25
3. ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA
3.1. Pojęcia podstawowe
Niech jak zwykle dana jest próbka
)
...,
,
(
1
n
x
x
x
z rozkładu absolutnie ciągłego
P
, dla którego parametr
R
jest nieznany. Do tej pory zajmowaliśmy esty-
macją punktową parametru nieznanego
, tj. wyznaczeniem liczby (estymatora), któ-
rą w pewnym sensie można zastąpić prawdziwą wartość parametru.
Istnieje inne podejście do estymacji, przy którym wyznacza się przedział pokry-
wający parametr z danym z góry prawdopodobieństwem. Wskazane podejście nazy-
wa się estymacją przedziałową. Zauważmy najpierw, że im większa jest pewność te-
go, iż znaleziony przedział pokrywa wartość prawdziwą parametru, tym większa jest
długość tego przedziału. Więc marzenia o znalezieniu przedziału pokrywającego pa-
rametr z prawdopodobieństwem 1 nigdy nie będą spełnione. Mianowicie,
z praw-
dopodobieństwem 1 znajduje się w obszarze
.
Definicja 1.
Niech
1
0
. Przedział
))
,
(
);
,
(
(
)
;
(
x
x
nazywa się
dokładnym przedziałem ufności dla parametru
z poziomem ufności
1
, gdy dla
dowolnego
mamy
1
}
{
P
.
Definicja 2. Niech
1
0
. Przedział
))
,
(
);
,
(
(
)
;
(
x
x
nazywa się
asymptotycznie dokładnym przedziałem ufności dla parametru
z (asymptotycznym)
poziomem ufności
1
, gdy dla dowolnego
mamy
1
}
{
inf
lim
P
n
.
W definicji 2 w rzeczywistości chodzi oczywiście nie o jeden przedział, lecz o
ciąg przedziałów zależnych od liczności próbki n.
Uwaga 1. Granicy przedziału
)
;
(
są losowe. Dlatego o prawdopodobień-
stwie
}
{
P
mówimy, iż jest to prawdopodobieństwo tego, że przedział
)
;
(
pokrywa parametr
, lecz nie prawdopodobieństwo tego, że
leży w tym
przedziale.
Na początku przeanalizujemy trzy przykłady, w których zbadamy sposoby es-
tymacji. Później postaramy się uzyskać z tych przykładów pewną ogólną filozofię
budowy dokładnych oraz asymptotycznie dokładnych przedziałów ufności. Zacznie-
my od najczęściej stosowanego w praktyce rozkładu normalnego.
26
Przykład 1. Niech
n
x
x ...,
,
1
będzie próbką o liczności n z rozkładu normalnego
2
,
a
N
, gdzie
R
a
jest parametrem nieznanym, natomiast parametr
0
jest zna-
ny. Należy zbudować PU dla parametru a na poziomie ufności
1
.
Zauważmy, że rozkład normalny jest stabilny względem sumowania, czyli za-
chodzi następująca własność
Własność 1. Niech ZL
1
ma rozkład normalny
2
1
1
,
a
N
, ZL
2
ma rozkład
normalny
2
2
2
,
a
N
i ZL te są niezależne. Wówczas ZL
d
c
b
2
1
ma rozkład
normalny z parametrami
d
ca
ba
2
1
E
,
2
2
2
2
1
2
c
b
D
.
Mamy stąd, że
n
i
i
x
1
ma rozkład
2
,
n
na
N
,
na
x
n
i
i
1
ma rozkład
2
,
0
n
N
,
n
na
x
n
i
i
1
ma rozkład
1
,
0
N
.
Wynika stąd, że ZL
a
x
n
spełnia rozkład normalny standaryzowany.
Zakładając, że dana jest liczba
)
1
;
0
(
, znajdziemy taką liczbę
0
c
, że
1
}
{
c
c
P
(patrz rys. 3.1). Liczba c jest kwantylem rzędu
2
1
rozkładu
normalnego standaryzowanego:
1
1
)
(
2
))
(
1
(
)
(
)
(
)
(
}
{
1
,
0
1
,
0
1
,
0
1
,
0
1
,
0
c
c
c
c
c
c
c
P
,
czyli
2
1
)
(
1
,
0
c
.
