Rozdział 6

Rozdział 6

Nośność elementów żelbetowych

Nośność elementów żelbetowych

prostokątnych poddanych skręcaniu,

prostokątnych poddanych skręcaniu,

zginaniu i ścinaniu

zginaniu i ścinaniu

Model kratownicy przestrzennej

Model kratownicy przestrzennej

D

D

bi

bi

– wypadkowa sił w krzyżulcach betonowych na boku ‘

– wypadkowa sił w krzyżulcach betonowych na boku ‘

i

i

’,

’,

α

α

i

i

– kat nachylenia krzyżulców betonowych na boku ‘

– kat nachylenia krzyżulców betonowych na boku ‘

i

i

’,

’,

s

s

– rozstaw strzemion,

– rozstaw strzemion,

F

F

j

j

= b

= b

j

j

×

×

h

h

j

j

– wymiary rdzenia poprzecznego,

– wymiary rdzenia poprzecznego,

a

a

i

i

– wysokość boki ‘i’, Z

– wysokość boki ‘i’, Z

s2

s2

=A

=A

s2

s2

×

×

f

f

y

y

- siła w prętach górnych w chwili

- siła w prętach górnych w chwili

zniszczenia,

zniszczenia,

Z

Z

s1

s1

=A

=A

s1

s1

×

×

f

f

y

y

- siła w prętach dolnych w chwili zniszczenia,

- siła w prętach dolnych w chwili zniszczenia,

Z

Z

a

a

=f

=f

s

s

×

×

f

f

y

y

s

s

- siła w strzemionach w chwili zniszczenia,

- siła w strzemionach w chwili zniszczenia,

T

T

i

i

– strumień sił ścinających jako rezultat ścinania [kN/m]

– strumień sił ścinających jako rezultat ścinania [kN/m]

Główne założenia:

Główne założenia:

- przekrój jest stały,

- przekrój jest stały,

- moment skręcający jest przenoszony tylko przez zewnętrzną

- moment skręcający jest przenoszony tylko przez zewnętrzną

skorupę betonową (czyli przez przekrój skrzynkowy),

skorupę betonową (czyli przez przekrój skrzynkowy),

- wszystkie pręty podłużne zbrojenia są sprowadzone do 4 naroży,

- wszystkie pręty podłużne zbrojenia są sprowadzone do 4 naroży,

- pomija się pracę betonu na rozciąganie oraz przenoszenie ścinania

- pomija się pracę betonu na rozciąganie oraz przenoszenie ścinania

przez pręty podłużne,

przez pręty podłużne,

- pręty rozciągane mają kierunek wkładek zbrojenia, a krzyżulce

- pręty rozciągane mają kierunek wkładek zbrojenia, a krzyżulce

betonowe ściskane są nachylone pod pewnym kątem na

betonowe ściskane są nachylone pod pewnym kątem na

poszczególnych ścianach,

poszczególnych ścianach,

- strefa ściskana, która jest prostokątna może być usytuowana przy

- strefa ściskana, która jest prostokątna może być usytuowana przy

jednym z boków,

jednym z boków,

- środek strefy ściskanej znajduje się w osi strzemion,

- środek strefy ściskanej znajduje się w osi strzemion,

- belka nie jest przezbrojona (naprężenia w zbrojeniu osiągają

- belka nie jest przezbrojona (naprężenia w zbrojeniu osiągają

granicę plastyczności),

granicę plastyczności),

- zniszczenie belki nie następuje przez efekty uboczne (np. przez

- zniszczenie belki nie następuje przez efekty uboczne (np. przez

poślizg zbrojenia, wyłupywanie naroży).

poślizg zbrojenia, wyłupywanie naroży).

2

scinanie

i

j

Q

T

h

=

2

skrecanie

T

i

j

M

T

F

=

,

cot

sin

s

i

i

si

i

bi

bi

Z

Z

s

D

D

α

α

α

=

=

sin

i i

i

bi

T a

D

α

=

tan

s

i

i

Z

s

T

α =

2

cos

i

i

bi

i

s

T a s

D

Z

α

=

2

2

T

L

j

j

M

Q

T

F

h

=

+

2

2

T

P

j

j

M

Q

T

F

h

=

−

,

2

T

D G

j

M

T

F

=

,

,

Nośność elementu

Nośność elementu

 

 

Najmniejsza dodatnia wartość wyznaczona z 3 równań

Najmniejsza dodatnia wartość wyznaczona z 3 równań

równowagi sumy momentów sił względem osi C-C dla 3

równowagi sumy momentów sił względem osi C-C dla 3

przypadków występowania strefy ściskania stanowi nośność.

przypadków występowania strefy ściskania stanowi nośność.

