KOD ZDAJ¥CEGO
MMA-R1A1P-021
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM ROZSZERZONY
Arkusz II
Czas pracy 150 minut
Instrukcja dla zdaj¹cego
1.
Proszê sprawdziæ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12 stron.
Ewentualny brak nale¿y zg³osiæ przewodnicz¹cemu zespo³u
nadzoruj¹cego egzamin.
2.
Rozwi¹zania i odpowiedzi nale¿y zapisaæ czytelnie w miejscu
na to przeznaczonym przy ka¿dym zadaniu.
3.
Proszê pisaæ tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisaæ
o³ówkiem.
4.
W rozwi¹zaniach zadañ trzeba przedstawiæ tok rozumowania
prowadz¹cy do ostatecznego wyniku.
5.
Nie wolno u¿ywaæ korektora.
6.
B³êdne zapisy trzeba wyranie przekreliæ.
7.
Brudnopis nie bêdzie oceniany.
8.
Obok ka¿dego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
któr¹ mo¿na uzyskaæ za jego poprawne rozwi¹zanie.
9.
Podczas egzaminu mo¿na korzystaæ z tablic matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie mo¿na korzystaæ
z kalkulatora graficznego.
10.
Do ostatniej kartki arkusza do³¹czona jest karta odpowiedzi,
któr¹ wype³nia egzaminator.
¯yczymy powodzenia!
ARKUSZ II
MAJ
ROK 2002
Za rozwi¹zanie
wszystkich zadañ
mo¿na otrzymaæ
³¹cznie 60 punktów
(Wpisuje zdaj¹cy przed rozpoczêciem pracy)
PESEL ZDAJ¥CEGO
Miejsce
na naklejkê
z kodem
(Wpisuje zdaj¹cy przed
rozpoczêciem pracy)
Zadanie 11. (4 pkt)
Wyznacz wszystkie wartoci parametru ,
m dla których równanie
(
)
0
1
3
2
=
+
+
−
m
x
m
mx
nie ma rozwi¹zania w zbiorze liczb rzeczywistych.
2
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 12. (4 pkt)
A
i B
s¹ zdarzeniami losowymi i
( )
0
>
B
P
.
Wyka¿, ¿e
(
)
( )
( )
B
P
A
P
B
A
P
'
1
/
−
≤
.
Egzamin maturalny z matematyki
3
Arkusz II
Zadanie 13. (5 pkt)
Sprawd, ¿e przekszta³cenie P p³aszczyzny dane wzorem
( )
(
)
)
,
1
(
,
y
x
y
x
P
−
+
=
jest
izometri¹. Wyznacz równanie obrazu okrêgu o równaniu
0
2
2
2
=
−
+
x
y
x
w
przekszta³ceniu
P.
4
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 14. (6 pkt)
Zaznacz na p³aszczynie zbiór
( )
(
)
>
∧
−
≥
−
∧
∈
∧
∈
=
0
2
1
log
:
,
2
1
y
x
R
y
R
x
y
x
F
.
Napisz równania osi symetrii figury F.
Egzamin maturalny z matematyki
5
Arkusz II
Zadanie 15. (6 pkt)
Objêtoæ walca jest równa
π
250 cm
3
. Przedstaw pole powierzchni ca³kowitej tego walca jako
funkcjê d³ugoci promienia jego podstawy i okrel dziedzinê tej funkcji. Wyznacz d³ugoæ
promienia takiego walca, którego pole
powierzchni ca³kowitej jest najmniejsze.
6
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 16. (7 pkt)
Naszkicuj w jednym uk³adzie wspó³rzêdnych wykresy funkcji
( )
1
2
+
=
x
x
f
oraz
( )
x
x
x
g
1
+
=
.
Na podstawie wykonanego rysunku okrel liczbê ujemnych rozwi¹zañ równania
( ) ( )
x
g
x
f
=
.
Egzamin maturalny z matematyki
7
Arkusz II
Zadanie 17. (8 pkt)
Rozwi¹¿ równanie:
x
x
x
cos
4
ctg
2
sin
2
=
+
dla
π
2
,
0
∈
x
. Ze zbioru rozwi¹zañ tego
równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieñstwo zdarzenia,
¿e co najmniej jedno z wylosowanych rozwi¹zañ jest wielokrotnoci¹ liczby
2
π
.
8
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
Zadanie 18. (10 pkt)
Rozwi¹¿ nierównoæ
( )
9
,
0
2
...
8
1
4
1
2
1
−
>
+
+
+
x
x
x
x
, gdzie lewa strona tej nierównoci jest
sum¹ nieskoñczonego ci¹gu geometrycznego.
