5.3. Całki oznaczone w sensie Newtona – Leibniza

Definicje

Niech f będzie funkcją ciągła w przedziale domkniętym [a, b].

•

Całką oznaczoną

dx

)

x

(

f

b

a

∫

funkcji f w przedziale [a, b], w sensie Newtona –

Leibniza, nazywamy liczbę równą różnicy F(b)

−

F(a) wartości funkcji pierwotnej

funkcji f.

Symbolicznie:

),

(

)

(

)

(

a

F

b

F

dx

x

f

b

a

−

=

∫

gdzie F

)

x

(

f

)

x

(

'

=

.

Różnicę F(b)

−

F(a) piszemy krótko

[

]

b
a

x

F

)

(

•

O funkcji y = f(x), dla której istnieje

∫

b

a

dx

x

f

)

(

mówimy, że jest całkowalna w [a, b].

Praktyczna reguła

•

Aby obliczyć całkę oznaczoną

dx

)

x

(

f

b

a

∫

wystarczy obliczyć:

a) całkę nieoznaczoną

∫

dx

x

f

)

(

= F(x) + c,

b) wartości F(b), F(a) funkcji pierwotnej F :

c) różnicę F(b)

−

F(a).

•

Pamiętaj: całka oznaczona jest liczbą, całka nieoznaczona – rodziną funkcji.

Przykłady

a)

1

0

4

1

0

3

4

1













=

∫

x

dx

x

=

4

1

−

0 = 0,25.

b)

∫

b

a

x

dx

=

[ ]

b
a

x

ln

= ln a – ln b = ln

b

a

, dla a > 0, b > 0.

c)

∫

π

π

2

cos xdx

=

[ ]

π

π

2

sin x

= sin

π

- sin

2

π

= 0 – 1 = – 1.

d) Oblicz

dx

)

1

x

4

x

3

(

1

0

2

+

−

∫

=

Obliczenia pomocnicze

∫

(3x

2

– 4x +1)dx = x

3

– 2x + x + c

= [ x

3

– 2x + x + c

1

0

]

=

= ( 1 – 2 + 1) – ( 0 – 2

⋅

0 + 0) = 0.

e)

dx

x

x

x

)

1

6

(

3

2

4

2

2

3

−

+

−

∫

−

=

4

2

3

5

3

4

5

3

2

4

−















−

+

−

x

x

x

x

= –71,25+

5

3

(8

3

2

+1).

Twierdzenia

Zakładamy, że występujące w całkach funkcje są ciągłe w [a, b].

a)

∫

b

a

dx

x

kf

)

(

= k

∫

b

a

dx

x

f

)

(

, dla k

≠

0,

b)

∫

+

b

a

dx

x

g

x

f

)]

(

)

(

[

=

∫

b

a

dx

x

f

)

(

+

∫

b

a

dx

x

g

)

(

,

całka sumy funkcji

c)

∫

−

b

a

dx

x

g

x

f

)]

(

)

(

[

=

∫

b

a

dx

x

f

)

(

–

∫

b

a

dx

x

g

)

(

,

całka różnicy funkcji

d)

∫

b

a

dx

x

f

)

(

=

∫

c

a

dx

x

f

)

(

+

∫

b

c

dx

x

f

)

(

, gdzie c

∈

(a, b); zob. rysunek

addytywność całki względem przedziału całkowania

e)

∫

b

a

dx

x

f

)

(

= –

∫

a

b

dx

x

f

)

(

.

zamiana granic całkowania

Twierdzenie

Jeżeli funkcja f : t

→

f(t) jest ciągła i funkcja g: x

→

g(x) jest różniczkowalna na [b, c],

złożenie funkcji g z f jest funkcją ciągłą oraz

β

= g(b),

γ

= g(c),

to

∫

c

b

dx

x

g

x

g

f

)

(

'

)]

(

[

=

∫

γ

β

dt

t

f

)

(

(wzór na całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych)

Przykłady

a)

∫

+

−

7

2

1

5

3

dx

x

x

-

dx

x

x

∫

+

−

7

2

1

6

2

=

dx

x

x

x

x

)

1

6

2

1

5

3

(

7

2

+

−

−

+

−

∫

=

∫

+

+

7

2

1

1

dx

x

x

=

∫

7

2

dx

= 5.