 

 

3 warunki równowagi wyglądają następująco:

3 warunki równowagi wyglądają następująco:

s1

y

j

bL

L

j

bD

D

j

bP

P

j

M

A f h

0.5D cos

h

0.5D cos

h

0.5D cos

h

0

α

α

α

−

+

−

−

−

=

s2 y j

bL

L j

bG

G j

bP

P j

M A f h 0.5D cos h 0.5D cos h 0.5D cos h

0

α

α

α

− +

+

+

+

=

s1

s2

y j

s2 y j

bG

G j

bD

D j

bP

P j

0.5( A

A ) f b

A f h 0.5D cos

h 0.5D cos

h 0.5D cos b

0

α

α

α

+

+

−

−

−

=

Po wstawieniu zależności na

Po wstawieniu zależności na

D

D

b

b

cos

cos

α

α

otrzymuje się 3 powierzchnie

otrzymuje się 3 powierzchnie

interakcji

interakcji

2

s2

s2

T

n

n

n

T

s1

s1

A

A

M

M

Q

(

)

(

)

1

M

M

A

Q

A

+

+

=

2

2

s1

T

n

n

n

s2

T

A

M

M

Q

(

)

(

)

1

M A

M

Q

−

+

+

=

j

2

2

s1

T

T

n

n

n

n

T

T

j

j

s2

h

A

M

2QM

Q

(

)

)

(

)

0.5(

1)

M

Q M

b

h

Q

A

+

+

=

+

+

n

s1 y j

M

A f h

=

s

s

s2 y y

s y

n

T

j

j

j

j

A f f

f f

M

2F

2F

ctg

( b

h )s

s

α

=

=

+

s

s

s2 y y

s y

n

j

j

j

A f f

f f

Q

2h

2h

ctg

h s

s

α

=

=

s2 y

s

j

j

s y

A f s

ctg

( b

h ) f f

α =

+

Najekonomiczniejsze

Najekonomiczniejsze

zbrojenie otrzymuje

zbrojenie otrzymuje

się w miejscu

się w miejscu

przecięcia 3

przecięcia 3

powierzchni

powierzchni

interakcji

interakcji

Zakłada się, że uplastycznienie zbrojenia podłużnego i poprzecznego

Zakłada się, że uplastycznienie zbrojenia podłużnego i poprzecznego

występuje w przypadku, gdy

występuje w przypadku, gdy

s1

s 2

y

s

j

j

s y

( A

A ) f s

0.7 ctg

1.5

2( b

h ) f f

α

+

=

Ł

Ł

+

Wady modelu są następujące:

Wady modelu są następujące:

- nie można obliczyć naprężeń,

- nie można obliczyć naprężeń,
-

nie można obliczyć bezpośrednio powierzchni zbrojenia,

nie można obliczyć bezpośrednio powierzchni zbrojenia,

-

- nie uwzględnia się deplanacji krzyżulców betonowych

- nie uwzględnia się deplanacji krzyżulców betonowych

.

.

Model kratownicy na płaszczyźnie według Kuyta (1972)

Model kratownicy na płaszczyźnie według Kuyta (1972)

s

s2 y y

j

j

n

T

j

j

j

j

b1

b2

h

A f f

2( b

h ) 4

M

2F

( b

h )s 2h ( n

n

2n )

+

×

=

+

+

+

gdzie

gdzie

n

n

b1

b1

– ilość prętów na boku górnym,

– ilość prętów na boku górnym,

n

n

b2

b2

– ilość prętów na boku dolnym,

– ilość prętów na boku dolnym,

n

n

h

h

– ilość prętów na boku pionowym.

– ilość prętów na boku pionowym.

Dla zbrojenia skoncentrowanego w narożach:

Dla zbrojenia skoncentrowanego w narożach:

s

s2 y y

j

j

n

T

j

j

j

j

A f f

2( b

h )

M

2F

( b

h )s

4h

+

=

+

Wypadkowa siła tnąca

Wypadkowa siła tnąca

T

T

j

j

j

j

M

M

Q

h

( 1 m )h

2F

2

2F

±

=

±

j j

T

Qb h

m

M

=

Istnieją 2 krzywe interakcji

Istnieją 2 krzywe interakcji

2

2

s 2

T

n

n

s1

T

A

M ( 1 m )

M

(

)

(

)

