/25
Imi
ę Nazwisko
nr indeksu
pkt
ocena
1
Arytmetyka – K1
25 listopada 2005
Janusz Biernat
10–3,0; 13–3,5; 16–4,0; 19–4,5; 21–5,0
1.(4p) Oblicz ró
Ŝnicę i zapisz ją w systemie U2, z obcięciem do 10 bitów części ułamkowej:
45
10
–71,(13)
10
= –26,(13)
10
= –32,1031..
8
= | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |,| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
U2
45
U8
– 71,(13)
U8
= 753,(64)
U8
= | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |,| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
U2
2.(4p) Stosuj
ąc reguły arytmetyki resztowej oblicz reszty całkowite (dodatnie i ujemne)
(–34640
8
*105336
8
)
mod 101
8
={(–1)(40–46+3)(36–53+10)}
8
mod 101
8
={(–1)(–3)(–5)}
8
=–17
8
≡≡≡≡
62
8
(3–104
10
)*45351
10
mod 99
10
={(–103)(4+53+51)} mod 99
10
=(–2)(+9)=–18
≡≡≡≡
81
10
(2p) Oblicz: 45
123
mod 12 =(45
mod 12)
123 mod 4
mod 12=(–3)
3
. mod 12= 9 (
≡≡≡≡
–3)
7
–1
mod 19 = 11
3.(4p) Oblicz: z dokładno
ścią: do 4 cyfr znaczących
√
0, 1 0 1 0 1 1 1
2
= 0, 1 1 0 1
do 3 cyfr dziesi
ętnych
1
1
√
3 6 2 3
= 6 0, 1
1 1 0
3 6
1 0 1
1
0 2 3
1 1 1
0
0
1 1 1 0 0
2 3 0 0
1 1 0 0 1
1
1 2 0 1
4.(4p) Wykonaj mno
Ŝenie pisemne liczb w kodzie U2 bez uŜycia rozszerzeń i metodą Bootha-McSorleya
1 0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 1
1 0 1 0 1
×
1 0 1 0 1
××××
0 1 0 1 1 1
1 1 0 1 1 1
0 1 1 0 0 -1
SD
1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1
1
1
1
1 0 1 0 1
1 0 0 0 0 0
1
1
1 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1
1
1
1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1
5.(4p) Metod
ą nieodtwarzającą oblicz z dokładnością do 4 cyfr znaczących iloraz liczb danych w kodzie U2
0, 1
0
1
1
====
−−−−
D
X =
0
1 1, 1
1
: 1, 0
1
0
1
====
++++
D
k=3
+D
1, 0 1
0
1
1
1
0
0
1
q
0
= 1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
q
1
= 0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
q
2
= 1
0
1 0
1
1
Iloraz jest równy
0
0 1
0
1
q
3
= 0
Q = 1 0 1 0 , . . .
6.(3p) Udowodnij,
Ŝe jeśli k
≥≥≥≥
1, to liczba 2
3k
+1 ma podzielniki wi
ększe od 1.
2
3k
+1=(2
k
+1)(2
2k
−
2
k
+1)
/25
Imi
ę Nazwisko
nr indeksu
pkt
ocena
2
Arytmetyka – K1
25 listopada 2005
Janusz Biernat
10–3,0; 13–3,5; 16–4,0; 19–4,5; 21–5,0
1.(4p) Oblicz ró
Ŝnicę i zapisz ją w systemie U2, z obcięciem do 10 bitów części ułamkowej:
42
10
– 15,(74)
10
=26,(25)
10
= 32,2012..