-3
-2
-1
0
1
2
3
ℇ/2
ℇ/2
Rys. 3.1
ℇ/2
ℇ/2
27
Definicja 3. Niech rozkład
P
o dystrybuancie F jest absolutnie ciągły. Liczba
nazywa się kwantylem rzędu
rozkładu
P
, gdy
)
(
F
. Jeżeli funkcja F jest
ostro monotoniczna, to kwantyl określa się jednoznacznie.
Wówczas
2
1
c
, czyli
2
c
(kwantyle rozkładu normalnego standary-
zowanego).
Rozwiązując nierówność
c
c
względem a, otrzymujemy dokładny prze-
dział ufności
n
c
x
a
n
c
x
c
a
x
n
c
c
c
a
a
a
P
P
P
}
{
1
.
Możemy tu podstawić
2
1
c
:
1
2
1
2
1
n
x
a
n
x
a
P
.
Ostatecznie szukany przedział ufności na poziomie ufności
1
ma postać
n
x
n
x
2
1
2
1
;
.
Przykład 2. Niech
n
x
x ...,
,
1
będzie próbką o liczności n z rozkładu wykładni-
czego
E
, gdzie
0
. Należy zbudować asymptotycznie dokładny PU dla parame-
tru
na poziomie ufności
1
.
Wspominamy CTG:
)
1
(
1
1
1
1
1
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
i
i
D
E
,
gdzie ZL
ma rozkład normalny standaryzowany. Według definicji słabej zbieżno-
ści przy
n
mamy
1
}
{
)
1
(
c
c
c
x
n
c
P
P
, gdy
2
1
c
.
Tj.
1
1
1
)
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
x
n
x
x
n
x
x
n
P
P
,
gdy
n
.
Ostatecznie asymptotycznie dokładny PU na poziomie ufności
1
ma postać
n
x
x
n
x
x
2
1
2
1
1
;
1
.
28
Sformułujemy ogólną zasadę budowy dokładnych PU:
1.
Znaleźć funkcję
)
,
(
x
G
, której rozkład
P
nie zależy od parametru
.
Jest konieczne, by
)
,
(
x
G
miała funkcję odwrotną względem
dla do-
wolnego ustalonego x.
2.
Niech liczby
1
g
i
2
g
są kwantylami rozkładu
P
, takimi że
}
)
,
(
{
1
2
1
g
G
g
x
P
.
3.
Rozwiązując nierówność
2
1
)
,
(
g
G
g
x
względem
, otrzymujemy
dokładny PU.
Analogicznie wygląda zasada ogólna budowy asymptotycznie dokładnych PU:
1.
Znaleźć funkcję
)
,
(
x
G
, słabo zbieżną do rozkładu
P
nie zależnego od
parametru
. Jest konieczne, by
)
,
(
x
G
miała funkcję odwrotną wzglę-
dem
dla dowolnego ustalonego
x.
2.
Niech liczby
1
g
i
2
g
są kwantylami rozkładu
P
, takimi że
1
}
{
}
)
,
(
{
2
1
2
1
g
g
g
G
g
P
x
P
,
gdzie ZL
ma rozkład
P
.
3.
Rozwiązując nierówność
2
1
)
,
(
g
G
g
x
względem
, otrzymujemy
asymptotycznie dokładny PU.
Uwaga 2. Często w jakości
1
g
i
2
g
wybierane są kwantyle
2
i
2
1
roz-
kładu
P
. Natomiast kwantyle należy wybrać w taki sposób, aby otrzymać najkrótszy
z możliwych PU.
Przykład 3. Spróbujmy, korzystając ze sformułowanego schematu, zbudować
dokładny PU dla parametru
0
rozkładu jednostajnego na odcinku
]
2
;
[
.