Egzamin maturalny z matematyki
9
Arkusz II
Zadanie 19. (10 pkt)
W trójk¹cie jeden z k¹tów ma miarê
°
120
. D³ugoci boków tego trójk¹ta s¹ kolejnymi
wyrazami ci¹gu arytmetycznego, którego suma wynosi 30. Wyznacz stosunek d³ugoci
promienia okrêgu opisanego na tym trójk¹cie do d³ugoci promienia okrêgu wpisanego w ten
trójk¹t.
10
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz II
MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA
ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO II - POZIOM ROZSZERZONY
Numer
czynnoci
Opis wykonywanej czynnoci
Liczba
punktów
Modelowy wynik etapu (czynnoci)
11.1
Sprawdzenie, ¿e dla
0
=
m
dane równanie
ma
rozwi¹zanie
1 p
11.2
Podanie uk³adu warunków (1) na to, by
równanie kwadratowe nie mia³o rozwi¹zania
1 p
(1)
<
≠
0
0
∆
m
11.3
Wyznaczenie wartoci spe³niaj¹cych
warunek
0
<
∆
1 p
−
−
∈
5
3
,
3
m
11.4
Podanie odpowiedzi.
1 p
−
−
∈
5
3
,
3
m
12.1
Wykorzystanie zale¿noci
A
B
A
⊂
∩
)
(
1 p
)
(
)
(
A
P
B
A
P
≤
∩
12.2
Zastosowanie definicji prawdopodobieñstwa
zdarzenia przeciwnego
1 p
(
)
( )
'
1
A
P
B
A
P
−
≤
∩
12.3
Wykorzystanie definicji prawdopodobieñstwa
warunkowego
1 p
)
(
1
)
(
)
/
(
A'
P
B
P
B
A
P
−
≤
⋅
12.4
Wykorzystanie zale¿noci
0
)
(
>
B
P
do
wykazania tezy
1 p
13.1
Powo³anie siê na definicjê izometrii
1 p
13.2
Wybór dwóch ró¿nych punktów A i B i
wyznaczenie wspó³rzêdnych ich obrazów A’ i
B’
1 p
13.3
Sprawdzenie, ¿e odleg³oci
AB
i
'
' B
A
s¹
równe
1 p
13.4
Wyznaczenie równania obrazu danego okrêgu
w przekszta³ceniu P
2 p
np.
0
3
4
2
2
=
+
−
+
x
y
x
14.1
Wyznaczenie dziedziny nierównoci
logarytmicznej
(
)
2
1
log
2
1
−
≥
−
x
1 p
(
) (
)
+∞
∪
−
∞
−
∈
,
1
1
,
x
14.2
Wykorzystanie monotonicznoci funkcji
logarytmicznej do rozwi¹zania nierównoci
1 p
1
4
x
− ≤
14.3
Rozwi¹zanie nierównoci
1
4
x
− ≤
z
uwzglêdnieniem jej dziedziny
1 p
5
,
1
(
)
1
,
5
∪
−
−
∈
x
14.4
Rozwi¹zanie nierównoci
0
>
y
1 p
{ }
0
\
R
y
∈
14.5
Naszkicowanie figury
F
1 p
14.6
Napisanie równañ osi symetrii figury
F
1 p
0
,
0
=
=
y
x
15.1
Wyznaczenie d³ugoci
h
wysokoci walca
w zale¿noci od d³ugoci
r
promienia
podstawy
1 p
2
250
r
h
=
15.2
Wyznaczenie pola powierzchni ca³kowitej
walca jako funkcji zmiennej
r
1 p
( )
r
r
r
P
π
π
500
2
3
+
=
15.3
Okrelenie dziedziny funkcji
( )
r
P
1 p
(
)
+∞
∈
,
0
r
15.4
Wyznaczenie
( )
r
P'
1 p
( )
2
3
500
4
'
r
r
r
P
π
π −
=
Egzamin maturalny z matematyki – maj 2002
1
15.5
Rozwi¹zanie równania
( )
0
'
=
r
P
1 p
5
=
r
15.6
Uzasadnienie, ¿e dla
5
=
r
funkcja
przyjmuje wartoæ najmniejsz¹
1 p
16.1
Naszkicowanie wykresu funkcji
x
y
2
=
1 p
16.2
Naszkicowanie wykresu funkcji
1
2
+
=
x
y
1 p
16.3
Przekszta³cenie wyra¿enia
x
x 1
+
do
postaci
x
1
1
+
1 p
16.4
Naszkicowanie wykresu funkcji
x
y
1
=
1 p
16.5
Naszkicowanie wykresu funkcji
1
1
+
=
x
y
1 p
16.6
