Rozdział 6
Rozdział 6
Nośność elementów żelbetowych
Nośność elementów żelbetowych
prostokątnych poddanych skręcaniu,
prostokątnych poddanych skręcaniu,
zginaniu i ścinaniu
zginaniu i ścinaniu
Rozdział 6
Rozdział 6
Nośność elementów żelbetowych
Nośność elementów żelbetowych
prostokątnych poddanych skręcaniu,
prostokątnych poddanych skręcaniu,
zginaniu i ścinaniu
zginaniu i ścinaniu
Model kratownicy przestrzennej
Model kratownicy przestrzennej
D
D
bi
bi
– wypadkowa sił w krzyżulcach betonowych na boku ‘
– wypadkowa sił w krzyżulcach betonowych na boku ‘
i
i
’,
’,
α
α
i
i
– kat nachylenia krzyżulców betonowych na boku ‘
– kat nachylenia krzyżulców betonowych na boku ‘
i
i
’,
’,
s
s
– rozstaw strzemion,
– rozstaw strzemion,
F
F
j
j
= b
= b
j
j
×
×
h
h
j
j
– wymiary rdzenia poprzecznego,
– wymiary rdzenia poprzecznego,
a
a
i
i
– wysokość boki ‘i’, Z
– wysokość boki ‘i’, Z
s2
s2
=A
=A
s2
s2
×
×
f
f
y
y
- siła w prętach górnych w chwili
- siła w prętach górnych w chwili
zniszczenia,
zniszczenia,
Z
Z
s1
s1
=A
=A
s1
s1
×
×
f
f
y
y
- siła w prętach dolnych w chwili zniszczenia,
- siła w prętach dolnych w chwili zniszczenia,
Z
Z
a
a
=f
=f
s
s
×
×
f
f
y
y
s
s
- siła w strzemionach w chwili zniszczenia,
- siła w strzemionach w chwili zniszczenia,
T
T
i
i
– strumień sił ścinających jako rezultat ścinania [kN/m]
– strumień sił ścinających jako rezultat ścinania [kN/m]
Główne założenia:
Główne założenia:
- przekrój jest stały,
- przekrój jest stały,
- moment skręcający jest przenoszony tylko przez zewnętrzną
- moment skręcający jest przenoszony tylko przez zewnętrzną
skorupę betonową (czyli przez przekrój skrzynkowy),
skorupę betonową (czyli przez przekrój skrzynkowy),
- wszystkie pręty podłużne zbrojenia są sprowadzone do 4 naroży,
- wszystkie pręty podłużne zbrojenia są sprowadzone do 4 naroży,
- pomija się pracę betonu na rozciąganie oraz przenoszenie ścinania
- pomija się pracę betonu na rozciąganie oraz przenoszenie ścinania
przez pręty podłużne,
przez pręty podłużne,
- pręty rozciągane mają kierunek wkładek zbrojenia, a krzyżulce
- pręty rozciągane mają kierunek wkładek zbrojenia, a krzyżulce
betonowe ściskane są nachylone pod pewnym kątem na
betonowe ściskane są nachylone pod pewnym kątem na
poszczególnych ścianach,
poszczególnych ścianach,
- strefa ściskana, która jest prostokątna może być usytuowana przy
- strefa ściskana, która jest prostokątna może być usytuowana przy
jednym z boków,
jednym z boków,
- środek strefy ściskanej znajduje się w osi strzemion,
- środek strefy ściskanej znajduje się w osi strzemion,
- belka nie jest przezbrojona (naprężenia w zbrojeniu osiągają
- belka nie jest przezbrojona (naprężenia w zbrojeniu osiągają
granicę plastyczności),
granicę plastyczności),
- zniszczenie belki nie następuje przez efekty uboczne (np. przez
- zniszczenie belki nie następuje przez efekty uboczne (np. przez
poślizg zbrojenia, wyłupywanie naroży).
poślizg zbrojenia, wyłupywanie naroży).
2
scinanie
i
j
Q
T
h
=
2
skrecanie
T
i
j
M
T
F
=
,
cot
sin
s
i
i
si
i
bi
bi
Z
Z
s
D
D
α
α
α
=
=
sin
i i
i
bi
T a
D
α
=
tan
s
i
i
Z
s
T
α =
2
cos
i
i
bi
i
s
T a s
D
Z
α
=
2
2
T
L
j
j
M
Q
T
F
h
=
+
2
2
T
P
j
j
M
Q
T
F
h
=
−
,
2
T
D G
j
M
T
F
=
,
,
Nośność elementu
Nośność elementu
Najmniejsza dodatnia wartość wyznaczona z 3 równań
Najmniejsza dodatnia wartość wyznaczona z 3 równań
równowagi sumy momentów sił względem osi C-C dla 3
równowagi sumy momentów sił względem osi C-C dla 3
przypadków występowania strefy ściskania stanowi nośność.
przypadków występowania strefy ściskania stanowi nośność.