Jest wiadomo, że jeżeli ZL
i
x
mają rozkład
2
,
U
, to ZL
1
i
i
x
y
mają roz-
kład
1
,
0
U
. Wówczas ZL
)
,
(
1
1
}
...,
,
max{
}
...,
,
max{
)
(
1
1
)
(
x
G
x
x
x
y
y
y
n
n
n
n
ma taki sam rozkład, jak maksimum n niezależnych ZL o rozkładzie jednostajnym na
]
1
;
0
[
, tj. ma nie zależną od
dystrybuantę
.
1
,
1
],
1
;
0
[
,
,
0
,
0
}
{
)
(
)
(
)
(
y
y
y
y
y
y
y
F
n
n
y
n
P
Dla dowolnych dodatnich
1
g
i
2
g
mamy
29
1
1
1
}
)
,
(
{
1
)
(
2
)
(
2
)
(
1
2
1
g
x
g
x
g
x
g
g
G
g
n
n
n
P
P
x
P
.
Długość PU jest równa
))
1
)(
1
((
)
(
1
2
1
2
)
(
g
g
g
g
x
n
i zmniejsza się ze
wzrostem
1
g
i
2
g
oraz z ich zbliżeniem.
Gęstość rozkładu
)
(n
y
na odcinku
]
1
;
0
[
jest równa
1
n
ny
i jest funkcją ostro
rosnącą na tym odcinku. Dlatego największe wartości
1
g
i
2
g
w tym przypadku, gdy
odległość między nimi jest najmniejsza oraz pole pod krzywej gęstości jest ustalone,
osiąga się wyborem
1
2
g
, a
1
g
takiego, że
}
1
{
1
)
(
1
n
y
g
P
:
1
1
)
(
)
1
(
}
1
{
1
1
)
(
1
)
(
)
(
n
y
y
n
g
g
F
F
y
g
n
n
P
, tj.
n
g
1
.
Podstawmy znalezione kwantyle do wzoru (5.2):
n
n
n
n
n
x
x
y
1
2
}
1
{
1
)
(
)
(
)
(
P
P
.
Łatwo zauważyć, że funkcja G postaci
a
x
n
nie może być stosowana do
budowy dokładnego PU dla
przy znanym a. Z następnego przykładu, jak z przy-
kładu 2, widać, że CTG pozwala na uzyskanie postaci uniwersalnej funkcji G dla
zbudowania asymptotycznie dokładnych PU.
Przykład 4. Niech
n
x
x ...,
,
1
będzie próbką o liczności n z rozkładu Poissona
,
Π
gdzie
0
. Należy zbudować asymptotycznie dokładny PU dla parametru
z
poziomem ufności
1
.
Wspominamy CTG:
x
n
x
n
x
n
x
n
i
i
1
1
1
D
E
,
gdzie
ma rozkład normalny standaryzowany. Według określenia słabej zbieżności
przy
n
mamy
1
}
{
c
c
c
x
n
c
P
P
przy
2
1
c
.
Natomiast rozwiązanie względem
nierówności pod znakiem prawdopodobieństwa
nie jest łatwe, ponieważ otrzymujemy nierówność kwadratową z powodu obecności
pierwiastka w mianowniku. Czy zachowuje się wskazana zbieżność, jeżeli zastąpimy
przez x ?
Z własności słabej zbieżności wynika, że jeżeli
1
p
n
oraz
n
, to
n
n
. Estymator
x
*
jest zgodny, dlatego
30
1
p
x
.
Wówczas
x
x
n
x
n
x
.
Wynika stąd, że
1
}
{
2
1
2
1
2
1
2
1
P
P
x
x
n
.
Rozwiązując nierówność pod znakiem prawdopodobieństwa otrzymujemy
1
2
1
2
1
n
x
x
n
x
x
P
przy
n
.
Mamy, więc, że asymptotycznie dokładny PU na poziomie ufności
1
ma postać
n
x
x
n
x
x
2
1
2
1
;
.
