INSTRUKCJA DO GRAFICZNEJ METODY ROZWI ZYWANIA ZADA

PRZEP YWU WÓD PODZIEMNYCH Z WYKORZYSTANIEM SIATKI

HYDRODYNAMICZNEJ

1. Wprowadzenie

Rozwi zanie konkretnego zagadnienia przep ywu filtracyjnego powinno by traktowane jako

zadanie trójwymiarowe. Istnieje jednak wiele zagadnie w których przep yw mo na rozpatrywa

jako dwuwymiarowy zak adaj c, e w pobli u tego przekroju w

ciwo ci o rodka gruntowego,

geometria uk adu warstw, a wi c i parametry przep ywu s w przybli eniu takie same. Wówczas

przyjmuje si , e sk adowa pr dko ci filtracji, normalna do przekroju jest równa zeru. Je eli

natomiast w zasi gu rozpatrywanego obszaru zmienia si uk ad warstw lub w

ciwo ci o rodka

gruntowego, wówczas mo na rozwi zywa zagadnienia w kilku przekrojach, przyjmuj c do oblicze

schemat dwuwymiarowy.

W przypadku p askiego przep ywu wód podziemnych równanie przep ywu cieczy nie ci liwej

przez o rodek jednorodny i izotropowy ma posta :

gdzie:

= - kH

k – wspó czynnik filtracji,

H – wysoko hydrauliczna.

Przy powy szych oznaczeniach sk adowe pr dko ci filtracji wynosz :

Rozwi zaniem równania przep ywu jest funkcja potencja u pr dko ci (x, y). Przyrównuj c

funkcj

do sta ej C takiej, e

kH

2

kH

1

gdzie H

1

i H

2

s ekstremalnymi wysoko ciami hydraulicznymi na brzegach obszaru filtracji

wywo uj cymi przep yw wody w rozpatrywanym obszarze, dostajemy równanie linii jednakowego

potencja u C

(x, y) = C

któr b dziemy nazywa powierzchni ekwipotencjaln .

0

lub

0

2

2

2

2

2

=

Φ

∇

=

∂

Φ

∂

+

∂

∂

y

x

y

v

x

v

y

x

∂

Φ

∂

=

∂

Φ

∂

=

i

2

0

i

0

2

2

=

Ψ

∇

=

Φ

∇

Mo na udowodni , e istnieje funkcja (x, y), dla której

tzn.

Powy sze zwi zki s zwi zkami Cauchy-Riemanna i oznaczaj , e rodziny krzywych

(x, y) = const. i (x, y) = const.

wzajemnie ortogonalne. Uk ad tych linii w przypadku zagadnie przep ywu wód podziemnych

nazywamy siatk hydrodynamiczn przep ywu. Rodzina krzywych (x, y) = const. przedstawia linie

pr du (wektor pr dko ci jest styczny do linii pr du), które dla przep ywu ustalonego pokrywaj si z

torami przep ywaj cych cz steczek wody).

Ró niczkuj c powy sze zwi zki odpowiednio po

∂

x i

∂

y dostajemy

Odejmuj c stronami powy sze równania otrzymujemy:

Rozwi zanie konkretnego zagadnienia sprowadza si wi c do rozwi zania równa

ró niczkowych:

(1)

W wyniku rozwi zania mo emy okre li siatk hydrodynamiczn i obliczy wszystkie wielko ci

zwi zane z przep ywem wód podziemnych jak np. wysoko hydrauliczn , pr dko filtracji

wielko przep ywu wód, czas przep ywu na zadanym odcinku drogi.

x

v

y

v

y

x

∂

Ψ

∂

=

∂

Ψ

∂

−

=

i

x

y

x

∂

Ψ

∂

=

∂

Φ

∂

∂

Ψ

∂

−

=

∂

Φ

∂

i

y

2

2

2

2

2

2

i

x

y

x

y

y

x

∂

Ψ

∂

=

∂

∂

Φ

∂

∂

Ψ

∂

−

=

∂

∂

Φ

∂

0

lub

0

2

2

2

2

2

=

Ψ

∇

=

∂

Ψ

∂

+

∂

Ψ

∂

y

x

3

2. Graficzna metoda oblicze

Rozwi zanie uk adu równa (1) mo na dokona równie na drodze graficznej, korzystaj c z

ciwo ci siatki hydrodynamicznej. Polega ona na tym, e siatk hydrodynamiczn wykre la si od

ki, traktuj c tak uzyskany obraz za pierwsze przybli enie rozwi zania. Nast pnie siatk poprawia

si tak d ugo, a spe ni ona nast puj ce warunki:

- linie pr du i linie ekwipotencjalne s ortogonalne,

- ka dy wycinek siatki (wycinek ograniczony s siaduj cymi powierzchniami

ekwipotencjalnymi i liniami pr du) b dzie „kwadratowy” tzn. redni rozstaw linii pr du i

powierzchni ekwipotencjalnych b dzie taki sam.

