4.7. METODA PRZEMIESZCZEŃ. ZAPIS MACIERZOWY

Algorytm rozwiązania dowolnych schematów statycznych za pomocą metody przemieszczeń
można zapisać w postaci macierzowej. Wynika to przede wszystkim z jednolitego układu
podstawowego metody polegającego na blokowaniu obrotów i przemieszczeń wszystkich
węzłów swobodnych. Podejmowano także próby zautomatyzowania obliczeń za pomocą
metody sił, ale brak możliwości unifikacji budowania schematu podstawowego utrudnia, a
nawet uniemożliwia stworzenie podobnego algorytmu. Metoda przemieszczeń stała się więc
metodą powszechnie wykorzystywaną w programach komputerowych. Obliczenia polegają
na zestawieniu z danych problemu kilku macierzy wyjściowych, a następnie wykonaniu na
nich ściśle określonych działań macierzowych prowadzących do końcowego rozwiązania.
Możliwe jest utworzenie różnych wariantów obliczeń. W programach komputerowych
stosowane są algorytmy, w których elementy macierzy wyjściowych wyrażają się wprost
przez dane liczbowe opisujące schemat konstrukcji. W niniejszym rozdziale zostaną jedynie
zasygnalizowane podstawowe pojęcia i wzory umożliwiające zrozumienie zasady
wykorzystania zapisów macierzowych w obliczeniach. Tak jak w przypadku standardowej
metody przemieszczeń rozważania zostaną ograniczone do analizy układów pozbawionych
przegubów wewnętrznych.

Przed omówieniem algorytmu obliczeń zostaną przedstawione wzory umożliwiające

wyznaczenie sił przywęzłowych w przypadku pręta obustronnie utwierdzonego (Rys. 4.1a).
Należy zauważyć, że zwrot momentów podporowych przyjęto identycznie jak w
bezpośrednim ujęciu metody przemieszczeń, natomiast zwroty sił poprzecznych są zgodne
ze zwrotem osi y. Tak jak w przypadku standardowych obliczeń „ręcznych” pominięty będzie
wpływ sił podłużnych, a więc nie zostaną uwzględnione przemieszczenia poziome węzłów i
oraz k. W komputerowej wersji metody przemieszczeń wpływ ten jest brany pod uwagę, gdyż
w efekcie uzyskuje się bardziej zwarty i jednolity algorytm rozwiązania. Dalsza analiza
zostanie ograniczona do rozwiązań najprostszych przypadków, łatwych do porównania z
obliczeniami „ręcznymi”.

Rys. 4.1. Siły węzłowe w pręcie obustronnie utwierdzonym

Obliczenia wszystkich potrzebnych danych wyjściowych zazwyczaj wykonuje się w

identyczny sposób jak w p. 4.6, a więc wykorzystując równanie różniczkowe czwartego
rzędu. Na Rys. 4.1 przedstawiono siły węzłowe od jednostkowego przemieszczenia i obrotu
węzła i (Rys. 4.1b i c) oraz k (Rys. 4.1d i e). Konwencja znaków przemieszczeń i sił
węzłowych wynika z przyjętego lokalnego, związanego z elementem j układu osi xy
(Rys. 4.1a). W wyniku równoczesnego działania wszystkich przemieszczeń węzłów i oraz k,
siły przywęzłowe wyznacza się korzystając z zasady superpozycji:

2

6EJ

l

v

i

=1

3

12EJ

l

−

2

6EJ

l

b)

3

12EJ

l

2

6EJ

l

−

2

6EJ

l

−

v

k

=1

3

12EJ

l

3

12EJ

l

−

d)

a)

M

ik

i

k

V

ik

y

v

k

v

i

φ

k

φ

i

j

EJ

V

ki

x

M

ki

φ

k

=1

2EJ

l

2

6EJ

l

4EJ

l

2

6EJ

l

−

e)

φ

i

=1

2EJ

l

2

6EJ

l

−

4EJ

l

2

6EJ

l

c)

229

3

2

3

2

2

2

3

2

3

2

2

2

12

6

12

6

6

4

6

2

12

6

12

6

6

2

6

4

i

i

i

k

i

i

i

k

k

k

i

i

k

k

i

i

k

k

V

EJ

v

v

l

l

l

l

M

EJ

v

v

l

l

l

l

V

EJ

v

v

l

l

l

l

M

EJ

v

v

l

l

l

l

φ

φ

φ

φ

k

k

φ

φ

φ

φ

⎡

⎤

=

+

−

+

⎢

⎥

⎣

⎦

⎡

⎤

=

+

−

+

⎢

⎥

⎣

⎡

⎤

=

−

−

+

−

⎢

⎥

⎣

⎦

⎡

⎤

=

+

−

+

⎢

⎥

⎣

⎦

⎦

(0.1)