Uwaga 3. Jeżeli
)
(
w mianowniku nam przeszkadza, to można ją zastąpić
przez estymator zgodny
*)
(
(jak w przykładzie 4). Wystarczy by funkcja
)
(
była ciągłą w całym obszarze
. Należy tylko odpowiedzieć na pytanie: czy
*
jest
estymatorem zgodnym dla
?
3.2. Rozkłady związane z rozkładem normalnym
W p. 3.1 było rozwiązane zagadnienie 1 budowy dokładnego PU dla parametru
a rozkładu normalnego, gdy drugi parametr
2
był znany. W tym celu stosowaliśmy
funkcję próbki i nieznanego parametru a
a
x
n
a
G
)
,
(x
,
która przy dowolnym a ma rozkład normalny standaryzowany.
Następujące zagadnienia jednak pozostały nierozwiązane:
2) zbudować dokładny PU dla
, gdy a jest znane,
3) zbudować dokładny PU dla a, gdy
jest nieznane,
4) zbudować dokładny PU dla
, gdy a jest nieznane.
Jak wiadomo, dla rozwiązania sformułowanych zagadnień należy znaleźć funk-
cje próbki i parametrów, których rozkłady są znane. W szczególności, w zagadnieniu
3 szukana funkcja musi być niezależną od nieznanego parametru
, a w zagadnieniu
4 – od parametru a.
31
Takie szczególne zaciekawienie rozkładem normalnym związane oczywiście z
CTG – prawie wszystko w tym świecie jest normalne (albo jest bliskie tego).
Dlatego w tym rozdziale będziemy się zajmować rozkładami związanymi z roz-
kładem normalnym, zbadamy ich własności oraz własności próbek z rozkładu nor-
malnego.
1. Rozkład Gamma i jego własności. Rozkład Gamma
,
Γ
jest znany z kursu
rachunku prawdopodobieństwa. Mianowicie, gęstość tego rozkładu ma postać
,
0
gdy
,
)
(
,
0
gdy
,
0
)
(
1
,
y
e
y
y
y
f
y
gdzie
0
,
,
0
1
)
(
dt
e
t
t
jest funkcja Gamma, mająca w szczególności na-
stępujące własności:
)
1
(
)
1
(
)
(
;
1
)
1
(
, skąd mamy
)!
1
(
)
(
n
n
dla
N
n
;
)
2
1
(
.
W ciągu dalszym nam będzie potrzebna własność stabilności tego rozkładu
względem sumowania.
Własność 1. Niech ZL
n
...,
,
1
będą niezależne oraz
i
ma rozkład Gamma
i
,
Γ
,
n
i
,
1
. Wówczas
n
i
i
n
S
1
ma rozkład
n
i
1
,
Γ
.
Własność 2. Jeżeli ZL
ma rozkład normalny standaryzowany, to ZL
2
ma
rozkład Gamma
2
1
,
2
1
Γ
.
2. Rozkład „chi-kwadrat” (χ
2
) i jego własności. Z własności 1 i 2 wynika bez-
pośrednio następujące stwierdzenie.
Wniosek 1. Jeżeli ZL
k
...,
,
1
są niezależne i mają rozkład normalny standary-
zowany, to ZL
2
2
1
2
...
k
k
ma rozkład
2
,
2
1
k
Γ
.
Definicja 4. Rozkład sumy k kwadratów niezależnych ZL mających rozkład
normalny standaryzowany nazywa się rozkładem „chi-kwadrat” (
2
) o k stopniach
swobody i oznacza się
k
H
. Na mocy wniosku 1 rozkład ten jest rozkładem
2
,
2
1
k
Γ
.
Na rys. 3.2 podany jest wykres gęstości rozkładu
2
,
2
1
k
k
Γ
H
dla k równego
1, 2, 4 i 8.
32
My często będziemy oznaczali przez
2
k
ZL o rozkładzie
k
H
.