2. Oblicz

∫

−

3

ln

0

dx

xe

x

.

Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych, mamy:

∫

−

3

ln

0

dx

xe

x

=

∫

−

−

3

ln

0

'

)

(

dx

e

x

x

=

[

]

3

ln

0

)

(

x

e

x

−

−

−

∫

−

−

3

ln

0

dx

e

x

=

= (- ln3) e

- ln3

−

0 +

∫

−

3

ln

0

dx

e

x

=

−

3

1

ln 3 +

[ ]

3

ln

0

x

e

−

−

=

=

−

3

1

ln 3

−

3

1

−

e

0

=

−

3

1

(1 + ln 3 )

−

1.

Zadania do samodzielnego rozwiązywania

Zadanie 1. Oblicz całkę

dx

)

x

(

f

b

a

∫

, jeśli:

a) f(x) = 2x

1

a

,

5

x

4

x

=

−

+

, b = 4; b) f(x) = 3

−

2e

x

6

x

+

, a = 0 , b =1;

c) f(x) = 2sin x

−

cosx + 1, a = 0,b =

π

; d) f(x ) =

7

x

3

x

4

−

+

, a = 1 , b = e;

e) f(x) = 3x

x

2

x

5

2

+

−

, a = 1, b = 4.

Zadanie 2. Oblicz:

a)

∫

3

1

4xdx , b)

∫

−

−

1

2

3

8 dx

x

, c)

∫

−

+

−

0

1

3

)

3

4

1

(

dx

x

x

, d)

∫

−

−

1

1

)

3

2

(

6

dx

x

x

,

e)

∫

+

−

π

π

2

)

sin

3

cos

4

1

(

dx

x

x

, f)

∫

−

−

4

1

1

3

dx

x

, g)

∫

−

−

2

1

dx

e

x

, h)

∫

−

+

1

0

1

2

)

1

(

dx

x

.

Zadanie 3. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych,

oblicz:

a)

∫

π

0

sin xdx

x

, b)

∫

e

xdx

1

2

ln

, c)

∫

3

0

5xarctgdx .

Zadanie 4. Stosując podane podstawienie, oblicz:

a)

∫

+

1

0

2

1

2

x

x

dx , t

2

= 1+x

2

; b)

∫

1

0

2

4

x

xe

dx , t = x

2

; c)

∫

2

0

cos

sin

π

x

x

dx , t =sin x ;

d)

∫

−

−

0

1

5

4

x

xdx

, t

2

= 4

−

5x; e)

∫

+

3

0

3

2

5

x

dx

x

, t

2

= 5+x

3

; f)

∫

+

1

0

3

x

x

e

dx

e

, t = 3+e

x

.

Zadanie 5. Stosując odpowiednie podstawienie, oblicz:

a)

∫

+

π

0

sin

1

cos

x

xdx

, b)

∫

+

−

2

1

2

3

)

2

(

x

dx

x

x

, c)

∫

+

−

−

2

1

2

7

3

)

3

2

(

x

x

dx

x

, d)

∫

−

12

4

3

5

x

x

dx .

Odpowiedzi

Zad. 1.: a) 69,8: b) 10

−

2e; c) 3+

π

; d) 12,5

−

7e –1,5e

2

; e)

3

164

.

Zad. 2.: a) 16; b) 30 ; c) ½ ; d) 8 ; e)

π−

6 ; f)

−

6 ; g) e

−

2

1

e

; h)

4

π

.

Zad. 3.: a)

π

; b) e – 2; c)

3

2

5

3

10

−

π

.

Zad. 4.: a)

∫

2

1

2

2 dt

t

=

)

1

2

2

(

3

2

−

; b) 2

∫

1

0

t

e

dt = 2(e – 1) ; c)

∫

1

0

t

dt = ½ ;

d) – ½

∫

−

3

2

2

)

4

(

dt

t

=

6

7

; e)

∫

2

2

5

3

2

t

dt

=

4

,

0

2

ln

3

2

; f)

∫

+

e

t

dt

3

4

= ln

4

3 e

+

.

Zad. 5.: a) 0 ; b) 15 ln(1,25) – 3,5 ; c) 0 ; d) 744 .