Poprawkowe kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”
WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 1 sem., r. ak. 2010/2011
1. [7p.] Wyznaczyć macierz odwrotną A
−1
(o ile istnieje) do macierzy
A =
1 1 1
1 1 2
1 2 3
2. [7p.] a) Obliczyć det(B · B
T
) dla
B
T
=
"
0
−1 2 1
−1
1
0 2
#
[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7p.] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań
λx + y + 2z = 1
x + λy + 2z = 1
x + y + 2λz = 1
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy osobliwej trójkątnej górnej i macierzy nieosobliwej
diagonalnej stopnia co najmniej trzeciego.
4. [7p.] Znaleźć równanie płaszczyzny π przechodzącej przez początek układu współrzędnych i
prostopadłej do dwóch płaszczyzn π
1
: 2x − y + 5z − 3 = 0 i π
2
: x + 3y − z − 7 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] a) a) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę
Z
C
dz
z
2
(z + 3i)
,
gdzie C jest okręgiem |z + 3i| = 1 zorientowanym dodatnio.
[2p.] b) Wyznaczyć
3
√
1 − i. Otrzymane pierwiastki zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej.
6. [7p.] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a
F (s) =
13s + 26
s
3
+ 4s
2
+ 13s
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a oryginału f (t) = e
t
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Dane są wektory ~a = [3, −2, 1], ~b = [1, 2, 1], ~c = [−1, 4, 3]. Obliczyć
[(~b ◦ ~c)(2~c × ~a)] ◦ [(~a − ~b) × (~a + ~c)].