Podamy własności rozkładu ZL
2
k
.
1.
Stabilność względem sumowania. Niech ZL
2
k
ma rozkład
k
H
, ZL
2
m
ma rozkład
m
H
i ZL te są niezależne. Wówczas ich suma ma rozkład
m
k
H
.
2.
Momenty rozkładu
2
. Jeżeli ZL
2
k
ma rozkład
k
H
, to
k
k
2
E
i
k
k
2
2
D
.
3.
Niech
...
,
,
2
1
są niezależne i mają rozkład normalny
2
,
a
N
. Wówczas
ZL
k
i
i
k
a
1
2
2
ma rozkład
2
(
k
H
) o k stopniach swobody.
Rys. 3.2
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
2
4
6
8
10
12
14
16
y
H
1
2
H
4
H
8
H
33
3. Rozkład Studenta i jego własności.
Definicja 5. Niech ZL
k
...,
,
,
1
0
są niezależne i mają rozkład normalny stan-
daryzowany. Rozkład ZL
k
k
t
k
k
k
2
0
2
2
1
0
)
...
(
1
nazywa się rozkładem Studenta o k stopniach swobody i oznacza się
k
T
.
Gęstość rozkładu Studenta (patrz rys. 3.3) o k stopniach swobody to
2
)
1
(
2
1
)
2
(
)
2
)
1
(
(
)
(
k
k
k
y
k
k
k
y
f
. (6.1)
Podamy własności rozkładu Studenta.
1.
Symetryczność. Jeżeli ZL
k
t
ma rozkład Studenta
k
T
o k stopniach swo-
body, to ZL
k
t
ma taki sam rozkład.
2.
Asymptotyczna normalność. Rozkład Studenta
k
T
jest słabo zbieżny do
rozkładu normalnego standaryzowanego przy
k
.
3. Dla rozkładu Studenta istnieją tylko momenty rzędu
k
m
i nie istnieje
momentów rzędu
k
m
, przy czym wszystkie momenty nieparzystych
rzędów są równe zero.
Podamy teraz wzory na charakterystyki ZL o rozkładzie Studenta.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
-8
-4
0
4
8
Rozkład normalny
Rozkład Studenta k = 2
Rys 3.3
34
0
1
2
n
k
t
E
,
)
2
(
)
2
1
(
)
2
(
2
k
n
n
k
k
t
n
n
k
E
,
k
n
2
;
.
2
gdy
,
,
2
gdy
,
2
k
k
k
k
t
k
D
Możemy, oczywiście, doprowadzić wzory na momenty rozkładu Studenta do
postaci nie zawierającej funkcji Gamma.
Zauważmy, że rozkłady
2
i Studenta są tablicowane, tak, że jeżeli będzie po-
trzebne zbudować jakiś PU przez obliczanie kwantylów, to kwantyle znajdziemy za
pomocą tablic.
Następny rozkład także jest związany z rozkładem normalnym, natomiast korzy-
stać z niego będziemy później w zagadnieniach weryfikacji hipotez.
4. Rozkład Fishera.
Definicja 6. Niech ZL
2
k
ma rozkład
k
H
, a ZL
2
m
ma rozkład
m
H
, przy czym
ZL te są niezależne. Rozkład ZL
2
2
2
2
,
m
k
m
k
m
k
k
m
m
k
f
nazywa się rozkładem Fishera (rozkładem F Snedecora) o k, m stopniach swobody i
oznacza się
m
k ,
F
.
Własności rozkładu Fishera:
1. Jeżeli ZL
m
k
f
,
ma rozkład
m
k ,
F
, to ZL
m
k
f
,
1
ma rozkład
k
m,
F
.
2. Rozkład
m
k ,
F
jest słabo zbieżny do rozkładu degeneratywnego w punkcie 1
(
1
I
), gdy k i m dążą do nieskończoności w sposób dowolny.