3 warunki równowagi wyglądają następująco:
3 warunki równowagi wyglądają następująco:
s1
y
j
bL
L
j
bD
D
j
bP
P
j
M
A f h
0.5D cos
h
0.5D cos
h
0.5D cos
h
0
α
α
α
−
+
−
−
−
=
s2 y j
bL
L j
bG
G j
bP
P j
M A f h 0.5D cos h 0.5D cos h 0.5D cos h
0
α
α
α
− +
+
+
+
=
s1
s2
y j
s2 y j
bG
G j
bD
D j
bP
P j
0.5( A
A ) f b
A f h 0.5D cos
h 0.5D cos
h 0.5D cos b
0
α
α
α
+
+
−
−
−
=
Po wstawieniu zależności na
Po wstawieniu zależności na
D
D
b
b
cos
cos
α
α
otrzymuje się 3 powierzchnie
otrzymuje się 3 powierzchnie
interakcji
interakcji
2
s2
s2
T
n
n
n
T
s1
s1
A
A
M
M
Q
(
)
(
)
1
M
M
A
Q
A
+
+
=
2
2
s1
T
n
n
n
s2
T
A
M
M
Q
(
)
(
)
1
M A
M
Q
−
+
+
=
j
2
2
s1
T
T
n
n
n
n
T
T
j
j
s2
h
A
M
2QM
Q
(
)
)
(
)
0.5(
1)
M
Q M
b
h
Q
A
+
+
=
+
+
n
s1 y j
M
A f h
=
s
s
s2 y y
s y
n
T
j
j
j
j
A f f
f f
M
2F
2F
ctg
( b
h )s
s
α
=
=
+
s
s
s2 y y
s y
n
j
j
j
A f f
f f
Q
2h
2h
ctg
h s
s
α
=
=
s2 y
s
j
j
s y
A f s
ctg
( b
h ) f f
α =
+
Najekonomiczniejsze
Najekonomiczniejsze
zbrojenie otrzymuje
zbrojenie otrzymuje
się w miejscu
się w miejscu
przecięcia 3
przecięcia 3
powierzchni
powierzchni
interakcji
interakcji
Zakłada się, że uplastycznienie zbrojenia podłużnego i poprzecznego
Zakłada się, że uplastycznienie zbrojenia podłużnego i poprzecznego
występuje w przypadku, gdy
występuje w przypadku, gdy
s1
s 2
y
s
j
j
s y
( A
A ) f s
0.7 ctg
1.5
2( b
h ) f f
α
+
=
Ł
Ł
+
Wady modelu są następujące:
Wady modelu są następujące:
- nie można obliczyć naprężeń,
- nie można obliczyć naprężeń,
-
nie można obliczyć bezpośrednio powierzchni zbrojenia,
nie można obliczyć bezpośrednio powierzchni zbrojenia,
-
- nie uwzględnia się deplanacji krzyżulców betonowych
- nie uwzględnia się deplanacji krzyżulców betonowych
.
.
Model kratownicy na płaszczyźnie według Kuyta (1972)
Model kratownicy na płaszczyźnie według Kuyta (1972)
s
s2 y y
j
j
n
T
j
j
j
j
b1
b2
h
A f f
2( b
h ) 4
M
2F
( b
h )s 2h ( n
n
2n )
+
×
=
+
+
+
gdzie
gdzie
n
n
b1
b1
– ilość prętów na boku górnym,
– ilość prętów na boku górnym,
n
n
b2
b2
– ilość prętów na boku dolnym,
– ilość prętów na boku dolnym,
n
n
h
h
– ilość prętów na boku pionowym.
– ilość prętów na boku pionowym.
