zło
ż
enie odwzorowa
ń
Je
ż
eli
: , :
to
:
zdefiniowane
wzorem
nazywamy
zło
ż
eniem odwzorowa
ń
odwzorowanie odwrotne do zło
ż
enia
Niech
: , :
-bijekcje,
Dowód:
odwzorowanie odwrotne do danego
Niech
:
– bijekcja (warunek istnienia)
Odwzorowanie
:
takie,
ż
e
naz. odwrotnym do danego
moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych
,
, |
| |
|
|
·
| |
·
|
!
·
zespolon
ą
w postaci wykładniczej
|| · e
- posta
ć
wykładnicza funkcji zespolonej
||
– moduł liczby z,
e
- liczba Eulera,
- jednostka urojona
#
– argument ,
|
| · e
భ
· |
| · e
మ
|
| · |
| · e
భమ
cosinus i sinus zale
ż
no
ś
ci od fnc wykładniczej.
cos #
eകeషക
,
sin #
eക eషക
) e
cos # sin # ·
e
cos *# sin *# ·
+
Kiedy wektory e
1
,...e
n
nazywamy liniowo niezale
ż
nymi
gdy
,
, … , ,
. ∑ ,
e0
0 2 ,
. . . ,
0
α
1,2 α
4, *1 α
*2,3 0,0 , α
, α
, α
9
baza przestrzeni wektorowej Co ł
ą
czy dwie bazy
Baza przestrzeni wektorowej jest to zbiór wektorów
e0
, … , e0
liniowo niezale
ż
nych, które generuj
ą
dan
ą
przestrze
ń
. Dwie bazy tej samej przestrzeni maj
ą
t
ą
sam
ą
ilo
ść
elementów.
reprezentacj
ę
macierzow
ą
odwzorowania liniowego
Niech
:, ;
- przestrzenie wektorowe nad
<
,
e0
, … , e0
-
baza w
:
,
E>
, … , E>
- baza w
;
?: : ;
- odwzorowanie liniowe.
@ A1, … , BC ?e0
∑
E>
- Reprezentacja
macierzowa odwzorowania
?
w danych bazach:
D
.
.
E
iloczyn macierzy.
:, ;, F
- przestrzenie wektorowe,
e0
, … , e0
- baza w
:
,
E>
, … , E>
- baza w
;
,
ε0
, …, ε0
- baza w
F
?: : ;, H: ; F, H ? : : F
– odwz. liniowe,
– rep. odwzorowania
?
,
– rep. odwzorowania
H
H ? I H? I
, Niech
rep. mac. odwz.
H ?
@ A1, … , BC ?e0
∑
E>
A1, … , C H E>
∑
ε0
H ? e0
H J?e0
K H∑
E>
∑
H E>
∑
∑
ε0
∑ ∑
ε0
∑
ε0
∑
transpozycj
ę
iloczynu macierzy
-macierz
B L ,
-macierz
L M ·
·
Dowód:
· ,
∑
∑
∑
∑
wyznacznik iloczynu macierzy
Niech
,
- macierze
B L B
,
det · det · det
rozwini
ę
cie Laplace’a wyznacznika macierzy
Niech
- macierz
B L B
,
det ∑
gdzie
1, 2, … , B
,
*1
· P
- dopełnienie algebraiczne
elementu
,
P
– minor macierzy
macierz nieosobliwa
Macierz
ą
nieosobliw
ą
nazywamy macierz kwadratow
ą
,
której wyznacznik jest ró
ż
ny od zera. Aby sprawdzi
ć
czy
macierz jest nieosobliwa nale
ż
y policzy
ć
wyznacznik.
wzory Cramera
ೣ
ೖ
M 1, 2, … , B
,
B
- liczba niewiadomych
–
M
-ta niewiadoma ,
Q
– wyznacznik główny macierzy
kwadratowej, nieosobliwej ,
Q
ೖ
- Wyznacznik
otrzymany z wyznacznika głównego przez zast
ą
pienie w
nim
M
-tej kolumny kolumn
ą
wolnych wyrazów
elementy macierzy odwrotnej
Niech
- nieosobliwa macierz
B L B
,
ೕ
||
, @ 1, 2, … , B
gdzie
- element macierzy
rz
ę
dem macierzy, zwi
ą
zek z jej wymiarem
Rz
ę
dem macierzy
nazywamy wymiar najwi
ę
kszej
nieosobliwej podmacierzy kwadratowej
. Rz
ą
d to rz
ą
d
odwzorowania liniowego zwi
ą
zanego z t
ą
macierz
ą
.
wyznaczy
ć
rz
ą
d macierzy
- macierz
L B
(niezerowa, je
ś
li zerowa to
R 0
).
Liczymy podwyznaczniki macierzy
stopnia
M
dla
M minA , BC , … , 1
do momentu otrzymania warto
ś
ci
niezerowej. Za rz
ą
d przyjmujemy wymiar najwi
ę
kszej mac.
nieosobliwej b
ę
d
ą
cej podmacierz
ą
kwadratow
ą
.
twierdzenie Sylvestera
R · T min AU , R C
Kroneckera – Capelliego.