3.3. Dokładne przedziały ufności dla parametrów rozkładu
normalnego
Niech dana jest próbka
n
x
x ...,
,
1
z rozkładu normalnego
2
,
a
N
. Przypomnijmy
oznaczenia
n
i
i
a
x
n
s
1
2
2
)
(
1
i
n
i
i
x
x
n
s
1
2
2
0
)
(
1
1
.
Można udowodnić, że spełnione są następujące stwierdzenia.
35
1)
a
x
n
ma rozkład normalny standaryzowany (wykorzystaliśmy już ten
fakt do budowy PU dla a gdy
jest znane);
2)
n
i
i
a
x
1
2
ma rozkład
n
H
(z tego będziemy korzystać budując PU dla
2
gdy a jest znane);
3)
2
2
0
1
2
2
)
1
(
)
(
s
n
x
x
n
i
i
ma rozkład
1
n
H
; (z tego będziemy korzystać budu-
jąc PU dla
2
gdy a jest nieznane);
4)
0
2
0
s
a
x
n
s
a
x
n
ma rozkład
1
n
T
(z tego będziemy korzystać budując
PU dla a gdy
jest nieznane).
Ze stwierdzeń tych wynikają następujące wzory na PU dla parametrów rozkładu
normalnego.
1. Dla a gdy
jest znane. Ten PU był przez nas zbudowany w przykładzie 1 z
p. 3.1:
1
2
1
2
1
n
x
a
n
x
a
P
, gdzie
2
1
)
(
2
1
1
,
0
.
2. Dla
2
gdy a jest znane. Według stwierdzenia 2 mamy
2
2
ns
ma rozkład
n
H
, gdzie
n
i
i
a
x
n
s
1
2
2
)
(
1
.
Niech
2
2
,
1
n
g
oraz
2
2
1
,
2
n
g
są kwantylami rozkładu
n
H
rzędu
2
i
2
1
. Wówczas
1
2
2
2
2
,
2
2
2
1
,
2
2
1
g
ns
g
ns
g
ns
g
a
a
P
P
.
3. Dla
2
gdy a jest nieznane. Według stwierdzenia 3 mamy
2
2
0
)
1
(
s
n
ma rozkład
1
n
H
, gdzie
n
i
i
x
x
n
s
1
2
2
0
)
(
1
1
.
Niech
2
2
,
1
1
n
g
i
2
2
1
,
1
2
n
g
są kwantylami rozkładu
1
n
H
rzędu
2
i
2
1
. Wówczas
36
1
2
0
2
2
2
0
,
2
2
2
0
1
,
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
2
2
g
s
n
g
s
n
g
s
n
g
a
a
P
P
.
4. Dla a gdy
jest nieznane. Według stwierdzenia 4 mamy
0
s
a
x
n
ma rozkład
1
n
T
, gdzie
n
i
i
x
x
n
s
1
2
2
0
)
(
1
1
.
Niech
2
,
1
1
n
t
a
i
2
1
,
1
2
n
t
a
są kwantylami rozkładu
1
n
T
rzędu
2
i
2
1
. Rozkład Studenta jest symetryczny, tj.
2
1
a
a
. Wówczas
2
1
,
1
0
2
1
,
1
,
2
1
n
n
a
t
s
a
x
n
t
P
n
s
t
x
a
n
s
t
x
n
n
a
0
2
1
,
1
0
2
1
,
1
,
2
P
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
mp2 rozd1 id 781667 Nieznany
mp2 rozd2 id 781668 Nieznany
mp2 zad3 id 309079 Nieznany
mp2 rozd4 id 781670 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany
interbase id 92028 Nieznany
Mbaku id 289860 Nieznany
Probiotyki antybiotyki id 66316 Nieznany
miedziowanie cz 2 id 113259 Nieznany
LTC1729 id 273494 Nieznany
D11B7AOver0400 id 130434 Nieznany
analiza ryzyka bio id 61320 Nieznany
pedagogika ogolna id 353595 Nieznany
więcej podobnych podstron