1

A

M

M

+

+

=

2

s1

T

n

n

T

s2

MA

M ( 1 m )

(

)

1

M

M A

+

−

=

s

s1

s2

y s y

j

j

n

T

j

j

j

j

( A

A ) f f f

2( b

h )

M

2F

2( b

h )s

4h

+

+

=

+

+

n

s1 y j

M

A f h

=

Obliczenie zbrojenia

Obliczenie zbrojenia

T

s2 y

j

j

M ( 1 m ) M

A f

h

h

ψ

+

=

−

T

s1 y

j

j

M

M

A f

b

h

ψ

=

+

s

s y

T

j

f f

M ( 1 m )

1

s

2F

ψ

+

=

0.8

1.25

ψ

Ł Ł

s

s1

s2

y s y

j

j

j

j

( A

A ) f f f

2( b

h )

ctg

2( b

h )s

4h

ψ

α

+

+

=

=

+

Model przekroju przestrzennego

Model przekroju przestrzennego

Schematy zniszczenia w modelu przekroju przestrzennego

Schematy zniszczenia w modelu przekroju przestrzennego

(Collins 1968)

(Collins 1968)

Wzory na nośność wyprowadza się dla każdego schematu

Wzory na nośność wyprowadza się dla każdego schematu

zniszczenia z równań równowagi sił zewnętrznych i

zniszczenia z równań równowagi sił zewnętrznych i

wewnętrznych względem osi

wewnętrznych względem osi

d-d

d-d

.

.

 

 

Założenia ‘a’, ‘d’, ‘e’, ‘g’, ‘h’, ‘i’, ‘j’ dla modelu kratownicy

Założenia ‘a’, ‘d’, ‘e’, ‘g’, ‘h’, ‘i’, ‘j’ dla modelu kratownicy

przestrzennej obowiązują także dla modelu przekroju

przestrzennej obowiązują także dla modelu przekroju

przestrzennego. Dodatkowo pomija się zbrojenie w strefie

przestrzennego. Dodatkowo pomija się zbrojenie w strefie

ściskanej. Strefa ściskania jest nachylona pod katem

ściskanej. Strefa ściskania jest nachylona pod katem

θ

θ

do

do

płaszczyzny prostopadłej do osi podłużnej elementu. Rysa jest

płaszczyzny prostopadłej do osi podłużnej elementu. Rysa jest

nachylona pod takim samym katem na wszystkich bokach.

nachylona pod takim samym katem na wszystkich bokach.

Zaletą modelu jest fakt, że schemat ziszczenia jest zbliżony do

Zaletą modelu jest fakt, że schemat ziszczenia jest zbliżony do

rzeczywistego

rzeczywistego

. Natomiast wadą jest przyjecie stałego kąta

. Natomiast wadą jest przyjecie stałego kąta

nachylenia rysy na poszczególnych bokach.

nachylenia rysy na poszczególnych bokach.

Schemat I (strefa ściskana na boku górnym)

Schemat I (strefa ściskana na boku górnym)

 

 

Warunek równowagi względem osi

Warunek równowagi względem osi

d-d

d-d

wygląda następująco (pomija się

wygląda następująco (pomija się

moment od sił

moment od sił

Z

Z

s

s

h

h

):

):

b

s

T

1

1

a

1 j

j

1 j

Z

M sin

N cos

Z cos h

b sin h

s

θ

θ

θ

θ

+

=

+

Wartość kąta

Wartość kąta

θ

θ

1

1

oblicza się z warunku

oblicza się z warunku

T

1

dM

0

d

θ

=

1

2

1

1 2 p

1

tan

K

r

K

θ

+

=

+

−

s

s y

n

n

T

j

1

2

f f

2r

1

1 2 p

1

M

M (

)(

) 2F

tan

1 2 p

K

r

K

s

β

+

=

+

−

=

+

1

1

b

tan

tan

b 2h

β

θ

=

+

T

M

K

M

=

n

a1 y j

M

A f h

=

h

p

b

=

s1

s1 y

Z

A f

=

s

s

s y

Z

f f

=

s

s y

j j

n

f f b h

r

s

M

=

Schemat II (strefa ściskana na boku dolnym)

Schemat II (strefa ściskana na boku dolnym)

 

 

Warunek równowagi względem osi

Warunek równowagi względem osi

d-d

d-d

wygląda

wygląda

następująco (pomija się moment od sił

następująco (pomija się moment od sił

Z

Z

s

s

h

h

)

