1 

 

DIAGONALIZACJA MACIERZY 

Przygotowanie i wyprowadzenie treści zadania 

Przykładowa macierz A 

     

    
    

  

Której wyznacznik jest równy 1 

 

    
    

                 

Dopełnienia algebraiczne potrzebne do obliczenia macierzy 

odwrotnej 

 

  

      

   

        

 

  

      

   

           

 

  

      

   

         

 

  

      

   

            

 

 

   

 

 

     

  

 

 

 

   

    
    

  

Macierz odwrotna 

 

  

 

 

   

   

 

 

 

 
 

   

    
    

     

    
    

  

2 

 

Sprawdzenie poprawności macierzy odwrotnej 

     

  

   

    
    

     

    
    

     

   
   

  

Wynikiem jest macierz jednostkowa więc wynik jest poprawny 

Proponujemy macierz diagonalną 

     

    

 

 

  

Wyprowadzenie macierzy dla zadania 

         

  

   

    
    

     

    

 

 

     

    
    

     

    
 

 

     

    
    

 

   

       
  

   

  

 

ZADANIE 

Diagonalizacja zadanej macierzy 

 

       
  

   

  

Poszukiwanie wartości własnych – wyznaczenie wielomianu 

charakterystycznego 

  

      

    

  

       

                                    

                       

 

          

 

        

Równanie charakterystyczne 

3 

 

 

 

            

                                 

       

Wartości własne 

 

 

 

     

 

 

 
 

    

 

 

 

     

 

 

  

 

     

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona 

 

       
  

   

 

 

   

       
  

   

         

   
   

 

   

       
  

   

     

       
  

   

     

       
  

   

     

   
   

 

   

       
  

   

     

       
  

   

     

   
   

     

   
   

      

Poszukiwanie wektorów własnych 

 

       
  

   

     

 
          

 
   

 

       
  

   

     

 
          

 
  

   

 
 

  

  

       
  

   

     

   
   

      

 
  

   

 
 

  

 

       
  

   

     

 
           

 
   

 

       
  

   

     

 
          

 
  

   

 
 

  

  

       
  

   

     

   
   

      

 
  

   

 
 

  

4 

 

 

       
  

   

     

 
      

 
 

  

               

              

 

       
  

   

     

 
      

 
 

  

               

              

 

Układy równao jednorodnych 

Ponieważ równania są identyczne jedno usuwamy 

              

              

          

   

  
  

   

 
 

  

              

              

          

   

  
  

   

 
 

  

 

Podstawiamy przykładowo 

      

      

      

      

      

      

 

Sprawdzenie poprawności 

 

       
  

   

     

 
 

         

 
 

  

 

  

 

     

  

 

  

 

       
  

   

     

 
 

          

 
 

  

 

  
  

     

  
  

  

 

5 

 

Sprawdzenie poprawności zadania