Dla zbrojenia skoncentrowanego w narożach:
Dla zbrojenia skoncentrowanego w narożach:
s
s2 y y
j
j
n
T
j
j
j
j
A f f
2( b
h )
M
2F
( b
h )s
4h
+
=
+
Wypadkowa siła tnąca
Wypadkowa siła tnąca
T
T
j
j
j
j
M
M
Q
h
( 1 m )h
2F
2
2F
±
=
±
j j
T
Qb h
m
M
=
Istnieją 2 krzywe interakcji
Istnieją 2 krzywe interakcji
2
2
s 2
T
n
n
s1
T
A
M ( 1 m )
M
(
)
(
)
1
A
M
M
+
+
=
2
s1
T
n
n
T
s2
MA
M ( 1 m )
(
)
1
M
M A
+
−
=
s
s1
s2
y s y
j
j
n
T
j
j
j
j
( A
A ) f f f
2( b
h )
M
2F
2( b
h )s
4h
+
+
=
+
+
n
s1 y j
M
A f h
=
Obliczenie zbrojenia
Obliczenie zbrojenia
T
s2 y
j
j
M ( 1 m ) M
A f
h
h
ψ
+
=
−
T
s1 y
j
j
M
M
A f
b
h
ψ
=
+
s
s y
T
j
f f
M ( 1 m )
1
s
2F
ψ
+
=
0.8
1.25
ψ
Ł Ł
s
s1
s2
y s y
j
j
j
j
( A
A ) f f f
2( b
h )
ctg
2( b
h )s
4h
ψ
α
+
+
=
=
+
Model przekroju przestrzennego
Model przekroju przestrzennego
Schematy zniszczenia w modelu przekroju przestrzennego
Schematy zniszczenia w modelu przekroju przestrzennego
(Collins 1968)
(Collins 1968)
Wzory na nośność wyprowadza się dla każdego schematu
Wzory na nośność wyprowadza się dla każdego schematu
zniszczenia z równań równowagi sił zewnętrznych i
zniszczenia z równań równowagi sił zewnętrznych i
wewnętrznych względem osi
wewnętrznych względem osi
d-d
d-d
.
.
Założenia ‘a’, ‘d’, ‘e’, ‘g’, ‘h’, ‘i’, ‘j’ dla modelu kratownicy
Założenia ‘a’, ‘d’, ‘e’, ‘g’, ‘h’, ‘i’, ‘j’ dla modelu kratownicy
przestrzennej obowiązują także dla modelu przekroju
przestrzennej obowiązują także dla modelu przekroju
przestrzennego. Dodatkowo pomija się zbrojenie w strefie
przestrzennego. Dodatkowo pomija się zbrojenie w strefie
ściskanej. Strefa ściskania jest nachylona pod katem
ściskanej. Strefa ściskania jest nachylona pod katem
θ
θ
do
do
płaszczyzny prostopadłej do osi podłużnej elementu. Rysa jest
płaszczyzny prostopadłej do osi podłużnej elementu. Rysa jest
nachylona pod takim samym katem na wszystkich bokach.
nachylona pod takim samym katem na wszystkich bokach.
Zaletą modelu jest fakt, że schemat ziszczenia jest zbliżony do
Zaletą modelu jest fakt, że schemat ziszczenia jest zbliżony do
rzeczywistego
rzeczywistego
. Natomiast wadą jest przyjecie stałego kąta
. Natomiast wadą jest przyjecie stałego kąta
nachylenia rysy na poszczególnych bokach.
nachylenia rysy na poszczególnych bokach.
Schemat I (strefa ściskana na boku górnym)
Schemat I (strefa ściskana na boku górnym)
Warunek równowagi względem osi
Warunek równowagi względem osi
d-d
d-d
wygląda następująco (pomija się
wygląda następująco (pomija się
moment od sił
moment od sił
Z
Z
s
s
h
h
):
):
b
s
T
1
1
a
1 j
j
1 j
Z
M sin
N cos
Z cos h
b sin h
s
θ
θ
θ
θ
+
=
+
Wartość kąta
Wartość kąta
θ
θ
1
1
oblicza się z warunku
oblicza się z warunku
T
1
dM
0
d
θ
=
1
2
1
1 2 p
1
tan
K
r
K
θ
+
=
+
−
s
s y
n
n
T
j
1
2
f f
2r
1
1 2 p
1
M
M (
)(
) 2F
tan
1 2 p
K
r
K
s
β
+
=
+
−
=
+
1
1
b
tan
tan
b 2h
β
θ
=
+
T
M
K
M
=
n
a1 y j
M
A f h
=
h
p
b
=
s1
s1 y
Z
A f
=
s
s
s y
Z
f f
=
s
s y
j j
n
f f b h
r
s
M
=
Schemat II (strefa ściskana na boku dolnym)