Te same siły przywęzłowe, w zapisie macierzowym, przy uwzględnieniu dodatkowo

zadanego obciążenia czynnego wywołującego reakcje

,

0

i

V

0

i

M

,

i

0

k

V

0

k

M

mają następującą

postać:

3

2

3

2

2

2

3

2

3

2

2

2

12

6

12 6

6

4

6 2

12

6 12

6

6

2

6 4

o

i

i

i

o

i

i

o

k

k

k

o

k

k

k

l

l

l

l

V

v

V

M

M

l

l

l

l

EJ

V

V

l

l

l

l

M

M

l

l

l

l

φ

φ

⎡

⎤

−

⎢

⎥

⎢

⎥

i

v

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡ ⎤

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥

=

⎢

⎥

+ ⎢ ⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥

⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣ ⎦ ⎣

⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎣

⎦

(0.2)

Reakcje podporowe z Rys. 4.1b, c, d i e są odpowiednio zapisane w kolejnych kolumnach
macierzy z równania (4.47). W tym miejscu warto przypomnieć, że iloczyn macierzy polega
na mnożeniu kolejnych elementów wierszy pierwszej macierzy przez elementy kolumny
macierzy drugiej. Działanie to można łatwo prześledzić porównując związki (4.46) i (4.47).

Związek (4.47) można zapisać w następujący ogólny sposób:

o

j

j

j

j

=

+

S

K D

S

(0.3)

gdzie pogrubionymi literami oznaczono macierze i wektory: oznacza wektor sił
węzłowych elementu j,

jest tzw. macierzą sztywności elementu j,

wektorem

przemieszczeń węzłów elementu j, a wektorem sił węzłowych od obciążenia
zewnętrznego.

j

S

j

K

j

D

o

j

S

Pierwszy człon związku (4.48) lub (4.47) przedstawia wpływ obrotów i przemieszczeń

węzłów na siły przywęzłowe, a więc są to odpowiednio dostosowane do zapisu
macierzowego wzory transformacyjne z Tabl. 4.6. Drugi człon równań (4.48) lub (4.47)
opisuje reakcje

,

oraz momenty przywęzłowe

o

i

V

o

k

V

o

i

M

,

o

k

M

od sił obciążających pręt.

Odpowiadają one momentom wyjściowym standardowej metody przemieszczeń (Tabl. 4.4 i
4.5).

Dla każdego wyodrębnionego elementu j konstrukcji, na podstawie równania (4.47)

można zdefiniować wektor przemieszczeń

, zapisać macierz sztywności

i obliczyć

wektor .

j

D

j

K

o

j

S

230

‰

Przykład 4.14.

Wyznaczyć siły wewnętrzne w ramie przedstawionej na Rys. 4.2a za pomocą zapisu
macierzowego metody przemieszczeń.

c)

b)

a)

A

B

C

20 kN/m

2 m

40 kN

4 m

EJ

2EJ

Rys. 4.2. Rama geometrycznie niewyznaczalna (opis w tekście)

1

2

3

1

2

y

x

y

2

2

Y

X

1

3

2

1

x

Obliczenia układu przedstawionego na Rys. 4.2a rozpoczynamy od wprowadzenia

numeracji węzłów i elementów (Rys. 4.2b).

Następnie przyjmujemy globalny układ osi, a więc układ związany z całym schematem

konstrukcji, oznaczony dużymi literami XY (Rys. 4.2b). Ponadto dla każdego pręta
wprowadzamy lokalny układ osi, oznaczony małymi literami xy, o początku w dowolnie
wybranym węźle elementu (Rys. 4.2c). Zwróćmy uwagę, że lokalne układy mają taką samą
skrętność (w tym przypadku zgodna z ruchem wskazówek zegara), jak układ globalny XY.

Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami, dla prętów 1 i 2 możemy zapisać wektory

przemieszczeń i

, odpowiadające wektorowi

ze związku (4.48):

1

D

2

D

j

D

(0.4)

{

{

}

1

12

12

21

21

2

23

23

32

32

T

T

v

v

v

v

φ

φ

φ

φ

=

=

D

D

}

]

gdzie litera T oznacza transpozycje.