Dla tak skonstruowanej siatki hydrodynamicznej straty wysoko ci hydraulicznej w ka dym

kwadracie siatki b

mia y tak sam warto .

Bardzo wa

w

ciwo ci siatki hydrodynamicznej jest to, e przep yw przez dowolny

wycinek siatki w obr bie tej samej wst gi (strumienia - obszar mi dzy dwoma s siednimi liniami

pr du) ma tak sam wielko .

Dla p askiego zagadnienia mo emy okre li przep yw wód podziemnych q

j

na jednostk

szeroko ci s w i-tym wycinku siatki j-tego strumienia jako:

gdzie:

Q

j

– przep yw w j-tym strumieniu,

s – odleg

prostopad a do przyj tego przekroju, na której geometria przekroju i

ciwo ci gruntu s niezmienne (g boko strumienia),

F

j,i

– pole powierzchni przekroju i-tego wycinka w j-tym strumieniu,

v

j,i

– pr dko filtracji w i-tym wycinku j-tego strumienia.

Zak adaj c przep yw jednostajny w poszczególnych wycinkach siatki, oraz przyjmuj c prawo

Darcy otrzymujemy:

gdzie:

H

j,i

– strata wysoko ci hydraulicznej w i-tym wycinku j-tego strumienia,

l

j,i

– d ugo drogi filtracji w i-tym wycinku j-tego strumienia,

b

j,i

redni rozstaw linii pr du w i-tym wycinku j-tego strumienia.

i

j

i

j

j

j

v

F

s

Q

q

,

,

⋅

=

=

i

j

i

j

i

j

j

l

H

k

b

q

,

,

,

∆

⋅

⋅

=

4

St d strata wysoko ci hydraulicznej na i-tym wycinku j-tego strumienia wynosi:

Ca kowita strata wysoko ci hydraulicznej wzd

wszystkich wycinków danego strumienia

wynosi:

St d mo na okre li wydatek jednostkowy pojedynczego j-tego strumienia

Ca kowity przep yw wyniesie zatem

∑

∑

∑

=

=

=

























⋅

∆

⋅

⋅

=

⋅

=

M

j

N

i

i

j

i

j

M

j

j

b

l

H

k

s

q

s

Q

1

1

,

,

1

1

Z kolei je li znamy wydatek Q, g boko strumienia s, ró nic wysoko ci hydraulicznych H i

wymiary warstwy wodono nej, to mo na okre li wspó czynnik filtracji k przekszta caj c powy szy

wzór

∑

∑

=

=





























⋅

∆

⋅

=

M

j

N

i

i

j

i

j

b

l

H

s

Q

k

1

1

,

,

1

(2)

W przypadku siatki kwadratowej mamy

i w zwi zku z tym

i

j

i

j

j

i

j

b

k

l

q

H

,

,

,

⋅

⋅

=

∆

∑

∑

=

=

=

∆

=

∆

N

i

N

i

i

j

i

j

j

i

j

b

l

k

q

H

H

1

1

,

,

,

∑

=

∆

⋅

=

N

i

i

j

i

j

j

b

l

H

k

q

1

,

,

N

H

k

q

j

∆

⋅

=

N

H

k

M

s

Q

∆

⋅

⋅

⋅

=

1

,

,

=

i

j

i

j

b

l

5

H

M

s

N

Q

k

∆

⋅

⋅

⋅

=

Na podstawie przedstawionego rozwi zania mo na te okre li czas przep ywu wody t

j

w

poszczególnych strumieniach. W tym celu wprowadzimy poj cie redniej pr dko ci rzeczywistej

(pr dko ci porowej) u. Jest ona zwi zana z pr dko ci filtracji v zale no ci :

gdzie n oznacza wspó czynnik porowato ci.

Czas przep ywu wody w danym strumieniu t

j

mo na okre li z wzoru

(

)

∑

∑

∑

∫

∫

=

=

=

⋅

⋅















⋅

∆

⋅

=

⋅

⋅

≅

⋅

=

=

N

i

N

i

i

j

i

j

i

j

i

j

N

i

i

j

i

j

j

l

l

j

b

l

b

l

H

k

n

b

l

q

n

v

dl

n

u

dl

t

j

j

1

1

,

,

,

,

1

,

,

(4)

gdzie l

j

oznacza d ugo drogi filtracji wzd

j-tego strumienia.