)

b

s

T

2

2

s2

2 j

j

2 j

Z

M sin

M cos

Z cos h

b sin h

s

θ

θ

θ

θ

−

=

+

T

2

dM

0

d

θ

=

2

2

2

1

1 2 p

1

tan

R

K

r

K

θ

+

=

+

+

n

n

T

2

2

2r

1

1 2 p

1

M

M (

)(

R

)

1 2 p

K

r

K

+

=

+

+

+

2

2

b

tan

tan

b 2h

β

θ

=

+

n

s 2

2

2

n

s1

Z

M

R

M

Z

=

=

T

M

K

M

=

n

s1 y j

M

A f h

=

h

p

b

=

s1

s1 y

Z

A f

=

s

s

s y

Z

f f

=

s

s y

j j

n

f f b h

r

s

M

=

. (6.39)

Schemat III (strefa ściskana na boku

Schemat III (strefa ściskana na boku

pionowym)

pionowym)

 

 

Warunek równowagi względem osi

Warunek równowagi względem osi

d-d

d-d

wygląda następująco

wygląda następująco

(pomija się moment od sił

(pomija się moment od sił

Z

Z

s

s

h

h

):

):

h

j

s1

s2

s

T

3

3

3 j

j

3 j

b

( Z

Z )

Z

M sin

Q cos

cos b

h sin b

2

2

s

θ

θ

θ

θ

+

+

=

+

T

3

dM

0

d

θ

=

3

3

4r

tan

R

1 2 / p

θ =

+

n

n

T

3

j

M

4r

M

R

1 b / 2e

1 2 / p

=

+

+

3

3

b

tan

tan

b 2h

β

θ

=

+

s1

s2

j

3

s1 j

0.5( Z

Z )b

R

Z h

+

=

T

M

K

M

=

n

s1 y j

M

A f h

=

h

p

b

=

s1

s1 y

Z

A f

=

s

s

s y

Z

f f

=

T

M

e

Q

=

s

s y

j j

n

f f b h

r

s

M

=

, (6.44)

,

,

,

, (6.48)

Najmniejsza wartość

Najmniejsza wartość

M

M

T

T

n

n

dla 3 schematów zniszczenia jest

dla 3 schematów zniszczenia jest

nośnością danego elementu.

nośnością danego elementu.

Stosunek zbrojenia poprzecznego do podłużnego powinien

Stosunek zbrojenia poprzecznego do podłużnego powinien

być równy

być równy

s

s y

s1

f f b

2

b

0.5

( 1

) 1.5

A

s

K 2h b

+

Ł

Ł

+

aby doszło do uplastycznienie w zbrojeniu

aby doszło do uplastycznienie w zbrojeniu

.

.

Model kinematyczny (Elfgren 1979)

Model kinematyczny (Elfgren 1979)

Przyjmuje się, ze istnieją 2 główne rysy ABC i DEF. Prawa połowa

Przyjmuje się, ze istnieją 2 główne rysy ABC i DEF. Prawa połowa

belki obraca się dookoła osi AD. Obrót jest możliwy, jeżeli oś AD jest

belki obraca się dookoła osi AD. Obrót jest możliwy, jeżeli oś AD jest

równoległa do przekątnej CF.

równoległa do przekątnej CF.

Model kinematyczny (Elfgren 1979)

Model kinematyczny (Elfgren 1979)

s

s

s

z

s1

o

D j

D

L j

L

P j

P

Z

Z

Z

L

Z

X

ctg

b Y

0.5

ctg h Y

0.5

ctg

h Y

s

s

s

α

α

α

=

∆

+

∆

+

∆

+

∆

w

T

L

( M Qa )

sin

M

sin

ϕ

θ

ϕ

θ

=

+

∆

+

∆

Praca sił zewnętrznych równa się

Praca sił wewnętrznych jest równa

s

T

L

j j

j

Z

M

Q

ctg

(

) /

2b h

2h

s

α =

+

s

T

P

j j

j

Z

M

Q

ctg

(

) /

2b h

2h

s

α =

+

s

T

D

j j

Z

M

ctg

(

) /

2b h

s

α =

2

2

T

T

n

n

n

T

M

M

Q

(

)

(

)

M

M

Q

+

+

n

s1

y

j

M

A f h

=

s

s1 y s y

n

T

j

j

j

A f f f

M

2F

( b

h )s

=

+

s

s1 y s y

n

j

j

A f f f

Q

2h

h s

=

Otrzymuje się ostatecznie

Otrzymuje się ostatecznie

Przykład obliczenia porównawczego nośności zbrojenia dla 2
belek żelbetowych

Zbrojenie 2 przykładowych belek żelbetowych

Prostokątna belka ‘1’ (0.3

×

0.5 m

2

)

f

y

=360 MPa, f

y

s

=288 MPa, f

c

=11.5 MPa,

F

j

=0.24

×

0.44=0.1056 m

2

, u

j

=2(0.24+0.44)=1.36 m,

A

s1

/A

s2

=1.56, A

s1

+As

2

=16.1 cm

2

,

ξ

=A

s1

/bd=0.73%.