Zwróćmy uwagę, że dla każdego pręta przyjęliśmy komplet przemieszczeń, pomijając

wpływ warunków brzegowych (węzeł 1 i 3) oraz brak przemieszczenia pionowego węzła 2.

Kolejnym krokiem obliczeniowym będzie zapisanie globalnych przemieszczeń węzłów

swobodnych . W ogólnym przypadku jest to wektor, w skład którego wchodzą wszystkie
nieznane przemieszczenia i obroty węzłów. Dla schematu statycznego z Rys. 4.2a wektor

∆

będzie miał następującą postać (Rys. 4.3a):

∆

[

1

1

1

2

2

T

u v

u

φ

φ

=

∆

Rys. 4.3a) Przemieszczenia i obroty węzłów, b) niezależne przemieszczenia, c) układ
podstawowy

b)

c)

u

φ

1

φ

1

φ

2

3

2

1

a)

u

1

φ

1

φ

1

φ

2

v

1

u

2

W rozwiązaniu pomijamy wpływ sił podłużnych (przyjmujemy, że pręty są nieściśliwe),

zatem

oraz

i wektor zredukuje się do trzech niezależnych przemieszczeń

(Rys. 4.3b) wg wzoru

1

2

u

u

u

=

=

1

0

v

=

∆

[

1

2

T

u

]

φ φ

=

∆

(0.5)

Wektor

odpowiada schematowi podstawowemu przedstawionemu na Rys. 4.3c.

Zgodnie z klasyczną wersją metody przemieszczeń, blokada węzła 3 (podpora przegubowo-

∆

231

przesuwna), z uwagi na obrót, nie jest konieczna. Jednak dzięki przyjęciu

2

φ

jako

niewiadomej metody, uzyskuje się bardziej zwarty algorytm rozwiązania.

Wektorowi globalnych przemieszczeń

odpowiada wektor związanych z nimi

obciążeń węzłowych

. Układ jest obciążony jedynie siłą poziomą w węźle 2, zatem

odpowiadającą kierunkowi przemieszczenia (Rys. 4.2a). Wektor będzie miał więc
następująca postać:

∆

R

1

u

R

(0.6)

{

0 0

T

P

=

R

}

W kolejnym kroku obliczeniowym, wykorzystując (4.47), wyznaczymy macierze

sztywności prętów

i

. Podstawiając dane z Rys. 4.2a otrzymamy:

1

K

2

K

1

3

3

3

3

2

2

2

2

3

3

2

1

2

2

3

3

3

3

2

2

2

2

3

3

1

2

2

2

EJ

⎡

⎤

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦

K

,

2

3

3

3

3

8

4

8

4

3

3

2

1

4

4

3

3

3

3

8

4

8

4

3

3

1

2

4

4

EJ

⎡

⎤

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦

K

(0.7)

Następnie zapiszemy wektory sił węzłowych

i od obciążenia prętów. Zgodnie z

Tabl. 4.4 oraz Rys. 4.4, siły węzłowe od obciążeń prętów będą miały następujące wartości:

1

o

S

2

o

S

,

1

0
0
0
0

o

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

S

2

40

80

3

40

80

3

o

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

= ⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

S

(0.8)

1

2

20 kN/m

0

80

3

80

3

−

40

−

0

0

0

40

−

Rys. 4.4. Siły węzłowe w elementach ramy

Dla każdego elementu j (j = 1, 2) utworzymy ponadto podwektor przemieszczeń

węzłowych

j

D

odpowiadający globalnemu przemieszczeniu układu

. Należy także

zbudować macierz transformacji

wiążącą odpowiednio wektory

z

∆

j

A

j

D

j

D

:

j

j

=

D

A D

j

(0.9)

Dla prętów z Rys. 4.2b wyznaczymy następujące zależności:

12

12

1

1

1

21

1

21

1

0

0 0

0

0 0
1 0
0 1

v

u

v

u

φ

φ

φ

φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎥ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=

⇒

=

=

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

D

A D

(0.10)

232

23

23

1

2

2

2

32

2

32

2

0

0 0
1 0

0

0 0
0 1

v

v

φ

1

φ

φ

φ

φ

φ

⎡

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤

⎢

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=

⇒

=

=

⎢ ⎥

⎢

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣ ⎦

⎣

⎦

D

A D

(0.11)

Z analizy powyższych związków wynika, że za pomocą wektorów

j

D

oraz macierzy

definiuje się przemieszczenia poszczególnych węzłów elementów. Tak więc, dla elementu 1
można zapisać następujące warunki brzegowe:

j

A

12

0

v

=

,

12

0

φ =

,

21

v

u

=

,

21

1

φ

φ

=

, a dla

elementu 2:

,

23

0

v

=

23

1

φ

φ

=

,

,

32

0

v

=

32

2

φ

φ

=

.