W przypadku, gdy znany jest czas przep ywu cz steczek wody wzd

j-tego strumienia oraz

wspó czynnik filtracji k, ró nica

H, oraz geometria j-tego strumienia - mo na obliczy

wspó czynnik porowato ci przekszta caj c powy szy wzór

(

)

∑

∑

=

=

⋅

⋅















∆

⋅

⋅

=

N

j

i

j

i

j

N

i

i

j

i

j

j

b

l

b

l

H

k

t

n

1

,

,

1

,

,

(5)

3. Opis bada

Celem wiczenia jest wykonanie oblicze przep ywu wód podziemnych za pomoc siatki

hydrodynamicznej i porównanie uzyskanych w ten sposób wyników do wyników bada na modelu

fizycznym.

Badania przeprowadzono na modelu, którego geometri przedstawiono na rys. 1. Model

wype niano cz ciowo wod , a nast pnie umieszczono w nim jednorodny pod wzgl dem uziarnienia,

drobnoziarnisty piasek. Piasek wsypywano ma ymi porcjami, aby grunt w modelu by jednorodny.

Nast pnie ustalano sta ró nic zwierciad a wody z obu stron przegrody H i realizowano przep yw

ustalony. Utrzymuj c sta ró nic poziomów wody mierzono nast pnie wydatek przep ywaj cej

wody Q. Nast pnie wprowadzano barwnik tu przy powierzchni piasku na dop ywie i mierzono czas

przep ywu tego barwnika do momentu a pokaza si na powierzchni piasku z drugiej strony

przegrody. Barwnik zadawano w trzech punktach na powierzchni warstwy wodono nej. Drog

przep ywu barwnika zaznaczano na ciance modelu a nast pnie kopiowano na prze roczystej folii.

n

v

u

=

6

Rys. 1. Wymiary modelu do badania p askiego przep ywu wód podziemnych.

3. Wyniki bada

Badania na modelu fizycznym wykonano u ywaj c drobnoziarnistego, jednorodnego piasku

kwarcowego. Model wype niono piaskiem zgodnie z rys. 2. Badania przeprowadzono w

temperaturze 23 C. Wyniki pomiarów zamieszczono w tabeli 1, a przebieg linii pr du na rys. 2 i 3.

7

Tab. 1. Wyniki bada wydatku wody oraz czasu przep ywu barwnika na modelu.

Lp.

Obj to

przep ywaj cej

wody V

r

Czas pomiaru

obj to ci

przep ywaj cej

wody t

Wydatek Q

Czas

przep ywu

barwnika t

cm

3

cm

3

s

cm

3

/s

Nr linii

pr du

s

1.

264

I

180

2.

262

II

265

3.

260

262

60

4,37

III

478

Zaznaczone na ciance linie pr du przeniesiono w skali na rysunek (rys. 2) a nast pnie

wykre lono kwadratow siatk hydrodynamiczn . Przeniesione linie pr du, okre lone przez

przep ywaj cy barwnik wykorzystano przy wykre laniu kwadratowej (linie siatki kwadratowej i

okre lone na modelu nie mog si przecina ). Maj c siatk hydrodynamiczn pomierzono d ugo ci i

szeroko ci poszczególnych wycinków l

j,i

, oraz b

j,i

i zestawiono w tab. 1. Nast pnie korzystaj c z

wzoru (2) obliczono wspó czynnik filtracji gruntu k znajduj cego si w modelu.

Maj c okre lony wspó czynnik filtracji oraz czas przep ywu barwnika wzd

jednej z linii pr du

okre lono nast pnie wspó czynnik porowato ci n. Wspó czynnik porowato ci okre lono konstruuj c

pojedynczy strumie wokó zaznaczonej przez barwnik linii pr du nr II. Strumie ten konstruuje si

na tle kwadratowej siatki hydrodynamicznej. Szeroko tak skonstruowanego strumienia b dzie

proporcjonalnie wi ksza do odleg

ci mi dzy liniami linii pr du w siatce kwadratowej. Zwracano

przy tym uwag , aby linia pr du dla której zmierzono czas przep ywu barwnika znajdowa a si w

rodku takiego strumienia. Taki strumie dzielimy nast pnie liniami prostopad ymi do linii

ograniczaj cych ten strumie tworz c w przybli eniu kwadraty lub prostok ty (rys. 3). Wymiary

elementów tak skonstruowanego strumienia zestawiono w tab. 3. Na ich podstawie obliczono

wspó czynnik porowato ci za pomoc wzoru (5). Jego warto wynios a 0,28.

