1. Zbadać monotoniczność ciągu:

(a) a

n

=

n

4

n

(odp: a

n

&)

(b) a

n

= 2

n

− n (odp: a

n

%)

(c) a

n

=

n + 3

n(n + 1)(n + 2)

(odp: a

n

&)

(d) a

n

=

6

n

n!

(odp: a

n

&)

(e) a

n

=

3

n

3

n

+ 4

(odp: a

n

%)

(f) a

n

= ln(n!) (odp: a

n

%)

2. Obliczyć granice ciągów:

(a) lim

n→∞

(2n

3

+ 1)

5

n

9

(2n + 1)

6

(odp:

1
2

)

(b) lim

n→∞

(3n − 2)

3

(2n − 1) (5n + 2)

(odp: +∞)

(c) lim

n→∞



1 − 4n

4n + 3



2015

(odp: −1)

(d) lim

n→∞

√

4n + 1 +

√

n

√

n + 3

(odp:

1
3

)

(e) lim

n→∞



n

2

−

√

n

4

+ n



(odp: 0)

(f) lim

n→∞



√

4

n

+ 1 −

√

4

n

+ 2

n+1



(odp: 1)

(g) lim

n→∞



n − 1

n + 3



n

(odp: e

−4

)

(h) lim

n→∞



2n − 1

n + 3



n

(odp: +∞)

(i) lim

n→∞



n − 1

2n + 3



n

(odp: 0)

(j) lim

n→∞

(n + 1)

2n

(n

2

+ 1)

n

(odp: e

2

)

(k) lim

n→∞

(n + 2)!

n

2

n! + 2n(n + 1)!

(odp:

1
3

)

(l) lim

n→∞

n

√

2

n

+ ln n (odp: 2)

(m) lim

n→∞

n

q

1 +

√

n (odp: 1)

(n) lim

n→∞

4

n

− (−1)

n

4

n−2

− cos

2

n

(odp: 16)

3. Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać

zbieżność szeregu:

(a)

∞

X

n=1

2n + 1

4

n

(zb.)

(b)

∞

X

n=1

(2n)!

n!(n + 1)!

(rozb.)

(c)

∞

X

n=1

n

n

n!

(rozb.)

(d)

∞

X

n=1



2

n + 2



n

(zb.)

4. Korzystając z kryterium Cauch’ego zbadać

zbieżność szeregu:

(a)

∞

X

n=1

5n

4

n

(zb.)

(b)

∞

X

n=1

n



2

π



n

2

(zb.)

(c)

∞

X

n=1



3n + 1

2n + 3



2n

(rozb.)

(d)

∞

X

n=1

5

√

n

(0, 9)

n

(rozb.)

(e)

∞

X

n=1

n

2n

(2n

2

+ 1)

n

(zb.)

5. Korzystając z kryterium porównawczego lub ilo-

razowego zbadać zbieżność szeregu:

(a)

∞

X

n=1

1

3

√

n

2

+ 4

(rozb.)

(b)

∞

X

n=1

1

√

4

n

+ 1

(zb.)

(c)

∞

X

n=1

n! + 1

(n + 1)!

(rozb.)

(d)

∞

X

n=1

cos

2

n

n

2

+ sin

2

n

(zb.)

(e)

∞

X

n=1

2

n

√

9

n

− 7

(zb.)

6. Zbadać zbieżność bezwzględną i warunkową sze-

regu:

(a)

∞

X

n=1

(−n)

2n

(n

3

+ 1)

n

(zb. bzw.)

(b)

∞

X

n=1

(−1)

n

√

4n + 1

(zb. war.)

(c)

∞

X

n=1

(−1)

n

n

n

2

+ 1

(zb. war.)

(d)

∞

X

n=1

(−0, 1)

n

n

(zb. bzw.)

(e)

∞

X

n=1

(2n)!

(−2)

n

n!

(rozb.)