8
= | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |,| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
U2
42
U8
– 15,(74)
U8
= 724,(03)
U8
= | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |,| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
U2
2.(4p) Stosuj
ąc reguły arytmetyki resztowej oblicz reszty całkowite (dodatnie i ujemne)
(–34630
8
*103336
8
)
mod 77
8
=={(–1)(30+46+3)(36+33+10)}
8
mod 101
8
={(–1)(+2)(+2)}
8
=–4
8
≡≡≡≡
73
8
(5–104
10
)*45351
10
mod 101
10
={(–99)(4–53+51)} mod 101
10
=(+2)(+2)=+4
≡≡≡≡
–97
10
(2p) Oblicz: 32
124
mod 15 =(32
mod 15)
124 mod 8
mod 15=(+3)
4
mod 15= 1 (
≡≡≡≡
–14)
8
–1
mod 19 = 12
3.(4p) Oblicz: a) z dokładno
ścią: do 4 cyfr znaczących
√
1, 0 1 1 0 1 1 1
2
= 1, 0 0 1 1
b) do 3 cyfr dziesi
ętnych
1
1
√
3 6 2, 3
= 1 9, 0 3
0 1
0
1
0 1 1 0
0
2 6 2
0 1 1 0 1 1
2 6 1
1 0 0 0 1
1
1 3 0 0 0
1 0 1 0 1 0
1
1 1 4 0 9
4.(4p) Wykonaj mno
Ŝenie pisemne liczb w kodzie U2 bez uŜycia rozszerzeń i metodą Bootha-McSorleya
0 1 0 0 1 1
0 1 0 0 1
1 0 1 1 0 1
1 0 1 1 1
×
1 0 1 1 1
××××
1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 0 1
0 -1 0 -1 0 1
SD
0 0 1 1 0 1
1
1
1
1
1
1 0 1 1 1
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 1
1
1
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1
5.(4p) Metod
ą nieodtwarzającą oblicz z dokładnością do 4 cyfr znaczących iloraz liczb danych w kodzie U2
0, 1
1
1
1
====
−−−−
D
X =
1 0, 1
0
1
: 1, 0
0
0
1
====
++++
D
k=1
– D
0, 1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
q
0
= 0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
q
1
= 1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
q
2
= 0
1
0
0
0
1
Iloraz jest równy
1
0
0
1
1
q
3
= 1
Q = 0 1 , 0 1 . . .
6.(3p) Wyka
Ŝ, Ŝe jeśli k
≥≥≥≥
1, to liczby 2
2k
+1 i 2
k
+1 nie maj
ą wspólnego podzielnika róŜnego od 1
NWP(2
2k
+1, 2
k
+1) = NWP((2
k
+1) (2
k
−
1)+2, 2
k
+1) = NWP(2, 2
k
+1) = 1
/25
Imi
ę Nazwisko
nr indeksu
pkt
ocena
3
Arytmetyka – K1
25 listopada 2005
Janusz Biernat
10–3,0; 13–3,5; 16–4,0; 19–4,5; 21–5,0
1.(4p) Oblicz ró
Ŝnicę i zapisz ją w systemie U2, z obcięciem do 10 bitów części ułamkowej:
47
10
– 10,(71)
10
=36,(28)
10
=44,2207
8
= | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |,| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
U2
47
U8
– 10,(71)
U8
= 736,(06)
U8
= | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |,| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
U2
2.(4p) Stosuj
ąc reguły arytmetyki resztowej oblicz reszty całkowite (dodatnie i ujemne)
(–23FC2
16
*9667
16
)
mod 0FF
16
={(–1)(2+3F+C2)(96+67)}
16
mod FF
16
={(–1)(+4)(–2)}
16
=8
≡≡≡≡
–F7
16
(5–103
10
)*6058
10
mod 101
10
={(–98)(–60+58)} mod 101
10
=(+3)(–2)= –6
≡≡≡≡
95
10
(2p) Oblicz: 39
147
mod 18 =(39
mod 18)
147 mod 6
mod 18=(+3)
3
mod 18= 9 (
≡≡≡≡
–9)
5
–1
mod 13 = 8
3.(4p) Oblicz: z dokładno
ścią: do 4 cyfr znaczących
√
0, 1 1 1 0 1 0 1
2
= 0, 1 1 1 1
do 3 cyfr dziesi
ętnych
1
1
√
4 6 2 3
= 6 7, 9
1 0 1 0
3 6
1 0 1
1
1 0 2 3
1 0 1 1 0
8 8 9
1 1 0 1
1
