M0/II - 03

WIELOMIENY ORTOGONALNE

WIELOMIANY CZEBYSZEWA

1. Utwórz wielomiany Czebyszewa do 8 stopnia włącznie

a) wykorzystaj poniższy wzór





































2

1

2

2

1

d

d

!

!

1

2

1

)

1

(

)

(

n

n

n

n

n

x

x

n

x

x

T

b) wykorzystaj poniższy związek rekurencyjny

)

(

)

(

2

)

(

1

1

x

T

x

xT

x

T

n

n

n









wskazówka: zadaj dwa pierwsze wielomiany

x

x

T

x

T





)

(

,

1

)

(

1

0

c) wykorzystaj komendę T dostępną z pakietu orthopoly

2. Sprawdź warunek ortogonalności tworząc macierz o współczynnikach

8

...

,

0

,

,

)

(

)

(

)

(

1

1

1

,

1













j

i

dx

x

w

x

T

x

T

a

j

i

j

i

gdzie funkcja wagowa

2

1

1

)

(

x

x

w





3. Wykreśl 5 pierwszych wielomianów w jednym układzie współrzędnych.

WIELOMIANY HERMITE’A

1. Utwórz wielomiany Hermite’a do 8 stopnia włącznie

a) wykorzystaj poniższy wzór

 

 

2

2

e

d

d

e

1

)

(

x

n

n

x

n

n

x

x

H







b) wykorzystaj poniższy związek rekurencyjny

)

(

2

)

(

2

)

(

1

1

x

nH

x

xH

x

H

n

n

n









wskazówka: zadaj dwa pierwsze wielomiany

x

x

H

x

H

2

)

(

,

1

)

(

1

0





c) wykorzystaj komendę H dostępną z pakietu orthopoly

2. Sprawdź warunek ortogonalności tworząc macierz o współczynnikach

8

...

,

0

,

,

)

(

)

(

)

(

1

,

1

















j

i

dx

x

w

x

H

x

H

a

j

i

j

i

gdzie funkcja wagowa

2

e

)

(

x

x

w





3. Wykreśl 5 pierwszych wielomianów w jednym układzie współrzędnych.

WIELOMIANY LAGUERRE’A

1. Utwórz wielomiany Laguerre’a do 8 stopnia włącznie

a) wykorzystaj poniższy wzór





n

x

n

n

x

n

x

x

n

x

L





e

d

d

e

!

1

)

(

b) wykorzystaj poniższy związek rekurencyjny

)

(

1

)

(

1

1

2

)

(

1

1

x

L

n

n

x

L

n

x

n

x

L

n

n

n

















wskazówka: zadaj dwa pierwsze wielomiany

1

)

(

,

1

)

(

1

0









x

x

L

x

L

c) wykorzystaj komendę L dostępną z pakietu orthopoly

2. Sprawdź warunek ortogonalności tworząc macierz o współczynnikach

8

...

,

0

,

,

)

(

)

(

)

(

0

1

,

1













j

i

dx

x

w

x

L

x

L

a

j

i

j

i

gdzie funkcja wagowa

x

x

w

-

e

)

(



3. Wykreśl 5 pierwszych wielomianów w jednym układzie współrzędnych.