Prostokątna belka ‘2’ (0.3

×

0.45 m

2

)

f

y

=360 MPa, f

y

s

=288 MPa, f

c

=11.5 MPa,

F

j

=0.24

×

0.39=0.0936 m

2

, u

j

=2(0.24+0.39)=1.26 m,

A

s1

/A

s2

=4.84, A

s1

+As

2

=9.2 cm

2

,

ξ

=A

s1

/bd=0.63%.

Nośność obliczono:

Nośność obliczono:

- metodą oddzielnego obliczenia nośności na skręcanie, ścinanie i

- metodą oddzielnego obliczenia nośności na skręcanie, ścinanie i

zginanie (‘

zginanie (‘

a

a

’),

’),

- metodą kratownicy przestrzennej (‘

- metodą kratownicy przestrzennej (‘

b

b

’),

’),

-

metodą kratownicy na płaszczyźnie wg Kuyta (1972) (‘

metodą kratownicy na płaszczyźnie wg Kuyta (1972) (‘

c

c

’),

’),

-

metodą przekroju przestrzennego (‘

metodą przekroju przestrzennego (‘

d’

d’

).

).

Dla przypadku ‘

Dla przypadku ‘

a

a

’ wykorzystano następujące wzory

’ wykorzystano następujące wzory

n

s1

y

j

M

A f h

=

s1

s2

y

j

n

T

j

( A

A ) f 2F

M

u

+

=

s

s1 y

j

n

T

f f 2F

M

s

=

s

s2 y

j

n

f f 2h

Q

s

=

,

Obliczenie zbrojenia wg. Kuyta (1972

Obliczenie zbrojenia wg. Kuyta (1972

):

):

Belka żelbetowa ‘

Belka żelbetowa ‘

1

1

’

’

M

M

T

T

n

n

=50 kNm,

=50 kNm,

M

M

n

n

=80 kNm,

=80 kNm,

Q

Q

n

n

=60 kN

=60 kN

A

A

s2

s2

=4.27 cm

=4.27 cm

2

2

,

,

A

A

s1

s1

=12.28 cm

=12.28 cm

2

2

,

,

A

A

s2

s2

+

+

A

A

s1

s1

=16.55 cm

=16.55 cm

2

2

> 16.1 cm

> 16.1 cm

2

2

F

F

s

s

=1.06 cm

=1.06 cm

2

2

< 1.13 cm

< 1.13 cm

2

2

.

.

Belka żelbetowa ‘

Belka żelbetowa ‘

2

2

’

’

M

M

T

T

n

n

=30 kNm,

=30 kNm,

M

M

n

n

=30 kNm,

=30 kNm,

Q

Q

n

n

=30 kN

=30 kN

A

A

s2

s2

=3.5 cm

=3.5 cm

2

2

,

,

A

A

s1

s1

=6.5 cm

=6.5 cm

2

2

,

,

A

A

s2

s2

+

+

A

A

s1

s1

=9.98 cm

=9.98 cm

2

2

> 9.17 cm

> 9.17 cm

2

2

F

F

s

s

=0.72 cm

=0.72 cm

2

2

< 0.785 cm

< 0.785 cm

2

2

.

.

Obliczenie momentu skręcającego, momentu zginającego oraz

Obliczenie momentu skręcającego, momentu zginającego oraz

siły ścinania dla 2 przykładowych belek żelbetowych

siły ścinania dla 2 przykładowych belek żelbetowych

Metoda

M

T

n

[kNm]

M

n

[kNm]

Q

n

[kN]

M

T

n

[kNm]

M

n

[kNm]

Q

n

[kN]

‘a’

50

80

60

30

30

30

‘b’

52.5

80

60

36.2

30

30

‘c’

41.8

80

60

43.3

30

30

‘d’

49.2

80

60

32.9

30

30

Otrzymuje sie oszczędności zbrojenia rzędu 5%-40

Otrzymuje sie oszczędności zbrojenia rzędu 5%-40

%.

%.