1 3 4 0 0
1 0 0 1 1 0
1
1 2 1 4 1
4.(4p) Wykonaj mno
Ŝenie pisemne liczb w kodzie U2 bez uŜycia rozszerzeń i metodą Bootha-McSorleya
0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
×
0 1 1 0 1
××××
1 0 1 0 1 1
0 0 1 0 1 1
0 -1 0 -1 0 -1
SD
1 0 0 0 0 0
1
1
1
1
1
1
1 0 0 1 1
0 0 1 0 1 1
1
1
1
1
1 0 0 1 1
0 0 1 0 1 1
1
1
1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0
1
1
1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
5.(4p) Metod
ą nieodtwarzającą oblicz z dokładnością do 4 cyfr znaczących iloraz liczb danych w kodzie U2
1
0 0, 1
1
====
−−−−
D
X =
1, 0
1
1
1
:
0
1 1, 0
1
====
++++
D
k= -2
+D /– D
0
1 1, 0
1
0
0
1
0
0
0
q
0
= 1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
q
1
= 0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
q
2
= 1
1
0
0
1
1
Iloraz jest równy
1
1
0
0
1
q
3
= 0
Q = 1 , 1 1 0 1 0 . . .
6.(3p) Wyka
Ŝ, Ŝe jeśli k
≥≥≥≥
2, to liczby 4
2k
+1 i 4
k
–1 s
ą wzajemnie względnie pierwsze
NWP(4
2k
+1, 4
k
−
1) = NWP((4
k
+1) (4
k
−
1)+2, 4
k
−
1) = NWP(2, 4
k
−
1) = 1
/25
Imi
ę Nazwisko
nr indeksu
pkt
ocena
4
Arytmetyka – K1
25 listopada 2005
Janusz Biernat
10–3,0; 13–3,5; 16–4,0; 19–4,5; 21–5,0
1.(4p) Oblicz ró
Ŝnicę i zapisz ją w systemie U2, z obcięciem do 10 bitów części ułamkowej:
64
10
– 41,(67)
10
=22,(32)
10
= 26,2453..
8
= | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |,| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
U2
64
U8
– 41,(67)
U8
= 22,(10)
U8
= | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |,| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
U2
2.(4p) Stosuj
ąc reguły arytmetyki resztowej oblicz reszty całkowite (dodatnie i ujemne)
(–33046
8
*331036
8
)
mod 77
8
={(–1)(46+30+3)(36+10+33)}
8
mod 77
8
={(–1)(+2)(+2)}
8
=–4
8
≡≡≡≡
73
8
(6–106
10
)*45153
10
mod 101
10
={(–100)(4–51+53)} mod 101
10
=(+1)(+6)=+6
≡≡≡≡
–95
10
(2p) Oblicz: 39
99
mod 21 =(39
mod 21)
99 mod 12
mod 21=(–3)
3
mod 21= 15 (
≡≡≡≡
–6)
8
–1
mod 13 = 5
3.(4p) Oblicz: z dokładno
ścią: do 4 cyfr znaczących
√
1, 1 0 0 0 1 1 1
2
= 1, 0 0 1 1
do 3 cyfr dziesi
ętnych
1
1
√
5 1, 2 4
= 7, 1 5
1 0
0
4 9
1 0 0 0
0
2 2 4
1 0 0 0 1 1
1 4 1
1 0 0 0 1
1
8 3 0 0
1 0 0 1 0 1 0
1
7 1 2 5
4.(4p) Wykonaj mno
Ŝenie pisemne liczb w kodzie U2 bez uŜycia rozszerzeń i metodą Bootha-McSorleya
0 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1
1 0 1 0 1
×
1 0 1 0 1
××××
1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 0 1
0 -1 0 -1 0 1
SD
1 0 0 0 0 0
1
1
1
1
1
1
1 0 1 0 1
0 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 1
1
1
0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1
5.(4p) Metod
ą nieodtwarzającą oblicz z dokładnością do 4 cyfr znaczących iloraz liczb danych w kodzie U2
1
0
1 0, 1
====
−−−−
D
X =
1, 0
1
1
1
:
0
1
0 1, 1
====
++++
D
k= -3
+D /– D
0
1
0 1, 1
0
0
0
1
0
0
q
0
= 1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
q
1
= 0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
q
2
= 0
0
1
0
1
1
Iloraz jest równy
0
0
1
0
1
q
3
= 1
Q = 1 , 1 1 1 0 0 1 . . .
