Arkusz 14: Ugięcia metody analityczne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Wytrzymałość elementów maszyn” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

Notatki do ćwiczeń z przedmiotu „Wytrzymałość elementów maszyn”

Notatki do ćwiczeń z przedmiotu „Wytrzymałość elementów maszyn”

Arkusz

Arkusz

14: Ugięcia metody analityczne

14: Ugięcia metody analityczne

1. Zależność między obciążeniem zewnętrznym, momentem zginającym (przekrojowym) a linią ugięcia.

Kąt obrotu przekroju poprzecznego w ugięciu.

Wyprowadzenie wzorów podane zostało na wykładach oraz może być znalezione w odpowiedniej
literaturze, np. w książkach: [1] i [2].

Najważniejsza zależność dotycząca przemieszczeń w belkach, które podlegają obciążeniu powodującemu powstanie sił
przekrojowych w postaci momentów zginających (M

y

(x)), może być zapisana poniższym wzorem:

d

2

w

( x)

dx

2

=

1

EI

y

M

y

( x)

gdzie: w(x) – oznacza linię ugięcia,

M

y

(x) – oznacza moment zginający (siła przekrojowa),

EI

y

– tzw. sztywność giętna, czyli iloczyn modułu Younga dla materiału i głównego centralnego momentu

bezwładności względem osi zginania.

Jeśli dodatkowo wiadomo, że obciążeniem zewnętrznym powodującym powstanie momentu zginającego jest obciążenie
poprzeczne rozłożone q

z

(x), to korzystając ze związku różniczkowego między tym obciążeniem i momentem:

d

2

M

y

(x)

dx

2

=

q

z

( x)

możemy przekształcić równanie określające linię ugięcia do następującej postaci:

d

4

w

(x)

dx

4

=

1

EI

y

q

z

(x)

.

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

1

Rysunek 1: Linia ugięcia i kąty obrotu przekroju poprzecznego w ugięciu

Arkusz 14: Ugięcia metody analityczne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Wytrzymałość elementów maszyn” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

O ile funkcja w(x) oznacza linię ugięcia belki, o tyle jej pierwsza pochodna, czyli w'(x) jest funkcją oznaczającą obrót
przekroju poprzecznego w płaszczyźnie zginania względem osi zginania (rysunek 1). Jest ona przyjmowana jako:

d w

(x)

dx

= tg ϕ(x)

⇒

dla małych

ϕ: tg ϕ≃ϕ

d w

(x)

dx

= ϕ(x)

.

Uwaga! Przytoczone tutaj równania różniczkowe wprowadzające zależności między momentem (obciążeniem) a linią
ugięcia są wyprowadzone dla przypadku zginania w płaszczyźnie XZ (dla M

y

). Wzory analogiczne, z dokładnością do

odpowiednich indeksów oraz znaków, można wyprowadzić także dla zginania w drugim kierunku (płaszczyzna XY, M

z

).

W trakcie obecnego kursu ugięcia będą wyznaczane tylko dla zginania w płaszczyźnie XZ (dla M

y

).

2. Wyznaczanie ugięć poprzez całkowanie wprost (metoda analityczna)

Korzystając z wprowadzonej wyżej zależności

d

2

w

( x)

dx

2

=

1

EI

y

M

y

( x)

można wyznaczać linię ugięcia, jeśli zna się

sposób podparcia konstrukcji oraz funkcję momentów zginających M

y

. Rozważa się wówczas każdy z przedziałów

charakterystycznych konstrukcji osobno, przyjmując kinematyczne warunki brzegowe na jednym lub obu końcach
przedziału do wyznaczenia stałych całkowania. Jeżeli przedziałów jest n, wówczas stałych całkowania do wyznaczenia jest
w tej metodzie 2n.

