5.3. Całki oznaczone w sensie Newtona – Leibniza
Definicje
Niech f będzie funkcją ciągła w przedziale domkniętym [a, b].
•
Całką oznaczoną
dx
)
x
(
f
b
a
∫
funkcji f w przedziale [a, b], w sensie Newtona –
Leibniza, nazywamy liczbę równą róŜnicy F(b)
−
F(a) wartości funkcji pierwotnej
funkcji f.
Symbolicznie:
),
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
−
=
∫
gdzie F
)
x
(
f
)
x
(
'
=
.
RóŜnicę F(b)
−
F(a) piszemy krótko
[
]
b
a
x
F
)
(
•
O funkcji y = f(x), dla której istnieje
∫
b
a
dx
x
f
)
(
mówimy, Ŝe jest całkowalna w [a, b].
Praktyczna reguła
•
Aby obliczyć całkę oznaczoną
dx
)
x
(
f
b
a
∫
wystarczy obliczyć:
a) całkę nieoznaczoną
∫
dx
x
f
)
(
= F(x) + c,
b) wartości F(b), F(a) funkcji pierwotnej F :
c) róŜnicę F(b)
−
F(a).
•
Pamiętaj: całka oznaczona jest liczbą, całka nieoznaczona – rodziną funkcji.
Przykłady
a)
1
0
4
1
0
3
4
1
=
∫
x
dx
x
=
4
1
−
0 = 0,25.
b)
∫
b
a
x
dx
=
[ ]
b
a
x
ln
= ln a – ln b = ln
b
a
, dla a > 0, b > 0.
c)
∫
π
π
2
cos xdx
=
[ ]
π
π
2
sin x
= sin
π
- sin
2
π
= 0 – 1 = – 1.
d) Oblicz
dx
)
1
x
4
x
3
(
1
0
2
+
−
∫
=
Obliczenia pomocnicze
∫
(3x
2
– 4x +1)dx = x
3
– 2x + x + c
= [ x
3
– 2x + x + c
1
0
]
=
= ( 1 – 2 + 1) – ( 0 – 2
⋅
0 + 0) = 0.
e)
dx
x
x
x
)
1
6
(
3
2
4
2
2
3
−
+
−
∫
−
=
4
2
3
5
3
4
5
3
2
4
−
−
+
−
x
x
x
x
= –71,25+
5
3
(8
3
2
+1).
Twierdzenia
Zakładamy, Ŝe występujące w całkach funkcje są ciągłe w [a, b].
a)
∫
b
a
dx
x
kf
)
(
= k
∫
b
a
dx
x
f
)
(
, dla k
≠
0,
b)
∫
+
b
a
dx
x
g
x
f
)]
(
)
(
[
=
∫
b
a
dx
x
f
)
(
+
∫
b
a
dx
x
g
)
(
,
całka sumy funkcji
c)
∫
−
b
a
dx
x
g
x
f
)]
(
)
(
[
=
∫
b
a
dx
x
f
)
(
–
∫
b
a
dx
x
g
)
(
,
całka róŜnicy funkcji
d)
∫
b
a
dx
x
f
)
(
=
∫
c
a
dx
x
f
)
(
+
∫
b
c
dx
x
f
)
(
, gdzie c
∈
(a, b); zob. rysunek
addytywność całki względem przedziału całkowania
e)
∫
b
a
dx
x
f
)
(
= –
∫
a
b
dx
x
f
)
(
.
zamiana granic całkowania
Twierdzenie
JeŜeli funkcja f : t
→
f(t) jest ciągła i funkcja g: x
→
g(x) jest róŜniczkowalna na [b, c],
złoŜenie funkcji g z f jest funkcją ciągłą oraz
β
= g(b),
γ
= g(c),
to
∫
c
b
dx
x
g
x
g
f
)
(
'
)]
(
[
=
∫
γ
β
dt
t
f
)
(
(wzór na całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych)
Przykłady
a)
∫
+
−
7
2
1
5
3
dx
x
x
-
dx
x
x
∫
+
−
7
2
1
6
2
=
dx
x
x
x
x
)
1
6
2
1
5
3
(
7
2
+
−
−
+
−
∫
=
∫
+
+
7
2
1
1
dx
x
x
=
∫
7
2
dx
= 5.