6.(3p) Wyka
Ŝ, Ŝe jeśli k
≥≥≥≥
2, to liczby 3
2k
+1 i 3
k
–1 maj
ą wspólny podzielnik większy od 1.
NWP(3
2k
+1, 3
k
−
1) = NWP((3
k
+1) (3
k
−
1)+2, 3
k
−
1) = NWP(2, (3
−
1)(3
k-1
+3
k-2
+...+3+1)) = 2
/25
Imi
ę Nazwisko
nr indeksu
pkt
ocena
5
Arytmetyka – K1
25 listopada 2005
Janusz Biernat
10–3,0; 13–3,5; 16–4,0; 19–4,5; 21–5,0
1.(4p) Oblicz ró
Ŝnicę i zapisz ją w systemie U2, z obcięciem do 10 bitów części ułamkowej:
14
10
– 27,(21)
10
= – 13,(21)
10
=– 15,1544..
8
= | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |,| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
U2
14
U8
– 27,(21)
U8
= 764,(56)
U8
= | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |,| 1| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
U2
2.(4p) Stosuj
ąc reguły arytmetyki resztowej oblicz reszty całkowite (dodatnie i ujemne)
(–33046
8
*361033
8
)
mod 77
8
={(–1)(3+30+46)(36+10+33)}
8
mod 77
8
={(–1)(+2)(+2)}
8
=–4
8
≡≡≡≡
73
8
(1–103
10
)*45953
10
mod 101
10
={(–102)(4–59+53)} mod 101
10
=(–1)(–2)=+2
≡≡≡≡
–99
10
(2p) Oblicz: 68
125
mod 35 =(68
mod 35)
123 mod 24
mod 35=(–2)
5
mod 35= 3 (
≡≡≡≡
–32)
3
–1
mod 17 = 6
3.(4p) Oblicz: z dokładno
ścią: do 4 cyfr znaczących
√
0, 1 0 1 0 1 1 1
2
= 0, 1 1 0 1 0
do 3 cyfr dziesi
ętnych
1
1
√
6, 1 2 4
= 2, 4 7
1 1 0
4
1 0 1
1
2 1 2
0 1 1 1
0
1 7 6
0 1 1 1 1 0
3 6 4 0
1 1 0 0 1
1
3 4 0 9
4.(4p) Wykonaj mno
Ŝenie pisemne liczb w kodzie U2 bez uŜycia rozszerzeń i metodą Bootha-McSorleya
0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 1
×
1 0 0 1 1
××××
1 1 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1
0 -1 0 1 0 1
SD
0 1 0 1 0 1
1
1
1
1
1
1
1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0
1
1
1
1
1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1
1 0 1 0 1 1
1
1
0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
5.(4p) Metod
ą nieodtwarzającą oblicz z dokładnością do 4 cyfr znaczących iloraz liczb danych w kodzie U2
0, 1
0
1
1
====
−−−−
D
X =
1, 0
1
1
1
: 1, 0
1
0
1
====
++++
D
k= 0
+D /– D
0, 1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
q
0
= 0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
q
1
= 1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
q
2
= 1
0
1
0
1
1
Iloraz jest równy
0
0
1
0
1
q
3
= 0
Q = 0 , 1 1 0 . . .
