
=
n
i
i
n
x
n
X
E
t
X
E
t
m
Sygnały losowe
x – zmienna losowa
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
39
(
)
[
]
(
)
∑
=
∞
→
−
=
−
=
n
i
i
n
m
x
n
m
X
E
w
1
2
2
1
lim
[
]
)
(
ˆ
,
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
,
cov(
X
E
X
X
gdzie
X
t
X
E
t
−
=
=
τ
τ
Sygnały losowe
wariancją
lub kwadratem odchylenia standardowego
σ
2
(t), które jest miarą rozproszenia (dynamiki) sygnału
losowego:
kowariancją
cov(t,
τ
), która podaje informację o
szybkości zmian sygnału:
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
40
Lp.
1.
2.
3.
Impuls
Diracka
Skok
jednostkowy
Sygnał
wykładniczy
δ
(t)
t
x(t)
x(t)
t
t
1
()
=
∞
≠
=
0
0
0
t
dla
t
dla
t
δ
()
≥
<
=
0
1
0
0
1
t
dla
t
dla
t
()
≥
>
=
0
0
0
t
dla
ce
t
dla
t
x
t
α
RODZAJ SYGNAŁU
Sygnały stosowane w automatyce
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Akademia Górniczo
Akademia Górniczo
-
-
Hutnicza w Krakowie
Hutnicza w Krakowie
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Temat wykładu: Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Temat wykładu:
Temat wykładu:
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Wprowadzenie do układów automatycznego sterowania
Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
41
4.
5.
6.
Impuls
prostokątny
Funkcja
liniowa
Sygnał
harmoniczny
x(t)
x(t)
t
t
x(t)
t
T
1
T
2
1
α
( )
( )
( )
∞
∈
∈
∈
=
,
0
,
1
,
0
0
2
2
1
1
T
t
dla
T
T
t
dla
T
t
dla
t
x
at
t
x
=
t
t
x
ω
sin
=
Sygnały stosowane w automatyce