Ostatnim działaniem przygotowującym obliczenia macierzowe jest utworzenie tzw.

wektorów alokacji

, które identyfikują numery wierszy w globalnym wektorze

przemieszczeń układu z wektorami

j

t

∆

j

D

:

1

1

1

2

2

1

2

1

,

2

3

u

φ

φ

φ

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎡ ⎤

=

⇒

=

=

⇒

=

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎣ ⎦

D

t

D

t

2

(0.12)

Przykładowo pierwszy element wektora oznacza, że kąt obrotu

2

t

1

φ

(pierwsza składowa

wektora

2

D

) występuje na drugiej pozycji w wektorze .

∆

Dalsze obliczenia będą polegały na standardowych działaniach na utworzonych

macierzach. Nim je wykonamy, podsumujmy przedstawione powyżej działania w formie
ogólnego algorytmu obliczeń. Do wyznaczania sił wewnętrznych w dowolnym układzie
prętowym niezbędne są następujące działania:
1. Dyskretyzacja schematu konstrukcji: numeracja węzłów i prętów.
2. Wprowadzenie globalnego układu współrzędnych XY oraz lokalnych układów xy

związanych z każdym elementem j.

3. Przyjęcie niewiadomych geometrycznych definiujących wektor

∆

.

4. Określenie wektora obciążeń węzłowych bezpośrednio związanego z wektorem .

R

∆

5. Dla

każdego elementu j kolejno:

5a) obliczenie i zapisanie lokalnej macierzy sztywności

związanej z wektorami

i

(4.47),

j

K

j

D

j

S

5b) obliczenie wektora sił węzłowych wywołanych obciążeniem pręta,

o

j

S

5c) zdefiniowanie podwektora

j

D

w globalnym wektorze niewiadomych

∆

oraz budowa

macierzy

transformującej wektor

do podwektora

j

A

j

D

j

D

,

5d) zapisanie macierzy alokacji

przyporządkowującej elementy podwektora

j

t

j

D

odpowiednim pozycjom w wektorze przemieszczeń układu

∆

.

5e) obliczenie macierzy sztywności

j

K

oraz wektorów sił węzłowych

o

j

S

związanych z

wektorem

j

D

:

T

j

j

j

=

K

A K A

j

,

o

T

j

j

=

S

A S

o

j

(0.13)

6. Budowa globalnej macierzy sztywności

oraz globalnego wektora sił węzłowych od

obciążeń prętów

. Wymiary tych macierzy odpowiadają wymiarowi wektora . W

obliczeniach stosujemy zasadę agregacji sterowanej wektorami alokacji :

K

o

R

∆

j

t

j

j

=

∑

K

K

,

o

j

j

=

∑

R

S

(0.14)

7. Obliczenie wektora prawej strony układu równań:

o

= −

P R R

(0.15)

233

8. Rozwiązanie układu równań:

(0.16)

1

−

=

⇒

=

K∆

P

∆ K P

9. W celu wyznaczenia sił wewnętrznych dla każdego elementu j:
9a) wybranie z wektora

∆

podwektora

j

D

wg wektorów alokacji ,

j

t

9b) obliczenie wektora przemieszczeń

w układzie lokalnym elementu j:

j

D

j

j

=

D

A D

j

j

(0.17)

9c) obliczenie sił przywęzłowych:

o

j

j

j

=

+

S

K D

S

(0.18)

10. Narysowanie wykresu sił wewnętrznych.

Pominiemy wyprowadzenie wzorów występujących w powyższym algorytmie. Czytelnik

z łatwością znajdzie odpowiedni materiał w obszernej literaturze dotyczącej metod
komputerowych w mechanice budowli, np. [Chmielewski, 1996].

Pierwsze kilka kroków algorytmu, od punktu 1) do punkty 5d) już wykonaliśmy. Punkty

te wymagały szczegółowej analizy układu i obliczeń „ręcznych”. Pozostałe kroki rozwiązania
polegają na wykonaniu „mechanicznych” działań na macierzach, które można przeprowadzić
za pomocą wielu dostępnych programów komputerowych lub dla prostych schematów nawet
za pomocą kalkulatora z działaniami macierzowymi. Wzory (4.58) oraz (4.60)

÷ (4.63) są

standardowymi działaniami na macierzach. Jedynie agregacja globalnych wektorów i

(wzór 4.59) wymagają wyjaśnienia. Wykonajmy kolejne kroki algorytmu, od punktu 5e do 10.