6.(3p) Wyka
Ŝ, Ŝe jeśli k
≥≥≥≥
1, to liczby 2
3k
+1 i 2
k
+1 maj
ą mają wspólny podzielnik większy od 1
NWP(2
3k
+1, 2
k
+1) = NWP((2
k
+1) (2
2k
−
2
k
+1), 2
k
+1) = 2
k
+1
/25
Imi
ę Nazwisko
nr indeksu
pkt
ocena
6
Arytmetyka – K1
25 listopada 2005
Janusz Biernat
10–3,0; 13–3,5; 16–4,0; 19–4,5; 21–5,0
1.(4p) Oblicz ró
Ŝnicę i zapisz ją w systemie U2, z obcięciem do 10 bitów części ułamkowej:
27
10
– 14,(60)
10
= 12,(39)
10
= 14,3115..
8
= | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |,| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
U2
27
U8
– 14,(60)
U8
= 12,(17)
U8
= | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |,| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
U2
2.(4p) Stosuj
ąc reguły arytmetyki resztowej oblicz reszty całkowite (dodatnie i ujemne)
(–4CA2F
16
*936A
16
)
mod 0FF
16
={(–1)(4+CA+2F)(93+6A)}
16
mod FF
16
={(–1)(–2)(–2)}
16
=–4
≡≡≡≡
FB
16
(8–111
10
)*16058
10
mod 101
10
={(–103)(1–60+58)} mod 101
10
=(–2)(–1)=+2
≡≡≡≡
–99
10
(2p) Oblicz: 63
133
mod 22 =(63
mod 22)
133 mod 10
mod 22=(–3)
3
. mod 22= 17(
≡≡≡≡
–5)
7
–1
mod 17 = 5
3.(4p) Oblicz: z dokładno
ścią: do 4 cyfr znaczących
√
1, 1 0 1 0 1 1 1
2
= 1, 0 1 0 0
do 3 cyfr dziesi
ętnych
1
1
√
5 9 2 4
= 7 6, 9
1 0
0
4 9
1 0 1 0
1 0 2 4
1 0 0 1
1
8 7 6
1 1 1
0
1 4 8 0 0
1 1 1 1 0
0
1 3 7 6 1
4.(4p) Wykonaj mno
Ŝenie pisemne liczb w kodzie U2 bez uŜycia rozszerzeń i metodą Bootha-McSorleya
1 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 1
1 0 0 1 1
×
1 0 0 1 1
××××
0 1 0 1 1 1
1 1 0 1 1 1
0 1 1 0 0 -1
SD
1 1 0 1 1 1
0 1 1 0 1
1 0 0 0 0 0
1
1
1
1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0
1
1
1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 1
1
1
1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1
5.(4p) Metod
ą nieodtwarzającą oblicz z dokładnością do 4 cyfr znaczących iloraz liczb danych w kodzie U2
0, 1
0
1
1
====
−−−−
D
X =
1, 0
0
1
1
: 1, 0
1
0
1
====
++++
D
k= 1
+D /– D
0, 1 0
1
1
0
0
1
0
0
1
q
0
= 0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
q
1
= 1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
q
2
= 0
1
0 1
0
1
Iloraz jest równy
0
0 0
1
1
q
3
= 0
Q = 0 1 , 0 0 . . .
6.(3p) Wyka
Ŝ, Ŝe jeśli p> 1,q > 1), to liczba 2
pq
–1 nie jest liczb
ą pierwszą.
2
pq
−
1= (2
p
)
q
−
1=(2
p
−
1)[(2
p
)
q
−
1
+(2
p
)
q
−
2
+ ...+ (2
p
) + 1]