2. Oblicz
∫
−
3
ln
0
dx
xe
x
.
Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych, mamy:
∫
−
3
ln
0
dx
xe
x
=
∫
−
−
3
ln
0
'
)
(
dx
e
x
x
=
[
]
3
ln
0
)
(
x
e
x
−
−
−
∫
−
−
3
ln
0
dx
e
x
=
= (- ln3) e
- ln3
−
0 +
∫
−
3
ln
0
dx
e
x
=
−
3
1
ln 3 +
[ ]
3
ln
0
x
e
−
−
=
=
−
3
1
ln 3
−
3
1
−
e
0
=
−
3
1
(1 + ln 3 )
−
1.
Zadania do samodzielnego rozwiązywania
Zadanie 1. Oblicz całkę
dx
)
x
(
f
b
a
∫
, jeśli:
a) f(x) = 2x
1
a
,
5
x
4
x
=
−
+
, b = 4; b) f(x) = 3
−
2e
x
6
x
+
, a = 0 , b =1;
c) f(x) = 2sin x
−
cosx + 1, a = 0,b =
π
; d) f(x ) =
7
x
3
x
4
−
+
, a = 1 , b = e;
e) f(x) = 3x
x
2
x
5
2
+
−
, a = 1, b = 4.
Zadanie 2. Oblicz:
a)
∫
3
1
4xdx , b)
∫
−
−
1
2
3
8 dx
x
, c)
∫
−
+
−
0
1
3
)
3
4
1
(
dx
x
x
, d)
∫
−
−
1
1
)
3
2
(
6
dx
x
x
,
e)
∫
+
−
π
π
2
)
sin
3
cos
4
1
(
dx
x
x
, f)
∫
−
−
4
1
1
3
dx
x
, g)
∫
−
−
2
1
dx
e
x
, h)
∫
−
+
1
0
1
2
)
1
(
dx
x
.
Zadanie 3. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych,
oblicz:
a)
∫
π
0
sin xdx
x
, b)
∫
e
xdx
1
2
ln
, c)
∫
3
0
5xarctgdx .
Zadanie 4. Stosując podane podstawienie, oblicz:
a)
∫
+
1
0
2
1
2
x
x
dx , t
2
= 1+x
2
; b)
∫
1
0
2
4
x
xe
dx , t = x
2
; c)
∫
2
0
cos
sin
π
x
x
dx , t =sin x ;
d)
∫
−
−
0
1
5
4
x
xdx
, t
2
= 4
−
5x; e)
∫
+
3
0
3
2
5
x
dx
x
, t
2
= 5+x
3
; f)
∫
+
1
0
3
x
x
e
dx
e
, t = 3+e
x
.
Zadanie 5. Stosując odpowiednie podstawienie, oblicz:
a)
∫
+
π
0
sin
1
cos
x
xdx
, b)
∫
+
−
2
1
2
3
)
2
(
x
dx
x
x
, c)
∫
+
−
−
2
1
2
7
3
)
3
2
(
x
x
dx
x
, d)
∫
−
12
4
3
5
x
x
dx .
Odpowiedzi
Zad. 1.: a) 69,8: b) 10
−
2e; c) 3+
π
; d) 12,5
−
7e –1,5e
2
; e)
3
164
.
Zad. 2.: a) 16; b) 30 ; c) ½ ; d) 8 ; e)
π−
6 ; f)
−
6 ; g) e
−
2
1
e
; h)
4
π
.
Zad. 3.: a)
π
; b) e – 2; c)
3
2
5
3
10
−
π
.
Zad. 4.: a)
∫
2
1
2
2 dt
t
=
)
1
2
2
(
3
2
−
; b) 2
∫
1
0
t
e
dt = 2(e – 1) ; c)
∫
1
0
t
dt = ½ ;
d) – ½
∫
−
3
2
2
)
4
(
dt
t
=
6
7
; e)
∫
2
2
5
3
2
t
dt
=
4
,
0
2
ln
3
2
; f)
∫
+
e
t
dt
3
4
= ln
4
3 e
+
.
Zad. 5.: a) 0 ; b) 15 ln(1,25) – 3,5 ; c) 0 ; d) 744 .