K

o

R

Macierze sztywności prętów

1

K

i

2

K

otrzymamy przeprowadzając następujące mnożenie

macierzowe:

1

1

1

1

3

3

3

3

2

2

2

2

0 0

3

3

3

2

1

0 0 1 0

0 0

2

2

2

0 0 0 1

3

3

3

3 1 0

3

2

2

2

2

2

0 1

3

3

1

2

2

2

T

EJ

EJ

⎡

⎤

−

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎡ ⎤

3
2

2

⎡

⎤

⎢

⎥

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎡

⎤

⎢

⎥

=

=

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎢

⎥

⎣

⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦

K

A K A

(0.19)

2

2

2

2

3

3

3

3

8

4

8

4

0 0

3

3

2

1

0 1 0 0

1 0

2 1

4

4

0 0 0 1

3

3

3

3 0 0

1 2

8

4

8

4 0 1

3

3

1

2

4

4

T

EJ

EJ

⎡

⎤

−

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎡ ⎤

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎡

⎤

⎡

⎢

⎥

=

=

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢ ⎥

⎣

⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦

K

A K A

⎤

⎥

⎦

(0.20)

W podobny sposób obliczymy wektory :

o

j

S

1

1

1

0

0 0 1 0 0

0

0 0 0 1 0

0

0

o

T

o

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎡

⎤

⎡

⎢ ⎥

=

=

=

⎢

⎥

⎢

⎢ ⎥

⎣

⎦

⎣

⎢ ⎥

⎣ ⎦

S

A S

⎤

⎥

⎦

,

2

2

2

40

80

80

0 1 0 0

3

0 0 0 1

40

80

3

80

3

o

T

o

−

⎡

⎤

⎢

⎥

3

⎡

⎤

⎢

⎥

−

−

⎢

⎥

⎡

⎤ ⎢

⎥

=

=

= ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

S

A S

(0.21)

234

Następnie budujemy globalną macierz sztywności wykonując agregację macierzy

K

1

K

(4.64) i

2

K

(4.65) według wektorów alokacji i (4.57). Numery wektorów alokacji

przypisujemy odpowiednim wierszom i kolumnom lokalnych macierzy sztywności

1

t

2

t

j

K

:

2

1

1

1

11

12

1

1

1

21

22

3

3

2

2

3

2

2

k

k

EJ

EJ

k

k

⎡

⎤

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦

⎡

⎤

=

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

K

,

2

2

11

12

2

2

2

21

22

2 1

1 2

k

k

EJ

EJ

k

k

⎡

⎤

⎡

⎤

=

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

K

(0.22)

2

3

1

2

3

2

Zgodnie z tą numeracją kolejno dodajemy odpowiednie elementy lokalnych macierzy

sztywności

1

K

i

2

K

do globalnej macierzy sztywności . Wymiar macierzy

K

odpowiada

wymiarowi wektora zdefiniowanego w (4.50) i wynosi

3

K

∆

3

×

:

1

1

11

12

1

1

2

2

1

2

21

22

11

12

2

2

21

22

3

3

3

3

0

0

2

2

2

2

0

3

3

2 2 1

4 1

2

2

0

0

1

2

0

1 2

k

k

EJ k

k

k

k

EJ

EJ

k

k

⎡

⎤

⎡

−

−

⎤

⎢

⎥

⎢

⎡

⎤

⎥

⎢

⎥

⎢

⎢

⎥

⎥

⎢

⎥

⎢

=

+

=

+

=

−

+

=

−

⎢

⎥

⎥

⎢

⎥

⎢

⎢

⎥

⎥

⎢

⎥

⎢

⎣

⎦

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

K K

K

⎦

(0.23)

W powyższym wzorze przez oznaczono element z macierzy sztywności

j

ik

k

ik

k

j

K

elementu j.

Specyficzne sumowanie macierzy wykonane w równaniu (4.68) nazywamy agregacją.