V
·
W
·
X
·
W
·
+ I 0
Powy
ż
szy układ ma co najmniej jedno rozwi
ą
zanie
R R Y
Dowód:
R R Y
kolumna
0
jest lin. zale
ż
na od
pozostałych
Z,
, … , ,
∑ ,
,
@ 1, … ,
∑ ,
@ 1, …,
- układ równa
ń
R [ R Y
kolumna
0
jest liniowo niezale
ż
na od
pozostałych
0
nie jest kombinacj
ą
liniow
ą
∑ ,
zadany układ równa
ń
nie ma rozwi
ą
zania
układ równa
ń
algebraicznych liniowych b
ę
dzie miał jedno
rozwi
ą
zanie dla ka
ż
dej kolumny wyrazów wolnych
V
·
W
·
X
·
W
·
+ I 0
Powy
ż
szy układ posiada rozwi
ą
zania
0 ; R
Dowód:
R R Y
- macierz
L B, Y
- macierz
L B 1
R T R Y T minA , B 1C T R R Y
R \ Z 0
dla którego
R Y ] R
nie ma rozw.
zwi
ą
zek mi
ę
dzy wyz. mac. a wyz. mac. odwrotnej
det · ^_`
1
·
Ι
wobec tego
det ·
det Ι 1
Z twierdzenia Cauchy’ego
det · det
1
det
transpozycj
ę
macierzy odwrotnej
·
Ι
·
Ι
Ι
Na transpozycj
ę
iloczynu:
·
Ι
forma dwuliniowa Co nazywamy jej repr. macierzow
ą
:, ;
- przestrzenie wektorowe nad ciałem
<
: : L ; <
nazywamy form
ą
dwuliniow
ą
gdy:
1° 0 ; c · , 0 c : <
jest form
ą
liniow
ą
2° I : c I, · c ; <
jest form
ą
liniow
ą
Reprezentacja macierzowa:
c : L : <,
e0
, … , e0
- baza w
:
,
I, 0 ∑
e0
, ∑
e0
∑ ∑
e0
, e0
∑ ∑
form
ę
dwuliniow
ą
nazywamy symetryczn
ą
(anty)
Form
ę
dwuliniow
ą
: : L : <
nazywamy form
ą
symetryczn
ą
je
ś
li
I, 0 : I, 0 0, I
,
antysymetryczn
ą
je
ś
li
I, 0 : I, 0 * 0, I
twierdzenie o rozkładzie macierzy na cz
ęść
sym/anty
gdzie
- macierz sym.,
- macierz anty.
Dowód:
,
*
*
iloczynu skalarnego
0 0 |0| · d >d · cos 0, 0
dla
0, 0 [ 0
0 0
Własno
ś
ci iloczynu skalarnego:
1° 0, 0, I 0 0 I 0 I 0 I
2° 0, 0
, 9
,0 0 ,0 0 0 ,0
3° 0, 0 0 0 0 0
4° 0 0 0 |0|
e 0
5° 0 0 0 0 0 0
6° 0, 0 0 0 0 0 0 h 0 0 h 0 i 0
iloczynu wektorowego
Mówimy,
ż
e iloczyn wektorowy wektorów niezerowych
0
i
0
jest równy
I
, je
ż
eli
1°
Kierunek wektora
I
, jest taki,
ż
e
I i 0
i
I i 0
2° |I| |0| · d >d · sin 0, 0
3°
Zwrot wektora
I
, jest tak dobrany, by trójka
0, 0, I
tworzył układ o orientacji zgodnej z układem
współrz
ę
dnych,
I 0 L 0
Je
ż
eli
0 00 h 0 00
to
I 00
Własno
ś
ci:
1° 0, 0, I 0 0 L I 0 L I 0 L I
2° 0, 0
, 9
,0 L 0 ,0 L 0 0 L ,0
3° 0, 0 0 L 0 *0 L 0
4° 0 0 L 0 00
5° 0 L 0 0 0 0 h 0 0 h 0 j 0
iloczynu mieszanego
0 L 0 I k
k
Własno
ś
ci:
1° 0 L 0 I * 0 L I 0 I L 0 0 0 L I 0
*0 L 0 I *I L 0 0
2° d0 L 0 Id l
(obj
ę
to
ść
równoległo
ś
cianu o
kraw
ę
dziach
0, 0, I
)
odległo
ść
punktu od płaszczyzny
^
| భ భ మ మ య య బ|
| |
odległo
ść
punktu
m n
, n
, n
od płaszczyzny
o
danej
równaniem
B
B
B
B
0
k
ą
t miedzy wektorami
Niech wektor
0
,
,
!
oraz
0
,
,
!
cos0, 0
ೣ"ೣ " "
# ೣమ మ మ#"ೣమ"మ"మ
k
ą
t miedzy płaszczyznami
Niech
o
c
p
0
,
o
c
p
0
cos #
q
q