Maj c wspó czynnik filtracji i wspó czynnik porowato ci obliczono nast pnie czas przep ywu

barwnika wzd

pozosta ych dwóch linii pr du. Czas ten obliczono konstruuj c pojedyncze

strumienie analogicznie jak w przypadku obliczania wspó czynnika porowato ci. Czas przep ywu

barwnika obliczono korzystaj c z wzoru (4). Porównuj c obliczone w ten sposób czasy z

uzyskanymi na modelu wida , dobr zgodno .

Rys. 2. Siatka hydrodynamiczna – skala 1 : 5.

9

Tab. 1. Zestawienie danych elementów siatki hydrodynamicznej do obliczenia wspó czynnika filtracji.

Nr wycinka w danej wst dze i

Wspó czynnik

filtracji

Nr

wst gi

j

l

j,i

[cm]

b

j,i

[cm]

l

j,i

/b

j,i

[-]

l

j,i

b

j,i

[cm

2

]

i = 1

i = 2

i = 3

i = 4

i = 5

i = 6

i = 7

i = 8

i = 9

i = 10

i = 11

Suma

cm/s

l

1,i

b

1,i

j = 1

l

1,i

/b

1,i

l

2,i

4,5 4,0 3,5 2,4 2,0 2,0 1,6 1,6 1,8 2,2 2,5 28,1

b

2,i

5,5 5,0 4,5 3,5 3,0 2,0 2,0 2,2 2,5 2,8 3,0

j = 2

l

2,i

/b

2,i

0,82 0,80 0,78 0,69 0,66 1,0 0,80 0,73 0,72 0,79 0,83

8,62

l

3,i

b

3,i

j = 3

l

3,i

/b

3,i

l

4,i

b

4,i

j = 4

l

4,i

/b

4,i

l

5,i

b

5,i

j = 5

l

5,i

/b

5,i

l

6,i

b

6,i

j = 6

l

6,i

/b

6,i

0,041

10

Tab. 1. Zestawienie danych elementów strumienia do obliczenia wspó czynnika porowato ci i czasu przep ywu barwnika.

Nr wycinka w danej wst dze i

Wspó czynnik

porowato ci

Czas

przep ywu

t

j

w j-tym

strumieniu

Nr

wst gi

j

l

j,i

[cm]

b

j,i

[cm]

l

j,i

/b

j,i

[-]

l

j,i

b

j,i

[cm

2

]

i = 1

i = 2

i = 3

i = 4

i = 5

i = 6

i = 7

i = 8

i = 9 i = 10 i = 11

Suma

[-]

[s]

l

1,i

b

1,i

l

1,i

/b

1,i

j = I

l

1,i

b

1,i

185

l

2,i

4,5 4,0 3,5 2,4 2,0 2,0 1,6 1,6 1,8 2,2 2,5 28,1

b

2,i

5,5 5,0 4,5 3,5 3,0 2,0 2,0 2,2 2,5 2,8 3,0

l

2,i

/b

2,i

0,82 0,80 0,78 0,69 0,66 1,0 0,80 0,73 0,72 0,79 0,83 8,62

j = II

l

2,i

b

2,i

24,75 20,0 15,75

8,4 6,0 4,0 3,2 3,52 4,5 6,16 7,5 103,78

0,28

l

3,i

b

3,i

l

3,i

/b

3,i

j = III

l

3,i

b

3,i

491

Rys. 3. Konstrukcja strumieni do okre lenia wspó czynnika porowato ci i czasów przep ywu barwnika.

4. Wnioski

W ramach wiczenia przeprowadzono badania przep ywu wód podziemnych na p askim modelu

fizycznym. W warunkach przep ywu ustalonego wprowadzano barwnik do strumienia wód podziemnych i

obserwowano drogi przep ywu barwnika b

ce jednocze nie liniami pr du. Przep yw w modelu rozwi zano

teoretycznie za pomoc siatki hydrodynamicznej. Na podstawie znajomo ci geometrii gruntu umieszczonego

w modelu, warunków brzegowych i pomiaru wydatku przep ywaj cej wody podziemnej i czasu przep ywu

barwnika okre lono wspó czynnik filtracji gruntu i wspó czynnik porowato ci umieszczonego w modelu.

Wynios y one odpowiednio k = 0,01 cm/s i n = 0,28. Przyjmuj c te warto ci okre lono czas przep ywu

barwnika wzd

dwóch linii pr du dla których wykonano pomiary w modelu. Obliczone warto ci czasu

przep ywu barwnika i czasy uzyskane w modelu wykaza y dobr zgodno .