Kinematycznymi warunkami brzegowymi mogą być:

•

ugięcia – równe zero na podporach blokujących przesuw na kierunku prostopadłym do osi zginania,
lub o znanej / danej wartości (na podporze lub końcu swobodnym),

•

kąty obrotu przekroju poprzecznego w płaszczyźnie zginania – równe zero dla podpór z utwierdzeniem w
płaszczyźnie zginania lub o znanej / danej wartości (na podporze lub końcu swobodnym).

(W przypadku drugiego wzoru na ugięcia,

d

4

w

(x)

dx

4

=

1

EI

y

q

z

( x)

, należałoby także skorzystać ze statycznych warunków

brzegowych, czyli: siła tnąca i moment zginający na końcach przedziału. Tego typu rozwiązania nie będą wymagane
w czasie obecnego kursu).

W książce [2] na stronach 154-157 są rozwiązane przykłady (zadania w tekście, bez numeracji), w których
linia ugięcia jest wyznaczana analityczną metodą całkowania ze stałymi całkowania z warunków brzegowych.
Przykłady te obowiązują do przećwiczenia.
Oprócz tego należy rozwiązać zadania 10.1/ str. 116, 10.2/ str. 117, 10.5/ str. 120 z książki [3].

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

2

Arkusz 14: Ugięcia metody analityczne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Wytrzymałość elementów maszyn” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

3. Wyznaczanie ugięć poprzez całkowanie metodą Clebscha (metoda analityczna)

Metoda Clebscha jest również metodą polegającą na całkowaniu, jednak pozwala ona całkować konstrukcje belkowe
o wielu przedziałach charakterystycznych ograniczając całkowitą liczbę stałych całkowania do n=2.

Wyznaczenie linii ugięcia i kąta obrotu przekroju poprzecznego metodą Clebscha polega na tym, aby wypisując równanie
momentów w układzie (x,z), a następnie całkując je, zachować następujące zasady:

Zrozumienie tej metody jest najłatwiejsze, jeśli przeanalizuje się konkretny przykład. W książce [2] znajdują
się rozwiązane następujące przykłady, które należy przeanalizować: 12.2.1.1, 12.2.1.2. Oprócz tego należy
rozwiązać zadania 10.3/ str. 119, 10.4/ str. 119 z książki [3].

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

3

•

Początek układu (x,z) przyjmuje się na jednym z końców belki i zachowuje dla wszystkich przedziałów.

•

Wyznacza się rozkład momentów dokonując cięcia o normalnej zewnętrznej skierowanej zawsze w tę
samą stronę: przeciwnie do osi x lokalnego układu współrzędnych (czyli rozważa się zawsze obciążenia
zewnętrzne przyłożone do części I).

•

Wszystkie składniki i-tego przedziału powtarzają się w przedziale i+1.

•

Składnik funkcji momentu w danym przedziale charakterystycznym oddzielany jest od pozostałych
przedziałów pionową kreską. To, co znajduje się za nią (po prawej), dotyczy tylko następnych
przedziałów. To co znajduje się przed nią (po lewej) dotyczy wszystkich dotychczas opisanych
przedziałów z danym włącznie.

•

Każdy nowy składnik w przedziale i+1 zawiera mnożnik typu (x-a

i

)

m

, gdzie a

i

– odcięta początku

przedziału, m – odpowiednia potęga.

•

Jeśli obciążenie ciągłe w kończy się w pewnym

punkcie (nie ma go w przedziałach następnych),
wtedy przyjmuje się, że dane obciążenie jest
rozłożone do końca belki, zaś od tego punktu
przyłożone jest dodatkowe obciążenie, przeciwne do
pierwotnego.

•

Całkowanie dwumianu (x-a

i

)

m

odbywa się przez podstawienie u

i

=(x-a

i

).

•

Zapisując warunki brzegowe, wartość ugięcia lub kąta ugięcia w danym punkcie należy wyznaczyć na
podstawie tych części wzoru, które odpowiadają przedziałom charakterystycznym, do których należy
punkt podparcia.