Schemat II (strefa ściskana na boku dolnym)
Warunek równowagi względem osi
Warunek równowagi względem osi
d-d
d-d
wygląda
wygląda
następująco (pomija się moment od sił
następująco (pomija się moment od sił
Z
Z
s
s
h
h
)
)
b
s
T
2
2
s2
2 j
j
2 j
Z
M sin
M cos
Z cos h
b sin h
s
θ
θ
θ
θ
−
=
+
T
2
dM
0
d
θ
=
2
2
2
1
1 2 p
1
tan
R
K
r
K
θ
+
=
+
+
n
n
T
2
2
2r
1
1 2 p
1
M
M (
)(
R
)
1 2 p
K
r
K
+
=
+
+
+
2
2
b
tan
tan
b 2h
β
θ
=
+
n
s 2
2
2
n
s1
Z
M
R
M
Z
=
=
T
M
K
M
=
n
s1 y j
M
A f h
=
h
p
b
=
s1
s1 y
Z
A f
=
s
s
s y
Z
f f
=
s
s y
j j
n
f f b h
r
s
M
=
. (6.39)
Schemat III (strefa ściskana na boku
Schemat III (strefa ściskana na boku
pionowym)
pionowym)
Warunek równowagi względem osi
Warunek równowagi względem osi
d-d
d-d
wygląda następująco
wygląda następująco
(pomija się moment od sił
(pomija się moment od sił
Z
Z
s
s
h
h
):
):
h
j
s1
s2
s
T
3
3
3 j
j
3 j
b
( Z
Z )
Z
M sin
Q cos
cos b
h sin b
2
2
s
θ
θ
θ
θ
+
+
=
+
T
3
dM
0
d
θ
=
3
3
4r
tan
R
1 2 / p
θ =
+
n
n
T
3
j
M
4r
M
R
1 b / 2e
1 2 / p
=
+
+
3
3
b
tan
tan
b 2h
β
θ
=
+
s1
s2
j
3
s1 j
0.5( Z
Z )b
R
Z h
+
=
T
M
K
M
=
n
s1 y j
M
A f h
=
h
p
b
=
s1
s1 y
Z
A f
=
s
s
s y
Z
f f
=
T
M
e
Q
=
s
s y
j j
n
f f b h
r
s
M
=
, (6.44)
,
,
,
, (6.48)
Najmniejsza wartość
Najmniejsza wartość
M
M
T
T
n
n
dla 3 schematów zniszczenia jest
dla 3 schematów zniszczenia jest
nośnością danego elementu.
nośnością danego elementu.
Stosunek zbrojenia poprzecznego do podłużnego powinien
Stosunek zbrojenia poprzecznego do podłużnego powinien
być równy
być równy
s
s y
s1
f f b
2
b
0.5
( 1
) 1.5
A
s
K 2h b
+
Ł
Ł
+
aby doszło do uplastycznienie w zbrojeniu
aby doszło do uplastycznienie w zbrojeniu
.
.
Model kinematyczny (Elfgren 1979)
Model kinematyczny (Elfgren 1979)
Przyjmuje się, ze istnieją 2 główne rysy ABC i DEF. Prawa połowa
Przyjmuje się, ze istnieją 2 główne rysy ABC i DEF. Prawa połowa
belki obraca się dookoła osi AD. Obrót jest możliwy, jeżeli oś AD jest
belki obraca się dookoła osi AD. Obrót jest możliwy, jeżeli oś AD jest
równoległa do przekątnej CF.
równoległa do przekątnej CF.
Model kinematyczny (Elfgren 1979)
Model kinematyczny (Elfgren 1979)
s
s
s
z
s1
o
D j
D
L j
L
P j
P
Z
Z
Z
L
Z
X
ctg
b Y
0.5
ctg h Y
0.5
ctg
h Y
s
s
s
α
α
α
=
∆
+
∆
+
∆
+
∆
w
T
L
( M Qa )
sin
M
sin
ϕ
θ
ϕ
θ
=
+
∆
+
∆
Praca sił zewnętrznych równa się
Praca sił wewnętrznych jest równa
s
T
L
j j
j
Z
M
Q
ctg
(
) /
2b h
2h
s
α =
+
s
T
P
j j
j
Z
M
Q
ctg
(
) /
2b h
2h
s
α =
+
s
T
D
j j
Z
M
ctg
(
) /
2b h
s
α =
2
2
T
T
n
n
n
T
M
M
Q
(
)
(
)
M
M
Q
+
+
n
s1
y
j
M
A f h
=
s
s1 y s y
n
T
j
j
j
A f f f
M
2F
( b
h )s
=
+
s
s1 y s y
n
j
j
A f f f
Q
2h
h s
=
Otrzymuje się ostatecznie
Otrzymuje się ostatecznie
Przykład obliczenia porównawczego nośności zbrojenia dla 2
belek żelbetowych
Zbrojenie 2 przykładowych belek żelbetowych
Prostokątna belka ‘1’ (0.3
×
0.5 m
2
)
f
y
=360 MPa, f
y
s
=288 MPa, f
c
=11.5 MPa,
F
j
=0.24
×
0.44=0.1056 m
2
, u
j
=2(0.24+0.44)=1.36 m,
A
s1
/A
s2
=1.56, A
s1
+As
2
=16.1 cm
2
,
ξ
=A
s1
/bd=0.73%.