Naszkicowanie wykresu funkcji
1
1
+
=
x
y
1 p
16.7
Podanie liczby ujemnych rozwi¹zañ
równania
( ) ( )
x
g
x
f
=
1 p 2
rozwi¹zania
17.1
Wyznaczenie dziedziny danego równania
1 p
(
) { }
π
π
\
2
,
0
∈
x
17.2
Przeksz
ta³cenie danego równania
do postaci
(1)
1p (1)
cos
4 sin cos
4 cos
sin
x
x
x
x
x
+
=
17.3
Przekszta³cenie równania z postaci
(1)
do postaci
(2)
1 p (2)
(
)
0
sin
4
1
sin
4
cos
2
=
−
+
x
x
x
17.4
Rozwi¹zanie równania
0
cos
=
x
w wyznaczonej dziedzinie
1 p
π
π
2
3
2
=
∨
=
x
x
17.5
Rozwi¹zanie równania
2
4 sin
4 sin
1
0
x
x
−
+ =
w wyznaczonej dziedzinie
1 p
π
π
6
5
6
=
∨
=
x
x
17.6
Obliczenie mocy zbioru zdarzeñ
elementarnych
1p
6
=
Ω
17.7
Obliczenie mocy zdarzenia
A
polegaj¹cego na tym, ¿e co najmniej
jedno z wylosowanych rozwi¹zañ jest
wielokrotnoci¹ liczby
2
π
1 p
5
=
A
17.8
Obliczenie prawdopodobieñstwa
zdarzenia
A
1 p
( )
6
5
=
A
P
18.1
Za
uwa¿enie, ¿e w ci¹gu, który jest lew¹
stron¹ danej nierównoci
x
q
a
2
1
1
=
=
1 p
18.2
Podanie warunku zbie¿noci i
wyznaczenie tych wartoci
x
, dla
których ci¹g, który jest lew¹ stron¹ danej
nierównoci jest zbie¿ny
1 p
0
>
x
2
Egzamin maturalny z matematyki – maj 2002
Egzamin maturalny z matematyki – maj 2002
3
18.3
Wyznaczenie sumy
S
ci¹gu, który jest
lew¹ stron¹ danej nierównoci
1 p
x
x
S
−
=
2
1
1
2
1
18.4
Zamiana u³amka okresowego
( )
9
,
0
na
zwyk³y
1 p
( )
1
9
,
0
=
18.5
Wykonanie podstawienia pomocniczej
niewiadomej
x
t
=
2
1
i zapisanie danej
nierównoci za pomoc¹ zmiennej
t
(1)
1 p (1)
1
1
1
−
>
−
t
t
t
18.6
Przekszta³cenie nierównoci
(1)
do
postaci
(2)
1 p (2)
( )
0
1
2
1
2
>
−
−
−
t
t
t
18.7
Rozwi¹zanie nierównoci
(2)
1 p
(
)
∪
∞
−
∈
1
,
2
1
0
,
t
18.8
Zapisanie warunku
(3)
1 p (3)
<
∧
>
∨
<
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
x
x
x
18.9
Wyznaczenie
x
z warunku
(3)
1 p
( )
1
,
0
∈
x
18.10
Sprawdzenie czy otrzymane wartoci
x
nale¿¹ do dziedziny nierównoci
i odpowied.
1 p
19.1
Wyra¿enie d³ugoci boków
c
b,
trójk¹ta
za pomoc¹
a
i
r
, gdzie
a
to d³ugoæ
najkrótszego boku i
0
>
r
1 p
r
a
c
r
a
b
2
,
+
=
+
=
19.2
Wykorzystanie informacji, ¿e suma
d³ugoci boków trójk¹ta wynosi 30 do
wyznaczenia zwi¹zku pomiêdzy
a
i
r
1 p
10
=
+
r
a
19.3
Zastosowanie twierdzenia cosinusów do
wyznaczenia drugiego zwi¹zku
pomiêdzy
a
i
r
1 p
(
)
(
)
(
)
−
⋅
+
−
+
+
=
+
2
1
2
2
2
2
2
r
a
a
r
a
a
r
a
19.4
Zapisanie uk³adu równañ
(1)
z
niewiadomymi
a
i
r
1 p (1)
2
2
10
2
3
0
a
r
a
ar
r
+ =
− −
=
19.5
Rozwi¹zanie uk³adu równañ
(1)
1 p
6
,
4
=
=
a
r
19.6
Podanie d³ugoci boków trójk¹ta
1 p
14
,
10
,
6
=
=
=
c
b
a
19.7
Obliczenie pola trójk¹ta
1 p
19.8
Obliczenie d³ugoci
R
promienia okrêgu
opisanego na trójk¹cie
1 p
3
3
14
=
R
19.9
Obliczenie d³ugoci
s
promienia okrêgu
wpisanego w trójk¹t
1 p
3
=
s
19.10
Wyznaczenie stosunku
s
R
1 p
3
14
=
s
R
3
15
=
∆
P