Arkusz 14: Ugięcia metody analityczne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu „Wytrzymałość elementów maszyn” na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku „IMIM” w roku akademickim 2014/2015.

4. Wyznaczanie ugięć poprzez zamianę na belkę fikcyjną metoda Mohra (metoda grafoanalityczna)

Metoda Mohra opiera się na podobieństwie związków linii ugięcia z momentem oraz momentu z obciążeniem ciągłym.
Obydwa równania w sensie matematycznym przedstawiają ten sam problem – różniczkowe równanie jednorodne
drugiego rzędu:

d

2

w

(x)

dx

2

=

1

EI

y

M

y

( x)

~

d

2

M

y

(x)

dx

2

=

q

z

( x)

.

Można więc wyobrazić sobie, że jeśli znany jest wzór/kształt wykresu funkcji momentów rzeczywistych

M

y

(x)

,

to może on być potraktowany jako wzór pewnego fikcyjnego obciążenia ciągłego na pewnej fikcyjnej belce:

~

q

z

(x)=

M

y

( x)

EI

y

.

To fikcyjne obciążenie ciągłe spowoduje powstanie na fikcyjnej belce fikcyjnych momentów zginających

~

M

y

( x)

. Jeśli

ponownie wrócimy do podobieństwa dwóch równań różniczkowych, to można zauważyć, że fikcyjny moment na belce
fikcyjnej odpowiada ugięciom na belce rzeczywistej.

Pozostaje pytanie, w jaki sposób dobrać schemat statyczny belki fikcyjnej, tak aby operacje zamiany momentu i
obciążenia dały faktyczne ugięcia belki rzeczywistej. W zależności od sposobu podparcia w przedziałach
charakterystycznych zamienia się lub dodaje podpory. Schematy graficzne, w jaki sposób to robić można znaleźć w
literaturze, np. w książce [2] na stronie 163 lub w książce [3] na stronie 126. W tej samej książce na kolejnej stronie ([3],
str. 127) znajduje się także tabela niektórych charakterystyk figur geometrycznych przydatnych przy obliczaniu fikcyjnych
momentów zginających.

Algorytm postępowania w metodzie Mohra można zapisać w następujący sposób:

Również metodę Mohra najlepiej zrozumieć analizując się konkretny przykład. W książce [2] znajdują się
rozwiązane następujące przykłady, które należy prześledzić: 12.3.1.1 do 12.3.1.5. Oprócz tego należy
rozwiązać zadania 10.12/ str. 125, 10.13/ str. 128 z książki [3].

5. Podsumowanie

• Znajomość wzorów na ugięcia i kąt obrotu przekroju poprzecznego względem osi zginania.
• Znajomość metody całkowania wprost, metody Clebscha, metody Mohra i umiejętność wyznaczenia

przez te metody linii i kąta ugięcia dla całej konstrukcji oraz jej poszczególnych punktów.

• Umiejętność określenia warunków brzegowych powstających na podporach lub końcach przedziałów.

6. Literatura

[1] Piechnik S. "Mechanika techniczna ciała stałego", Wydawnictwo PK, Kraków 2007
[2] Bodnar A. „Wytrzymałość materiałów. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych”, wydanie drugie

poszerzone i poprawione, Kraków 2004, rozdział 12

© Copyright: Anna Stręk. Autorem arkusza jest Anna Stręk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu.

4

1. Dla danej belki rzeczywistej wyznaczyć rzeczywistą funkcję momentów.
2. Określić schemat belki fikcyjnej.
3. Obciążyć belkę fikcyjną fikcyjnym momentem.
4. Znaleźć równanie fikcyjnych momentów i sił poprzecznych, które przedstawiają funkcje ugięcia i kąta

ugięcia dla belki rzeczywistej.

5. Najczęściej dopiero na końcu obliczeń dokonuje się dzielenia przez sztywność giętną, przyjmując

wcześniej

~

~

q

z

(x)=M

y

(x)

.