W podobny sposób, wykorzystując wektory alokacji

t

i

t

, wykonujemy agregację

wektora

:

1

2

o

R

1

11

1

2

1

2

22

11

2

22

0

0

80

80

0

3

80

80

3

3

o

o

o

s

s

s

s

3

⎡

⎤ ⎡

⎤

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎡

⎤ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

=

+

=

+

=

−

= −

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦ ⎣

⎦

R

S

S

(0.24)

Następnie obliczamy wektor prawych stron :

P

0

40

40

80

80

0

3

3

0

80

80

3

3

o

⎡

⎤ ⎡

⎤

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎡ ⎤ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢ ⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

= −

=

− −

=

⎢ ⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢ ⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣ ⎦

⎢

⎥ ⎢

⎥

−

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦ ⎣

⎦

P R R

(0.25)

W ten sposób zbudowaliśmy wszystkie potrzebne macierze pozwalające na rozwiązanie

układu równań:

-1

7

1

1

200

40

6

2

4

3

1

1

1

1

80

1

40

2

2

4

3

100

1

1 5

80

3

4

4 8

3

EJ

EJ

⎡

⎤ ⎡

⎤

−

⎡

⎤

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⇒

=

−

=

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥ ⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

⎣

⎦

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎣

⎦

⎣

⎦

K∆ = P

∆ = K P

(0.26)

gdzie macierz

jest odwrotna do macierzy .

1

−

K

K

235

Zgodnie z przedstawionym algorytmem, w celu wyznaczenia sił wewnętrznych dla

elementów 1 i 2 należy wykonać kilka działań. Najpierw wybieramy z wektora (4.71)
podwektory

∆

1

D

i

2

D

wg wektorów alokacji i (4.57):

1

t

2

t

1

2

200

40

1

1

,

3

100

40

3

EJ

EJ

⎡

⎤

⎡

⎢

⎥

⎢

=

=

⎢

⎥

⎢−

⎢

⎥

⎢

⎣

⎦

⎣

D

D

⎤

⎥

⎥

⎥⎦

(0.27)

Następnie obliczamy wektory przemieszczeń

1

D

i

2

D

elementów w układach lokalnych,

wykorzystując następujące zależności:

1

1

1

2

2

2

0

0

0 0

0 0

200

0

40

40

0 0

1 0

1

1

1

1

,

3

200

100

0

1 0

0 0

40

3

3

100

0 1

0 1

40

3

EJ

EJ

EJ

EJ

⎡

⎤

⎡

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

=

=

=

=

=

=

⎢

⎥

⎢

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

⎢

⎥

⎢

⎣

⎦

⎣

D

A D

D

A D

⎤

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥⎦

(0.28)

Wyznaczenie wektorów sił przywęzłowych i

S

wykonujemy na podstawie równania

(4.63):

1

S

2

1

1

1

1

3

3

3

3

2

2

2

2

0

0

40

3

3

0

2

1

0

60

1

2

2

200

3

3

3

3

0

40

3

2

2

2

2

0

20

40

3

3

1

2

2

2

o

EJ

EJ

⎡

⎤

−

⎢

⎥

⎡

⎤

⎢

⎥

−

⎡ ⎤ ⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢ ⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢ ⎥ ⎢

⎥

=

+

=

+

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

−

⎢ ⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢ ⎥ ⎢

⎥

⎣ ⎦ ⎣

⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦

S

K D

S

(0.29)

2

2

2

2

3

3

3

3

40

8

4

8

4

0

35

80

3

3

40

2

1

20

1

3

4

4

0

3

3

3

3

40

45

100

8

4

8

4

80

0

3

3

3

3

1

2

4

4

o

EJ

EJ

⎡

⎤

−

⎢

⎥

−

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

=

+

=

+

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎣

⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦ ⎢

⎥

⎣

⎦

⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦

S

K D

S

(0.30)

Wykresy sił wewnętrznych rysujemy podobnie jak w przypadku standardowych obliczeń

„ręcznych”. Przywęzłowe siły poprzeczne uzyskaliśmy bezpośrednio z rozwiązania – ich
wartości można odczytać z wektorów

S

(4.74) i

S

(4.75). Gdybyśmy w algorytmie

rozwiązania uwzględnili siły podłużne, ich wartości także uzyskalibyśmy w sposób
automatyczny, czyli wykonując standardowe działania macierzowe. Jednakże z powodu
zastosowania uproszczonego algorytmu obliczeń, siły podłużne należy wyznaczyć tak jak w
przypadku obliczeń „ręcznych” analizując równowagę sił w węźle 2. Nie opisując szczegółów
tych obliczeń, na Rys. 4.5 przedstawiono ostateczne wykresy sił wewnętrznych.

1

2

M

[kN]

N

V

[kN]

[kN

⋅m]

35

35

45

40

20

50,6

20

60

Rys. 4.5. Wykresy sił wewnętrznych

236