Prostokątna belka ‘2’ (0.3
×
0.45 m
2
)
f
y
=360 MPa, f
y
s
=288 MPa, f
c
=11.5 MPa,
F
j
=0.24
×
0.39=0.0936 m
2
, u
j
=2(0.24+0.39)=1.26 m,
A
s1
/A
s2
=4.84, A
s1
+As
2
=9.2 cm
2
,
ξ
=A
s1
/bd=0.63%.
Nośność obliczono:
Nośność obliczono:
- metodą oddzielnego obliczenia nośności na skręcanie, ścinanie i
- metodą oddzielnego obliczenia nośności na skręcanie, ścinanie i
zginanie (‘
zginanie (‘
a
a
’),
’),
- metodą kratownicy przestrzennej (‘
- metodą kratownicy przestrzennej (‘
b
b
’),
’),
-
metodą kratownicy na płaszczyźnie wg Kuyta (1972) (‘
metodą kratownicy na płaszczyźnie wg Kuyta (1972) (‘
c
c
’),
’),
-
metodą przekroju przestrzennego (‘
metodą przekroju przestrzennego (‘
d’
d’
).
).
Dla przypadku ‘
Dla przypadku ‘
a
a
’ wykorzystano następujące wzory
’ wykorzystano następujące wzory
n
s1
y
j
M
A f h
=
s1
s2
y
j
n
T
j
( A
A ) f 2F
M
u
+
=
s
s1 y
j
n
T
f f 2F
M
s
=
s
s2 y
j
n
f f 2h
Q
s
=
,
Obliczenie zbrojenia wg. Kuyta (1972
Obliczenie zbrojenia wg. Kuyta (1972
):
):
Belka żelbetowa ‘
Belka żelbetowa ‘
1
1
’
’
M
M
T
T
n
n
=50 kNm,
=50 kNm,
M
M
n
n
=80 kNm,
=80 kNm,
Q
Q
n
n
=60 kN
=60 kN
A
A
s2
s2
=4.27 cm
=4.27 cm
2
2
,
,
A
A
s1
s1
=12.28 cm
=12.28 cm
2
2
,
,
A
A
s2
s2
+
+
A
A
s1
s1
=16.55 cm
=16.55 cm
2
2
> 16.1 cm
> 16.1 cm
2
2
F
F
s
s
=1.06 cm
=1.06 cm
2
2
< 1.13 cm
< 1.13 cm
2
2
.
.
Belka żelbetowa ‘
Belka żelbetowa ‘
2
2
’
’
M
M
T
T
n
n
=30 kNm,
=30 kNm,
M
M
n
n
=30 kNm,
=30 kNm,
Q
Q
n
n
=30 kN
=30 kN
A
A
s2
s2
=3.5 cm
=3.5 cm
2
2
,
,
A
A
s1
s1
=6.5 cm
=6.5 cm
2
2
,
,
A
A
s2
s2
+
+
A
A
s1
s1
=9.98 cm
=9.98 cm
2
2
> 9.17 cm
> 9.17 cm
2
2
F
F
s
s
=0.72 cm
=0.72 cm
2
2
< 0.785 cm
< 0.785 cm
2
2
.
.
Obliczenie momentu skręcającego, momentu zginającego oraz
Obliczenie momentu skręcającego, momentu zginającego oraz
siły ścinania dla 2 przykładowych belek żelbetowych
siły ścinania dla 2 przykładowych belek żelbetowych
Metoda
M
T
n
[kNm]
M
n
[kNm]
Q
n
[kN]
M
T
n
[kNm]
M
n
[kNm]
Q
n
[kN]
‘a’
50
80
60
30
30
30
‘b’
52.5
80
60
36.2
30
30
‘c’
41.8
80
60
43.3
30
30
‘d’
49.2
80
60
32.9
30
30
Otrzymuje sie oszczędności zbrojenia rzędu 5%-40
Otrzymuje sie oszczędności zbrojenia rzędu 5%-40
%.
%.
